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高中数学必修5期末复习资料


必修 5 期末复习资料
1. 在 ?ABC 中,内角 A,B,C 对应的边分别是 a,b,c ,已知 c ? 2, C ?

?
3

, ?ABC 的面积

S ?ABC ? 3 ,则 ?ABC 的周长为(
A.6 B.5

) C.4 D. 4 ? 2 3


2.在△ABC 中,∠A=

?
3

,AB=2,且△ABC 的面积为

3 ,则边 AC 的长为( 2
D.1



A.1

B. 3

C.2

3.若△ ABC 的三个内角满足 sin A : sin B : sin C ? 5 :11:13 ,则△ ABC ( ) A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形 D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形 4.在△ABC 中, a ? c ? b ? ab ,则角 C 为 (
2 2 2


o o

(A) 30

o

(B) 60

o

(C) 120

o

(D) 45 或 135

5. ?ABC 中, ?A ? A.

?
3

, BC ? 3 , AB ? 6 ,则 ?C ? ( )

? 6

B.

? 4

C.

3? 4

D.

? 3? 或 4 4

6.一只船以均匀的速度由 A 点向正北方向航行,如图,开始航行时, 从 A 点观测灯塔 C 的方位角为 30°,行驶 60 海里后,船在 B 点观测 灯塔 C 的方位角为 45°,则 A 到 C 的距离 为 .

7.已知 ?ABC 中,角 A 、 B 所对的边分别是 a 和 b ,若 a cos B ? b cos A ,则 ?ABC 一定是( ) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形

8.如果等差数列 ?an ? 中, a3 ? a4 ? a5 ? 12 ,那么 a1 ? a2 ? ... ? a7 ? (



(A)14

(B)21

(C)28

(D)35

1

9.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 S3 ? 9 , S6 ? 36 ,则 a7 ? a8 ? a9 ? ( A.63 B.45 C.36 D.27



10.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? ?11 , a4 ? a6 ? ?6 ,则当 Sn 取最小值时,n 等 于( ) A.6 B.7 C.8 D.9

11.若等比数列{ an }中 a5 ? 4? 则 a2 ? a8 等于_________. 12.设数列 {an } 是首项为 1 ,公比为 ?2 的等比数列,则 a1 ? | a2 | ?a3 ? | a4 |? 13.设等比数列{ an }的公比 q=2,前 n 项和为 Sn ,则

S4 =__ a2

_

14.已知数列 {a n } 中, a1 ? 3 , a2 ? 6 , an ? 2 ? an ?1 ? an ,则 a 2003 等于
(A)6 15.数列{an}中,a1=3, (B)-6 (C)3 (D)-3

an+1=an+2n+3,则 an=


16.数列 {an } 中, S n 是其前 n 项和,若 S n ? 2an ? 1 ,则 an =

17.在等差数列 {an } 中,已知 a5 ? a7 ? 10 , Sn 是数列 {an } 的前 n 项和,则 S11 ? ( A. 45 B. 50 C. 55 D. 60
2 2 2 18.数列{an}的前 n 项和 S n ? 2 n ? 1, 则a1 ? a2 ? ? ? an ?







A.(2

n

-1)2

B. (2n-1)

1 3

C.4n-1

D. (4n-1)

1 3

19.在等差数列 ?an ? 中,首项 a1 ? 0, 公差 d ? 0 ,若 am ? a1 ? a2 ? A.37 B.36 C.20

? a9 ,则 m 的值为
D.19

2

?x ? y ? 3 ? 0 ? 20.已知变量 x, y 满足约束条件 ? ? 1 ? x ? 1 ,则 z ? x ? y 的最大值是 ? y ?1 ?



