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圆锥曲线的切点弦方程在高考中的应用


切点弦方程

圆锥曲线的切点弦方程在高考中的应用
作者:吴时清 薛青丽 联系方式:13450376718 时间:2013.6.17
切点弦方程是解析几何中的热点问题,也是高考命题热点之一.随着导数的介入,它的内涵更加丰富,本文从圆 锥曲线的切点弦定义入手,对圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)中常见的曲线的切点弦方程进行证明,再到一般 的圆锥曲线的切点弦方程的结论,以及切点弦方程在近年来高考中的应用.

一、切点弦方程的概念
平面内一点引曲线的两条切线,两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程.

二、圆的切点弦方程
证明:设 P( x0 , y0 ) 圆 C : x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 外一点,过点 P 作圆 C 的的两条切线,切点是 A、B ,则直线

AB 的方程是: x0 x ? y0 y ?

x0 ? x y ?y D? 0 E ? F ? 0. 2 2

证明:由平面几何知识易知,弦 AB 是圆 C 与以 P, C 为直径端点的圆的相交弦.

D E )( x ? x 0 ) ? ( y ? )( y ? y 0 ) ? 0 , 2 2 D E D E 2 2 即 x ? y ? ( ? x0 ) x ? ( ? y0 ) y ? x0 ? y0 ? 0 ……① 2 2 2 2
以 P, C 为直径端点的圆的方程是: ( x ? 又 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 …………………………………②
2 2

x0 ? x y ?y D? 0 E ? F ? 0. 2 2 三、椭圆、双曲线、抛物线的切点弦方程
②-①得: x0 x ? y0 y ? 设 P( x0 , y0 ) 是圆锥曲线不含焦点部分外的一点,过点 P 作曲线的两条切线,切点 M、N ,则切点弦 MN 所在 直线方程如下表:
方 程 曲线

标准方程

切点弦方程

椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a 2 b2 x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a 2 b2

x0 x y0 y ? 2 ?1 a2 b x0 x y0 y ? 2 ?1 a2 b

双曲线

抛物线

y 2 ? 2 px( p ? 0)

y0 y ? p( x0 ? x)

四、二次曲线的切点弦方程
设从点 P( x0 , y0 ) 引曲线 F ( x, y) ? 0 的两条切线,切点为 M ( x1 , y1 )、N ( x2 , y2 ) ,则过 M、N 的且线方程分别 是:

Ax1 x ? B

x1 y ? y1 x x ?x y ?y x y ? y2 x x ?x y ?y ? Cy1 y ? D 1 ?E 1 ? F ? 0 , Ax 2 x ? B 2 ? Cy2 y ? D 2 ?E 2 ?F ?0 2 2 2 2 2 2

因为点 P( x0 , y0 ) 在上述两条切线上,所以 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) 满足方程
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切点弦方程

x0 y ? y0 x x ?x y ?y ? Cy0 y ? D 0 ?E 0 ? F ? 0 ………………(**) 2 2 2 所以经过 M、N 的直线方程是(**) Ax 0 x ? B

五、利用切点弦方程解高考题
【例 1】2008 年山东理科数学 22 题 2 如图,设抛物线方程为 x =2py(p>0),M 为 直线 y=-2p 上任意一点,过 M 引抛物线的切线,切点分别为 A,B. (Ⅰ)求证:A,M,B 三点的横坐标成等差数列; (Ⅱ)已知当 M 点的坐标为(2,-2p)时, AB ? 4 10 ,求此时抛物线的方程; (Ⅲ) 是否存在点 M, 使得点 C 关于直线 AB 的对称点 D 在抛物线 x2 ? 2 py( p>0) 上, 其中, C 满足 OC ? OA ? OB 点 (O 为坐标原点).若存在,求出所有适合题意的点 M 的坐标;若不存在,请说明理由. (Ⅰ)证明:由题意设 A( x1 ,

??? ?

??? ??? ? ?

x12 x2 ), B( x2 , 2 ), x1<x2 , M ( x0 , ?2 p). 2p 2p

x x2 由 x ? 2 py 得 y ? ,则 y? ? , p 2p
2

所以 kMA ?

x1 x , kMB ? 2 . p p x1 ( x ? x0 ), p x2 ( x ? x0 ). p


因此直线 MA 的方程为 y ? 2 p ?

