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江西省南昌市第二中学2015-2016学年高二数学上学期第三次考试试题 文


南昌二中 2015—2016 学年度上学期第三次考试 高二数学(文)试卷
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) Δy 2 1. 在曲线 y=x +1 的图象上取一点(1,2)及附近一点(1+Δ x,2+Δ y),则 为 ( Δx 1 1 1 A.Δ x+ +2 B.Δ x- -2 C.Δ x+2 D.2+Δ x- Δx Δx Δx 2.抛物线 y =4x 的焦点到双曲线 x - A.
2 2

)

y2 =1 的渐近线的距离是( 3
C.1 D.

)

1 2

B.

3 2

3

3.下列命题中正确的是( ) A.若 p ? q 为真命题,则 p ? q 为真命题

b a ? ? 2 ”的充分必要条件 a b 2 C.命题“若 x ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 或 x ? 2 ”的逆否命题为“若 x ? 1 或 x ? 2 ,则 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ” 2 D.命题 p : ?x0 ? R ,使得 x0 ? x0 ?1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R ,使得 x2 ? x ? 1 ? 0
B.“ a ? 0 , b ? 0 ”是“ 4. 圆 x 2 ? y 2 ? 1与直线 y ? kx ? 2 没有 公共点的充要条件是( .. A. k ? (? 2,2) C. k ? (?∞, ? 2) ? ( 2,∞ ? ) B. k ? (? 3,3) D. k ? (?∞, ? 3) ? ( 3,∞ ? ) )

5.已知双曲线的中心在原点,两个焦点 F1,F2 分别为 ( 5, 0) 和 (? 5, 0) ,点 P 在双曲线上且 PF1 ? PF2 ,且 △ PF1 F2 的面积为 1,则双曲线的方程为( )

x2 y 2 x2 y 2 x2 y2 B. ? C. ? y 2 ? 1 D. x2 ? ? ?1 ?1 ?1 2 3 3 2 4 4 6.下列四个结论中,正确的有________(填所有正确结论的序号). ①若 A 是 B 的必要不充分条件,则非 B 也是非 A 的必要不充分条件;[来源:学科网Z-XK] ? ?a>0, 2 ②“? ”是“一元二次不等式 ax +bx+c≥0 的解集为 R”的充要条件; 2 ?Δ =b -4ac≤0 ? 2 ③“x≠1”是“x ≠1”的充分不必要条件; ④“x≠0”是“x+|x|>0”的必要不充分条件. A.①② B. ②③ C. ①②④ D. ②③④ ? ? ? 7.设 f '( x) 为函数 f ( x) 的导函数,且 f ( x) ? sin x ? 2 x ? f '( ), 则 f ( ) 与 f ( ) 的大小关系是( )
A.
?? ? A. f ? ? ? ? 12 ? ?? ? f? ? ?3?
2

?? ? B. f ? ? ? ? 12 ?

?? ? f? ? ?3?

12 3 ?? ? ?? ? C. f ? ? ? f ? ? 12 ? ? ?3?
2

3

D.不能确定

8.已知 p:存在 x∈R,mx +2≤0.q:任意 x∈R,x -2mx+1>0,若 p 或 q 为假命题,则实数 m 的取值范 围是( ). A.[1,+∞) B.(-∞,-1] C.(-∞,-2] D.[-1,1]
?2 x ? y ? 2 ? 0 ?8 x ? y ? 4 ? 0 1 1 ? 9. 设 x, y 满足约束条件 ? ,若目标函数 z ? x ? y(a ? 0, b ? 0) 的最大值为 2, 则 a ? b 的最小值[来源:学+科网ZXK]为 x ? 0 a b ? ? ?y ? 0
1

( A.
9 2

) B.
1 4

C.

2 9

D.4

10. 已知函数 f ( x) ? e x ? mx ? 1 的图像为曲线 C,若曲线 C 存在与直线 y ? 取值范围是( A. m ? 2 ) B. m ? 2 C. m ? ?

