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云南省通海二中2014-2015学年高一人教A版数学必修一课件:3.2.2函数模型及其应用(三)


3.2.2函数模型及其应用(三)

解决应用题的一般程序是: ①审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系; ②建模:将文字语言转化为数学语言,利用数学知识, 建立相应的数学模型; ③解模:求解数学模型,得出数学结论; ④还原:将用数学知识和方法得出的结论,还原为 实际问题的意义.

总结解应用题的策略:
抽象概括 实际问题 数学模型 推理 演算 实际问题 的解 还原说明 数学模型 的解

例1.某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如 下表:(身高:cm;体重:kg)
身高 60 70 80 90 100 110

体重 身高

6.13 120

7.90 130

9.99 140

12.15 15.02 17.50 150 160 170

体重 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05
1)根据表中提供的数据,能否建立恰当的函数模型,使它能 比较近似地反映这个地区未成年男性体重

y

kg 与身高

x cm 的

函数关系?试写出这个函数模型的解析式.

2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍 为偏胖,低于0.8倍为偏瘦,那么这个地区一名身 高为175cm,体重为78kg的在校男生的体重是否 正常?

例2一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元,卖出的价格 是每份0.30元,卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社.在一个月 (以30天计算)有20天每天可卖出400份,其余10天只能卖250份,但每 天从报社买进报纸的份数都相同,问应该从报社买多少份才能使每月所 获得的利润最大?并计算每月最多能赚多少钱?

数量(份)

价格(元)

金额(元)

买进 卖出 退回

30x 20x+10*250 10(x-250)

0.20 0.30 0.08

6x 6x+750 0.8x-200

则每月获利润y=[(6x+750)+(0.8x-200)]-6x= 0.8x+550(250≤x≤400). y在x [250,400]上是一次函数. ∴x=400份时,y取得最大值870元. 答:每天从报社买进400份时,每月获的利润最大,最大利 润为870元.

例3、某蔬菜菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从二月一 日起的300天内,西红柿市场售价与上市时间关系用图1的一条折线 表示;西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2的抛物线表示: (1)、写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式,P ? f (t ) 写出图2表示的种植成本与时间的函数关系式 Q ? g (t ) (2)、认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿 元 纯收益最大?(注:市场售价和种植成本的单位: 2 ,时间单位:天)
P 300 150 100 100 t 0 200 300 0

10 kg

Q 250

50

150 250

300

t

100

解(1)由图1可得市场售价与时间的函数关系式为:

?300 ? t , 0 ? t ? 200 f (t ) ? ? ?2t ? 300, 200 ? t ? 300
由图2可得种植成本与时间的函数关系式为:

1 2 g (t ) ? (t ? 150) ? 100,0 ? t ? 300 200

(2)设

t

时刻的纯收益为 h(t ) ,则由题意得 h(t ) ? f (t ) ? g (t ), 即
? 1 2 1 175 ? t ? t? , 0 ? t ? 200 ? ? 200 2 2 h(t ) ? ? ?? 1 t 2 ? 7 t ? 1025 , 200 ? t ? 300 ? 2 2 ? 200

1 (t ? 50) 2 ? 100, 所以当 当 0 ? t ? 200 时,配方整理得 h(t ) ? ? 200 t ? 50 时, h(t ) 取得 [0, 200] 上的最大值100 ;当 200 ? t ? 300

时,配方整理得 (200,300] 上的最大值 87.5

h(t ) ? ?

1 (t ? 350) 2 ? 100 200

,所以当 t ? 300 时,

h(t ) 取得

综上,由 100 ? 87.5 可知, h(t )在 [0,300] 上可以取得最大值 100,此时 t =50,即二月一日开始的第50天时,上市的西红柿纯收益 最大.

1.一家旅社有100间相同的客房,经过一段时间的经营实践,旅社经理发现, 每间客房每天的价格与住房率之间有如下关系:
每间每天房价 20元 18元 16元 住房率 65% 75% 85% 14元 95%

要使每天收入达到最高,每间定价应为( C ) A.20元 B.18元 C.16元 D.14元

2.将进货单价为80元的商品按90元一个售出时,能卖出400个,已知这种商品 每个涨价1元,其销售量就减少20个,为了取得最大利润,每个售价应定为 ( ) A
A.95元 B.100元 C.105元 D.110元

y=(90+x-80)(400-20x)

课后练习
1.某城市出租汽车统一价格,凡上车起步价 为6元,行程不超过2km者均按此价收费, 行程超过2km,按1.8元/km收费,另外, 遇到塞车或等候时,汽车虽没有行驶,仍 按6分钟折算1km计算,陈先生坐了一趟这 种出租车,车费17元,车上仪表显示等候 时间为11分30秒,那么陈先生此趟行程介 于( A ) A.5~7km B.9~11km C.7~9km D.3~5km

2.某纯净水制造厂在净化水的过程中,每增 加一次过滤可减少水中杂质20%,要使水 中杂质减少到原来的5%以下,则至少需要 过滤的次数为( C ) (参考数据lg2=0.3010,lg3=0.4771) A. 5 B.10 C.14 D.15

3.有一批材料可以建成200m的围墙,如果 用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形 场地,中间用同样的材料隔成三个面积相 等的矩形(如下图所示),则围成的矩形 2(围墙厚度 最大面积为 ________m 2500 不计).


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