直线 MB 的方程为 y ? 2 p ?

x12 x 所以 ? 2 p ? 1 ( x1 ? x0 ), 2p p
2 x2 x ? 2 p ? 2 ( x2 ? x0 ). 2p p
2 x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? x0 , 2 2 x1 ? x2 ,即 2x0 ? x1 ? x2 . 2



由①、②得

因此

x0 ?

所以 A、M、B 三点的横坐标成等差数列. (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,当 x0=2 时, 将其代入①、②并整理得:

x12 ? 4x1 ? 4 p2 ? 0,
2 x2 ? 4x2 ? 4 p2 ? 0,

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切点弦方程

所以 x1、x2 是方程 x2 ? 4x ? 4 p2 ? 0 的两根, 因此 x1 ? x2 ? 4, x1 x2 ? ?4 p2 ,
2 x2 x12 ? 2 p 2 p x1 ? x2 x0 ? ? ? , x2 ? x1 2p p

又 k AB

所以 k AB ?

2 . p

由弦长公式得

AB ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? 1 ?
又 AB ? 4 10 , 所以 p=1 或 p=2,

4 16 ? 16 p 2 . p2

因此所求抛物线方程为 x ? 2 y 或 x ? 4 y.
2 2

(Ⅲ)解:设 D(x3,y3),由题意得 C(x1+ x2, y1+ y2), 则 CD 的中点坐标为 Q (

x1 ? x2 ? x3 y1 ? y2 ? y3 , ), 2 2

设直线 AB 的方程为 y ? y1 ?

x0 ( x ? x1 ), p
x1 ? x2 y1 ? y2 , ) 也在直线 AB 上, 2 2

由点 Q 在直线 AB 上,并注意到点 ( 代入得 y3 ?

x0 x3 . p

2 若 D(x3,y3)在抛物线上,则 x3 ? 2 py3 ? 2x0 x3 ,

因此 x3=0 或 x3=2x0. 即 D(0,0)或 D(2 x0 ,
2 2 x0 ). p

(1)当 x0=0 时,则 x1 ? x2 ? 2x0 ? 0 ,此时,点 M(0,-2p)适合题意.
2 x12 ? x2 2 x 2 ? x2 2p ? ? 1 , 2 x0 4 px0

(2)当 x0 ? 0 ,对于 D(0,0),此时 C (2 x0 ,

2 x12 ? x2 ), kCD 2p

又 k AB ?

x0 , AB⊥CD, p
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切点弦方程

所以 k AB ? CD ? k

2 2 x0 x12 ? x2 x12 ? x2 ? ? ? ?1, p 4 px0 4 p2

2 2 即 x1 ? x2 ? ?4 p2 , 矛盾.
2 2 2 x0 x12 ? x2 对于 D(2 x0 , ), 因为 C (2 x0 , ), 此时直线 CD 平行于 y 轴, p 2p

又 k AB ? 所以

x0 ? 0, p
直线 AB 与直线 CD 不垂直,与题设矛盾,

所以 x0 ? 0 时,不存在符合题意的 M 点. 综上所述,仅存在一点 M(0,-2p)适合题意. 【例 2】2008 年江西高考数学理 设点 P( x0 , y0 ) 在直线 x ? m( y ? ?m,0 ? m ? 1) 上,过点 P 作双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 的两条切线 PA, PB ,切点为 A, B , 定点 M (

1 ,0 ) . m

⑴过点 A 作直线 x ? y ? 0 的垂线,垂足为 N ,试求 ?AMN 的重心 G 所在曲线的方程; ⑵求证: A, M , B 三点共线. 解: ⑴设 N ( xN , yN ), A( xA , y A ) ,∵ AN 垂直于直线 y ? x ,则 ∴ xN ?