1 x 垂直的切线,则实数 m 的 2

1 1 D. m ? ? 2 2 2 2 2 11.已知 ? 为抛物线 y ? 4 x 上一个动点, Q 为圆 x ? ? y ? 4 ? ? 1 上一个动点,那么点 ? 到点 Q 的距离
与点 ? 到抛物线的准线距离之和的最小值是( A. 2 5 ?1 B. 2 5 ? 2 ) C. 17 ? 1 D. 17 ? 2

12. 已知中心 在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,且左右焦点分别为 F1 , F2 ,两条曲线在第一象限的交点 为 P , ?PF1 F2 是 以 PF1 为 底 边 的 等 腰 三 角 形 . 若 PF 1 ? 10 , 椭 圆 与 双 曲 线 的 离 心 率 分 别 为

e1,e2,则e1 ? e2 的取值范围是(
A.



? 0, ?? ?

B. ? , ?? ?

?1 ?3

? ?

C. ? , ?? ?

?1 ?5

? ?

D. ? , ?? ?

?1 ?9

? ?

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. 已知 f ( x) ?

ln x ? 2 x ,求 f / (1) ? __________. 2 x

x2 y2 10 ? ? 1 的离心率 e ? 14. 已知椭圆 ,则 m 的值为___________. 5 m 5 2 15. 若命题“存在实数 x,使 x ? ax ? 1 ? 0 ”的否定是假命题,则实数 a 的取值范围为______________. x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,直线 l 过 F2 ,且交双曲线 C 的右支于 A,B(A 点 16.双曲线 C : 3 ??? ? ??? ? ???? 在 B 点上方)两点,若 OA ? 2OB ? 3OF 1 ? 0 ,则直线的斜率 k=____.

三、解答题(本大题共6小题,共70分)
2 2 17. (x +1)(2-x) ? 0 的解为条件 p ,关于 x 的不等式 x +mx-2m -3m-1 <0 (m>-

2 ) 的解为条件 q . 3

(I)若 p 是 q 的充分不必要条件时,求实数 m 的取值范围. (II)若 p 是 q 的充分不必要条件时,求实数 m 的取值范围.
? ?

18. 已知函数 f(x)=x -3x 及 y=f(x)上一点 P(1,-2),过点 P 作直线 l.
2

3

(I)求使直线 l 和 y=f(x)相切,且以 P 为切点的直线方程; (II)求使直线 l 和 y=f(x)相切,且切点异于 P 的直线方程.

19. 以直角坐标系的原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单位已知直线 l 的 参数方程为 ?

? x ? 1 ? t cos a (t 为参数, 0 ? a ? ? ) ,曲线 C 的极坐标方程为 ? sin 2 ? ? 4cos ? ? y ? t sin a

(I)求曲线 C 的直角坐标方程。 (II)设直线 l 与曲线 C 相交于 A,B 两点,当 a 变化时,求 AB 的最小值

20. 已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 2 cos ? ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴,建

? 3 x? t?m ? ? 2 立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程是 ? ( t 为参数) . ?y ? 1 t ? ? 2 ? ? ? 求曲线 C 的直角坐标方程与直线 l 的普通方程;

? ?? ? 设点 ? ? m,0? ,若直线 l 与曲线 C 交于 ? , ? 两点,且 ?? ? ?? ? 1,求实数 m 的值.

x2 x2 y 2 ? y 2 ? 1 ,椭圆 C2 : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点坐标为 ( 5 , 0) ,斜率为 1 的直线 l 与椭 2 a b 圆 C2 相交于 A ,B 两点,线段 AB 的中点 H 的坐标为 (2 , ? 1) . (Ⅰ)求椭圆 C2 的方程; ??? ? ???? ? ???? (Ⅱ)设 P 为椭圆 C2 上一点,点 M , N 在椭圆 C1 上,且 OP ? OM ? 2ON ,则直线 OM 与直线 ON 的 斜率之积是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由. y P M N
21. 椭圆 C1 :

3

O

x

22. 如图所示,作斜率为 ?

