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一(9)不等式的综合应用(教师)


源于名校,成就所托
模块: 一、集合、命题、不等式 课题: 9、不等式的综合应用 教学目标: 熟悉不等式应用的主要题型,能够解决一些综合问题. 重难点: 不等式与其他知识点结合的综合题型. 一、 知识要点 1、 求函数的定义域、值域; 2、 讨论函数的单调性; 3、 对函数、数列、三角、向量、空间图形、解析几何中最值的计算与讨论; 4、 研究方程的实根分析; 5、 求参

数的取值范围; 6、 建立不等式模型解应用题.在解综合题、探究题中运用不等式知识. 二、 例题精讲 例 1、已知关于 x 的方程 loga ? x ? 3? ? 1 ? loga ? x ? 2? ? loga ? x ?1? 有实根,求实数 a 的取 值范围. 答案: 0 ? a ? 3 ? 2 2

例 2、已知 a , b 为两个正常数, x, y 为正实数,且

a b ? ? 1 ,求 x ? y 的最小值. x y

答案:

?

a? b

?

2

例 3、关于 x 的二次方程 k ? k ? 1 x ? 2 ? a ? k ? x ? k ? 3ak ? b ? 0 对任意实数 k 均有
2 2 2 2

?

?

根 1.求(1) a、 b 的值; (2)当 k 变化时,另一根的变化范围. 答案: (1) a ? b ? 1 ; (2) ?1 ? x0 ?

5 3

例 4、 如图, 有一块半椭圆形钢板, 其长半轴为 2 r , 短半轴长为 r ,
1/6

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计划将此钢板切割成等腰梯形的形状, 下底 AB 是半椭圆的短轴, 上底 CD 的端点在椭圆上, 记 CD ? 2 x ,梯形面积为 S . (1) 求面积 S 以 x 为自变量的函数式,并写出其定义域; (2) 求面积 S 的最大值. 答案: (1) S ? 2 ? x ? r ? r ? x
2 2

(2) ?0 ? x ? r ? ;

3 3 2 r . 2

*例 5、已知函数 f ? x ? ? 是 ??2, ?1? ? ?2,4? (1) 求 a、b、c ;

x2 ? c 3 为奇函数, f ?1? ? f ? 3? ,且不等式 0 ? f ? x ? ? 的解集 2 ax ? b

2 (2) 是否存在实数 m 使不等式 f ? ?2 ? sin ? ? ? ? m ?

3 对一切 ? ? R 成立?若存在, 求 2

出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由. 答案: (1) a ? 2, b ? 0, c ? ?4 ; (2)不存在

*例 6、 已知奇函数 f ? x ? 的定义域为 R , 且 f ? x ? 在 ?0, ??? 上是增函数, 是否存在实数 m ,

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使 f ? cos 2? ? 3? ? f ? 4m ? 2m cos? ? ? f ? 0? 对所有 ? ? ?0, 合条件的所有实数 m 的范围;若不存在,说明理由. 答案: 4 ? 2 2, ??

? ?? 都成立?若存在,求出符 ? 2? ?

?

?

*例 7、某座水库,设计的最大库容量是 26.2 万米 ,库区的森林覆盖率为 60%,除林地外 其余为裸露地, 林地和裸地分别有 10%和 85%的雨水变成地表水流入水库. 预测连续降雨, 且单位面积降雨量相同,库区在 x 天内降雨的总水量 y (单位:万米 )与天数 x 之间的函 数关系为 y ?
3

3

x ? x ? 18.76 ? ? x ? N * , x ? 30 ? ,水库原有水量 20 万米 3 ,在降雨的第 2 天
3

就开闸泄洪,每天泄洪量为 0.2 万米 .问连续降雨几天后,该水库会发生险情(水库里水 量超过设计的最大库容量就有危险)? 答案:15 天后.

三、

课堂练习

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1、设有两个命题:①不等式 x ? 1 ? x ? m 的解集为 R ;②函数 y ? ? 7 ? 3m ? 是增函数,
x

如果这两个命题中有且只有一个是真命题,则实数 m 的取值范围是 答案: 1 ? m ? 2 2、已知 f ? x ? ? ?



?1, ??1,

x ? 0, ,则不等式 x ? ? x ? 2? ? f ? x ? 2? ? 5 的解集是 x?0



答案: ? ??, ? 2

? ?

3? ?

