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1.1.2分类加法计数原理与分步乘法计数原理


选修2-3 1.1分类加法计数原理

分步乘法计数原理(2)

完成一件事有n类不同

完成一件事需要n个步骤,

的方案,

做第1步有m1 种不同的方法,

第1类有m1 种不同的方法, 做第2步有m2种不同的方法, 第2类有m2种不同的方法, …… …… 做第n步有m 种不同的方法,
n

第n类有mn种不同的方法,
完成这件事共有

完成这件事共有

N ? m1 ? m2 ? ? ? mn
种不同的方法。

N ? m1 ? m2 ??? mn
种不同的方法。

解答计数问题的一般思维过程:
完成一件什么事

如何完成这件事

方法的分类

过程的分步

利用加法原理进行计数

利用乘法原理进行计数

练习:
? 1.已知x∈{2,3,7},y∈{-31,-24,4}, 则xy可表示不同的值的个数是 ? ( ) ? A.1+1=2 ? B.1+1+1=3 ? C.2×3=6 ? D.3×3=9 ? [答案] D

5 ?2 设A={a,b,c,d,e,f},B={x,y,z},从A到B共有____种 3 53 不同的映射,从B到A共有________种不同的映射

3:某中学的一栋5层的教学楼,共有三处楼梯,
问从1楼到5楼共有______种不同的走法 81
4:已知两条异面直线a,b上分别有5个点和8个 点,则经过这13个点可以确定___个不同的平面 13 5. 从{-3,-2,-1,0,1,2,3}中任取3个不同的数作为

抛物线方程y=ax2+bx+c(a不等于0)的系数,
如果抛物线过原点,且顶点在第一象限,则这

9 样的抛物线共有____条

例1. 五名学生报名参加四项体育比赛,每人 限报一项,报名方法的种数为多少?又他们争 夺这四项比赛的冠军,获得冠军的可能性有多 少种?(没设并列冠军)
解:(1)5名学生中任一名均可报其中的任一项,因此每 个学生都有4种报名方法,5名学生都报了项目才能算完成 这一事件故报名方法种数为4×4×4×4×4= 45 种 . (2)每个项目只有一个冠军,每一名学生都可能获得 其中的一项获军,因此每个项目获冠军的可能性有5种 故有n=5×5×5×5= 54 种 .

学海导航P8,6 三个比赛项目,六人报名参加。 1)每人参加一项有多少种不同的方法? 36 ? 729 2)每项1人,且每人至多参加一项,有多少种不 同的方法?

练习:

6 ? 5 ? 4 ? 120

3)每项1人,每人参加的项数不限,有多少种不 同的方法? 3 学海导航P3,例1
变式:有四位同学参加三项不同的竞赛

6 ? 216

(1)每位同学必须且只需参加一项竞赛,有多少 种不同的参赛方式? ? 3 ? 3 ? 3 ? 81 3
(2)没项竞赛值允许一位学生参加,有多少种不 同的参赛方式? 4 ? 4 ? 4 ? 64

? [练习] 现有5幅不同的国画,2幅不同的 油画,7幅不同的水彩画. ? (1)从中任选一幅画布置房间,有几种不 同的选法? ? (2)从这些国画、油画、水彩画中各选一 幅布置房间,有几种不同的选法? ? (3)从这些画中选出两幅不同种类的画布 置房间,有几种不同的选法?

[练习] 现有5幅不同的国画,2幅不同的油画, 7幅不同的水彩画. (1)从中任选一幅画布置房间,有几种不同的选法? (2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间 有几种不同的选法? ? [解析] (1)分为三类:从国画中选,有5种 不同的选法;从油画中选,有2种不同的选 法;从水彩画中选,有7种不同的选法.根 据分类加法计数原理共有5+2+7=14种不 同的选法. (2)分为三步:国画、油画、水彩画各有5种、 2种、7种不同的选法,根据分步乘法计数原 理,共有5×2×7=70种不同的选法.

[练习] 现有5幅不同的国画,2幅不同的油画, 7幅不同的水彩画. ?(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间, 有几种不同的选法? (3)分为三类:第一类是一幅选自国画,一 幅选自油画,由分步乘法计数原理知,有 5×2=10种不同的选法. 第二类是一幅选自国画,一幅选自水彩画, 有5×7=35种不同的选法. 第三类是一幅选自油画,一幅选自水彩画, 有2×7=14种不同的选法,所以有10+35 +14=59种不同的选法.