1 2 的直线 l 与抛物线 D : 2 y ? x 相交于不同的两点 B、C,点 A(2,1)在直线 l 的 4
y A x O B C

右上方. (I)求证:△ABC 的内心在直线 x=2 上; (II)若 ?BAC ? 90 ,求△ABC 内切圆的半径.
o

4

南昌二中 2015—2016 学年度上学期第三次考试 高二数学(文)试卷参考答案 一.选择题:CBDBC CCAAB CB.

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. 2 ln 2 ? 3 14. 3 或

25 3

15. a ? ?2 ,或 a ? 2

16. 11

三、解答题 17.(1)设条件 p 的解集为集合 A,则 A ? {x | -1 ? x ? 2} 设条件 q 的解集为集合 B,则 B ? {x | -2m - 1 ? x ? m ? 1} 若 p 是 q 的充分不必要条件,则 A 是 B 的真子集

? ?m ? 1 ? 2 ? ?? 2m ? 1 ? ?1 ? m ? 1 ? 2 ?m ? ? 3 ? ? (2)若 p 是 ? q 的充分不必要条件, 则 B 是 A 的真子集 ? ?m ? 1 ? 2 ? 2 ?? 2m ? 1 ? ?1 ? ? ? m ? 0 3 ? 2 ?m ? ? 3 ?
18. 解析: (1)由 f(x)=x -3x, 得 f′(x)=3x -3, 过点 P 且 以 P(1, -2)为切点的直线的斜率 f′(1) =0, ∴所求直线方程为 y=-2. (2)设过 P(1,-2)的直线 l 与 y=f(x)切于另一点(x0,y0), 2 则 f′(x0)=3x0 -3. 又直线过(x0,y0),P(1,-2), y0-?-2? x03-3x0+2 故其斜率可表示为 = , x0-1 x0-1 x03-3x0+2 2 又 =3x0 -3, x0-1 3 2 即 x0 -3x0+2=3(x0 -1)(x0-1), 1 解得 x0=1(舍去),或 x0=- , 2 9 ?1 ? 故所求直线的斜率为 k=3×? -1?=- . 4 4 ? ? 9 ∴直线 l 的方程为 y-(-2)=- (x-1), 4 即 9x+4y-1=0. 19.解析:( 1 ) 由 ? sin
2
3 2

? ? 4 cos? ,得 ( ? sin ? ) 2 ? 4? cos?
2 2

所以曲线 C 的直角坐标方程为 y ? 4 x ??????????(4 分)
2 2 (2)将直线 l 的参数方程代入 y ? 4 x ,得 t sin a - 4t cos a - 4 = 0

设 A、B 两点对应的参数分别为 t1、t2,则 t1+t2=

4 cos ? 4 ,t1t2= ? , 2 sin ? sin 2 ?
5

∴|AB|=|t1-t2|= ?t1+t2? -4t1t2= 当a =

2

16cos2 ? 16 4 , ? ? 4 2 sin ? sin ? sin 2 ?

p 时,|AB|的最小值为 4 2

20. 解: (Ⅰ)由 ? ? 2 cos? ,得: ? 2 ? 2 ? cos ? ,∴ x 2 ? y 2 ? 2 x ,即 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1 , ∴曲线 C 的直角坐标方程为 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1 .

?3 分

? 3 ? ?x ? 2 t ? m 由? ,得 x ? 3 y ? m ,即 x ? 3 y ? m ? 0 , 1 ? y? t ? 2 ?
∴直线的普通方程为 x ? 3 y ? m ? 0 .

?? 5 分

? 3 2 x ? t?m ? ? 3 ? ? 1 ?2 ? 2 2 2 ? (Ⅱ)将 ? 代入 ( x ? 1) ? y ? 1 ,得: ? t ? ? 1, ? 2 t ? m ? 1? ? ? 1 2 ? ? ? ? ? y? t ? 2 ?
整理得: t ? 3 (m ? 1)t ? m ? 2m ? 0 ,
2 2

