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数学竞赛教案讲义(16)——平面几何


第十六章

平面几何

一、常用定理(仅给出定理,证明请读者完成) 梅涅劳斯定理 设 A' , B' , C ' 分别是Δ ABC 的三边 BC, CA, AB 或其延长线上的点, 若 A' , B' , C ' 三点共线,则

BA' CB ' AC &#

39; ? ? ? 1. A' C B' A C ' B

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

梅涅劳斯定理的逆定理 条件同上,若

BA' CB ' AC ' ? ? ? 1. 则 A' , B' , C ' 三点共线。 A' C B' A C ' B

塞瓦定理 设 A' , B' , C ' 分别是Δ ABC 的三边 BC, CA, AB 或其延长线上的点, 若 AA' , BB' , CC ' 三线平行或共点,则

BA' CB ' AC ' ? ? ? 1. A' C B' A C ' B

w.w.

塞瓦定理的逆定理 设 A' , B' , C ' 分别是Δ ABC

的三边 BC,CA,AB 或其延长线上的点,若 或互相平行。 角元形式的塞瓦定理

BA' CB ' AC ' ? ? ? 1. 则 AA' , BB' , CC ' 三线共点 A' C B' A C ' B

A' , B' , C ' 分别是 Δ ABC 的三边 BC , CA , AB 所在直线上的点,则
sin ?BAA ' sin ?ACC ' sin ?CBB ' ? ? ? 1. sin ?A' AC sin ?C ' CB sin ?B' BA

AA' , BB' , CC ' 平行或共点的充要条件是

广义托勒密定理 设 ABCD 为任意凸四边形,则 AB?CD+BC?AD≥AC?BD,当且仅当 A,B,C,D 四点共圆时取等号。 斯特瓦特定理 设 P 为Δ ABC 的边 BC 上任意一点,P 不同于 B,C,则有 AP =AB ?
2 2

PC BP 2 +AC ? -BP?PC. BC BC

西姆松定理 过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线,则三垂足共线。 西姆松定理的逆定理 若一点在三角形三边所在直线上的射影共线, 则该点在三角形的外接 圆上。 九点圆定理 三角形三条高的垂足、 三边的中点以及垂心与顶点的三条连线段的中点, 这九 点共圆。 蒙日定理 三条根轴交于一点或互相平行。 (到两圆的幂(即切线长)相等的点构成集合为 一条直线,这条直线称根轴) 欧拉定理 Δ ABC 的外心 O,垂心 H,重心 G 三点共线,且 OG ? 二、方法与例题 1.同一法。即不直接去证明,而是作出满足条件的图形或点,然后证明它与已知图形或点

1 GH . 2

重合。 例 1 在Δ ABC 中,∠ABC=70 ,∠ACB=30 ,P,Q 为Δ ABC 内部两点,∠QBC=∠QCB=10 ,∠ PBQ=∠PCB=20 ,求证:A,P,Q 三点共线。
0 0 0 0

2 面积法。 例 2 ◇ABCD 中,E,F 分别是 CD,BC 上的点,且 BE=DF,BE 交 DF 于 P,求证:AP 为∠BPD 的平分线。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

3.几何变换。 例3 (蝴蝶定理)AB 是⊙O 的一条弦,M 为 AB 中点,CD,EF 为过 M 的任意弦,CF,DE 分

别交 AB 于 P,Q。求证:PM=MQ。

例 4 平面上每一点都以红、蓝两色之一染色,证明:存在这样的两个相似三角形,它们的 相似比为 1995,而且每个三角形三个顶点同色。

4.三角法。 例 5 设 AD,BE 与 CF 为Δ ABC 的内角平分线,D,E,F 在Δ ABC 的边上,如果∠EDF=90 , 求∠BAC 的所有可能的值。
0

5.向量法。 例 6 设 P 是Δ ABC 所在平面上的一点,G 是Δ ABC 的重心,求证:PA+PB+PC>3PG.

6.解析法。 例 7 H 是Δ ABC 的垂心,P 是任意一点,HL ? PA,交 PA 于 L,交 BC 于 X,HM ? PB,交 PB 于 M,交 CA 于 Y,HN ? PC 交 PC 于 N,交 AB 于 Z,求证:X,Y,Z 三点共线。

7.四点共圆。 例 8 直线 l 与⊙O 相离,P 为 l 上任意一点,PA,PB 为圆的两条切线,A,B 为切点,求证: 直线 AB 过定点。

三、习题精选 1.⊙O1 和⊙O2 分别是Δ ABC 的边 AB,AC 上的旁切圆,⊙O1 与 CB,CA 的延长线切于 E,G, ⊙O2 与 BC,BA 的延长线切于 F,H,直线 EG 与 FH 交于点 P,求证:PA ? BC。 2.设⊙O 的外切四边形 ABCD 的对角线 AC,BD 的中点分别为 E,F,求证:E,O,F 三点共 线。 3.已知两小圆⊙O1 与⊙O2 相外切且都与大圆⊙O 相内切,AB 是⊙O1 与⊙O2 的一条外公切线, A,B 在⊙O 上,CD 是⊙O1 与⊙O2 的内公切线,⊙O1 与⊙O2 相切于点 P,且 P,C 在直线 AB 的 同一侧,求证:P 是Δ ABC 的内心。 4.Δ ABC 内有两点 M,N,使得∠MAB=∠NAC 且∠MBA=∠NBC,求证:

AM ? AN BM ? BN CM ? CN ? ? ? 1. AB ? AC BC ? BA CA ? CB
5.Δ ABC 中,O 为外心,三条高 AD,BE,CF 相交于点 H,直线 ED 和 AB 相交于点 M,直线 FD 和 AC 相交于点 N,求证: (1)OB ? DF,OC ? DE; (2)OH ? MN。 6.设点 I,H 分别是锐角Δ ABC 的内心和垂心,点 B1,C1 分别是边 AC,AB 的中点,已知射 线 B1I 交边 AB 于点 B2(B2≠B),射线 C1I 交 AC 的延长线于点 C2,B2C2 与 BC 相交于点 K,A1 为 Δ BHC 的外心。试证:A,I,A1 三点共线的充要条件是Δ BKB2 和Δ CKC2 的面积相等。 7.已知点 A1,B1,C1,点 A2,B2,C2,分别在直线 l1,l2 上 ,B2C1 交 B1C2 于点 M,C1A2 交 A1C2 于点 N,B1A2 交 B2A1 于 L。求证:M,N,L 三点共线。 8.Δ ABC 中,∠C=90 ,∠A=30 ,BC=1,求Δ ABC 的内接三角形(三个顶点分别在三条边上 的三角形)的最长边的最小值。 9.Δ ABC 的垂心为 H,外心为 O,外接圆半径为 R,顶点 A,B,C 关于对边 BC,CA,AB 的对 称点分别为 A' , B' , C ' ,求证: A' , B' , C ' 三点共线的充要条件是 OH=2R。
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