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揭阳一中2010-2011学年高一上学期期末考试(数学)


揭阳一中 2010—2011 学年高一级第一学期期末考试
数 学 试 卷
(本试卷共 4 页,20 小题,满分 150 分,考试用时 120 分钟) 一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.本题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分) 1、 已知集合 S={ a, b, c }中的三个元素可构成 ? ABC 的三条边长, 那么 ? A

BC 一定不是 ( A.锐角三角形 C.钝角三角形 2、设函数 y ? B.直角三角形 D.等腰三角形 ( ) )

1 1 1? x

的定义域为M,那么

A. M ? {x | x ? 0} C. M ? {x | x ? ?1或x ? 0} 3、已知正方体外接球的体积是

B. M ? {x | x ? ?1} D. M ? {x | x ? ?1或 ?1 ? x ? 0或x ? 0} )

32 ? ,那么正方体的棱长等于 ( 3

(A) 2 2

(B)

2 3 3

(C)

4 2 3

(D)

4 3 3
)

4、已知直线 l ? 平面 ? ,直线 m ? 平面 ? ,下列四个命题中正确的是( (1) ? // ? ? l ? m (3) l // m ? ? ? ? (2) ? ? ? ? l // m (4) l ? m ? ? // ?

A. (1)与(2) B. (3)与(4) C. (2)与(4) D. (1)与(3) 5、某新产品电视投放市场后第一个月销售 100 台,第二个月销 200 台,第三个月销售 400 台,第四个月销售 790 台,则下列函数模型中能较好地反映销量 y 与投放市场的月数 x 之间 关系的是( ). A. y ? 100 x B. y ? 50 x2 ? 50 x ? 100 C. y ? 50 ? 2 x D. y ? 100log 2 x ? 100 6、一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的全面积与侧面积的比是( ). 1 ? 2? 1 ? 4? 1 ? 2? 1 ? 4? A. B. C. D. 2? 4? ? 2? 7、设 f ( x) ? a , g ( x) ? x , h( x) ? log a x , a 满足 loga (1 ? a2 ) ? 0 ,那么当 x ? 1 时必有
x 1 3



) B. h( x) ? f ( x) ? g ( x) D. f ( x) ? h( x) ? g ( x)

A. h( x) ? g ( x) ? f ( x) C. f ( x) ? g ( x) ? h( x)

1

8、下列 5 个正方体图形中, l 是正方体的一条对角线,点 M、N、P 分别为其所在棱的中点, 能得出 l ? 面 MNP 的图形的所有序号正确的是( ).
P M P N l M l N P M N l M P M l N l N P

① A. ①④⑤

② B. ①④③

③ C. ②④⑤

④ D. ①③⑤



二、填空题(本题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分) 9、对于一个底边在 x 轴上的三角形,采用斜二测画法作出其直观图,其直观图面积是原三 角形面积的 倍. 10、函数 y ? a x 在[0,1]上的最大值与最小值和为 3,则函数 y ? 3a x ?1 在[0,1]上的 最大值是 11、函数 y ? .

| x ? 3 | ?3 4 ? x2

的奇偶性为

.

12、若函数 y ? log( a?1) (2x ? 3) 在其定义域上是增函数,则函数 y ? loga (? x2 ? 3x) 的单调 增区间为 .
A1 M D B D1 P B1 C C1 Q

13、如图,正方体 ABCD ? A B1C1D1 的棱长为 4,P、Q 分别为棱 1

B1C1 、 CC1 上的中点,M 在 A1D1 上,且 A1M ? 1 ,过 P、Q、M 的平
面与 DD1 交于点 N,则 MN= .
A

14、圆台上底半径为 5cm,下底半径为 10cm,母线 AB=20cm,A 在上底面上,B 在下底面上, 从 AB 中点 M 拉一条绳子,绕圆台侧面一周到 B 点,则绳子最短时长为_ ___ 三、解答题(本题共 6 小题,第 15—16 题每小题 12 分,第 17—20 题每小题 14 分,满分 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 15、 (本小题满分 12 分) (1) lg 2)? lg5? 20 ?1 ( lg
2

(2) ( 2 ?

