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2013年广东省广州市(初中)数学老师教学论文(21份)


学案“三何”?
广州市黄埔区教育局教研室 甘晓芬

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学案是教师为提高课堂教学效益而设计、以课时为单位、印制并发至学生 人手一份,引导课堂教学的材料。 用学案引导学生的课堂学习,有人赞赏,也有不少质疑: 学案与课本、练习册所起的作用有什么不同?如果一样,何必多此一举, 加重教师编写及印刷的负担; 使用学案教学,学生做题多了,是否会培养高分

低能,只会考试的学生; 教师讲解少了,教师的教学基本功是否会萎缩? …… 学案作为课堂学习的媒介,与教材、教辅比,不可替代性在哪?学案、教 案均是教者设计的,前者比后者在教师专业化方面有何优势?本文拟以学案“三 何”为线索解读学案。 一、 “为何” “为何”——学案的好处。? 笔者多年实践表明,于学者而言,使用学案有三大好处:一是为学生提供的 学习条件可以比课本更有针对性; 二是为学生全体实质参与课内学习提供有利条 件; 三是教师有机会在课内看着学生做练习, 学生的作业能得到教师的及时批改、 及时辅导,这对基础较薄、家庭缺乏必要的督促与辅导、学习困难生居多的班级 的数学学习尤其必要。? 于教者而言,使用学案也有三大好处:一是能使集体备课落在实处。学案是 一个载体,备课的结果要体现在学案上,学案是一面镜子,备课的质量可在学生 的学习结果里看出; 二是促使教师丰富学生学习的知识。 对师范出身的教师来说, 学科知识、教学法知识都不会太缺乏,缺乏的是学生对某一主题理解和误解及处 理对策的知识。学案是以学生学习角度设计的,它比以教师如何教为角度设计的 教案更能让教师关注学生的学法, 这对丰富教师 PCK 的知识, 提高教师的专业素 养十分有好处;三是留得住。每课一案留下来,既完整地留下了课前思考痕迹, 又有课堂实施的痕迹,更有不断的反思、锤炼的印记。这些不断锤炼后,写下来 的完整教学资源,既可作为同科组的新老师学习的材料,又可减轻教师日后备课 的负担。? 二、 “如何”? “如何”——如何设计和使用学案才能为学生提供更有利的学习条件。笔者 认为,学案设计可在“目标导学”“课堂导学”“分层学习”等几方面发挥其更 、 、 有利作用。? 1.目标导学。学习始于学习者的注意与预期,现行教材的学习预期是隐性, 因此学案非常有必要将学习目标显性化。学案上书写的目标要发挥其导学功能, 要体现其明确性、递过性与针对性。? 1.1 表达的目标可观察,可检测。? 这样表述的目标我们可能不少见:? 认知目标: 能根据具体问题中的数量关系列出方程, 体会方程是刻画现实世 界数量关系的有效模型。? 能力目标:通过以生活中实际问题的解决,培养学生分析问题、解决问题的 能力;
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情感目标: 渗透数学来源于实践又反过过作用于实践的观点, 培养学生用数 学的意识。? 笔者认为,这样的目标笔者认为有三个问题:? 一是太空。对学生而言,他们是不清楚怎么才算具备了“分析问题和解决问 题能力” ,怎么才叫“体会”了: “方程是刻画现实世界数量关系的有效模型” 。 事实上,这些也不是一节课能达成的。? 二是太泛。学案是以课时为单位的。实际问题与方程内容的学习,数节课才 能完成。 “能根据具体问题中的数量关系列出方程”的表述,不能让学生明确该 课要做的事与上节课、下节课有何不同。? 三是对象错误。教学目标的行为主体是教师。学案是写给学生看的,行为主 体应是学生。? 只有学生看得懂,可观察、可检测,一节课能做到的学习目标,才能在学习 前唤醒学生, 让学者明确 “我要到哪里去?” 课间警醒学生 ; “我在去那里吗?” , 把注意力选择、维持在有效信息上;学习结束促过反思“我到了那里了吗?” 。 真正起到导学的作用。? 1.2 课时目标正向积累指向阶段目标。? 课时的学习积累最终是要达成单元目标,乃至课程标准的目标。所以,课时 学习目标的确定应建立在对单元目标、 课程标准的评估与分解的基础上。 “课 即把 标” “教参”书写的学习目标,按学生需要哪些必要的知识、方法与能力分解出 来,并一步步逆推下去,一直推理到学生具备的知识基础为止。把那些学生不具 备的条件,也正是教师需要教的内容,把这些分解到每节课。这样确定的学习目 标才有价值。? 如实际问题与一元一次方程中的列方程的学习内容,人教版教学参考书上 写的单元学习目标是能够“找出实际问题中的已知数和未知数,分析它们之间 的关系,设未知数,列出方程表示问题中的相等关系方程” ,按教材呈现的解应 用题背景及教学功能的设置,可分解为至少三个由简单到复杂的层次,及相关 解决问题的策略:? