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2013-2014学年度第一学期期末考试高二数学


宁波万里国际学校中学

2013-2014 学年度第一学期期末考试 高二年级 数学试题卷
答卷时间:120 分钟 满分:150 分(含卷面 3 分)命题人:张振继 校对人:舒毓维

导试简表导试简表
本试卷考查要点 基础知识、基本技能 校本纲要目标 (1)解题的规范 (2)基本知识的掌握 应用所学的数学知识、 思想方法解

决相关的数学问题 相关题号 1、2、3、4、5、6、7、8、9、11、 12、13、14、15、16 10、17、18、19、20、21、 22

数学能力

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.函数 f ( x) ? ?2 ? log2 x 的零点是( (A)4 (B)2 ) (C)1 ) (D)0

2.命题: “对任意 x ? R , | x |? 0 ”的否定是( (A)不存在 x ? R , | x |? 0 (C)存在 x ? R , | x |? 0

(B)存在 x ? R , | x |? 0 (D)对任意 x ? R , | x |? 0

3.在等差数列 {an } 中,公差 d ? 2 ,且 a1 , a 3 , a4 成等比数列, 则 a2 ? ( (A) ? 4 ) (B) ? 6 (C) ? 8 (D) ? 10 )

4.如图所示的几何体,该几何体的俯视图是(

(A)

(B)

(C)

(D)

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5.设 a, b ? R ,则

a ? 1 是 a ? b 的( b



(A)充分不必要条件 (C)充要条件

(B)必要不充分条件 (D)非充分且非必要条件 ) (D)相交但直线不过圆心 )

6.直线 x ? y ? 2 与圆 x2 ? y 2 ? 2 的位置关系是( (A)相切 (B)直线过圆心 (C)相离

7. 在等差数列 {an } 中, 首项 a1 ? 0 , 公差 d ? 0 , 若 ak ? a1 ? a2 ? ? ? a7 , 则 k ?( (A)22 (B)23 (C)24 (D)25 ) (D) 2 6

a b 8.设 a, b ? R ,且 a ? b ? 3 ,则 2 ? 2 的最小值为(

(A) 6

(B) 4 2

(C) 2 2

9.已知圆 x 2 ? y 2 ? x ? 2 y ? k ? 0 和定点 P(1, ? 1) ,若过点 P 作圆的切线有两条,则实数

k 的取值范围是(
(A) (?1, ? ?)

) (B) (0,

5 ) 4

(C) ( ?? ,

5 ) 4

(D) ( ?1,

5 ) 4

x2 y2 10.已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,过 F1 的直线分别交双 a b
曲线的两条渐近线于点 P, Q .若点 P 是线段 F1Q 的中点,且 QF 1 ? QF2 ,则此双曲线 的离心率等于( (A) 3 ) (B)2 (C) 5 (D) 6

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11.在 ?ABC 中, A, B, C 成等差数列,则 cos B ? .

? x ? 0, ? 12.已知 x, y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 4, 则 z ? ? x ? y 的最小值为 ?3 x ? y ? 4 . ?
13. 已知向量 a, b 不共线, 且 | a |? 3, | b |? 4 , 若 (a ? k b) ? (a ? k b) , 则实数 k ?



. .

3x ? y ? 6 ? 0 被圆 C :( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 5 所截得的弦 AB 的长为 14. 直线 l :
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15.圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 0 在点 P(1,

3) 处的切线方程为



16.抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 与直线 ax ? y ? 4 ? 0 相交于 A, B 两点,其中 A(1, 2) ,设抛 物线的焦点为 F ,则 | FA | ? | FB |? . .

17. 已知定点 A, B , 且 | AB |? 4 , 动点 P 满足 | PA | ? | PB |? 3 , 则 | PA | 的最小值是 三、解答题: (本大题共 5 小题,共 69 分) 18. (本小题满分 13 分) 已知命题 p :?m ? [?1, 1] , 不等式 a 2 ? 5a ? 3 ?

m2 ? 8 恒成立;

命题 q : ?x ? R, x 2 ? ax ? 2 ? 0 .若 p 是真命题, ? q 也是真命题,求 a 的取值范围.