3

3)

6

16 - 1 ( 2 2 ) - 4( ) 2 49

4 3

4

2 ? 80.25

(- 2011)0

16、 (本小题满分 12 分)
2

已知四棱锥的底面是矩形,侧棱长相等,棱锥的高为 4,其俯视 图如图所示. (1) 作出此四棱锥的主视图和侧视图, 并在图中标出相关的数据; (2)求该四棱锥的侧面积 S . 17、 (本小题满分 14 分) 如图所示, 在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,E 、F 分 别为 DD1 、 DB 的 中点. (1)求证: EF ? B1C ; (2)求三棱锥 VB1 ? EFC 的体积. 8

6

D1 A1 E D F A B

C1

B1 C

18、 (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD⊥底面 ABCD,PD=DC,E 是 PC 的 中点,作 EF⊥PB 交 PB 于点 F. P (1)证明 PA//平面 EDB; (2)证明 PB⊥平面 EFD; (3)求二面角 C-PB-D 的大小.

F D

E

C

19、 (本小题满分 14 分) 建造一容积为 8 m3 深为 2m 的长方体形无盖水池,每 m 2 池底和池壁造价各为 120 元和 80 元. (1)求总造价关于一边长 x 的函数解析式,并指出该函数的定义域; (2)判断(1)中函数在 (0, 2] 和 [2, ??) 上的单调性; (3)如何设计水池尺寸,才能使总造价最低;

A

B

20、 (本小题满分 14 分) 已 知 集 合 M 是 满 足 下 列 性 质 的 函 数 f ? x ? 的 全 体 : 在 定 义 域 内 存 在 x0 , 使 得

f ? x0 ? 1? ? f ? x0 ? ? f ?1? 成立。

3

(Ⅰ)函数 f ? x ? ?

1 是否属于集合 M ?说明理由; x a ? M ,求 a 的取值范围; (Ⅱ)设函数 f ? x ? ? lg 2 x ?1
(Ⅲ) 设函数 y ? 2 x 图象与函数 y ? ? x 的图象有交点, 证明: 函数 f ?x? ? 2 x ? x 2 ? M .

数 学 试 卷 参 考 答 案
一、选择题: (在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.本题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分) 题号 答案 1 D 2 B 3 D 4 D 5 C 6 A 7 B 8 A

二、填空题: (本题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分) 9、

2 ; 4

10、3;

11、奇函数;

3 ? 3? 12、 ? 0, ? (或 (0, ] ); 2 ? 2?

13、 3 2 ; `

14、50cm;

三、解答题: (本题共 6 小题,第 15—16 题每小题 12 分,第 17—20 题每小题 14 分,满分 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 15、 (本小题满分 12 分) 2 解: (Ⅰ)原式=lg 2+(1- lg2) (1+lg2)—1……………………4 分(每一个计算 1 分) 2 2 =lg 2+1- lg 2- 1…………………………………5 分 =0 ………………………………………………6 分 (Ⅱ)原式= (2 3 ? 32 ) ? (2 2 ? 2 4 ) 3 ? 4 ?
6
2 3

1

1

1

1 4

1 3 7 ? 2 4 ? 2 4 ? 1 ………………10 分 4

=2 ×3 +2 — 7— 2— 1…………………………………………11 分 =100………………………………………………………………12 分 16、 (本小题满分 12 分) 解: (1)如图所示,主视图和侧视图都 为等腰三角形。…………6 分(每个 图 3 分)

4 8
主视图

4 6
侧视图

6
4

8

俯视图 (2) 该四棱锥有两个侧面 VAD 、 VBC 是全等的等腰三角形,且 BC 边上的高为
2

?8? h1 ? 42 ? ? ? ? 4 2 , …………………………………………8 分 ?2?
另 两 个 侧 面 VAB. VCD 也 是 全 等 的 等 腰 三 角 形 , AB 边 上 的 高 为

?6? h2 ? 4 ? ? ? ? 5 …………………………………………………10 分 ?2?
2

2

因此

1 1 S ? 2( ? 6 ? 4 2 ? ? 8 ? 5) ? 40 ? 24 2 …………12 分 2 2

17、 (本小题满分 14 分) 证明: (1)

B1C ? AB ? ? B1C ? BC1 ? ? ? …………3分 AB, B1C ? 平面ABC1 D1 ? ? AB ? BC1 ? B ?
B1C ? 平面ABC1 D1 ? ? ? ……………5分 BD1 ? 平面ABC1 D1 ?

D1 A1 E D F A B

C1

B1 C

B1C ? BD1 ? ? ? EF ? B1C…………7分 EF // BD1 ?