? x ? 2 ? 0, ? 21.已知点 P(x,y)在不等式组 ? y ? 1 ? 0, 表示的平面区域上运动,则 z=x-y 的取值 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?
范围是 ( ) A.[-2,-1] B.[-2,1] C.[-1,2] D.[1,2]

? y?x ? 22.设变量 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最小值为( ? y ? 3x ? 6 ?
A. 2 B. 3 C. 4 D. 9



? x ? y ? 2 ? 0, ? 23. 在平面直角坐标系中,不等式组 ? x ? y ? 2 ? 0, 表示的平面区域的面积是 ?x ? 2 ?
(A) 4 2 (B)4 (C) 2 2 (D)2 )

24. 下面给出四个点中,位于 ? A. (0, 2) B. (?2, 0)

? x ? y ? 1 ? 0, 表示的平面区域内的点是( ?x ? y ?1 ? 0
C. (0, ? 2) D. (2, 0)

2 25.已知全集 U ? R ,集合 M ? x x ? 4 ? 0 ,则 CU M =

?

?

A.

? x ?2 ? x ? 2?

B.

? x ?2 ? x ? 2?

C. x x ? ?2或x ? 2

?

?

D.

? x x ? ?2或x ? 2?
2

26.已知集合 A ? {1, 2} , B ? {x ? Z | x ? 5 x ? 4 ? 0} ,则 A ? B ? ( A. {2} B. {1, 2}
2

) D. {1, 2,3, 4}

C. {1, 2,3}

27.已知集合 M ? {x | 0 ? x ? 3}, N ? {x | x ? 5 x ? 4 ? 0} ,则 M A. {x |1 ? x ? 3} B. {x |1 ? x ? 3} C. {x | 0 ? x ? 4}

N?
D. {x | 0 ? x ? 4}

3

28.已知 a ? 0, b ? 0 ,则 A.2

1 1 ? ? 2 ab 的最小值是( a b
C .4
a b



B. 2 2

D.5

29.设 a ? 0, b ? 0. 若 3是3 与3 的等比中项,则 A 8 B 4 C1 D

1 1 ? 的最小值为( ) a b

1 4
.

30.若 x ? 0 ,则 x ?

2 的最小值为 x
1 4 + )的最小值为 x y

31.设 x,y 为正数, 则(x+y)(

32.若 a ? 0, b ? 0, a ? b ? 2 ,则下列不等式对一切满足条件的 a , b 恒成立的是 所有正确命题的编号). ① ab ? 1 ; ④ a ? b ? 3;
3 3

(写出

② a? b? ⑤

2;

③ a ?b ? 2 ;
2 2

1 1 ? ?2 a b

33 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足 c sin A ? a cos C (1)求角 C 的大小; (2)求 3 sin A ? cos( B ?

?
4

) 的最大值,并求取得最大值时角 A 的大小.

4

34.在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,已知 a ? 3 , b ? 5 , c ? 7 . (1)求角 C 的大小;
π (2)求 sin( B ? ) 的值. 3

35.在锐角△ ABC 中, a 、 b 、 c 分别为角 A、B、C 所对的边,且 (1) 求角 C 的大小; (2)若 c = 7 ,且△ ABC 的面积为

a 2c . ? sin A 3

3 3 2 2 求 a ? b 的值. , 2

5

36. 在等差数列 ?an ? 中, a1 ? a2 ? 5 , a3 ? 7 ,记数列 ? (1)求数列 ?an ? 的通项公式;

? 1 ? ? 的前 n 项和为 S n . ? an an ?1 ?

(2)是否存在正整数 m 、 n ,且 1 ? m ? n ,使得 S1 、 S m 、 S n 成等比数列?若存在, 求出所有符合条件的 m 、 n 的值;若不存在,请说明理由.

6

37.数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ? 2an ? 2 ,数列 ?bn ? 是首项为 a1 ,公差不为零的等差数列,且

b1 , b3 , b11 成等比数列.
(1)求 a1 , a2 , a3 的值; (2)求数列 ?an ? 与 ?bn ? 的通项公式; (3)求证:

b1 b2 b3 ? ? ? a1 a2 a3

?

bn ?5. an

7

38. 某企业生产 A、B 两种产品,生产每一吨产品所需的劳动力、煤和电耗如下表: 产品品种 A 产品 B 产品 劳动力(个) 3 10 煤(吨) 9 4 电(千瓦) 4 5

已知生产每吨 A 产品的利润是 7 万元,生产每吨 B 产品的利润是 12 万元,现因条件限 制,该企业仅有劳动力 300 个,煤 360 吨,并且供电局只能供电 200 千瓦,试问该企业生产 A、B 两种产品各多少吨,才能获得最大利润?