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 层次 示例 列方程解决问题的策略 单 数 量 例 1:某校七年级 1 班共有学生 48 人,其 ①找文字中的关键句,把 4 关系问 文字叙述的意思改用式 中女生人数比男生人数的 多 3 人, 这个班 题 了形式表示. 5 等 量 关 有男生多少人? ②借助常见问题的计算 系 : 明 例 2:某商店在某一时间以 60 无聊的价格 公式,沟通问题中数个量 显 → 隐 卖出一件衣服, 亏损了多少元? 之间的关系. 亏损 25%, 蔽 ③能写出相关的等量关 系,并把有效等量关系翻 译为方程. ④用不同的代数式表示 同一个量. 双 数 量 例 3:甲、乙两地相隔 520 千米,A、B 两 ⑤借助 n×4 的二维表格 关 系 问 车分别在甲、 乙两地同时出发, 相向而行. 分析问题中的数量关系. 已 题 知 A 车的速度是 B 车的速度的 1.5 倍,结 ⑥借助线段图,寻找变化 等 量 关 果行车 12 小时两车相遇,求两车的速度. 中的不变量,找到隐含的 系 : 明 例 4:小刚和小强从 A、B 两地同时出发, 等量关系.
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显 → 隐 小刚骑自行车, 小强步行,沿一条路线相向 ⑦ 寻 找 有 效 等 量 关 系 列 蔽 匀速而行,出发后 2h 相遇.相遇时小刚比 方程,对同一个问题设不 小强多行进 24km,相遇 0.5h 小刚到达 B 同 的 未 知 数 列 出 不 同 的 地.两人的行进速度分别是多少? 方程,选择取易解方程. 隐 性 方 例 5:移动电话有两种国内通话计费方式: ⑧设适当的未知数,把问 程问题 其一,套餐月使用费 58 元,含主叫 150 分 题 转 化 为 能 用 一 元 一 次 钟,主叫超时费 0.25 元/分,被叫免费;其 方 程 这 一 工 具 解 决 的 若 二, 套餐月使用费 88 元,含主叫 350 分钟, 干问题 主叫超时费 0.25 元/分,被叫免费.请根据 ⑨ 定 量 分 析 , 整 理 和 组 主叫时间选择省钱的计费方式. 织、处理信息及推理 …… …… …… 如果学生已经掌握了①~④策略, 上表例 3 这种教学层次的学习目标应具体 为: (1)能借助表格分析双数量关系问题中的数量关系; (2)能识别有效等量关 系,并用有效等量关系列方程; (3)通过对同一问题设不同未知列出不同方程的 过程,并解决问题的过程,体会方法的优劣。? 1.3? 要体现学生学习的往返与跟踪。? 学习往往不是一学就懂, 一步到位的。 所以制定学习目标不但要 “往前看” , 也要“往后看” 。尤其是“往后看”的学习目标,更要明示出来提醒学生注意。? ? ? 如“解一元一次方程——去括号”第一课的学习,去括号学生是学过了的, 但许多学生“去括号”没完全过关。那么课时学习目标应包含“纠正去括号的错 误”这方面的要求。? ? 学案表述的学习目标包括三个方面: 一是过去还没有很好解决, 但对这节课 学习有直接影响, 或能在这节课能够连带解决的问题; 二是新课学习的双基目标, 三是新课学习的过程与方法的目标。? 2.课堂导学。这个环节体现的是“如何让学生到那里去” 。学案的“魅力” 在于针对性和自主性。? 2.1 强调为学生自主建构知识提供条件,克服只重视学生记住大量知识而不 能转化转化为分析问题的能力的弊端。? ? 案例: “弧长和扇形的面积第一课时”? 学案设计由学习起点出发:若圆的半径为 r,周长为 C,面积为 S,则? r C S 设计意图(此处不含在学案内) 10 激活原有知识。学习的起点是圆周 长、面积公式及公式变形。左表覆 10 盖了圆周长与圆面积的各种变形训 10 练。这是的继续学习的基础。 归纳:r、C、S 三个量,知 求. ? ? ? ? 揭示新旧知识的联结点: 扇形是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围 成的图形.若扇形的半径为 R,圆心角为 n?,弧长为 l,面积为 S,则? 推导、并运用弧 R n? l S 设计意图 (此处不含在学案内) 长公式与扇形面 10 180 新知识习得阶段: 选择性知觉。 积公式一(空格 10 让学生体会由圆面积、周长分 90 为待求,需要学 10 化为弧长、扇形面积的过程。 60 生填空,下同) 10 1 R n 新知识习得阶段:新命题进入 网络。 …… ……
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变式一(表中的 “√”即已知, 教师可根据学习 反馈调节训练 量,下同。)

