当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

第七届北京高中数学知识应用竞赛决赛试题及解答


维普资讯 http://www.cqvip.com

?

4   6?
对 志一 2 … , 和 , ,  求 易知 

中学数学月刊 

20 年第 6 04 期 

式解决. 我们举一个这样的例子.  

( 一 1 b — C 一 C+ + ( 一 1 b 1 , . )S 2  l , . )b 


b ( + r )一 C+ . la b  1  

例5 求数列南 南 ,的   之 ? … 前项和  

,  

,  

因此 
一  

6  ~ 



() 5 

我们不能直接运用 () 5 求和, 但数列 的  
通项 a 一    
一   一

注 2 用相同的方法,   可以求出( 对整数 
,≥ 1    )

可变形为 

一瓦   1+ 1+ … +  
—  —
===  

( 生土2  

一 

k 志+ 1 ( ( ) 是+ 2 ( ) 是+ 3  )
㈤  
— 一 —

( ,+ 1 6 “ . )   



 

丁 上 T  k 志+ 1 ( ( ) 志+ 2 ( ) 志+ 3   娜 )  下 瑚 舳
— — — — — — — — —   — — —  

k 志+ 1 ( )+ 3 + 4 k  

( + 16  , - ) “。  

顺 一 由 4可 ÷是 于k   便提 下, () 见, 关 的
,次多项式( 一 其系数与 ab, ,, 有关) 因此 ,   一 . 由 注 1中提到的  , , 的结果 ,  。… 原则上也可 

( + 2( 志 ) 志+ 3 。 )  
.  .. . .... .... ... ...... . . .... ..... ..  .... .  .. ..... .... . . .... ..  .  一

上  

( + 1( 志 ) 志+ 2 ( + 3  )是 )+ 
 























 

_ .— — — — — — — — — 一

 

求得  , 但这仅在 , 一 较小时更为实用.   求和公式 ()() 5 ,6 是两个较为一般的结 
果( 1 例 和例 3 分别是()() 6 ,5 的特例)有些  ,

k 志+ 1 ( ( ) 志+ 2 ( + 3 。 )志 )。  

求 和问题借助适当的变形 , 可以应用这些公 

以上式右端的每一项作为一数列的通  项, 则此数列的前 n 项之和可以用公式() 5 求  出来 , 其细节留给读者完成.  

第七届北京高中数学知识应用竞赛决赛试题及解答  
原料价格是: 苜蓿草 20 / 鱼粉 160 3 元 吨,  0  1( . 满分 1 分) 4 一个奖杯的三视图如图1 所  料,

示, 图中标出的长度单位是毫米, 请你求出这个奖  元 /吨, 豆饼粉 30 /吨. 3元 请根据技术和经济 
杯的体积, 精确到 1 立方厘米, 并画出直观图.  

系数( 见表 1 求成本最低的饲料配制方案. )  
表1  

营养成分  需求指标  原料含有营养成分(   %) 苜蓿草  鱼粉  豆饼粉 
纤维质 不超过 8   2  % 5
蛋 白质  少 至 需有3 % 5  1 7  

l  
6  o

7  
4  2

脂肪 

i有15   稀 .%

2  

7  

o5 . 

20— i 8    
图1  

( : 分比按 质量计 ) 注 百  

4( .满分 1 分) 8 在不同地区, 同一天的日  

2( 分1 .满 4分 )  

出和日落时间不尽相同; 对一个地区而言,   日
出 日落时间又是随日期的变化而变化的. 北 

图2 是两种不同的鞋 

带穿法, 如果系上鞋 
带 以后 两 排 鞋 眼是 

京的天安 门广场上的国旗每天伴着太阳升?  
起, 伴着太阳降落. 2 表 是天安门广场 20 年  03

平行的, 请判断, 哪  种穿法所需鞋带 的  
长度短一些?  
3( . 满分 1 8分 )   图2  

部分 日期的升旗时刻, 3是天安 门广场  表 20 年 2 04 月部分 日期的升旗时刻. 回答下  请
面的 问题 :  



() 1 建立坐标系, 将表 2 数据描在坐标系  饲料工厂用苜蓿草、 鱼粉、 豆饼粉配制 1吨饲  中 ;  

维普资讯 http://www.cqvip.com

20 04年第 6 期 

中学数学月刊 

? 7? 4  

()根据 已给数据建立数学模型, 2 估算 
20 0 4年“ 五一 ”国际劳 动节的升旗时 间 ;  

参考答案  
1 体积V—V 六柱+÷ 圆  .  棱  柱


()如果你打算在“ 3 五一”观看升旗 , 选 
择什么时间到达观看点?  
表2  

6 ×  

×十 × ×  8}  5 o



日期 
1 1日 月  
1月 2   1日 2 1   月 0日

升旗时刻 
7 3  :6
7 3  :1 7 1  :4

日 期 
7 9日 月  
7 2   月 7日 8 1   月 4日

升旗时刻 
4 S  :3
50  :7 S 2  :4

98 3 4   4 . 1≈ 9 8 3 c 。   4  m .  

