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高中数学等差数列的课件


多 媒 体 辅 助 教 学 课 件

目的

公式

例题

小结

等差数列与等比数列基本公式
? ? ? ? 等差数列 an-an-1=d(常数) an=a1+(n-1)d a?b a,A,b等差,则A= 2 ? ? ? ? 等比数列 an/an-1=q(常数) a

n=a1qn-1 a,G,b等比,则G2=ab
na1 (q=1)

n(a 1 ? an ) Sn= 2 n( n ? 1) d ? na1 ? 2

? Sn=

a 1 (1 ? q n ) 1?q a ? anq ? 1 , (q ? 1) 1? q

等差数列{an},{bn}的性质:
? ? ? ? ? m+n=k+l,则am+an=ak+al; {nk}等差,则 ?ank ? 等差; {kan+b}等差; {k1an+k2bn}等差; a1+a2+...+an,an+1+an+2+...+a2n,a2n+1+a2n+2+ ......+a3n,........等差. ? {an}等差?Sn=cn2+bn (c≠0) ? .Sn a2 n ?1 ?S1, (n ? 1)
' Sn

?

b2n ?1

an ? ? ?Sn ? Sn ?1, (n ? 2)

等比数列{an},{bn}的性质:
? ? ? ? ? m+n=k+l (m,n,k,l∈N),则aman=akal; {nk}等差,则 ?ank ? 等比; {kan}等比; {k1ank2bn}等比; a1+a2+...+an,an+1+an+2+...+a2n,a2n+1+ a2n+2+......+a3n,........等比.公比qn; ? {an}等比?Sn=c(qn-1) (c≠0) ? {an}等比且an>0,则{lgan}等差;

?S1, (n ? 1) an ? ? ?Sn ? Sn ?1, (n ? 2)

例1:四个数,前三个成等比数列,它们的和是19;后三个成 等差数列,和是12,求此四个数. 解法1: 如图:a1,a2,a3,a4 等比 (a2)2=a1a3 已知: a1+a2+a3=19 等差2a3=a2+a4 已知: a2+ a3+ a4 =12 a1+a2+a3=19 (a2)2=a1a3 a2+ a3+ a4 =12 2a3=a2+a4 a1=9 a2=6 或 a3=4 a4 =2 a1=25 a2=-10 a3=4 a4 =18

例1:四个数,前三个成等比数列,它们的和是19;后三个成 等差数列,和是12,求此四个数. 解法2: 如图:a1,a2,a3,a4 等差 a-d,a,a+d 已知和为12 =>a-d+a+a+d=12 等比a1, a-d,a
? a ? 4 或 ?a ? 4 ? ? d ? ? 2 ?d ? 14 => ?

a ?a ? d ?2 ? a ? d ? a ? 19 已知三数和为19=> a

a1

? a ? d ?2 ?

四数为: 9,6,4,2或 25,-10,4,18.

归纳
为了便于解方程,应该充分分析条件的 特征,尽量减少未知数的个数, 用最少的未知 数表达出数列的有关项的数量关系,促使复 杂的问题转化为较简单的问题,获得最佳的 解决方法。

练习1

练习1
1. 已知等比数列{an}中,an>0, 且a2a4+2a3a5+a4a6=25,则a3+a5= (A)5 (B)10 (C)15 (D) 20

(A)

2.数列{an}是等差数列,且S10=100, S100=10,则S110= (A) (A)88 (B)-90 (C)110 (D)-110 3.ABC的三内角成等差数列,三边成等比 数列,则三内角的公差为 (A ) (A)0 (B)150 (C) 300 (D) 450

1. 已知等比数列{an}中,an>0, 且a2a4+2a3a5+a4a6=25,则a3+a5=
提示:

a2a4=(a3)2 a4a6=(a5)2
原式=(a3+a5)2=25=> a3+a5=5 (an>0)

2.数列{an}是等差数列,且S10=100, S100=10,则S110= (A)88 (B)-90 (C)110 (D)-110
( S10 ? a1 ? a2 ? ...... ? a10 ?

