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高中数学 第一章 叠加、叠乘、迭代递推、代数转化拓展资料素材 北师大版必修5


叠加、 叠乘、迭代递推、代数转化
已知数列的递推关系式求数列的通项公式的方法大约分为两类: 一类是根据前几项的特 点归纳猜想出 a n 的表达式,然后用数学归纳法证明;另一类是将已知递推关系,用代数法、 迭代法、换元法,或是转化为基本数列(等差或等比)的方法求通项.第一类方法要求学生 有一定的观察能力以及足够的结构经验,才能顺利完成,对学生要求高.第二类方法有一定 的规

律性,只需遵循其特有规律方可顺利求解.在教学中,我针对一些数列特有的规律总结 了一些求递推数列的通项公式的解题方法. 一、叠加相消. 类型一:形如 a n?1 =a n + f (n), 其中 f (n) 为关于 n 的多项式或指数形式(a )或 可裂项成差的分式形式.——可移项后叠加相消. 例 1:已知数列{a n },a 1 =0,n∈N ? ,a n?1 =a n +(2n-1) ,求通项公式 a n . 解:∵a n?1 =a n +(2n-1) ∴a n?1 =a n +(2n-1) ∴a 2 -a 1 =1 、a 3 -a 2 =3 、…… a n -a n?1 =2n-3 ∴a n = a 1 +(a 2 -a 1 )+(a 3 -a 2 )+…+(a n -a n?1 )=0+1+3+5+…+(2n-3) =
n

1 2 [1+(2n-3)]( n-1)=( n-1) n∈N ? 2
n

练习 1:⑴.已知数列{a n },a 1 =1, n∈N ? ,a n?1 =a n +3 ⑵.已知数列{a n }满足 a 1 =3, 二、叠乘相约. 类型二:形如

, 求通项公式 a n .

2 ? n(n ? 1) ,n∈N ? ,求 a n . a n ? a n ?1

a n ?1 ( m n ? b) p (p≠0,m≠0,b –c = km,k∈Z) ? f (n) .其中 f (n) = an (m n ? c) p



a a n ?1 n =kn(k≠0)或 n ?1 = km ( k ≠ 0, 0<m 且 m ≠ 1). an an
例 2:已知数列{a n }, a 1 =1,a n >0,( n+1) a n?1 -n a n +a n?1 a n =0,求 a n . 解:∵( n+1) a n?1 -n a n +a n?1 a n =0 ∴ [(n+1) a n?1 -na n ](a n?1 +a n )= 0
2 2 2 2

∵ ∴

a n >0
a n ?1 ? n an n ?1
an?1

∴ a n?1 +a n >0

∴ (n+1) a n?1 -na n =0

∴ an ? an ? an?1 ? an?2 ? ? ? a2 ? a1 ? n ? 1 ? n ? 2 ? n ? 3 ? ?? 1 ? 1 ? 1
an?2 a n ?3 a1 n n ?1 n?2 2

n

练习 2:⑴已知数列{a n }满足 S n =

n a n ( n∈N * ), S n 是{ a n }的前 n 项和,a 2 =1,求 a n . 2
n

⑵.已知数列{a n }满足 a n?1 = 3 a n ( n∈N ),且 a 1 =1,求 a n . 三、逐层迭代递推. 类型三:形如 a n?1 = f (a n ),其中 f (a n )是关于 a n 的函数.——需逐层迭代、细心寻 找其中规律. 例 3:已知数列{a n } ,a 1 =1, n∈N ? ,a n?1 = 2a n +3 解: ∵a n?1 = 2 a n +3 ∴ =……=2 =2
n-1 n n

*

,求通项公式 a n .

a n =2 a n ?1 +3 n-1 =2(2 a n ?2 +3 n-2)+3 n-1 = 22(2 a n?3 +3 n-3)+2·3 n-2+3 n-1
n-2

(2 a 1 +3 )+2 ·3 +2
n-3
2

n-3

·3 +2
n-4
3

2

n-4

·3 +2
2

3

n-5

·3 +…+2 ·3 +2·3
n-2

4

2

n-3

+2·3

n-2

+3

n-1

+2

n-2

·3 +2

·3 +…+2 ·3

n-3

+3

n-1

? 2

? ? 3 ?n ? n n ?1 ? ? ? ? ? 3 ? 2 3? 2 ? 1? ? ? ? ? 2

n ?1

练习 3:⑴.若数列{a n }中,a 1 =3,且 a n?1 =a 2 ,求通项 a n . n (n∈N ? ) ⑵.已知数列{a n }的前 n 项和 S n 满足 S n =2a n + ?? 1? ,n∈N ? ,求通项 a n .
n

四、运用代数方法变形,转化为基本数列求解. 类型四:形如 an an?1 = pan ? qan?1 , (pq ≠ 0) .且 an ? 0 的数列,——可通过倒数 变形为基本数列问题. 当 p = -q 时,则有:

1 a n ?1 1

?