这个奖杯的体积约为 983  4 立方厘米.  
它 的直 观图如图 3 所示.  

3 2日 月  
3月 2   2日

6 4  :7
6 1  :S

9 2日 月  
9月 2   O日

5 4  :2
S S  :9
F 

4 9日 月  
4月 2   8日 S月 1   6日

S 4  :6
5 1  :9 4 S  :9

1 0月 8日  
1 0月 2   6日 l月 1   1 3日

6 1  :7  
6 3  :6 6 S  :6

6 3日 月  
6月 2   2日

4 4  :7
4 4  :6

1 月 1日   2  
1 2月 2   0日

7 1  :6
7 3  :1
3   4  

表3  

日期 
2月 1日   2月 3日   2月 5日   2月 7日   2月 9日   2月 1   1日 2月 1     3日 2月 1   5日

升旗时刻 
7 2  :3 7 2  :2 72  :0 7 1  :  7 7 1  :S 7 1  :3 7 1  :1 70  :8

日期 
2月 1   7日 2月 1   9日 2月 2   1日 2月 2   3日 2月 2   5日 2月 2   7日 2月 2   9日

升旗时刻 
7 O  :6 7 0  :3 7 O  :0 6 S  :8 6 S  :S 6 5  :2 6 4  :9

2 解 法 1 系上 鞋带 以后 两种 穿 法分 别  . : 如图 4 乙所示 , 甲、 连接 A 设 AB—a A   C, , C一
点 , 则  A   一 d  D   d + (a  E   一 。 k ), F  

d + (k ), — B 于是 甲 中的所 有  。 2a  AD C, 线段长度 和为 
7 目 一 a + 1  d   0  + ( a    k ),

乙中的所有线段长度和为 
=  5   +  2 a   d  + ( a  k ) + 

4 ̄d / + (k ). 2a 。  

5( . 满分 1 分) 8 有七个小麦 品种 , 通常用 

7 L —    

种 试验田的方法来 比较他们的优劣. 需要选  择 若干块试验 田, 每块试验 田中的种植条件  相 同, 不同的品种只有在同一块试验田中才 

一 

5  a

+  2  

d + (a   。 k)

+ 

4 ̄d + (k ) a一 1  d /。 2a 一 0  + (a  k)


能 比较它们的的优劣. 假设在每块试验 田中  
只能安排三个品种, 即每块试验 田均匀分成 

4( a 1+  1+ 4 一 2 1+ k )       

一 4[ + a1  

三小块 , 每小块种一个品种. 请提供一个满足  (   要求的试验方案, 使得试验用地块数最少.  
6( . 满分 1 8分) 对有 繁 殖能 力 的兔子  一

一2 _ )   二 ( F  
+2  


+2  

)  

0  

每月生一对兔子, 兔子出生两个月后就具有  繁 殖后代的能力. 三月龄的兔子在生完小兔 

= 4( + —= = =   — == ) a1 _ = _ J_ =   = _ =

 ̄ +4 /  +2 l   l   +

之后就被卖掉. 请分析: 一对年初一个月龄的 
兔 子经一年后, 那时一月龄及其以上的兔群  将有多大规模?  



一 4 . ?   a

 ̄ 竺  / 圭

l 4 + 2 l  。 +     +  

>. >  o 【 I

解法 2简述)将原图中的线段经过适当  ( :

反射和平移, 变成粗折线, 如图 5 所示 , 折线 
A B< 折线 C   D.

维普资讯 http://www.cqvip.com

?

4   8?

中学数学月刊 
是一族与 平行 的   直线, 目标值越小 ,  

20 年第 6 04 期 

J     y

直线越靠近坐标原 
点, 因此, 直线过点  A时, 目标 函数取 
得最 小 值 , 点  的 
C   乙  D 
、  

/  

:  : 。

/ , \ ,  
/   \ 一  

坐标 是直线 3   z+
1 x — 6 — 1= 0 8 — y — =  

 / / 1 一2 0 3 — 与直线 D /   /    
,  
●  

+ 1. l \_ 3   】  
‘ x ’  
图6  

图 5  

3 设配制 1 . 吨饲料需苜蓿草 z吨、 鱼粉 3 ,  
吨、 豆饼 粉  吨.  