( )

解: S10,S20-S10,S30-S20,........,S110-S100成等差数列,公差10d.
10(a1 ? a10 ) ? 5(2a1 ? 9d ) 2 10(a ? a ) 11 20 S20 ? S10 ? a11 ? a12 ? ...... ? a20 ? 2 ? 5(2a1 ? 19d ) ∴ (S20-S10)-S10=10d)

S110-S100=S10+(11-1)10d
S100 ? 10S10 ? 100a1 ? ? 50 ? 90d ? ?990

100 ? 99d 10 ? 9d ? 10[10a1 ? ] 2 2

=>10d=-11/5 ∴S110-S100=S10+(11-1)10d=100+10(-11/5)=78 S110=78+S100=88

3.ABC的三内角成等差数列,三边成等比 数列,则三内角的公差为( )
解: ∵ ∴ A+B+C=1800 2B=A+C,b2=ac B=600, A+C=1200

由正弦定理得:(sin600)2=sinAsinC
3 1 1 1 ? ? [cos( A ? C) ? cos( A ? C )] ? ? [? ? cos( A ? C )] 4 2 2 2

cos( A ? C) ? 1 ? A ? C
故 A=B=C, 公差 d=0.

例2:已知数列{an}为等差数列,公差d≠0,{an}的 部分项组成下列数列: ak1 , ak2 , ak3 ,......., akn 恰好为等比数列,其中k1≠0,k2=5,k3=17,求 k1+k2+.....+kn
分析: 根据数列{an}是等差数列,通项可写作: an=a1+(n-1)d,可表示出:a1,,a5=a1+4d,a17=a1+16d,

∴可解出kn,进而求出 k1 ? k2 ? k3 ? ...... ? kn

再根据a1,a5,a17成等比数列,又可得:(a5)2=a1a17, 于是可解出d=(1/2)a1.将解出的d代入a1,a5,a17, 即得出新数列的公比:q=3 再由 ak n ? a1q n ?1 ? a1 ? (kn ? 1)d

例2:已知数列{an}为等差数列,公差d≠0,{an} 的部分项组成下列数列:ak1 , ak2 , ak3 ,......., akn 恰好为等比数列,其中k1≠0,k2=5,k3=17,求 k1+k2+.....+kn
解: {an}为等比数列,设其首项为a1,则an=a1+(n-1)d

ak1 ? a1, ak 2 ? a5 ? a1 ? 4d 2 a 又a k ? a1 ? 16d , k ? ak ak3
3

2

1

故(a1+4d)2=a1(a1+16d) (a1 +8a1
?q ? ak2 ak1

)2

d+16d2=(a

1

)2

+16a1d

d?

a5 a1 ? 4d a1 ? 2a1 ? ? ? ?3 a1 a1 a1

1 a1 2

例2:已知数列{an}为等差数列,公差d≠0,{an}的 部分项组成下列数列: ak1 , ak2 , ak3 ,......., akn 恰好为等比数列,其中k1≠0,k2=5,k3=17,求 k1+k2+.....+kn


a k n ? a k1 q n ?1 a k n ? a1 ? (kn ? 1)d
a1qn?1 ? a1 ? (kn ? 1) * d

1 ? a13 ? a1 ? (kn ? 1) ? a1 2 kn ? 2 ? 3n ?1 ? 1
n ?1

又q=3,d=(1/2)a1

k1 ? k2 ? k3 ? ...... ? kn ? 3n ? n ? 1

归 纳
1.本题是一个综合型的等差、等比 数列问题,在解题过程中,分清那 一步是用等差数列条件,那一步是 用等比数列条件是正确解题的前提。 2。仔细观察,找到两个数列序号 间的联系,是使问题得解的关键。

练习2

练习2
1. 如果 a,b,c 成等差数列 , 而 a.c.b 三数成 等比数列,则a:b:c=________________ 1:1:1或4:1:(-2)

2.若数列1,2cosθ,22cos2θ,23cos3θ,…..,前 100项之和为0,则θ的值为 ________
2kπ±(2π/3)(k∈Z)

1.如果a,b,c成等差数列,而 a.c.b三数成等比 数列,则a:b:c=________________
解: a,b,c等差

2b= a+c b= (a+c)/2 c2=ab a.c.b等比 2 代 ①入②,得: c =a(a+c)/2

① ②

解得: a=c或 a= -2c 1:1:1或4:1:(-2)

? a ? ?2 c a ? c ? ? 或 ? ? 1 b ? c b?? c ? ? ? 2

2.若数列1,2cosθ,22cos2θ,23cos3θ,…..,前100 项之和为0,则θ的值为 ________
解: 经观察知,该数列是等比数列, 首项为1,公比为2cosθ, 它的前100项和:
1 1 ? ?2 cosθ?100 Sn ? ?0 1 ? 2 cosθ ?1 ? 2 cosθ ? 0 ? 100 ? ? 1 ? 2 cos θ ?0 ?
Cosθ= - 1/2

?