由 ? ? 0 ,即 3(m ? 1) ? 4(m ? 2m) ? 0 ,解得: ? 1 ? m ? 3 .
2 2

设 t1 , t 2 是上述方程的两实根,则 t1 ? t2 ? ? 3 (m ? 1), t1t2 ? m ? 2m ,
2

?8 分

又直线过点 P (m,0) ,由上式及的几何意义得

| PA | ? | PB |?| t1t 2 |?| m 2 ? 2m |? 1 ,解得: m ? 1 或 m ? 1 ? 2 ,都符合 ? 1 ? m ? 3 ,
因此实数 m 的值为或 1 ? 2 或 1 ? 2 . 21. 解析: (Ⅰ)设 A( xA , y A ) , B( xB , yB ) , H ( xH , yH ) ,则

??10 分

2 2 ? xA yA ? ? 1, ? y A ? yB b 2 x A ? xB b 2 xH ? a 2 b2 ? ? ? ? ? ? ∴ ,??????????2 分 y ? 2 2 2 a y A ? yB a 2 yH ? xB ? y B ? 1 , x A ? x B P ? ? a 2 b2 M N 又 l 的斜率为 1, H 的坐标为 (2 , ? 1) ,

O b2 2 x ? ,即 a 2 ? 2b 2 , 2 a ?1 2 又 a ? b2 ? 5 ,∴ b2 ? 5 , a2 ? 10 ,????????????????????4 分
∴1 ? ?

x2 y 2 ? ? 1 .??????????????????????????5 分 10 5 (Ⅱ)设 P( x0 , y0 ) , M ( x1 , y1 ) , N (x2 , y2 ) ,则 ??? ? ???? ? ???? ? x0 ? x1 ? 2 x2 , ∵ OP ? OM ? 2ON ,∴ ? ?????????????????7 分 ? y0 ? y1 ? 2 y2 . 2 2 ? 2 y0 ? 10 , ∴ ( x1 ? 2 x2 )2 ? 2( y1 ? 2 y2 )2 ? 10 , 又 x0
∴ C2 :
2 2 ? 2 y2 ) ? 4x1 x2 ? 8 y1 y2 ? 10 ,??????????????9 分 即 x12 ? 2 y12 ? 4( x2
2 2 ? 2 y2 ? 2, 又 x12 ? 2 y12 ? 2 ,x2 ∴ 10 ? 4 x1 x2 ? 8 y1 y2 ? 10 ,即 x1 x2 ? 2 y1 y2 ? 0 , ?????????????11 分 yy 1 ∴ kOM kON ? 1 2 ? ? .??????????????????????12 分 x1 x2 2

6

1 ? 1 ?y ? ? x ?t 22. 解:(1)设 BC 直线为 y ? ? x ? t , B ? x1 , y1 ? , C ? x2 , y 2 ? ,由 ? 得 y 2 ? 2y ? 2t ? 0 4 4 ?2 y 2 ? x ? ? y1 ? y2 ? ?2, y1 y2 ? ?2t ???????3 分

? K AB ? K AC ?

y1 ? 1 y2 ? 1 ? 2 y1 y2 ? 2?? y1 ? y2 ? ? 8t ? 4 ? ?4t ? 2 ?? ?2 ? ? 8t ? 4 ? ? ? ?0 x1 ? 2 x2 ? 2 ? x1 ? 2?? x2 ? 2? ? x1 ? 2?? x2 ? 2?
????????????????????5 分

??BAC 的平分线为 x ? 2 ,即 ? ABC 内心在定直线 x ? 2 上??????6 分 ? y ? x ?1 (2) ? ?BAC ? 90o ,由(1)知直线 AB: y ? x ? 1 ,直线 AC: y ? 3 ? x ,由 ? 2 解得 ?2 y ? x 3 2 5 2 ?9 3? ?1 1? B ? , ? ? ,同理可得 C ? , ? ? ? AB ? , AC ? , BC ? 17 .???9 分 2 2 ?2 2? ?2 2? AB ? AC 1 1 ??11 分 ? SRt ? ABC ? ? AB ? AC ? ? AB ? AC ? BC ? ? r ,? r ? 2 2 AB ? AC ? BC
3 2 5 2 ? 4 2 ? 17 2 2 ?r ? ? ???????????????13 分 2 3 2 5 2 ? ? 17 2 2

7


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