1 1 ? 转化为等差数列; an p q 1 ? .同类型五转化为等比数列. pan p
2a n an ? 2

当 p ≠ -q 时,则有:

a n ?1

??

例 4:若数列{a n }中,a 1 =1,a n?1 =

n∈N ? ,求通项 a n .

解: ∵ an ?1 ? 2an

an ? 2

又? a1 ? 1 ? 0, ∴ an ? 0 , ∴ 1 ?1? 1 ∴ 1 ? 1 ? 1
an ?1 2 an

a n ?1

an

2

∵ 1 ?1 a1

∴数列{ a n }是首项为 1,公差为 ∴ 1 =1+ 1 ?n ? 1?

1 的等差数列. 2
n∈N ?

an

2

∴a n =

2 n ?1

练习 4:已知 f (n) =

2x 3 ,数列{ a n }满足 a 1 =1,a n = f (a n?1 ),求 a n . 3? x 2

类型五:形如 a n?1 =pa n + q ,pq≠0 ,p、q 为常数. 当 p =1 时,为等差数列; 当 p ≠1 时,可在两边同时加上同一个数 x,即 a n?1 + x = pa n + q + x

?a n?1 + x = p(a n +

q?x q?x q ), 令 x = ∴x = p ?1 p p
q } 求解. p ?1

时,有 a n?1 + x = p(a n + x ),

从而转化为等比数列 {a n +

1 a + 1,n= 1、2、3、…,求通项 a n . 2 n?1 1 1 解:∵ a n = a n?1 + 1 ? a n -2 = (a n?1 -2) 2 2 1 又∵a 1 -2 = -1≠0 ∴数列{ a n -2}首项为-1,公比为 的等比数列. 2 1 n ?1 1? n ∴ a n -2 = -1 ? ( ) 即 a n = 2 -2 n∈N ? 2
例 5:已知数列{a n }中,a 1 =1,a n = 练习 5:⑴.已知 a 1 =1,a n = 2 a n?1 + 3 (n = 2、3、4…) ,求数列{a n }的通项. ⑵. 已知数列{a n }满足 a 1 =

2a n 1 ,a n?1 = ,求 a n . 2 an ? 1

类型六:形如 a n?1 =pa n + f (n),p≠0 且 p 为常数,f (n)为关于 n 的函数. 当 p =1 时,则 a n?1 =a n + f (n) 即类型一. 当 p ≠1 时,f (n)为关于 n 的多项式或指数形式(a )或指数和多项式的混合形式. ⑴若 f (n)为关于 n 的多项式(f (n) = kn + b 或 kn + bn + c,k、b、c 为常数) ,
2 n

——可用待定系数法转化为等比数列. 例 6:已知数列{ a n }满足 a 1 =1,a n?1 = 2a n +n ,n∈N ? 求 a n . 解:令 a n?1 + x[a(n+1) + b(n+1) + c] = 2(a n + an + bn + c) 即 a n?1 = 2 a n + (2a–ax)n + (2b -2ax – bx)n +2c –ax –bx – cx
2 2 2 2

比较系数得:

?2a ? ax ? 1 ? ?2b ? 2ax ? bx ? 0 ?2c ? ax ? bx ? cx ? 0 ?

?

1 ? ?a ? 2 ? x ?a ? 1 ? 2 ax ? ? ? 令 x = 1,得: ?b ? 2 ?b ? 2? x ?c ? 3 ? ? ax ? bx ? c ? ? 2? x ?
2

∴ a n?1 + (n+1) +2(n+1) + 3 = 2(a n + n +2n + 3) ∵ a 1 +1+2×1+3 = 7 令 b n = a n + n +2n + 3 则 b n?1 = 2b n b 1 = 7 ∴数列{ b n }为首项为 7,公比为 2 德等比 数列 ∴ b n = 7× 2
n ?1 2

2

即 a n + n +2n + 3 = 7× 2
n

2

n ?1

∴ a n = 7× 2

n ?1

-( n +2n + 3 ) n∈N ?

2

⑵若 f (n)为关于 n 的指数形式(a ) . ①当 p 不等于底数 a 时,可转化为等比数列; ②当 p 等于底数 a 时,可转化为等差数列. 例 7: (同例 3)若 a 1 =1,a n = 2 a n?1 + 3
n ?1

,(n = 2、3、4…) ,求数列{a n }的通项

an .
解: ∵ a n = 2 a n?1 + 3
n ?1

∴ 令 a n + x×3 = 2(a n?1 +x×3

n

n ?1

) 得 a n = 2 a n?1 -

x×3 n ?1
令-x×3 = 3
n n

?x = -1 ∴ a n -3 n = 2(a n?1 -3 n ?1 ) 又 ∵ a 1 -3 = - 2

∴数列{ an ? 3n }是首项为-2,公比为 2 的等比数列. ∴ an ? 3n =-2·2
n ?1

即 a n = 3 -2

n

n

n∈N ?
n

例 8:数列{ a n }中,a 1 =5 且 a n =3a n?1 + 3 -1 (n = 2、3、4…) 试求通项 a n .