√ √ √ √ …… × ×

√ √ √ √ …… √ √ …… √

巩固阶段:通过变式练习,命 题转化为产生式系统,陈述性 知识转化为产生式表征的规 则。训练的线索是由单纯智慧 技能的要求到需要用到认知策 略。 转化阶段:通过精加工,命题 网络重建与改组,知识在头脑 中组成一个有层次、有概括性 和包摄性的结构,并转化为产 生式系统。

推导扇形面积公 √ 式二及应用 …… R

× l × √ √ × √ √ 变式二(三个公 × √ √ 式的灵活运用 √ × √ 归纳:r、n?、l、S 四个量,知 求 . 此设计没有按教材的线索过行,但它有如下优点:? (1)为全体学生进入学习提供条件。学案设计以笔答为主要形式,避免了 优秀生包办课堂,齐答掩盖了部分学生的“不作为”的现象。? (2)为学生先试后学、自主建构创造了有利条件。奥苏伯尔同化论表明, 知识建构和组织遵循两条原则:一是渐近分化的原则;二是综合贯通的原则。从 学生“知道什么”起步,在探索、归纳等关键位置留有“空位” ,例子、练习的 呈现有线索意义,有助于学生形成有层次、有概括性和包摄性的结构性的认知结 构。? (3)帮助学生扫清继续学习的盲点与障碍。本设计没有象教材那样由实际 问题情境出发,也没用教材设计的实际问题作为巩固练习。是因为学习对象在公 式变形、公式推导等这些基础方面有问题,需要补偿、铺叠,需要放慢节奏让学 生体会。? (4)遵循学习规律设计教学过程与学习的条件。本课属于加涅学习结果分 类中智慧技能中的规则学习和自动化程度较高的认知策略学习, 采用了例—规法 学习规则,并用变式训练强化,这正是这个内容学习需要提供的学习过程与学习 条件。所以,本设计与教材设计路线相比是殊路同归,但更适合该班的实际。? (5)诊断性练习、补偿性练习、巩固性练习,变式训练的设计,课内能完 成,表格呈现,教师能快速掌握学生学习的状况,及时批改与辅导,这都为双基 当堂落实提供了保障。? (6)采用的是符号、表格表征技术,既有利于学生抓住其中知识的结构, 也节省了学生阅读文字的时间, 。? 这个例子说明,学案设计的学习过程,未必一定要打破常规,也未必一定要 教材设定的线索。学案需要精心设计的是,新知与学生所具备的双基与能力的连 结,为学生提供更合适、有利的学习条件。? 2.2 学案要为学生化解学习的难点提供条件。? 学数学一定要做题,要满足一定的训练量。学习心理的研究表明,学习造成 的结果,无论是那个领域,都要经历一系列阶段。教材练习、习题一般都是按复 杂性递增与综合性递增两条线设置,但现实中,学习难点、学习的节奏是因生面 异的,教材或教辅都不可能完全照顾到。学案能弥补这个缺漏。?
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如七年级上学期,整式加减形如 3a 2 - 5 - 3(a 2 + a - 2) + 3a 去括号,有些学 生训练多次,错误依然。七年级的学生能回答线段或角求解问题的答案,但不少 学生不能用“推理”的句式表达出来。诸如此类的问题,可以通过设计有针对性 的局部训练让学生过关。? 去括号问题,学生的问题是顾此失彼。设计一组如下的训练及程序,明确要 求学生去括号分两步走,以化解这个问题:? ?

