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2009第一轮复习05----二次函数的最值问题讲义


二次函数的最值问题讲义
一、知识要点: 一元二次函数的区间最值问题,核心是对函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为:对 称轴在区间的左边,中间,右边三种情况. 设 f ( x ) ? a x ? b x ? c ( a ? 0 ) ,求 f ( x ) 在 x ? [ m , n ] 上的最大值与最小值。
2

分析:将 f ( x ) 配方,得对称轴方程 x ? ? 当 a ? 0 时,抛物线开口向上 若? 若?
b 2a b 2a ? [m , n]

b 2a

? [ m , n ] 必在顶点取得最小值,离对称轴较远端点处取得最大值;

当 a ? 0 时,抛物线开口向上,此时函数在 [ m , n ] 上具有单调性,故在离对称轴 x ? ?

b 2a

较远

端点处取得最大值,较近端点处取得最小值。当 a ? 0 时,如上,作图可得结论,对二次函数的区间 最值结合函数图象总结如下: 当a ? 0 时
b 1 ? f (m ) , ? ? ( m ? n )( 如 图 1) ? ? 2a 2 ? ? ? f ( n ) , ? b ? 1 ( m ? n )( 如 图 2 ) ? 2a 2 ?
b ? f (n) , ? ? n ( 如 图 3) ? 2a ? b b ? ? ? f (? ), m ? ? ? n(如 图 4) n 2a 2a ? ? b ? m ( 如 图 5) ? f (m ) , ? 2a ?

f ( x ) m ax

f (x) m

i

当a ? 0 时
b ? f (n) , ? ? n ( 如 图 6) ? 2a ? b b ? ? ? f (? ), m ? ? ? n(如 图 7) x 2a 2a ? ? b ? m ( 如 图 8) ? f (m ) , ? 2a ?
第 1 页 共 8 页

f (x) m

a

f ( x ) m in

b 1 ? f (m ) , ? ? ( m ? n )( 如 图 9 ) ? ? 2a 2 ? ? ? f ( n ) , ? b ? 1 ( m ? n )( 如 图 1 0 ) ? 2a 2 ?

二、例题分析归类: (一)、正向型 是指已知二次函数和定义域区间,求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决 这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形:(1)轴定,区间定;(2)轴定,区间变;(3)轴变,区间 定;(4)轴变,区间变。 1. 轴定区间定 例 1. (2008 年陕西卷) 22.本小题满分 14 分) 设函数 f ( x ) ? x ? a x ? a x ? 1, g ( x ) ? a x ? 2 x ? 1, 其中实数 a ? 0 .
3 2 2 2

(Ⅰ)若 a ? 0 ,求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)当函数 y ? f ( x ) 与 y ? g ( x ) 的图象只有一个公共点且 g ( x ) 存在最小值时,记 g ( x ) 的最小值为 h ( a ) ,求 h ( a ) 的值域; (Ⅲ)若 f ( x ) 与 g ( x ) 在区间 ( a , a ? 2 ) 内均为增函数,求 a 的取值范围. 2. 轴定区间动 例 2. (全国卷) 设 a 为实数,函数 f ( x ) ? x ? | x ? a | ? 1, a ? R , ,求 f(x)的最小值。 3. 轴动区间定
2

评注:已知 f ( x ) ? a x ? b x ? c ( a ? 0 ) ,按对称轴与定义域区间的位置关系,由数形结合可得 f ( x ) 在 [ m , n ] 上的最大值或最小值。
2

例 3.求函数 y ? ? x ( x ? a ) 在 x ? [ ? 1 , 1] 上的最大值。 4. 轴变区间变 例 4. 已知 y ? 4 a ( x ? a )( a ? 0 ), ,求 u ? ( x ? 3) ? y 的最小值。 (二)、逆向型 是指已知二次函数在某区间上的最值,求函数或区间中的参数值。
2

2

2

例 5. 已知函数 f ( x ) ? a x ? 2 a x ? 1 在区间 [ ? 3, 2 ] 上的最大值为 4,求实数 a 的值。
2

例 6. 已知函数 f ( x ) ? ?