yN ? y A ? ?1 xN ? x A

xA ? y A xA ? y A , ) 2 2 1 x ? yA ? ? xA ? A ? 9 3 3 1 xA y A ? m 2 ? ? ? ?x ? ? x A ? 4 x ? 4 y ? 4m ? ? 3 3m 2 6 设 ?AMN 的重心为 G( x, y) ,则 ? ?? x ? yA ?y ? ? 3 x ? 9 y ? 1 ? yA ? A ? A x y ?y ? 4 4 4m 2 ? ? A? A ? 3 6 2 ? 1 2 9( x ? ) 2 2 2 3m ? 9 y ? 1 , 代入双曲线方程 x ? y ? 1 并整理得: 2 2 1 2 9( x ? ) 2 3m ? 9 y ? 1 ∴ 重心 G 的轨迹方程为 2 2
N 点坐标为 (
2 2 ' ⑵设点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,方程 x ? y ? 1 对 y 求导得: 2 x ? 2 yy ? 0 ∴ y ?
'

xA ? y A , 2

x y

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切点弦方程

∴ 切线 PA 的斜率为

x1 x 2 2 ,方程为 y ? y1 ? 1 ( x ? x1 ) ,又 x1 ? y1 ? 1 y1 y1

∴ 切线 PA 的方程为 y1 y ? x1 x ? 1

同理: 切线 PB 的方程为 y2 y ? x2 x ? 1 ,又 P(m, y0 ) 在 PA , PB 上, ∴ y1 y0 ? x1m ? 1, y2 y0 ? x2 m ? 1 即点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 都在直线 y0 y ? mx ? 1上,又 M ( ∴

1 ,0) 也在直线 y0 y ? mx ? 1上 m

A, M , B 三点共线.

【例 2】2013 年广东高考理 20 题 已知抛物线 C 的顶点为原点, 其焦点 F ? 0, c ?? c ? 0? 到直线 l :x ? y ? 2 ? 0 的距离为 的点,过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA, PB ,其中 A, B 为切点. (Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)当点 P ? x0 , y0 ? 为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程; (Ⅲ)当点 P 在直线 l 上移动时,求 AF ? BF 的最小值. 解:(Ⅰ)依题意,设抛物线 C 的方程为 x ? 4cy ,由
2

3 2 . P 为直线 l 上 设 2

0?c?2 2

?

3 2 结合 c ? 0 ,解得 c ? 1 . 2

所以抛物线 C 的方程为 x2 ? 4 y . (Ⅱ)抛物线 C 的方程为 x2 ? 4 y ,即 y ?

1 2 1 x ,求导得 y? ? x 4 2

1 1 x12 x2 2 , y2 ? 设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? (其中 y1 ? ) ,则切线 PA, PB 的斜率分别为 x1 , x2 , 2 2 4 4
所以切线 PA 的方程为 y ? y1 ?

x1 x x2 x ? x1 ? ,即 y ? 1 x ? 1 ? y1 ,即 x1 x ? 2 y ? 2 y1 ? 0 ? 2 2 2

同理可得切线 PB 的方程为 x2 x ? 2 y ? 2 y2 ? 0 因为切线 PA, PB 均过点 P ? x0 , y0 ? ,所以 x1x0 ? 2 y0 ? 2 y1 ? 0 , x2 x0 ? 2 y0 ? 2 y2 ? 0 所以 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? 为方程 x0 x ? 2 y0 ? 2 y ? 0 的两组解. 所以直线 AB 的方程为 x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? 0 . (Ⅲ)由抛物线定义可知 AF ? y1 ? 1, BF ? y2 ? 1 , 所以 AF ? BF ? ? y1 ?1?? y2 ?1? ? y1 y2 ? ? y1 ? y2 ? ? 1 联立方程 ?

? x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? 0 ?x ? 4 y
2

2 2 2 ,消去 x 整理得 y ? 2 y0 ? x0 y ? y0 ? 0

?

?

由一元二次方程根与系数的关系可得 y1 ? y2 ? x02 ? 2 y0 , y1 y2 ? y02

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切点弦方程

所以 AF ? BF ? y1 y2 ? ? y1 ? y2 ? ? 1 ? y0 ? x0 ? 2 y0 ? 1
2 2

又点 P ? x0 , y0 ? 在直线 l 上,所以 x0 ? y0 ? 2 ,

1? 9 ? 所以 y0 ? x0 ? 2 y0 ? 1 ? 2 y0 ? 2 y0 ? 5 ? 2 ? y0 ? ? ? 2? 2 ?
2 2 2

2

所以当 y0 ? ?

1 9 时, AF ? BF 取得最小值,且最小值为 . 2 2

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