的 交 点,即 约 为 
(. 9 ,. 3 ) 此  0 09011 ,

因为 1吨饲料的纤维质含量不 能超过  8 可以列出饲料的纤维质约束条件: %,   2x+ Y+ 7 5 z≤ 8 ( .纤维质约束)   同理, 可分别列 出饲料的蛋 白质与脂肪  含量约束条件:   1x+ 6y+ 4z≥ 3.蛋白质约束) 7 0 2 5(  
2 x+ 7 y+ 0 5 .z≥ 1 5 ( . . 脂肪约束 )  

时 ,z Y  一 (. 9 ,. 3 ,. 7 ) ( , ,) 009011070 .  

成本最 低 的饲料 配制方案 是: 苜蓿 草 
0 0 9吨 , .9 鱼粉 0 1 1吨, .3 豆饼粉 0 7 0吨. .7  

4 () .1 将数据描在坐标系中, 如图 7 .  

现在用苜蓿草 z吨、 鱼粉 Y吨、 豆饼粉  吨配成 1吨饲料, 可得质量约束条件 :  
z+ y+ — 1 (   . 质量 约束 )  

已知苜蓿草、 鱼粉与豆饼粉的单价 , 由上 
表可得配制 1 吨饲料的成本为 :  
_( y, )一 2 0 + 16 0 , z, 2 3x   0 y+ 3 0 . 3z  

1  3  5  7  9 1 11 月  2  4  6  8   01 2    

图7  

根据质量约束 , 有 一 1 一z—Y 于是其  , 它约束改写为 
2 x+ Y+ 7 1一 z— Y) 8  5 ( ≤ ,

() 2 天体运动具有很强的周期性, 所以日  
出 日落时间成周期变化.   观察题内两表 ,03 2 1 20 年 月 0日升旗时  间是 71 ,04 2 9日是 71 ,月 1 日 :420 年 月 :52 1   是 71 , 以认为, :3可 在这几天, 两年的升旗时  间是相同的;   20 年 3月 2日升旗时间是 64 ,04 03 :720  年2 2 月 8日是 65 , 月 2 :02 9日是 64 , :9再过  两天就是 3 月2日, 显见, 在这几天, 两年的升  旗时间也是相同的.   于是可以进一步认为,03 20 年和 20 04年同  期的升旗时间基本上是相同的. 再观察20 年的 03  

1x+ 6y+ 4 (   一 . ≥ 3 , 7 0 2 1一 ) , ) 5 
2 x+ 7 y+ 0 5 1一 z — Y) 1 5  .( ≥ ..

于是把这个营养物质问题抽象成数学模 
型, 就是确定变量 , , Y 满足约束条件 :  
f8   z一 6 1  ≤ 1  ,

} 2x+ 1 ≥一 7 一 5 8 ,  
. z+ 1 ≥ 2  《 3 3 ,
I + y≤ 1 、 z ,   【  ≥ 0 y≥ 0  , ,

并使 目标函数( 饲料成本)  
/( y)一 一 1 0  , 0 x+ 12 0   7 y+ 3 0 3 

图象, 整体来看与余弦函数 相像, 但就局部来看,   从2月末到5月中旬, 这些点基本上是共直线的 
( 5月1日 正在这个范围内)从 7 , 月中旬到 1 月 2  初也如此. 因此, 以线性函数为模型, 用已知数值  拟合出函数, 估算五一节的升旗时间.   不妨设函数模型为 
Y— d + b  3≤ z≤ 5 5   , ..  

取最 小值.  

(  )  , 的取值范围是图 6 的阴影 , 对不同  

的目标值 
/( j)一 一 1 0 + 12 0 , 3 0  ,, 0x   7 3 + 3 

维普资讯 http://www.cqvip.com

20 年第 6   04 期

中学数学月刊  案 的基础上, 对品种的下标作任意的置换都  

取4 2 月 8日的 5 1和 5 1 日的 4 5 , :9 月 6 :9 

  因为升旗时间是早上, 所以 5 1 就记作  可得到一个合格的试验方案. 月 6日 6 根据题意, . 所研究的兔子有三类: 没有  5 , 月 1日   5 就记作 5于是有  , 繁殖能力的一月龄幼兔、 两个月龄后有生殖 

f9 4  6 5 :2+, 丽     1 7
’  

能力但不会被卖掉的大兔和三个月龄后仍有   繁殖能力但将要被卖掉的成兔.   假设 :. 1 在一年内兔群中没有任何个体  
死亡 ;  

【95 +, 4 :1 6 5 5 丽     

得  Y一一 0 509 .7 x+ 8 14 。1.  

对于  一 5有  ,
Y = 一 0 5 0 9 × 5+ 8 1 4— 5 2 . . 7  .1 . 6 

2 兔子在每月的月初繁殖后代. .  