19. (本小题满分 14 分)在 ?ABC 中,已知 C ? 2 A, a ? c ? 10, cos A ? (Ⅰ)求

3 . 4

c 的值; (Ⅱ)求 b 的值. a

20. (本小题满分 14 分)如下图(图 1)等腰梯形 PBCD , A 为 PD 上一点,且 AB ? PD ,

AB ? BC , AD ? 2 BC ,沿着 AB 折叠,使得二面角 P ? AB ? D 为 60? 的二面角,连
结 PC, PD ,在 AD 上取一点 E 使得 3 AE ? ED ,连结 PE 得到如下图(图 2)的一个 几何体. (Ⅰ)求证:平面 PAB ? 平面 PCD ; (Ⅱ) 求 PE 与平面 PBC 所成角的正弦值.

P A E
图2

P

A

D
图1

D

B

C

B

C

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21. (本小题满分 14 分)已知大西北某荒漠上 A, B 点相距 2 千米,现准备在荒漠上围垦出 一片以 AB 为一条对角线的平行四边形区域建农艺园. 按照规划,围墙总长为 8 千米. (Ⅰ)试求平行四边形的另两个顶点的轨迹方程; (Ⅱ)该荒漠上有一条直线型小溪 l 刚好通过点 A ,且 l 与 AB 成 45 角,现要对整条小 溪进行改造,因考虑到小溪可能被农艺园围进的部分今后重新改造,因此对该部分暂不 改造. 问暂不改造的部分有多长?
?

22. (本小题满分 14 分) 设抛物线 M 的方程为 y 2 ? 2 px( p ? 0) , 其焦点为点 F , 点 P(a, b) ( a ? 0) 为直线 y ? x 与抛物线 M 的一个交点,且 | PF |? 5 . (Ⅰ)求抛物线的方程; (Ⅱ)过焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 A, B 两点,试问在抛物线 M 的准线上是否存在一点

Q ,使得 ?AQB 为等边三角形,若存在,请求出 Q 点的坐标,若不存在,请说明理由.

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◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎ ◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎ ………………………… 密 ……………………………………… 封 …………………………………… 线 ………………………………………………

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座位号

2013-2014 学年度第一学期期末考试 高二年级 数学答题卷
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题 号 答 案 二、填空题: (本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11._____________________;12.__________________;13.____________________ 14.____________;15._______________;16.____________;17.________________ 三、解答题: (本大题共 5 小题,共 69 分) 18.解: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 得 分

班级

姓名

学号

. 座位号

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19.解:

20. 解:

P

P

A

D
A E
图1 图2

D

B

C

B

C

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21. 解:

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22. 解:

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2013-2014 学年度第一学期期末考试 高二年级数学试题参考答案
一、选择题 二、填空题 ACBCD AABDB

1 ; 0; 2
三、解答题

?

3 ; 4

10 ;

x ? 3 y ? 2 ? 0 ; 7;

7 . 2

18.解:因为 m ? [?1, 1] ,所以 2 2 ?

m2 ? 8 ? 3.

?m ? [?1, 1] ,不等式 a 2 ? 5a ? 3 ? m2 ? 8 恒成立,所以 a 2 ? 5a ? 3 ? 3 ,
解得 a ? 6 或 a ? ?1 ,即 p 是真命题时,有 a ? 6 或 a ? ?1. --------6 分 若 x ? ax ? 2 ? 0 有解,则 ? ? a ? 8 ? 0 ,解得 a ? 2 2 或 a ? ?2 2.
2 2

因为 ? q 是真命题,所以 q 是假命题时,得 ? 2 2 ? a ? 2 2. --------12 分 故当 p 是真命题, ? q 是真命题,实数 a 的取值范围是 ? 2 2 ? a ? ?1. --------13 分 19.解: (Ⅰ)由 C ? 2 A 及正弦定理,

c sin C sin 2 A 3 3 ? ? ? 2 cos A ? 2 ? ? . --------6 分 a sin A sin A 4 2 a ? c ? 10, ? ? a ? 4, ? (Ⅱ)由 ? c 3 解得 ? ? . ? c ? 6. ? ? a 2 3 2 2 2 2 由余弦定理,得 4 ? b ? 6 ? 2 ? b ? 6 ? ,即 b ? 9b ? 20 ? 0 ,解得 b ? 4 或 5. 4

? ? 检验:若 b ? 4 ,则 A ? B , A ? B ? C ? 4 A ? 180 ,所以 A ? 45 .

此时 cos A ?