? [点评] 用两个计数原理解决具体问题时, 首先要分清是“分类”还是“分步”,其 次要清楚“分类”或“分步”的具体标准, 在“分类”时要遵循“不重不漏”的原则, 在“分步”时要正确设计“分步”的程序, 注意步与步之间的连续性;有些题目中 “分类”与“分步”同时进行,即“先分 类后分步”或“先分步后分类”.

例2:用0、1、2、3、4这5个数字可组成多少个无 重复数字的: (1)四位密码?(2)四位数?(3)四位奇数?
解:完成“组成无重复数字的四位密码”这件
事需要四个步骤, 第1步,取左边第一位上的数字,有5种选取方法; 第2步,取左边第二位上的数字,有4种选取方法; 第3步,取左边第三位上的数字,有3种选取方法

第4步,取左边第四位上的数字,有2种选取方法
有分步乘法计数原理知,可以组成不同的四位密 码共有N=5×4×3×2=120(个)

例2:用0、1、2、3、4这5个数字可组成多少个无 重复数字的: (1)四位密码?(2)四位数?(3)四位奇数?
解:完成“组成无重复数字的四位数”这件
事需要四个步骤, 特殊元素特殊位置优先考虑 第1步,取左边第一位上的数字,有4种选取方法; 第2步,取左边第二位上的数字,有4种选取方法; 第3步,取左边第三位上的数字,有3种选取方法

第4步,取左边第四位上的数字,有2种选取方法
有分步乘法计数原理知,可以组成不同的四位密 码共有N=4×4×3×2=96(个)

例2:用0、1、2、3、4这5个数字可组成多少个无 重复数字的: (1)四位密码?(2)四位数?(3)四位奇数?
解:法二:四位密码与四位数区别在与:四位密码, 首位可以位0,而作为四位数,首位不能位0,除此之外, 是相同的,因此,只需求出首位位0的四位密码有多少个

就可以了
当首位是0是,第二位有4种选法,第三位有3种选法,

第四位有2种选法,由分步计数原理知,首位为0的四
位密码的个数是1×4×3×2=24个 所以无重复数字的四位数的个数为120-24=96

例2:用0、1、2、3、4这5个数字可组成多少个无 重复数字的: (1)四位密码?(2)四位数?(3)四位奇数? 解:完成“组成无重复数字的四位奇数”这件

事需要分两类,
第1类,这个四位奇数的个位数字是1。 分三个步骤去完成:有1×3×3×2=18个 第2类,这个四位奇数的给个位数字是3。 分三个步骤去完成:有1×3×3×2=18个 由分类加法计数原理,组成四位无重复数字的 奇数有18+18=36

例3: 7名学生中有3名会下象棋但不会下围棋,有2 名学生会下围棋但不会下象棋,另2名既会下象棋又 会下围棋,现从中各选1人同时参加象棋比赛和围棋 比赛,共有多少种不同的选法? 分析:称“既会下象棋又会下围棋”为多面手, 选出会下围棋和会下象棋各1人分四类” 第一类:不选多面手 第二类:从多面手中选1人参加围棋比赛 第三类:从多面手中选1人参加象棋比赛 第四类:从多面手中各选1名参加围棋比赛和象棋比赛

例3: 7名学生中有3名会下象棋但不会下围棋,有2 名学生会下围棋但不会下象棋,另2名既会下象棋又 会下围棋,现从中各选1人同时参加象棋比赛和围棋 比赛,共有多少种不同的选法? 解:第一类:从3名只会下象棋的学生中选1名参加 象棋比赛,同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加

围棋比赛,由分步乘法计数原理N1=3×2=6(种)

例3: 7名学生中有3名会下象棋但不会下围棋,有2 名学生会下围棋但不会下象棋,另2名既会下象棋又 会下围棋,现从中各选1人同时参加象棋比赛和围棋 比赛,共有多少种不同的选法? 第二类:从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比 赛,同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名 参加围棋比赛,由分步乘法计数原理N2=3×2= 6(种).

第三类:从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比 赛,同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名 参加象棋比赛,由分步乘法计数原理N3=2×2= 4(种).