x

2

? x 在区间 [ m , n ] 上的值域是 [3 m , 3 n ] ,求 m,n 的值。

2

第 2 页 共 8 页

练习: 1、(2008 江西卷 21). 已知函数 f ( x ) ?
1 4 x ?
4

1 3

ax ? a x ? a (a ? 0)
3 2 2 4

(1)求函数 y ? f ( x ) 的单调区间; (2)若函数 y ? f ( x ) 的图像与直线 y ? 1 恰有两个交点,求 a 的取值范围. 2、已知二次函数 f ( x ) ? a x ? ( 2 a ? 1) x ? 1 在区间 [ ? , 2 ] 上的最大值为 3,求实数 a 的值。
2

3 2

3、(2008 山东卷 21.)(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x ) ? x e
2 x ?1

? a x ? b x ,已知 x ? ? 2 和 x ? 1 为 f ( x ) 的极值点.
3 2

(Ⅰ)求 a 和 b 的值; (Ⅱ)讨论 f ( x ) 的单调性; (Ⅲ)设 g ( x ) ?
2 3 x ? x ,试比较 f ( x ) 与 g ( x ) 的大小.
3 2

第 3 页 共 8 页

2009 届高三第一论复习二次函数的最值问题讲义参考答案
例题答案: 例 1. 解:(Ⅰ)?
2 2 f ? ( x ) ? 3 x ? 2 a x ? a ? 3( x ?

a 3

)( x ? a )
a 3

,又 a

? 0



? 当 x ? ? a或 x ?

a 3

时, f ? ( x ) ? 0 ;当 ? a ? x ?
a 3

时, f ? ( x ) ? 0 ,
a 3 ) 内是减函数.

? f ( x) 在 (?? , ? a ) 和 (
3

, ? ? ) 内是增函数,在 ( ? a ,
2 2

(Ⅱ)由题意知 x ? a x ? a x ? 1 ? a x ? 2 x ? 1 ,
2

即 x [ x ? ( a ? 2 )] ? 0 恰有一根(含重根).? a ? 2 ≤ 0 ,即 ? 2 ≤ a ≤ 2 ,
2 2

2

又 a ? 0 ,? a ? [ ? 2 , 0 ) ? (0, 2 ] . 当 a ? 0 时, g ( x ) 才存在最小值,? a ? (0 , 2 ] .? g ( x ) ? a ( x ?
1 a a 1 a
?

) ?a?
2

1 a



h(a ) ? a ?

, a ? (0 ,

2].

? h ( a ) 的值域为 ( ? ? ,1 ?

2 2

].
1 a

(Ⅲ) a ? 0 时, f ( x ) 在 ( ? ? , ? a ) 和 ( , ? ? ) 内是增函数,g ( x ) 在 ( , ? ? ) 内是增函数. 当
3

? ?a ? 0 ? a ? 由题意得 ? a ? ,解得 a ≥ 1 ; 3 ? 1 ? ?a ? a ?

当 a ? 0 时, f ( x ) 在 ( ? ? , ) 和 ( ? a , ? ? ) 内是增函数, g ( x ) 在 ( ? ? , ) 内是增函数.
3 a

a

1

? ?a ? 0 ? a ? 由题意得 ? a ? 2 ? ,解得 a ≤ ? 3 ; 3 ? 1 ? ?a ? 2 ? a ?

综上可知,实数 a 的取值范围为 ( ? ? , ? 3] ? [1, ? ? ) .

例 2.(1)当 x ? a 时, f ( x ) ? ( x ?

1 2

) ?
2

3 4

?a

第 4 页 共 8 页

①若 a ? ? ②若 a ? ?

1 2 1 2

,则 f ( x ) m in ? f ( ?

1 2

)?
2

3 4

?a;

,则 f ( x ) m in ? f ( a ) ? a ? 1
1 2 ) ?
2

(2)当 x ? a 时, f ( x ) ? ( x ? ①若 a ? ②若 a ?
1 2 1 2

3 4

?a

,则 f ( x ) m in ? f ( a ) ? a ? 1 ;;
2

,则 f ( x ) m in ? f ( ) ?
2 1 2

1

3 4

?a 3 4 ? a ;当 ? 1 2 ? a ? 1 2

综上所述,当 a ? ?
f ( x ) m in ? 3 4 ?a。

时, f ( x ) m in ?