解: a n =3a n?1 + 3 -1

n

? a n ? 1 ? 3(an?1 ? 1 ) ? 3 n 2 2

a n ? 1 a n ?1 ? 1 2 ?1 ? n2? 3 3 n ?1

an ? 1 ?{ n 2 }是公差为 1 的等差数列. 3

5? 1 a n ? 1 a1 ? 1 2 +( n ? 1 ) = n + 1 2 2 +( n ? 1 ) = ? n = 3 2 3 3

? a n = ( n ? 1 ) ? 3n ? 1 2 2

n∈N ?
n

⑶若 f (n)为关于 n 的多项式和指数形式(a )的混合式,则先转换多项式形式在转换 指数形式.例如上面的例 8. 练习 6:⑴.已知数列{a n }中 a 1 = 1,a n?1 = 3 a n + n , n ? N ? ; 求{a n }的通项. ⑵设 a 0 为常数,且 a n = 证明:对任意 n ≥ 1,a n = 3
n ?1

-2 a n?1 (n∈N ? 且 n ≥ 2 ).

1 n n ?1 n n n [3 + (-1) 2 ] +(-1) 2 a 0 . 5
2

类型七:形如 a n ? 2 = p a n?1 + q a n ( pq ≠ 0, p、q 为常数且 p + 4q > 0 ),——可用 待定系数法转化为等比数列. 例 9: 已知数列{a n }中 a 1 = 1, a 2 = 2 且 an?2 ? an?1 ? 2an , n ? N ? ; 求{a n }的通项. 解:令 a n ? 2 +x a n?1 = (1+x) a n?1 + 2 a n ? a n ? 2 +x a n?1 = (1+x)( a n?1 + 令x = 2 1? x

2 a ) n 1? x

?x 2 + x – 2 = 0 ? x = 1 或 -2
从而 a 2 + a 1 = 1 + 2 = 3

当 x = 1 时,a n ? 2 + a n?1 =2(a n?1 + a n )

∴数列{ a n?1 + a n }是首项为 3 且公比为 2 的等比数列. ∴

a n?1 + a n = 3 ? 2 n ?1 …… ……

① 而 a 2 - 2a 1 = 0 ②

当 x = - 2 时, a n ? 2 - 2a n?1 = - (a n?1 -2a n ) , ∴

a n?1 - 2a n = 0

…… ……

由①、②得:

a n = 2 n ?1

,

n ? N?

练习 7:⑴已知: a 1 = 2, a 2 = 5 , an?2 ? 5 an?1 ? 2 an ,(n = 1、2、3、……),求数列{ a n }

3

3

3

的通项. ⑵已知数列:1、1、2、3、5、8、13、……,根据规律求出该数列的通项. 五、数列的简单应用. 例 10:设棋子在正四面体 ABCD 的表面从一个顶点移向另外三个顶点时等可能的.现抛掷 骰子,根据其点数决定棋子是否移动,若投出的点数是奇数,则棋子不动;若投出的点数是偶 数,棋子移动到另外一个顶点.若棋子初始位置在顶点 A,则:
D

⑴投了三次骰子,棋子恰巧在顶点 B 的概率是多少? ⑵投了四次骰子,棋子都不在顶点 B 的概率是多少?
C

⑶投了四次骰子,棋子才到达顶点 B 的概率是多少? 分析:考虑最后一次投骰子分为两种情况 ①最后一次棋子动;②最后一次棋子不动. 解:∵ 事件投一次骰子棋子不动的概率为 概率为

A

B

1 ;事件投一次骰子棋子动且到达顶点 B 的 2

1 1 1 ? = . 2 3 6

⑴.投了三次骰子,棋子恰巧在顶点 B 分为两种情况 ①.最后一次棋子不动,即前一次棋子恰在顶点 B;②.最后一次棋子动,且棋子移 动到 B 点. 设投了 i 次骰子,棋子恰好在顶点 B 的概率为 p i ,则棋子不在顶点 B 的概率为(1- p i ).所 以,投了 i+1 次骰子,棋子恰好在顶点 B 的概率:p i ?1 = p i × 3、4、…… ∴ p i ?1 =

