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高二冬季学习竞赛重点班试题


高二重点班数学冬学竞赛试题
一. 选择题(本大题共有 12 道小题,每小题 5 分,共 60 分) ) 1、下列命题中正确的是(
2 2

①“若 x ? y ? 0, 则x, y不全为零 ”的否命题;②“正三角形都相似”的逆命题; ③“ 若m ? 0, 则x ? x ? m ? 0有实根 ”的逆否命题;
2

>④“若 x ? 2是有理数,则x是无理数 ”的逆否命题 A、①②③④ B、①③④ C、①④ D、②③④

2.三角形全等是三角形面积相等的( ) A.充分但不必要条件 B.充要条件 C.既不充分也不必要条件 D.必要但不充分条件 2 2 x y 3、双曲线 2 ? 2 ? 1 的实轴长,虚轴长,焦距成等差数列则双曲线的离心率是( a b 4 5 A. 2 B. 3 C. D. 3 3
4.抛物线 y ? ?4x 上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标是
2







A. ?

17 16

B. ?

15 16

C.

7 16

D.

15 16

5、已知 p 是 r 的充分条件而不是必要条件,q 是 r 的充分条件,s 是 r 的必要条件, q 是 s 的必要条件,现有下列命题: ①r 是 q 的充要条件; ②p 是 q 的充分条件而不是必要条件; ③r 是 q 的必要条件而不是充分条件; ④┐p 是┑s 的必要条件而不是充分条件; ⑤r 是 s 的充分条件而不是必要条件.则正确命题的序号是( ) A.①④⑤ B.①②④ C.②③⑤ D.②④⑤ 6、若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的最大面积为 1,则长轴长的最小值为 ( )A.1 B. 2 C.2 D. 2 2

7、已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线平行于直线 x+2y-3=0,则该双曲线的离
5 3 5 5 B. 5 或 C. 3 或 D.5 或 2 2 4 3 x2 y 2 ? 1 ,其右焦点与抛物线 y 2 ? 16 x 的焦点重合,则 e 的 8.已知离心率为 e 的双曲线 2 ? a 7 4 23 23 3 4 值为( ) A. B. C. D. 23 4 4 3 x2 y2 9.如果椭圆 ? ? 1 上一点 P 到焦点 F1 的距离等于 6,那么点 P 到另一个焦点 F2 的距 100 36 离是( ) .A.4 B.14 C.12 D.8 10.动点 P 到点 M (1,0) 及点 N (3,0) 的距离之差为 2 ,则点 P 的轨迹是( ) . A. 双曲线 B. 双曲线的一支 C. 两条射线 D. 一条射线

心率为(

) A.5 或

11、过抛物线 y =ax2(a>0)的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点,若线段 PF 与 FQ 的长 分别是 p、q,则

1 1 ? 等于 p q



)A.2a

B.

1 C.4a 2a

D.

4 a

12、椭圆 M:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 左右焦点分别为 F1 , F2 ,P 为椭圆 M 上任一点且 a 2 b2

PF1 PF2 最大值取值范围是 ? 2c 2 ,3c 2 ? ,其中 c ? a 2 ? b 2 ,则椭圆离心率 e 取值范围 ? ?
( A. ? )

? 2 ? ,1 ? ? ? 2 ?

B. ?

? 3 2? , ? ? 3 2 ?

C. ?

? 3 ? ,1 ? ? ? 3 ?

D. ? , ?

?1 1 ? ?3 2 ?

二.填空题 13、若双曲线 x ? 4 y ? 4 的左、右焦点是 F1 、 F2 ,过 F1 的直线交左支于 A、B 两点,
2 2

若|AB|=5,则△AF2B 的周长是

.

14.过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A、B 两点,交准线于点 C.若
uur uuu r CB ? 2BF ,则直线 AB 的斜率为

15.下列四个命题:① ?n ? R,n2≥n ; ② ?n ? R,n2 ? n ; ③ ?n ? R,?m ? R,m2 ? n ;④ ?n ? R,?m ? R,m ? n ? m .其中真命题的序号是 16、 ?ABC 的底边 BC ? 16 , AC 和 AB 两边上中线长之和为 30,求此三角形重心 G 的轨 迹方程—————————— 三.解答题

17.已知定圆 C: (x-1) +y =1,若动圆 P 与定圆 C 相切,并且与 y 轴相切,求动 圆圆心 P 的轨迹方程
18、 (本题满分 8 分)已知命题 p:方程

2

2

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,命题 q: 2m m ? 1

双曲线

y2 x2 ? ? 1 的离心率 e ? (1,2) ,若 p, q 只有一个为真,求实数 m 的取值范围 5 m

x2 与过点 M (0, ?1) 的直线 l 相交于 A ,B 两点,O 为原点,若 OA 和 OB 的 2 斜率之和为 1 ,求直线 l 的方程.

19. 抛物线 y ? ?

20.设椭圆

x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0? 过 M 2, 2 、N a2 b2

?

? ? 6 ,1?两点,O 为坐标原点,

(1)求椭圆 E 的方程; (2)若直线 y ? kx ? 4?k ? 0? 与圆 x 2 ? y 2 ? 证: OA ? OB

8 相切,并且与椭圆 E 相交于两点 A、B,求 3

21、(10)如图,一船在水面上的高度为 5 米,船顶宽 4 米.现要通过一抛物线型桥洞,该 抛物线方程为 x ? ?8 y , 测得河面宽 10 米(河面宽与桥洞宽相同), 该船能否通过桥洞? 问:
2

请说明理由.若不能,只得等落潮退水。当河面宽至少为多少米时,该船才能通过桥洞?

4
A B

5

D

C

10

22. (12 分)双曲线过点 P (?3 2 ,4) ,它的渐近线方程为 y ? ?

4 x 3

(1)求双曲线的标准方程; (2)设 F1 和 F2 是这双曲线的左、右焦点,点 P 在这双 曲线上,且|PF1|·|PF2|=32,求∠F1PF2 的大小.


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