18、 (本小题满分 14 分) 解: (1)证明:连结 AC,AC 交 BD 于 O.连结 EO.………………1 分 ∵ 底面 ABCD 是正方形,∴ 点 O 是 AC 的中点. 在△PAC 中,EO 是中位线,∴ PA//EO.………………………………3 分

5

而 EO ? 平面 EDB,且 PA ? 平面 EDB,所以,PA//平面 EDB.…………4 分 (2)证明:∵ PD⊥底面 ABCD,且 DC ? 底面 ABCD, P ∴ PD⊥DC. ………………5 分 ∵ 底面 ABCD 是正方形,有 DC⊥BC, ∴ BC⊥平面 PDC. 而 DE ? 平面 PDC,∴ BC⊥DE.………………6 分 又∵PD=DC,E 是 PC 的中点,∴ DE⊥PC. F ∴ DE⊥平面 PBC.………………7 分 而 PB ? 平面 PBC,∴ DE⊥PB.………………8 分 又 EF⊥PB,且 DE ? EF ? E ,所以 PB⊥平面 EFD.…………9 分 D

E

C O

A

B

19、 (本小题满分 14 分) 解: (1)水池的总造价为: 4 8 4 y ? 80 ? 2(2 x ? 2 ? ) ? 120 ? ? 480 ? 320( x ? ), x ? (0, ??) ………………4 分 x 2 x (2)任取 x1 , x2 ? (0, +?) , 且 x1 ? x2 ,则………………5 分

6

y1 ? y2 ? 320( x1 ?

4 4 ) ? 320( x2 ? ) x1 x2 ( x1 x2 ? 4) ? 320[( x1 ? x2 ) …………7分 x1 x2

因为 x1 , x2 ? (0, +?) , x1 ? x2 ,所以 x1 ? x2 ? 0 , x1 x2 ? 0 ………………8 分 当 x1 , x2 ? (0, 2), x1 x2 ? 4 ? 0 ,此时 y1 ? y2 ? 0 ,即 y1 ? y2 ;………………9 分 当 x1 , x2 ? (2, +?) , x1 x2 ? 4 ? 0 ,此时 y1 ? y2 ? 0 ,即 y1 ? y2 ……………10 分 所以,函数在 (0, 2) 上单调递减,在 (2, +?) 上单调递增。………………12 分 (3) 由(2)可知,当 x ? 2 时,总造价最低,为 1760 元.………………………14 分 20、 (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)若 f ? x ? ? 则

1 ?M ,在定义域内存在 x0 , x

1 1 ? ? 1 ? x0 2 ? x0 ? 1 ? 0 ,…………………………2 分 x0 ? 1 x0

∵方程 x02 ? x0 ? 1 ? 0 无解,∴ f ? x ? ? (Ⅱ)f ? x ? ? lg 5分

1 ? M .……………………4 分 x

a a a a …… ? M ? lg ? lg 2 ? lg ? ? a ? 2 ? x 2 ? 2ax ? 2 ? a ? 1? ? 0 , 2 x2 ? 1 x ?1 2 ? x ? 1? ? 1

1 a ? 2 时, x ? ? ;………………6 分 2

a ? 2 时,由 ? ? 0 ,得 a 2 ? 6a ? 4 ? 0 ? a ? ?3 ? 5, 2 ? 2,3 ? 5 ? .…………8 分 ? ?
∴ a ? ?3 ? 5,3 ? 5 ? .……………………9 分 ? ?
x ?1 x x x ?1 2 (Ⅲ) f ? x0 ? 1? ? f ? x0 ? ? f ?1? ? 2 0 ? ? x0 ? 1? ? 2 0 ? x0 ? 3 ? 2 0 ? 2( x0 ? 1) ? 2 ?2 0 ? ? x0 ? 1? ? ,… ? ? 2

? ?

10 分
x ∵函数 y ? 2 图象与函数 y ? ? x 的图象有交点,设交点的横坐标为 a ,…………11 分

则 2a ? a ? 0 ? 2

x0 ?1

,………………12 分 ? ?x0 ? 1? ? 0 (其中 x0 ? a ? 1 )

即 f ? x0 ? 1? ? f ? x0 ? ? f ?1? ,…………13 分 于是 f ?x? ? 2 ? x ? M 。………………14 分
x 2

7


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