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2013年高中物理竞赛训练题1 运动学部分


2013 年高中物理竞赛训练题 1
一. 知识点 二. 习题训练

运动学部分

1.轰炸机在 h 高处以 v0 沿水平方向飞行,水平距离为 L 处有一目标。(1)飞机投 弹要击中目标,L 应为多大?(2)在目标左侧有一高射炮,以初速 v1 发射炮弹。 若炮离目标距离 D,为要击中炸弹,v1 的最小值为多少?(投弹和开炮是同一时 间)。

2.灯挂在离地板高 h、天花板下 H-h 处。灯泡爆破,所有碎片以同样大小的初速 度 v0 朝各个方向飞去,求碎片落到地面上的半径 R。(可认为碎片与天花板的碰 撞是弹性的,与地面是完全非弹性的。) 若 H =5m,v0=10m/s,g = 10m/s2,求 h 为多少时,R 有最大值并求出该最大值。

3.一质量为m的小球自离斜面上A处高为h的地方自由落下。若斜面光滑,小
球在斜面上跳动时依次与斜面的碰撞都是完全弹性的,欲使小球恰能掉进斜面 上距A点为s的B处小孔中,则球下落高度h应满足的条件是什么?(斜面倾 角 θ 为已知) 4.速度 v0 与水平方向成角 α 抛出石块,石块沿某一轨道飞行。如果蚊子以大小 恒定的速率 v0 沿同一轨道飞行。问蚊子飞到最大高度一半处具有多大加速度? 空气阻力不计。 5.快艇系在湖面很大的湖的岸边 (湖岸线可以认为是直线) 突然快艇被风吹脱, , 风沿着快艇以恒定的速度v0=2.5km/h沿与湖岸成 α =150的角飘去。 你若沿湖岸以速度v1=4km/h行走或在水中以速度 v2=2km/h游去 (1 人能否赶上快艇? (2) 要人能赶上快艇, 快艇速度最多为多大?(两种解法)

6.如图所示,合页构件由两菱形组成,边长分别为2L 和 L,若顶点A以匀加速 度a水平向右运动,当 BC 垂直于 OC 时,A 点速度恰为 v,求此时节点B和节点 C 的加速度各为多大?

7.一根长为 l 的薄板靠在竖直的墙上。某时刻受一扰动而倒下,试确定一平面 曲线 f (x,y) = 0,要求该曲线每时每刻与板相切。(地面水平)。
9.一三角板两直角边分别长a、b。开始时斜面靠 在y轴上,板面垂直于墙,然后A、B分别沿y轴和x 轴运动。求斜边完全与 x 轴重合时,C点所经的路 程。
y A

a

C

b
O x B

10.一只船以 4m/s 的速度船头向正东行驶,海水以 3m/s 的速度向正南流,雨点 以 10m/s 的收尾速度竖直下落。求船中人看到雨点的速度 11。一滑块 p 放在粗糙的水平面上,伸直的水平绳与轨道的夹角为 θ ,手拉绳 的另一端以均匀速度 v0 沿轨道运动,求这时 p 的速度和加速度。

12.

如下图,v1、v2、α 已知,求交点的 v0.

13.两个半径为 R 的圆环,一个静止,另一个以速度 v0 自左向右穿过。求如图 的 θ 角位置(两圆交点的切线恰好过对方圆心)时,交点 A 的速度和加速度。

14.

(1)炸弹飞行时间 t ?
由v0t=L可得
L ? v0 ?

2h g
2h g

(2)在地面参照系中,炮弹和炸弹做的都是曲线运动, 不易研究.我们可以取炸弹为参照物,只要炮弹的合 速度指向飞机即可.在炸弹参照系中,不用考虑g,炮 弹有一水平向左的速度v0和v1,要v0和v1的合速度沿 BA方向,而且又要v1最小,显然要v1垂直于BA,此时

v1 ? v0 ? sin ? ?

v0 h h ? ? L ? D?
2 2

?

v0 h ? ? 2h h2 ? ? v0 ? D? g ? ?
2

(3)若 v0 ? g /(2h) ? (h2 ? D2 ) / D 则只能在炸弹刚落地时,
炮弹恰好击中它,此时v1最小。在地面系中 炸弹平抛

t ? 2h/g ? (2v1 ? sin ? ) / g

*

v1取这个最小值的条件是炸弹尚未落地,即炮弹的飞 行时间要小于炸弹飞行时间

炮弹斜抛
可解得

D ? 2v ? sin ? ? cos? / g
2 1

t?

h2 ? ? L ? D ? v0 ? cos ?