3、 已知直线 l 过点 P ? 2,1? , 且与 x 轴、 y 轴的正半轴分别交于 A、B 两点,O 为坐标原点, 则三角形 OAB 面积的最小值为 答案:4 4、设 a ? 0 且 a ? 1 ,函数 f ? x ? ? a 解集为 答案: ? 2,3? 5、某公司一年购买某种货物 400 吨,每次都购买 x 吨,运费为 4 万元/次,一年的总存储费 用为 4 x 万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则 x ? 吨. 答案:20 四、课后作业 一、填空题
2 1 、 已 知 不 等 式 5 ? x ? 7 x ? 1 与 不 等 式 x ? bx ? c ? 0 的 解 集 相 同 , 则 b ? c 的 值


lg x 2 ? 2 x ?3

?

? 有最大值,则不等式 log x 2 ? 5 x ? 7 ? 0 的 ? a?



为 答案:



11 4

2、若关于 x 的方程 答案: a ?

lg 2 x ? 2 无实数解,则实数 a 的取值范围是 lg ? x ? a ?



1 2
,若 f ? x ? ? 5 ,则 x 的取值

3、设函数 f ? x ? ? 2x ?1 ? x ? 3 ,则 f ? ?2? ? 范围是 答案:6; ?1,1 .

?

?
1 a?b? ? lg a ? lg b ? , R ? lg ? ? ? ,则 P、Q、R 的 2 ? 2 ?

4、若 a ? b ? 1 , P ? lg a ? lg b , Q ? 大小关系为 .

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答案: R ? Q ? P
2 5、 设 a ? 0 且 a ? 1, 函数 f ? x ? ? log a x ? 2 x ? 3 有最小值, 则不等式 loga ? x ?1? ? 0 的

?

?

解集为 答案: ? 2, ???



a ?b ? ? 6、 在正实数范围内定义运算 “*” , 其法则如下:
的解集是 答案: .

?log a b ?b
2

a ? b, a?b

, 则不等式 2 ? x ? 3

?

3, 2 ? ?8, ?? ?

?

二、选择题 7 、函数 f ? x ? 在 R 上是增函数, A ? 0, ? 2? , B ? 4,2? 是其图像上的两个点,则不等式

f ? x ? 2 ? ? 2 的解集是(
A、 ? ??, ?2? ? ? 2, ??? C、 ? ??,0? ? ? 4, ???

) B、 ? ?2, 2 ? D、 ? 0, 4 ? )

答案:B 8、在满足面积与周长的数值相等的所有直角三角形中,面积的最小值是( A、

?

2 ?1

?

2

B、 2

?

2 ?1

?

2

C、 3

?

2 ?1

?

2

D、 4

?

2 ?1

?

2

答案:D
x ?1 ? x ? 2, ?2e , 9、设 f ? x ? ? ? ,则不等式 f ? x ? ? 2 的解集为( 2 log x ? 1 , x ? 2 ? ? 3

?

?

) D、 ?1, 2 ?

A、 ?1,2? ? ?3, ??? 答案:C 三、解答题

B、

?

10, ??

?

C、 ?1, 2 ? ?

?

10, ??

?

10、 (1)设函数 f ? x ? ? 2

x ?1 ? x ?1

,求使 f ? x ? ? 2 2 的 x 的取值范围;

(2)已知实数 p 满足不等式 出证明.

2x ?1 ? 0 ,试判断方程 z 2 ? 2 z ? 5 ? p2 ? 0 有无实根,并给 x?2

答案: (1) ? , ?? ? ; (2)无实根,提示:判别式为负.

?3 ?4

? ?

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11、已知函数 f ? x ? ? 2 ?
x

1 . x 2

(1)若 f ? x ? ? 2 ,求 x 的值; (2)若 2 f ? 2t ? ? mf ?t ? ? 0 对于 t ? 1, 2 恒成立,求实数 m 的取值范围.
t

? ?

答案: (1) x ? log 2 1 ? 2 ; (2) ?5, ?? ?

?

?

?

12、已知函数 f ? t ? ? log 2 t , t ? ? 2,8? .

?

?

(1)求 f ? t ? 的值域 G ;
2 2 (2)若对于 G 内所有实数 x ,不等式 ? x ? 2mx ? m ? 2m ? 1 恒成立,求实数 m 的取值

范围. 答案: (1) ? ,3? ; (2) ? ??, ? ? ? 4 ? 6, ?? ? 2 2

?1 ?

? ?

? ?

1? ?

?

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