39.某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少运送 180 t 支援物资的任务,该公司有 8 辆载重为 6 t 的 A 型卡车和 4 辆载重为 10 t 的 B 型卡车,有 10 名驾驶员,每辆卡车每天 往返的次数为 A 型卡车 4 次,B 型卡车 3 次,每辆卡车每天往返的成本费 A 型车为 320 元, B 型车为 504 元,请你给该公司调配车辆,使公司所花的成本费最低.

8

必修 5 期末复习资料
1. A2.A3.C4.B 5.B6. 60 ? 60 3 海里 14.B 15. 7.A 8.C 9.B 10.A 11. 16 12.15 13. 18.D19.A.20.5 21.C

15 2

2n+3n-2 16. 2 n ?1

17.C

?y ? x ? 22. 解析:设变量 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 , 在坐标系中画出可行域△ABC,A(2, ? y ? 3x ? 6 ?
0),B(1,1),C(3,3),则目标函数 z ? 2 x ? y 的最小值为 3,选 B. 23.B 24.C 30. 2 2 25.C 26.A 27.A28. C 29. C
.

31. x,y 为正数,(x+y)(

1 4 y 4x ? )≥ 1 ? 4 ? ? ≥9 x y x y

32. ①,③,⑤ 令 a ? b ? 1 ,排除②②;由 2 ? a ? b ? 2 ab ? ab ? 1,命题①正确;

1 1 a?b 2 ? ? 2 ,命题⑤正 a2 ? b2 ? (a ? b)2 ? 2ab ? 4 ? 2ab ? 2 ,命题③正确; ? ? a b ab ab
确。 33. 解: (1)由正弦定理得 sin C sin A ? sin A cos C. ……2 分 因为 0 ? A ? ? , 所以 sin A ? 0. 从而 sin C ? cos C. ……4 分 又 cos C ? 0, 所以 tan C ? 1, 则 C ?

? ……6 分 4
?B ?

(2)由(1)知 A ? B ? C ? ? , C ?

?
4

?
4

? ? ? A. ……7 分

? 3 sin A ? cos( B ?

?
4

) ? 3 sin A ? cos(? ? A). ? 3 sin A ? cos A ? 2sin( A ?

? ) 6

0? A?
从而当 A ? 34.

3? ? ? 11? ,? ? A ? ? , ………………………………10 分 4 6 6 12

? ? ? ? ? , 即 A ? 时, 2sin( A ? ) 取最大值 2.……………12 分 6 2 3 6

9

35. 解:(1)解:由正弦定理得

a c ,∵ ? sin A sin C

a 2c , ? sin A 3

?


c 2c , ? sin C 3

∴ sin C ?

3 . 2

4分

?ABC 是锐角三角形, ∴ C ?
c? 7, C ?

?
3

(2)解:

?
3

,

由面积公式得

1 ? 3 3 , ∴ ab ? 6 ab sin ? 2 3 2

由余弦定理得 a 2 ? b 2 ? 2ab cos

?
3

?7

∴ a 2 ? b 2 ? 13

36. (1)设等差数列 ?an ? 的公差为 d , 因为 ?

?a1 ? a2 ? 5, ?2a1 ? d ? 5, 即? ……………………………………2分 ?a1 ? 2d ? 7. ?a3 ? 7.

解得 ?

?a1 ? 1, ………………………………………………………3分 ?d ? 3.

所以 an ? a1 ? ? n ? 1? d ? 1 ? 3 ? n ? 1? ? 3n ? 2 . 所以数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 3n ? 2 (n ? N ) . ………………………4分
*

10

(2)因为

1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? , ……………………5分 an an ?1 ? 3n ? 2 ?? 3n ? 1? 3 ? 3n ? 2 3n ? 1 ?

所以数列 ?

? 1 ? ? 的前 n 项和 ? an an ?1 ?
? 1 an ?1an ? 1 an an ?1

Sn ?

1 1 1 ? ? ? a1a2 a2 a3 a3a4

1? 1? 1? 1 1? 1? 1 1 ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? 4 ? 3 ? 4 7 ? 3 ? 7 10 ?

