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第4-5课时:数系的扩充与复数的引入


数系的扩充

复数的概念

教学目标: 1. 知识与技能:了解引进复数的必要性;理解并掌握 虚数的单位i 2. 过程与方法:理解并掌握虚数单位与实数进行四则 运算的规律 3. 情感、态度与价值观:理解并掌握复数的有关概念 (复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部) 理 解并掌握复数相等的有关概念 教学重点:复数的概念,虚数单位i,复数的分类(实数、 虚数、纯虚数)和复数相等等概念是本节课的教学重点. 复数在现代科学技术中以及在数学学科中的地位和作 用 教学难点:虚数单位i的引进及复数的概念是本节课的 教学难点.复数的概念是在引入虚数单位i并同时规定了 它的两条性质之后,自然地得出的.在规定i的第二条性 质时,原有的加、乘运算律仍然成立

复习回顾

自然数

数 系 的 扩 充

用图形表示包含关系: 整数 有理数 Q

R
无理数 实数

Z

N

问题1:方程

x ?1 ? 0
2

的实根是什么?

问题2:方程

x 2 ? 1 ? 0 的实根是什么?



x ?1 ? 0
2

思考?

x

2

? ?1

我们能否将实数集进行扩充,使得在新的

数集中,该问题能得到圆满解决呢?

数系的扩充
问题1:方程 问题2:方程

复数的概念
的实根是什么?

x ?1 ? 0
2

x 2 ? 1 ? 0 的实根是什么?

. 我们已经知道:
对于一元二次方程 x 2

? 1 ? 0 没有实数根

x

2

? ?1

数的概念的扩展

探究新课
并且规定: (1)i2??1; (2)实数可以与 i 进行四则运算,在进行四则运 算时,原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结 合律和分配律)仍然成立。

现在我们就引入这样一个数 i ,把 i 叫做虚数单位,

形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.
全体复数所形成的集合叫做复数集, 一般用字母C表示 .

复数的代数形式: 通常用字母 z 表示,即

z ? a ? bi (a ? R, b ? R ) 其中 i 称为虚数单位。 实部 虚部
讨 论?

复数集C和实数集R之间有什么关系?

?实数b ? 0 ? 复数a+bi ? ?纯虚数a ? 0,b ? 0 ?虚数b ? 0?非纯虚数a ? 0,b ? 0 ? ?

R? C ?

【例1】.说明下列数中,那些是实数,哪些 是虚数,哪些是纯虚数,并指出复数的实 部与虚部。

(1)3 ? 4i
(4) ? 0.5i

3 (2) ? i 2

(3) ? 7

(5)3i

2

(6)1 ? 2i

2

练一练 实数m取什么值时,复数

z ? m ? 1 ? (m ? 1)i
m ? 1时,复数z 是实数.

是(1)实数? (2)虚数? (3)纯虚数?
解: (1)当 m ? 1 ? 0,即 (2)当 m ? 1 ? 0 ,即 (3)当 ?m ? 1 ? 0

m ? 1 时,复数z 是虚数.
即 纯虚数.

? ?m ? 1 ? 0

m ? ?1时,复数z 是

如果两个复数的实部和虚部分别相等,那 么我们就说这两个复数相等.
若a, b, c, d ? R,

?a ? c a ? bi ? c ? di ? ? ?b ? d

【例2]设

x, y ? R, 并且 ( x ? 2) ? 2 xi ? ?3 y ? ( y ?1)i

求 x, y的值 解:由复数相等的定义,得方程组

? x ? 2 ? ?3 y ? ??2 x ? y ? 1

?x ? 1 解得 ? ? y ? ?1

数系的扩充

复数的概念

动手实践.

已知 (2 x ? 1) ? i

? y ? (3 ? y )i ,其中x, y ? R

x与y.

解:由复数相等的定义,得方程组

?2 x ? 1 ? y ? ?1 ? ?( 3 ? y )

5 解得 x ? , y ? 4 2

数系的扩充

复数的概念

如何用几何形式表示复数? 有序实数对 (a , b) 复数 z = a + bi 一一对应 (数) y 直角坐标系中的点 Z (a , b) (形) 建立了平面直角坐标 系来表示复数的平面叫做 复数平面(简称复平面) x 轴------实轴 a

Z (a,b)

b

o

x

y 轴------虚轴

数系的扩充

复数的概念

复平面的定义:
复数 z = a + bi (a、b∈ R)可用点 Z (a ,b)表示, 这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平 面,也叫高斯平面,x 轴叫做实轴,y 轴叫做虚轴。 在复平面上如何表示实数、纯虚数? 由于点 Z (a,b) 与平面向量 OZ是一一对应的, 所以 z = a + bi 与复平面向量 OZ =(a,b) 也是一一 对应的。

数系的扩充

复数的概念

能否把绝对值概念推广到复数范围呢?

a
O A

x

z = a + bi Z (a,b)

y

| a | = | OA |
?a ( a ? 0 ) ? ?? ?? a ( a ? 0 ) ?

x

| z | = |OZ| ? a2 ? b2

数系的扩充

复数的概念

定义
复数的模(或绝对值): 点 Z 到原点的距离 OZ 叫作复数 z 的模或绝对值, 记作 z ? 。 a2 ? b2

数系的扩充

复数的概念

复数相等的 问题

转化

求方程组解 的问题

数系的扩充

复数的概念

2 2 z ? a ? b 分析:求模即将a、b带入模长公式:

(1)
( 3)

? 2 ? 3i ? (?2) ? 3 ? 13
2 2

( 2)

1 3 ? i ?1 2 2

3 ? 4i ? 5

( 4)

? 1 ? 3i ? 10

问题:复数能否比较大小?
两个复数不能比较大小,但它们的模可以 比较大小。


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