3 2 ,这与已知 cos A ? 矛盾, 所以 b ? 4 不合题意,舍去. 4 2

故 b ? 5. --------14 分 20.解: (Ⅰ)证明:? AB ? PA, AB ? AD ,又二面角 P-AB-D 为 60 .
?

? ?PAD ? 60? ,又 AD ? 2 PA ,? AP ? PD .

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由平面图形易知: AB ? 平面 APD ,又 PD ? 平面APD ,

? AB ? PD ,? AP, AB ? 平面ABP,且 AP ? AB ? A .

? PD ? 平面PAB,又 PD ? 平面PCD ,

? 平面 PAB ? 平面 PCD. --------7 分

(Ⅱ)设 E 到平面 PBC 的距离为 h ,? AE//平面 PBC, 所以 A 到平面 PBC 的距离亦为 h ,连结 AC ,则

VP ? ABC ? VA? PBC ,设 PA ? 2 ,
1 1 1 1 ? ? ? 2? 2? 3 = ? ? 2? 7 ? h , 3 2 3 2

P A E B C
图2

2 21 ,设 PE 与平面 PBC 所成角为 ? , ?h ? 7

D

2 3 h 2 7 . --------14 分 ? 7 ? ? sin ? ? PE 7 3

21.解: (Ⅰ)设平行四边形的另两个顶点分别为 P, Q ,由题意,得 2(| PA | ? | PB |) ? 8 , 且 | AB |? 2 ,则 | PA | ? | PB |? 4 ?| AB | ,故点 P, Q 的轨迹为以 A, B 为焦点的椭圆除去与 直线 AB 的两交点. 以线段 AB 中点 O 为原点,直线 AB 为 x 轴建立坐标系,设 P( x, y) ,椭

圆方程为

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) ,则 2a ? 4, 2c ? 2 ,所以 a ? 2, c ? 1 ,从而 b 2 ? 3. 2 a b

故所求的轨迹方程为

x2 y2 ? ? 1( y ? 0).-------7 分 4 3

( Ⅱ ) 点 A(?1, 0) , 则 直 线 l 的 方 程 为 y ? x ? 1. 设 直 线 l 与 椭 圆 相 交 于 M ( x1 , y1 ) ,

? y ? x ? 1, ? 2 消去 y ,整理得 7 x ? 8x ? 8 ? 0. N ( x2 , y 2 ) ,由 ? x 2 y 2 ? ? 1 . ? 3 ?4

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则 x1 ? x 2 ? ? 所以 | MN |?

8 8 , x1 x 2 ? ? . 7 7
( x 1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 2[( x 1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ] ?

24 . 7

答:暂不改造的部分有

24 千米. -------14 分 7

22.解: (Ⅰ) ?

?y ? x
2

?x ? 2 p ?x ? 0 (舍去) ?? 或? ? y ? 2 px ? y ? 2 p ? x ? 0
p ? 5 ,? p ? 2 ,所以抛物线的方程为 y 2 ? 4 x. -------5 分 2

? P(2 p,2 p) ,? 2 p ?

(Ⅱ)若直线 l 的斜率不存在,则 Q 只可能为 (?1,0) ,此时 ?QAB 不是等边三角形,舍去. 若直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ( k ? 0 ) , 设直线 l 与抛物线的交点坐标为 A( x1 , y1 ) 、B( x2 , y2 ).

? y ? k ( x ? 1) 4 ? k 2 x 2 ? (2k 2 ? 4) x ? k 2 ? 0 , x1 ? x2 ? 2 ? 2 . ? 2 k ? y ? 4x
设存在 Q(?1, m) , AB 的中点为 M (1 ?

2 2 , ) ,设 Q 到直线 l 的距离为 d , k2 k

?2 ? k ?m 1 ? ? ??① ?2 k 由题意可知: ? 2 ? 2 ?k ? ?d ? 3 | AB |? | 2k ? m | ? 3 | 4 ? 4 | ??② ? 2 2 k2 k2 ?1 ?
由①可得 m ?

2 ? 4 / k ------③ k3

2 4 2 3 16(k 2 ? 1)2 2 ③代入②,得 (2k ? 3 ? ) ? (k ? 1) ? ? , k k 4 k4
化简,得

1 4(k 2 ? 1) 4 (k 2 ? 1)3 ? k2 ? . ? 12 6 4 2 k k

? m ? ?8 2 . ?Q(?1, ? 8 2 ) 为所求点. -------14 分

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