5 2 约为 51. .6 :5  

根据假设 和兔群繁殖 的实际情况 , 三类  兔群将有如下的关系:  
本月初的幼兔是上个月大兔或成兔繁殖 
的( 具一个月龄的) 后代;  

所 以, 0 年“ 2 4 五一” 0 国际劳动节的升旗 
时间约为 51. :5  

本 月初 的大兔是上个 月幼兔 发育的结  () 3 因为 5 1 是个近似值 , :5 且是估值 , 为    了确保不误事, 以, 0 年“ 所 2 4 五一” 0 观看升  果 ; 本 月初 的成兔是上个 月大兔 发育的结  旗, 就应该在45 (0 3 5 k :920 年 月 6日的升旗 
时刻) 5 1 这段时间到达.. 至 :5 .   5 设P(一12 345 67 表示第i   .     ,,,,, ,) 个品
果.  

我们分别用 口()&()&()表示在  。 ,: ,。      

种的小 B( 麦,   一12…) , , 表示第  块 试验田  .

第  个月初具有一个月龄的幼兔、 具有两个 

先 比较 P 和其它品种的优劣. 。 由于每块  月龄的大兔和具有三个月龄的成兔群体的大 
  试 验 田只能安排三个品种, 至少需要三块试  小. 上面的关系就可以写成如下的递推关系  验 田才能比较 P 和 P ,。  P , P 的优  。 : , , P ,  PP   劣. 以下是一种安排 :。 B 中是 P ,:P ; :   式 : 。P ,。B 中

是 P , P;。 。P,5B 中是 P ,6  如此安排,   。P , . P 同



(  )一  2 一 1 (   )+  3 一 1 ; (   ) 

时可比较 P 和 P 的优劣 ,  P 的优劣 ,  : 。 P和   P
和 P 的优劣.     接着比较 P 与 P , P,  :  P , P 的优劣.   因

&( 2 )一 & ( 一 1 ; 1   )  &( 3 )一 & ( 一 1 . 2   )  

如果用    表示第 ()  个月初整个兔子群 
(  )一 l )+ 2 )+ 3 ) ( ( ( .  

则有  为 P,  B 中已可比较优劣, 了减少试  体的规模,  P 在 : 为 验用田, P 不应在另一块试验田里同时出 P ,   
现, 为此, 可安排如下 :  B 中是 P , P ;     P , B 中
爵  毒 《  

年初,   : 1 由问题的条件可知  即当 时, 有&() 1&() ,。1 一0将它代入  。 一 ,。 一0&() . 1 1


是‘ I  ,5P    P P!  ‘l‘ 2“ ,7 毒 t

。 一0& 2  2 : 再来 比较 P 和其它品种的优劣. 。 最后得  上面的递推关系式不难算出&() , () 1&() 0再类似地逐次代入上式可以 ,。 一 . 2   到具体的试验方案如下( 8 : 图 )  
Bl   B2   B1  

得到如下结果 :  
表4  
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1  1 1  1                     0 1 2 3

圉圉圉     圉圉圉圉  
B4   B5   B6   B7  

d()   0 1 1 1 2 2 3 4 5 7 9 2 l   1                      1  d()   1 0 1 1 1 2 2 3 4 5 7 9 2   0                         d()   0 1 0 1 1 1 2 2 3 4 5 7 3   O                         d ) 1 1 2 2 3 4 5 7 9 1  6 2  8 (                     2 1  1 2 

由此可知, 一年后( 1 个月初) 第 3 兔群的   大小为2 对 , 8 其中幼兔 1 对, 2 大兔 9 , 对 成兔 

图8  

对. 注: 试验方案是不惟一的. 在上述试验方  7  


相关文章:
四川省成都七中2015届高三上学期第一次阶段性考数学(文...
四川省成都七中2015届高三上学期第一次阶段性考数学(文)试题含解析_数学_高中...( ) x B9 B12 A.0 B.1 C.2 D.0 或 2 【知识点】导数的应用;函数...
...第一中学等七校2015届高三第一次联考数学(文)试题含...
第一次联考数学(文)试题含解析_数学_高中教育_教育...“魅力咸阳中学生歌手大赛”比赛现场上七位评委为 某...f ( x0 ) 【知识点】利用导数研究函数的单调性;...
2016年青岛市第七届“二中杯”数学竞赛试卷
2016年青岛市第七届“二中杯”数学竞赛试卷_数学_高中教育_教育专区。密 封 ...(考试时间 120 分钟) 预备知识:直角坐标系 中两点 A( x1 , y1 ), B( x...
福建省福州市第二十七届高中数学竞赛试卷
福建省福州市第二十七届高中数学竞赛试卷_高三数学_数学_高中教育_教育专区。数学竞赛安徽高中数学 http://sx.ahjxzx.com 福建省福州市第二十七届高中数学竞赛试卷...
更多相关标签: