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高二下学期期中考试文科数学试题及答案


2013-2014 学年下学期期中考试高二文科数学试题 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分, 1.圆 ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 1 的圆心的极坐标是 A.(1, π ) 2 B.(1, ( )

? ? ? ) C.( 2 , ) D.(2, ) 4 4 2 2.已知函数 f ( x) ? ax3 ? 3x2 ? 2 ,若 f ' (?1) ? 4 ,则 a 的值等于 (
A.

16.在 ?ABC 中,B,C 坐标分别为(-3,0) , (3,0) ,且三角形周长为 16,则点 A 的轨迹方程是_______________________________. 三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本题 10 分)在极坐标系中,已知圆 ? ? 2cos ? 与直线 3? cos ? ? 4? sin ? ? a ? 0 相切,求 实数 a 的值. ) 18. (本题 12 分)已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx ? c(a ? 0) 为奇函数,其图象在点 (1, f (1)) 处的切线 与直线 x ? 6 y ? 7 ? 0 垂直,求 a,b,c 的值. ) 19.(本小题 12 分)已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? 3x 在 x ? ?1 处取得极值. (1) 讨论 f (1) 和 f (?1) 是函数 f ( x) 的极大值还是极小值; (2) 过点 A(2, 2) 作曲线 y ? f ( x) 的切线,求此切线方程.

19 16 13 10 B. C. D. 3 3 3 3 3. 函数 f ( x) ? ln x ? x 在区间 (0, e] 上的最大值为( ) A. ? e B. 1 ? e C.-1 D.0 4.在同一坐标系中,将曲线 y ? 2sin 3x 变为曲线 y ? sin x 的伸缩变换是 (
? x=3 x' ? A. ? 1 ? y= y' ? 2 ? x' =3 x ? B. ? 1 ? y' = y ? 2

? ? x=3 x' C. ? ? ? y=2 y'

? ? x' =3 x D. ? ? ? y' =2 y

5.函数 f ( x) ? e x cos x 的图像在点 (0, f (0)) 处的切线的倾斜角为 π π A.0 B. C.1 D. 4 2

(

)

2 ? ? x ? ?2 ? cos ? 6.将参数方程 ? ( ? 为参数)化为普通方程为 ( ) 2 ? ? y ? cos ? (0 ? y ? 1) A. y ? x ? 2 B. y ? x ? 2 (?2 ? x ? ?1) C. y ? x ? 2 D. y ? x ? 2 3 2 7.函数 f ( x) ? x ? ax ? 3x ? 9 ,已知 f ( x) 在 x ? ?3 时取得极值,则 a =(

20. (本题 12 分)在直角坐标平面内,以坐标原点 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标 系.已知点 M 的极坐标为 (4 2 , ) )

?

? ? x ? 1 ? 2 cos? ) ,曲线 C 的参数方程为 ? , ( ? 为参数) . 4 ? y ? 2 sin ? ?

A.2
3

B.3

C.4

D.5

9.曲线 f ( x) ? x ? x ? 2 的一条切线平行于直线 y ? 4 x ? 1 ,则切点 P0 的坐标为( A.(0,-1)或(1,0) B.(1,0)或(-1,-4) C.(-1,-4)或(0,-2) D.(1,0)或(2,8) 11.圆 ?

(1) 求直线 OM 的直角坐标方程; (2) 求点 M 到曲线 C 上的点的距离的最小值. 21. (本题 12 分)已知函数 f ( x) ? x ln x . (1) 求 f ( x ) 的最小值; (2) 若对所有 x ? 1 都有 f ( x) ? ax ? 1 ,求实数 a 的取值范围. 22. (本题 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ? 线 l 与曲线 C : ( y ? 2) ? x ? 1 交于 A, B 两点.
2 2

?x ? 2 cos? , (?为参数)与直线3x ? 4 y ? 9 ? 0 的位置关系是( ? y ? 2 sin ?
B.相离 C.直线过圆心 D.相切



A.相交但直线不过圆心

? x ? ?2 ? t ? y ? 2 ? 3t

( t 为参数) ,直

二、填空题(本大题共 4 小题, 每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上。 ) 13. 函数

f ( x) ? x ? 6 x ? 9 x ? 3 的单调减区间为
3 2

.

14.在极坐标系中,直线 l 的方程为 3? cos? ? ? sin ? ? 1 ,则点 ? 2, ? 到直线 l 的距离为 . 15.已知圆 C 的参数方程为 ?