2

h2 ? ? L ? D ? 2h ? ? v0 ? L ? D ? g
2

v1 ? g /( 2h) ? h 2 ? D 2
? g h2 ? D2 ? ? ? v0 ? ? ? 2h D ? ? ? 2 2 ? g h ?D ? ? ? v0 ? ? ? 2h D ? ? ?

将L代人,即:

v0 ?

g h2 ? D2 ? 2h D

最后 vmin

? g ? h2 ? D 2 ? 2h ? ? ?? v0 h ? 2 ? 2h ? 2 ? ? h ? ? v0 g ? D ? ? ? ?

(1)假设碎片不会碰顶,应有

1 2 ? g 2t 4 ? (v0 ? gh)t 2 ? h 2 ? R 2 4 2 2 2(v0 ? gh) ? v0 2 1 ? ? 2 (v0 ? 2gh) ? R 2 配方 ? g 2 ?t 2 ? ? 4 ? g2 ? g 2 2(v0 ? gh) 2 时, 可见,当 t ? g2

(3)因为
所以在不碰顶时,h越大R越大.h可取的最大值是

此时
下面再考虑碎片碰顶的情况

此时

求极值,可得当 h = 3.75m时R有极大值

所以最后的结果是当h=3.75m时,R有最大值12.99m

以上假设要求 即 (2)若h不满足上述要求,则以θ角飞出的碎片将撞击 天花板,飞行轨迹发生变化.此时,抛得最远的 碎片应该是未撞击天花板而最高点恰好和天花板 相切的碎片.这时有
以后每碰一次,都比前一次增加 4v 2 sin? ?x ? ax ?t 2 ? 0 g 因此 n 次碰撞下行的总距离
S ? x1 ? ? x1 ? ?x ? ? ? x1 ? 2?x ? ? .. ? ? ? x1 ? ? n ? 1? ?x ? ? ? ? nx1 ? ?1 ? 2 ? ... ? ? n ? 1? ? ?x ? nx1 ? ? ? ? 2n ? n ? 1? v0 2 sin ? g
2

n ? n ? 1? ?x 2

由以上三式可解得:

又 ? v0 ? 2 gh ? h ?

S 4n ? n ? 1? sin?

?n ? N ?

解:蚊子作匀速率运动,因此只有法向加速度a

2g gH 在 H / 2 处的速度: vx=v0cosα vy= v tan ? ?1 y 可得 tg? = 飞行方向θ= tan vx 2
② g的法向分量

①石子飞行高度 H ? v sin ?
2 0 2

解:取如图所示的x-y坐标,小球第一次弹起的速度为v0

ax= g sinθ, v0x= v0 sinθ,

ay = -gcosθ v0y= v0cosθ

相邻两次与斜面的碰撞之间 的时间

?t =

2voy ay

?

an = g cosθ
2 y

2v0 cos? 2v0 ? g cos? g

这就是石子此时的法向加速度,因此有

小球在x方向上作匀加速运动,第一次弹起的距离

g cos ? ?
可以得到ρ

v ?v
2 x

?

?

v cos ? ? gH
2 0 2

?

1 4v 2 sin? x1 ? vox ?t ? a?t 2 ? 0 2 g

原解①:设人先在岸上跑t1,再在水中游t3(如图),如 果t3<t2,人能追上小船。由余弦定理,能追上的条件是
2 (v1t1 ) 2 ? v0 (t1 ? t 2 ) 2 ? 2v1v0 t1 (t1 +t 2 ) cos ? 2 ? v2 t 3 ? v2 t 2 2 2 2

代入v0、v1、v2、α,可有:
2 2.85t1 ? 6.9t1t 2 ? 2.25t 2 ? 0 2

可因式分解成 (t1-2.04t2)(t1-0.386t2) ≤0 因t2>0 ,故当 0.49t1<t2<2.59t1 时能追上。

原解 ②: 用矢量图解: 从O点开始,过了t1秒,人到A点,艇到B点。将人在水 中的速度沿OB和AB两个方向分解,并使其沿OB方向的 分量v2'恰好等于v0,那么人和艇在OB方向上相对静止, 靠v2"人就一定能追上艇。(关键是上述分解能否进行) 在下图中 ?OAB ∽ ?AED

故有

AE OA v1 ? ? ∵要求 v2 ' ? v0 ∴有 AE=v1(定值) v2 ' OB v0

再看β角,显然,v0越大,β越大,但β太大了,v2就可 能够不到EC,因此,要求v2能够上EC的最大的β角。 在直角 ? AEC 中,由于

v1 4 ? ,故βmax=30? v2 2
α=60? =45? 故 v2 ' (即v0)的最大值为: -15?

vmax ?

v0 cos 45?