例3: 7名学生中有3名会下象棋但不会下围棋,有2 名学生会下围棋但不会下象棋,另2名既会下象棋又 会下围棋,现从中各选1人同时参加象棋比赛和围棋 比赛,共有多少种不同的选法? 第四类:从2名既会下象棋又会下围棋的学 生中各选1名参加围棋比赛和象棋比赛,有 N4=2(种). 综上,由分类加法计数原理可知,不同选法 共有N=N1+N2+N3+N4=6+6+4+2= 18(种). 法二:3×4+2×3=18

失误防范
用两个计数原理解决具体问题时,首先要分 清是“分类”还是“分步”,其次要清楚“分类” 或“分步”的具体标准,在“分类”时要做到“ 不重不漏”,在“分步”时要正确设计“分步” 的程序,注意步与步之间的连续性.

对于较复杂的问题,可以在分类方法中分步进行,或 者在每步中分类. 练习: 某外语组有9人,每人至少会英语和日语中的 一门,其中7人会英语,3人会日语,从中选出会英语 和日语的各一人,有多少种不同的选法?

三维设计课时训练:P59,8

课时训练:P59,7

?1(1) 设A={-1,2,3},B={-4,-5,6,7},现从A、B中 各取一个元素作为点P的坐标,则可得到 3×4×2=24 1×2+2×1=4 _________ 个不同的点,可得到________________ 个二象限的点

?(2) 设A={1,2,3},B={1,4,5,6,},现从A、B中
各取一个元素作为点P的坐标,则可得到 3×4×2-1=23 __________________个不同的点 ?3 书架上原来有并排放着5本不同的书,现要插入 三本不同的书,则不同的查法的种数_________ 6×7×8=336

3.从6人中选4人分别到巴黎,伦敦,悉尼, 莫斯科四个城市游览,要求每个城市有一 人游览,每人只游览一个城市,且这6人 中甲,乙2个不去巴黎游览,则不同的选 择方案共有( ) A.300种 B.240种 C.144种 D.96种 ? [答案] B ? [解析] 能去巴黎的有4个人,依次去伦敦, 悉尼,莫斯科的有5个人,4个人,3个人, 故 不 同 的 选 择 方 案 为 4×5×4×3 = 240(种).故选B.

课堂练习

4.如图,该电
路,从A到B共 有多少条不 同的线路可 通电?

A

B

解: 从总体上看由A到B的通电线路可分三类,
第一类, m1 = 3 条 第二类, m2 = 1 条 第三类, m3 = 2×2 = 4, 条

所以, 根据分类原理, 从A到B共有 N=3+1+4=8 条不同的线路可通电。

在解题有时既要分类又要分步。

5、将数字1,2,3,4,填入标号为1,2,3,4的四个 方格里,每格填一个数字,则每个格子的标 号与所填的数字均不同的填法有_____种
1号方格里可填2,3,4三个数字,有3种填 法。1号方格填好后,再填与1号方格内数字相 同的号的方格,又有3种填法,其余两个方格只 有1种填法。
所以共有3*3*1=9种不同的方法。

两个计数原理
分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 用来计算“完成一件事”的方法种数 分类完成 类类相加 分步完成 步步相乘 不同点 每类方案中的每一 独立 种方法都能______ 完成这件事 依次完成 每步_________才 算完成这件事情 (每步中的每一种 方法不能独立完成 这件事)

注意点 类类独立 不重不漏 步步相依 步骤完整

? [ 例 2] 已 知 a∈{3,4,6} , b∈{1,2,7,8} , r∈{8,9},则方程(x-a)2+(y-b)2=r2可表 示不同的圆的个数有多少个? ? [解析] 圆方程由三个量a,b,r确定,a, b,r分别有3种,4种,2种选法,由分步 乘法计数原理,表示不同的圆的个数为 3×4×2=24(个).

【思路点拨】 再分类选人.

分清只会英语、只会日语和会两种外语的人数,

【解】 依题意得既会英语又会日语的有7+3-9=1(人),6人 只会英语,2人只会日语. 第一类:从只会英语的6人中选一人有6种方法,此时会日语的 有2+1=3(种). 由分步乘法计数原理可得N1=6×3=18(种). 第二类:不从只会英语的6人中选一人有1种方法,此时会日语的 有2种. 由分步乘法计数原理可得N2=1×2=2(种).

综上,由分类加法计数原理可知,不同选法共有N=N1+N2=18 +2=20(种).
【思维总结】 干什么”活. 这种“多面手”的题型,关键分清“多面手”可以“


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