时, f ( x ) m in ? a ? 1 ;当 a ?
2

1 2

时,

例 3. 解析: 函数 y ? ? ( x ?

a 2

) ?
2

a

2

图象的对称轴方程为 x ?

a 2

, 应分 ? 1 ?

a

4

a a ? 1 , ? ?1 , ? 1 2 2 2

即 ? 2 ? a ? 2 , a ? ? 2 和 a ? 2 这三种情形讨论,下列三图分别为 (1) a ? ? 2 ;由图可知 f ( x ) m ax ? f ( ? 1) (2) ? 2 ? a ? 2 ;由图可知 f ( x ) m a x ? f ( )
2 a

(3) a ? 2 时;由图可知 f ( x ) m ax ? f (1)

? y 最大

? ? ( a ? 1) , a ? ? 2 ? f ( ? 1) , a ? ? 2 ? 2 ? a ?a ? ,?2 ? a ? 2 ? ? f ( ) , ? 2 ? a ? 2 ;即 y 最大 ? ? 4 2 ? ? ?a ? 1 , a ? 2 ? ? f (1) , a ? 2 ?
2

例 4.解析:将 y ? 4 a ( x ? a ) 代入 u 中,得



,即

时,
第 5 页 共 8 页

② 所以

,即

时,

例 5. 解析: f ( x ) ? a ( x ? 1) ? 1 ? a , x ? [ ? 3, 2 ]
2

(1)若 a ? 0, f ( x ) ? 1, ,不合题意。 (2)若 a ? 0, 则 f ( x ) m ax ? f ( 2 ) ? 8 a ? 1 由 8 a ? 1 ? 4 ,得 a ?
3 8

(3)若 a ? 0 时,则 f ( x ) m ax ? f ( ? 1) ? 1 ? a 由 1 ? a ? 4 ,得 a ? ? 3 综上知 a ?
3 8

或 a ? ?3 中 1 与m,
m?n 2 , n 的位置关系。

例 6.解析 1:讨论对称轴 ①若 解得 ②若
m ?n 2

,则 ?

? f ( x ) m ax ? f ( n ) ? 3 n ? f ( x ) m in ? f ( m ) ? 3 m

? f ( x ) m a x ? f (1) ? 3 n ? 1 ? n ,则 ? ,无解 ? f ( x ) m in ? f ( m ) ? 3 m
m?n 2

③若 m ? 1 ?

,则 ?

? f ( x ) m a x ? f (1) ? 3 n ? f ( x ) m in ? f ( n ) ? 3 m

,无解

④若

,则 ?

? f ( x ) m ax ? f ( m ) ? 3 n ? f ( x ) m in ? f ( n ) ? 3 m
1 2 1 2

,无解

综上, m ? ? 4, n ? 0 解析 2:由 f ( x ) ? ? 所以 ?
( x ? 1) ?
2

,知 3 n ?

1 2

,n ?

1 6

, ,则 [ m , n ] ? ( ? ? ,1] ,f(x)在 [ m , n ] 上递增。

? f ( x ) m ax ? f ( n ) ? 3 n ? f ( x ) m in ? f ( m ) ? 3 m

解得 m ? ? 4, n ? 0 评注:解法 2 利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值,缩小了 m,n 的取值范围,避开了繁难的分类 讨论,解题过程简洁、明了。

练习答案: 1、解:(1)因为
3 2 2 f ? ( x ) ? x ? a x ? 2 a x ? x ( x ? 2 a )( x ? a )

令 f ? ( x ) ? 0 得 x1 ? ? 2 a , x 2 ? 0, x 3 ? a 由 a ? 0 时, f ? ( x ) 在 f ? ( x ) ? 0 根的左右的符号如下表所示

第 6 页 共 8 页

x
f ?( x )
f ( x)

(?? , ?2a )

?2a
0

(?2a, 0)

0
0

(0, a )

a
0

(a, ?? )

?
?

?
?

?
?

?
?