? 2 ? 2 ? 2.8km/h

又解: 利用费马原理可知。最省时的追赶路线是
可得α=300。在位移Δ中用正弦定律 由

v1 sin 900 ? v2 sin ?

v1t1 2(t ? t1 ) ? 可得 t= 3t1 vmt 0 sin 45 sin 150 α v2(t-t1) v t vt 代入 1 1 0 ? m 可得 v1t1 sin 45 3 2

vm ? 2 2m / s ? 2.83m / s
只要船速v0<vm,总可以追上。

因为OB的长度总是OA长度的2/3, 所以 2 2 vB ? vA ? v0 3 3

2 2 aB ? a A ? a 3 3
v C点的速度沿CB方向: c ?
C点的向心加速度: a? ?

vB 2 ? v0 3 2

2 vc CO a C点的切向加速度 a// 和 a? 向x方向投影之和等于 ,

3

可求出 a// 。

?? ??? ?? ? ? ? v2 a ? a2 ac ? a? ? a// ? ? A ? ? ? 9 ? 9L 3 ?

2

? 设某一时刻,A、B两端的速度分别为vA和vB,那 么有 ? ? 因为要求曲线处处与杆相切,则杆上该切点C的 速度方向一定是沿杆方向的.设C点离A端的距离 为a,x、y方向的分速度分别为vA和vy,那么应该 有
由 有 ? 因此该曲线的参数方程为 ? 曲线的直角坐标方程

(1)任意时刻,A、B、C、O四点共圆,因此有 ?COB ? ?CAB ? ?
φ是一个定值,即C点始终在 y=tanφ·x 直线上运动. (2)由关联速度可知,C点的速度vC和B点的速度vB沿 BC的分量必须相等.同理,vC和vA沿AC的分量也必 须相等.因此,当BC也垂直于x轴时,vC=O.这个 位置就是C点由向上运动转而向下运动的转折点.所 以C点经过的总路程

S ? 2( a 2 ? b 2 ? a ) ? ( a ? b ) ? 2 a 2 ? b 2 ? ( a ? b)
1.列式

? ? ? ? V雨人 ? V雨地 ? V地水 ? V水人
? ? V水人 ? ?V人水
? ? V地水 ? ?V水地
A

2。作图:如右图
,

3。计算
BD ? DC 2 ? BC2 ? 32 ? 42 ? 5m / s

AD ? AB2 ? BD2 ? 102 ? 52 ? 5 5m / s

V雨人 ? 5 5m / s

方向可用∠BDC和∠ADB来表示

解:由于水平面很粗糙,不沿绳方向的速度很快就被摩 擦力消耗,因此P的速度一定沿绳的方向.那么P的速度

v ? v0 ? cos?

现取Q为参照系.因为Q无加速度,所以P在Q系中的加 ? ? ? 速度等于P在地面系中的加速度 aP ? at ? an 在Q系中,P有一个垂直于PQ的速度

? ? ? vPQ ? vP地 ? v地Q
2 2 v1 v0 ? sin 2 ? an ? ? l l

v1 ? v0 ? sin ?

?v1 v0 ? ? sin ? v0 ? ? ?sin ?? ? ?? ? ? sin ? ? ?t ?t ?t v ?? ? 0 ?sin ? cos ?? ? cos? sin ?? ? sin ? ? ?? ?t at ?
因为△θ很小,所以 cosΔθ=1,sinΔθ=Δθ,因此
2 ?? v0 ? ? sin ? cos? ?t l

at ? v0 cos? ?

以上的at,对自学过高等数学的同学,很容易通过求 导得出.因此
4 ? v 4 ? sin 4 ? v0 ? ap ? ? 0 2 ? 2 sin 2 ? cos 2 ? ? l l ? ? 12

?

2 v0 sin ? l

解1: 在△AA'O中算出OA' 在△OBB'中算出OB’(=A'O') 在△A′OO'中算出OO'

速度叠加法 解2: 令1不动,交点在1上的速度 v2A=v2/sinα ; ? 令2不动,交点在2上的速度v1A=v1/sinα ? ?

v0 ? v1A ? v2 A

2 v0 ? v12 ? v2 ? 2v1v2 cos ? / sin ?

解:A沿圆环运动,其x方向分量 v x ? ∴ vA ?

v0 2sin ?

1 v0 2

又A在水平方向匀速运动ax = 0,可将a分解在切向at和 法向an,有:

an ?

2 2 v0 vA ? R 4 R sin 2 ?

an cos? ? at sin ? ? 0
a?
2 an v0 ? sin ? 4 R sin 3 ?

( 也可用微元法求vA)


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