?

Θ=2kπ±(2π/3),k∈Z.

例3.已知数列{an}中,a1≠a2,若存在常数p, 使得对任意自然数n均有Sn=pnan成立. (1)求p (2)证明{an}成等差数列
分析:本题已知Sn,需求p及an,所以必 ?Sn ? Sn ?1, (n ? 2)求出 a1,an. 须根据公式
an ? ? ?S1, (n ? 1)

因为条件中有a1≠a2,又可推测知: 本题需同时求a1,,a2,才可利用a1≠a2排除增根.

故第一问的解答从计算a 1,a2开始:

例3.已知数列{an}中,a1≠a2,若存在常数p, 使得对任意自然数n均有Sn=pnan成立. (1)求p (2)证明{an}成等差数列
解:(1)令n=1,s1=pa1, 因为S1=a1,故a1=pa1,a1=0或p=1 若p=1,则由n=2时,S2=2a2,即a2+a2=2a2 所以a1=a2,这与a1≠a2矛盾 因为a1≠0,∴a2≠0,p=1/2 故p≠1 所以a1=0,则由n=2,得a2=2pa2

例3.已知数列{an}中,a1≠a2,若存在常数p, 使得对任意自然数n均有Sn=pnan成立. (1)求p (2)证明{an}成等差数列
(2)根据已求得的p=1/2 Sn=(1/2)nan,
由等差数列定义,满足an-an-1=d(常数) 的数列是等差数列 所以第一步求通项,第二步“作差”. 证明: n≥2时,an=Sn-Sn-1=(1/2)nan-(1/2)(n-1)an-1 解得: (2-n)an=(1-n)an-1
an n ?1 ? ? an ?1 n?2

例3.已知数列{an}中,a1≠a2,若存在常数p, 使得对任意自然数n均有Sn=pnan成立. (1)求p (2)证明{an}成等差数列
an an ?1 an ? 2 a4 a3 ? ? ? ...... ? an ?1 an ? 2 an ?3 a3 a2
? n ?1 n ? 2 n ? 3 3 2 ? ? ? ...... ? n?2 n?3 n?4 2 1

an ? n ? 1,即a n ? (n ? 1 )a 2 , (n ? N ) a2 an ?1 ? an ? na2 ? ?n ? 1?a2 ? a(常数) 2

由(1)可得a1=0 ∴a2-a1=a2 ??an ?成等差数列。

练习3

练习3
1. 数列 2, 5,2 2, 11,.....,则4 2 是该数列 11 的第________ 项. 2.数列{an}对任意自然数n都满 2 a 足 n?2 ? anan? 4 且a3=2,a7=4,则 16 a15=_______

教学目的
1。系统掌握等差、等比数列定义与性 质,灵活应用等差、等比数列的定义 与性质。 2。通过对问题的讨论,提高分析解决 问题的能力。

小 结
对等差等比综合问题 1。要正确分清题目究竟是等差还 是等比,不能混淆。 2。掌握设元的技巧; 3。要掌握分析数列问题的基本思 想方法:抓两头,凑中间。

习题分析:
6.三数成等比数列,若将第三数减去 32,则成等差数列,若再将等差数列 的第二个数减去4,又成等比数列,原 来三个是:____________________.

习题分析:
7.数列{an}各项均为正数,前n项和为 An, 数列{bn} 的前 n 项和为 Bn, 且满足 Bn=-n(n-1),bn=log2an,求An.

习题分析:
8.已知等差数列{an}的首项a1=1,前n项和为 145,求a2+a4+a8+…..+ a2 n

习题分析:

9.设Sn是等差数列{an}的前n项和,已 知 (1/3)S3 与 (1/4)S4 的 等 比 中 项 为 (1/5)S5, 而 (1/3)S3 与 (1/4)S5 的等差中 项为1,求等差数列{an}的通项.


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