1? 1 1 ? 1? 1 1 ? ? ? ? ? ?? ? ? 3 ? 3n ? 5 3n ? 2 ? 3 ? 3n ? 2 3n ? 1 ?

1? 1 ? n .……………………………………………7分 ? ?1 ? ?? 3 ? 3n ? 1 ? 3n ? 1
假设存在正整数 m 、 n ,且 1 ? m ? n ,使得 S1 、 S m 、 S n 成等比数列, 则 Sm
2

1 n ? m ? .……………9分 ? S1S n .……8分即 ? ? ? ? 4 3n ? 1 ? 3m ? 1 ?

2

所以 n ?

4m 2 . ?3m 2 ? 6m ? 1

因为 n ? 0 ,所以 ?3m 2 ? 6m ? 1 ? 0 .即 3m 2 ? 6m ? 1 ? 0 . 因为 m ? 1 ,所以 1 ? m ? 1 ?

2 3 ? 3. 3
所 以





m ? N*



m?2





12







n?

4m 2 ? 16 .…………………………………13分 ?3m 2 ? 6m ? 1

37. (1)∵ Sn ? 2an ? 2 , ∴ 当 n ? 1 时 , a1 ? 2a1 ? 2 , 解 得 a1 ? 2 ; 当 n ? 2 时, S2 ? a1 ? a2 ? 2a2 ? 2 ,解得 a2 ? 4 ; 当 n ? 3 时, S3 ? a1 ? a2 ? a3 ? 2a3 ? 2 ,解得 a3 ? 8 (2)当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? (2an ? 2) ? (2an?1 ? 2) ? 2an ? 2an?1 , 得 an ? 2an?1 又 a1 ? S1 ? 2a1 ? 2 , a1 ? 2 ,∴数列{ an }是以 2 为首项,公比为 2 的等比

11

数列, 所以数列{ an }的通项公式为 an ? 2n

b1 ? a1 ? 2 ,设公差为 d ,则由 b1 , b3 , b11 成等比数列,
得 (2 ? 2d )2 ? 2 ? (2 ? 10d ) , 所以数列 {bn } 的通项公式为 bn ? 3n ? 1 (3)令 Tn ? 解得 d ? 0 (舍去)或 d ? 3 ,

b1 b2 b3 ? ? ? a1 a2 a3
5 8 ? ? 21 22 ?

?

2 5 8 bn ? 1? 2? 3? an 2 2 2

?

3n ? 1 , 2n

2Tn ? 2 ?

3n ? 1 , 2n ?1

两式式相减得

Tn ? 2 ?

3 3 ? ? 21 22

3 1 (1 ? ) n ?1 3 3n ? 1 3n ? 1 3n ? 5 2 2 ? n ?1 ? n , ∴ Tn ? 2 ? ? n ? 5? n , 1 2 2 2 2 1? 2



3n ? 5 ? 0 ,故 Tn ? 5 .-2n

38. 答案:设生产 A、B 两种产品各为 x、y 吨,利润为 z 万元,则

?3x ? 10 y ? 300 ?9 x ? 4 y ? 360 ? ? ?4 x ? 5 y ? 200 ? ? x ? 0, y ? 0
z=7x+12y 作出可行域,如图阴影所示. 当直线 7x+12y=0 向右上方平行移动时,经过 M(20,24)时 z 取最大值. ∴该企业生产 A、B 两种产品分别为 20 吨和 24 吨时,才能获得最大利润. 39 答 案 : 设 每 天 调 出 A 型 车 x 辆 , B 型 车 y 辆 , 公 司 所 花 的 成 本 为 z 元

?x ? 8 ?y ? 4 ? ? ? x ? y ? 10 ? ?4 x ? 6 ? 3 y ? 10 ? 180 ? x ? 0, x ? Z ? ? ? y ? 0, y ? Z
z=320x+504y(其中 x,y∈Z) 作出上述不等式组所确定的平面区域如图阴影所示即可行域. 由图易知,当直线 z=320x+504y 在可行域内经过的整数点中,点(5,2)使 z=320x +504y 取得最小值,zmin=320×5+504×2=2608. ∴每天调出 A 型车 5 辆,B 型车 2 辆,公司所花成本最低.

12


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