1 1 + (1- p i )× 2 6

i = 1、2、

1 1 + ×p i 3 6

∵ p1 =

1 1 1 ? = 2 3 6

∴ p2 =

2 9

∴ p3 =

13 54

⑵.投了四次骰子,棋子都不在顶点 B,说明前几次棋子都不在 B 点,应分为两种情况 ①最后一次棋子不动;②最后一次棋子动,且不到 B 点. 设投了 i 次骰子,棋子都不在顶点 B 的概率为 pi? ,则投了 i+1 次骰子,棋子都不在顶点 B 的

1 1 1 + pi? × ×(1﹣ ) i = 1、2、3、4、…… 2 2 3 1 1 1 5 5 ? = + ×(1﹣ ) = ? = ( )4 又∵ p1 ∴ p4 2 2 3 6 6
概率为: pi??1 = pi? ×

即: pi??1 =

5 p? 6 i

⑶.投了四次骰子,棋子才到达顶点 B;说明前三次棋子都不在 B 点,最后一次棋子动且 到达顶点 B.设其概率为 P 则:

P =

125 1 1 1 5 ? = ×( ) 3 = ? × p3 2 3 6 6 1296

答: (略) . 例 11:用砖砌墙,第一层(底层)用去了全部砖块的一半多一块;第二层用去了剩下 的一半多一块,…,依次类推,每层都用去了上层剩下的一半多一块.如果第九层恰好砖块 用完,那么一共用了多少块砖? 分析:本题围绕两个量即每层的砖块数 a i 和剩下的砖块数 b i ,关键是找出 a i 和 b i 的 关系式,通过方程(组)求解. 解:设第 i 层所用的砖块数为 a i ,剩下的砖块数为 b i (i = 1、2、3、4、…… )则 b 9 = 0,且设 b 0 为全部的砖块数,依题意,得

a1 =


1 1 1 b 0 + 1,a 2 = b 1 + 1,…… a i = b i ?1 + 1 … … … … ① 2 2 2
b i ?1 = a i + b i b i ?1 -b i =
… … … … … ②

1 1 b i ?1 + 1 即 b i = b i ?1 - 1 2 2 1 1 9 9 ∴ b i + 2 = (b i ?1 + 2) ∴ b 9 +2 = ( ) (b 0 + 2 ) ∴ b 0 +2 = 2×2 2 2
联立①②得

∴ b 0 = 1022

练习 8:⑴十级台阶,可以一步上一级,也可以一步上两级;问上完十级台阶有多少种不同 走法? ⑵. 三角形内有 n 个点,由这 n 个点和三角形的三个顶点,这 n + 3 个点可以组成 多少个不重叠(任意两个三角形无重叠部分)的三角形? ⑶.甲、乙、丙、丁四人传球,球从一人手中传向另外三个人是等可能的.若开始时 球在甲的手中.若传了 n 次球,球在甲手中的概率为 a n ;球在乙手中的概率为 b n .(n = 1、 2、3、4、…… ). ①问传了五次球,球恰巧传到甲手中的概率 a 5 和乙手中的概率 b 5 分别是多少? ②若传了 n 次球,试比较球在甲手中的概率 a n 与球在乙手中的概率 b n 的大小. ③传球次数无限多时,球在谁手中的概率大?

参考答案

1 n 练习 1:⑴. a n = (3 -1) 2
练习 3:⑴. a n = 3 2 练习 4:a n =
n ?1

⑵. a n =

n?2 n

练习 2:⑴. a n = n -1 ⑵. a n = ⑵ an =

⑵. a n =

3

n ( n ?1) 2

(提示:可两边取对数)
n ?1

2 n?2 n ?1 [2 + (-1) ] 3

3 n?2

练习 5:⑴ a n = 2

-3

2 n ?1 2 n ?1 ? 1


练习 6:⑴可得 a n?1 + (略) 练习 7:⑴a n = 3 -

1 7 1 1 1 1 1 n ?1 (n+1)+ = 3(a n + n + ) 从而 a n = ×3 -( n + ) 4 4 2 2 4 2 4

2n , ⑵由已知得 a n ? 2 = a n?1 + a n ? 3 n ?1

an =

5 1? 5 n 1? 5 n [( ) -( ) ] 5 2 2

练习 8:⑴∵a n ? 2 = a n?1 + a n , a 1 = 1,a 2 = 2,∴a 10 = 89 ⑵∵a n?1 = a n + 2 ,a 1 = 3 ∴a n = 2n+1 ⑶①∵a n?1 =

20 61 1 1 1 (1 - a n ) b n?1 = (1 - b n ) a 1 = 0 b 1 = ∴a 5 = ; b5= . 81 243 3 3 3 1 n ?1 1 1 1 1 1 n ?1 ②可解得 a n = - × (? ) bn = + × (? ) 3 4 4 4 12 3 1 1 ∴当 n 为奇数时, a n < <b n ;当 n 为偶数时,a n > >b n 4 4 1 1 ③当 n → ∞时,a n → ,b n → 故球在各人手中的概率一样大. 4 4


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