极小值

极大值

极小值

所以 f ( x ) 的递增区间为 ( ? 2 a , 0 ) 与 ( a , ? ? )
? f ( x ) 的递减区间为 ( ? ? , 2 a ) 与 (0, a )

(2)由(1)得到 f ( x ) 极 小 值 ? f ( ? 2 a ) ? ?
f ( x ) 极 大 值 ? f (0 ) ? a
4

5 3

a , f ( x )极 小 值 ? f (a ) ?
4

7 12

a

4

要使 f ( x ) 的图像与直线 y ? 1 恰有两个交点,只要 ?
4

5 3

a ?1?
4

7 12

a 或a ? 1 ,
4

4

即a ?

12 7

或0 ? a ? 1.

2、分析:这是一个逆向最值问题,若从求最值入手,需分 a ? 0 与 a ? 0 两大类五种情形讨论,过程繁琐不 堪。若注意到 f ( x ) 的最值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到,因此先计算这些点的函数值,再检验 其真假,过程简明。 解:(1)令 f ( ?
2a ? 1 2a ) ? 3 ,得 a ? ? 1 2 3 2

此时抛物线开口向下,对称轴为 故a ? ?
1 2

,且 ? 2 ? [ ?

, 2]

不合题意;
1 2

(2)令 f (2 ) ? 3 ,得 a ? (3)若 f ( ? 综上, a ?
1 2 2 3

,此时抛物线开口向上,闭区间的右端点距离对称轴远些,故 a ?
2 3

1 2

符合题意;

) ? 3 ,得 a ? ? 2 3

,经检验,符合题意。

或a ? ?

评注:本题利用特殊值检验法,先计算特殊点(闭区间的端点、抛物线的顶点)的函数值,再 检验其真假,思路明了、过程简洁,是解决逆向型闭区间二次函数最值问题的一种有效方法。 3、21.解:(Ⅰ)因为 f ? ( x ) ? e x ?1 ( 2 x ? x 2 ) ? 3 a x 2 ? 2 b x ? x e x ?1 ( x ? 2 ) ? x (3 a x ? 2 b ) ,
又 x ? ? 2 和 x ? 1 为 f ( x ) 的极值点,所以 f ? ( ? 2 ) ? f ? (1) ? 0 ,
? ? 6 a ? 2 b ? 0,

因此 ?

? 3 ? 3 a ? 2 b ? 0,

解方程组得 a ? ?

1 3

,b ? ?1 .

第 7 页 共 8 页

(Ⅱ)因为 a ? ?

1 3

x ?1 , b ? ? 1 ,所以 f ? ( x ) ? x ( x ? 2 )(e ? 1) ,

令 f ? ( x ) ? 0 ,解得 x1 ? ? 2 , x 2 ? 0 , x 3 ? 1 .
? 1) 因为当 x ? ( ? ? , 2 ) ? (0, 时, f ? ( x ) ? 0 ; 0 ? 当 x ? ( ? 2,) ? (1, ? ) 时, f ? ( x ) ? 0 . 0 ? ? 所以 f ( x ) 在 ( ? 2,) 和 (1, ? ) 上是单调递增的;在 ( ? ? , 2 ) 和 (0, 上是单调递减的. 1)

(Ⅲ)由(Ⅰ)可知 f ( x ) ? x e
2

x ?1

?

1 3

x ? x ,
3 2

故 f (x) ? g (x) ? x e
2

x ?1

? x ? x (e
3 2

x ?1

? x ) ,令 h ( x ) ? e

x ?1

? x ,则 h ? ( x ) ? e

x ?1

?1 .

1 令 h ? ( x ) ? 0 ,得 x ? 1 ,因为 x ? ? ? ? ,? 时, h ? ( x ) ≤ 0 , 1 1 所以 h ( x ) 在 x ? ? ? ? ,? 上单调递减.故 x ? ? ? ? ,? 时, h ( x ) ≥ h (1) ? 0 ; ? ? 因为 x ? ?1, ? ? 时, h ? ( x ) ≥ 0 ,所以 h ( x ) 在 x ? ?1, ? ? 上单调递增. ? 故 x ? ?1, ? ? 时, h ( x ) ≥ h (1) ? 0 .
? 所以对任意 x ? ( ? ? , ? ) ,恒有 h ( x ) ≥ 0 ,又 x ≥ 0 ,因此 f ( x ) ? g ( x ) ≥ 0 ,
2

? 故对任意 x ? ( ? ? , ? ) ,恒有 f ( x ) ≥ g ( x ) .

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