? ?

π? 6?

(1) 求 | AB | 的长; (2) 以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点 P 的极坐标为 ( 2 2 , 线段 AB 中点 M 的距离.

3? ) ;求点 P 到 4

? x ? cos ?, ( ? 为参数)以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极 ? y ? 1 ? sin ? 坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ? cos ? ? 1,则直线 l 与圆 C 的交点的直角坐标为 .
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2013-2014 学年下学期期中考试 高二文科数学试题参考答案及评分标准 一、 选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 题号 答案 C D C B B C D A B A

若 故 所以 11 A 12 D
'

,则 在 上是减函数; 是极大值,
2

是极小值。 ┅┅┅┅┅┅┅┅ (6 分) ,点 A(2,2) 在曲线上。 (9 分)

(2)曲线方程为

由 f ( x) ? 3x ? 3 知,切线斜率 k ? f ' (2) ? 9 切线方程为: y ? 2 ? 9( x ? 2) ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 所以切线方程为 9 x ? y ? 16 ? 0 ┅┅┅┅┅12 分

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 题 号 答 案 三.解答题 17.解:解:将极坐标方程化为直角坐标方程,得圆的方程为 x2 ? y 2 ? 2x ,即 ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 , 直线的方程为 3x ? 4 y ? a ? 0 . …… 3 分 由题设知,圆心(1,0)到直线的距离为 1,即有 …… 4 分 13 14 15 16

20.

(1,3)

3 2

(1,1)

x2 y2 ? ? 1( y ? 0) 25 16

? 1, 32 ? 42 解得 a ? ?8 ,或 a ? 2 . 故 a 的值为 ?8 或 2.
18.解:由 x-6x-7=0 得,k=

| 3 ?1 ? 4 ? 0 ? a |

…… 6 分 …… 9 分 …… 10 分 21.解: (1) f ( x) 的定义域为(0,+?), 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ?

f ( x) 的导数 f ?( x) ? 1 ? ln x . ……2 分

1 6

…… 2 分 …… 3 分 …… 5 分 …… 8 分 …… 9 分

∵f(x)=ax3+bx+c, ∴f/(x)=3ax2+b ∴f/(1)=3a+b=-6 / f (1)=a+b+c=-1, ∵f(x)为奇函数,∴f(0)=0,∴c=0 ∴a=2.5, b=1.5, C=0.…… 12 分 19;解

令 若 故 在

,得 ,则 上是增函数;
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1 ; e 1 令 f ?( x) ? 0 ,解得 0 ? x ? . ………………4 分 e ? 1? ?1 ? 从而 f ( x) 在 ? 0, ? 单调递减,在 ? ,+? ? 单调递增. ? e? ?e ? 1 1 所以,当 x ? 时, f ( x ) 取得最小值 ? . ……………………………6 分 e e ? ?) 上恒成立, (2)依题意,得 f ( x) ? ax ? 1 在 [1, 1 , ? ?) 恒成立. 即不等式 a ? ln x ? 对于 x ? [1 ………8 分 x 1 1 1 1? 1? 令 g ( x) ? ln x ? , 则 g ?( x) ? ? 2 ? ?1 ? ? . x x x x? x? 1? 1? ? ?) 上的增函数,………10 分 当 x ? 1 时,因为 g ?( x) ? ?1 ? ? ? 0 , 故 g ( x) 是 (1, x? x? 1] . ……………12 分 所以 g ( x) 的最小值是 g (1) ? 1 ,所以 a 的取值范围是 (??,

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1 ? x ? ?2 ? t ? 2 ? 22.解: (1)直线 l 的参数方程化为标准型 ? ( t 为参数) …… 3 分 ?y ? 2 ? 3 t ? 2 ? 2 代入曲线 C 方程得 t ? 4t ? 10 ? 0 …… 5 分 设 A, B 对应的参数分别为 t1 , t 2 ,则 t1 ? t 2 ? ?4 , t1t 2 ? ?10 ,
所以 | AB |?| t1 ? t 2 |? 2 14 (2)由极坐标与直角坐标互化公式得 P 直角坐标 (?2,2) , 点 P 在直线上,中点 M 对应参数为 t 3 ? … …… 8 分 ……9 分 …… 11 分

t1 ? t 2 ? ?2 , 2

? | PM |?| t3 |? 2

…… 12 分

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