- ( - a 2 + a ? 2) =-( 3

)=

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不能用“推理”句式表示,学生的问题有两个,一是不习惯“言必有据” , 推理的出发点是已知条件或已学过的基本事实,即不知那些内容可作为“因为” (条件) ,那些内容可作为“所以” (结论) ;二是不能实现文字语言、符号语言、 图形语言三者的转让化, 不习惯用符号表示推理。 可设计带有引导性的推理过程。 ? 因为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (题目中的一个条件)? 所以? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(用符号语言表示, 作为下一个推理的因) ? 因为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (题目中的第二个条件)? 所以? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (要求的结论,用符号语言表示)? 由简单到复杂,直接可用的条件由少到多,推理的步骤由二对“因为” “所以” 递进到三对“因为” “所以” ,由直接用条件到需要用性质,从推理只含因、果两 个部分到包括因、果、于由三个部分……。这样较为集中、且层次分明地进行演 缜推于的训练,设置脚手架和台阶让学生拾阶而上,帮助学生过推理的书写关, 发展学生思维的条理性和逻辑性。? ? ? ? ? ? 这种针对学生度身定做的训练,是任何一本教材或教辅都无法代替的。? 3.学案为实现分层异步学习提供条件。? 分层教学是针对大班教学,存在的学有余力的学生“吃不饱” ,学习困难生 跟不上,提出的一种教学方式。但实际课堂上不易操作。学案将学习、训练内容 划分为 A、B、C 三组:A 组,是工具类双基内容。训练分必做(全体学生必做) 与选做(仅提供给学习困难生进行双基的循环练习) ;B 组,小综合类,对学习 困难生不作硬性要求; )C 组,提供给学有余力的学生学习。这样的分层有如下 好处:其一,课堂上“耕者有其田” ,各层次的学生都有自己的一个空间,二是 隐性分层,不挫伤学生学习的积极性;三是,有学生一个上升的空间,让学生一 个一个台阶,拾阶而上。? 三、 “避何”? “避何”——使用学案教学应避免什么。? ??1.要避免没有自已的思考与加工,拿着别人的学案就去上课。? ????? ? ? 目前,因为编写、印刷工作量的原因,学案编制多采取轮流主备,年级共 用的方式。不能忘记学案的最大优势就是针对性。所以使用学案的教师一定要吃 透学案内容,明白主要环节、细节的设计意图,考量各个环节在本班实施的可行 性,进而根据学生实际做适当的删补或流程调整。? ?2.避免只重预设,不注重生成。? 学案只是一种对课堂教学的预设。课堂教学应以学生的反应为关注点。对学 生的课堂反馈增加质疑、变式追问、联系拓展、归纳总结等,都是不可少的。要 免避学案框住了学生的思维以及学生间思维的碰撞, 避免教师主导作用的发挥太 过单一。?
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????? ? 3.避免资源的浪费。? ????? ? 学案既有有学习的流程、知识的结构,又有学生学习过程的印迹,是很有价 值的学习材料。因此,有必要指导学生课后对学习过程和结果进行回顾与反思, 以作为后续学习、考试复习时的重要学习资料。同时教师也需要经常性地对学生 使用学案的情况进行检查,杜绝使用过的学案中仍然留有空白、错误不订正或订 正后依然有错的现象。? ? 4? 避免“满堂做”? 有些课,学案发下去,学生从头做到尾,教师只是帮学生对对答案,这种 课效益肯定是不高的。事实上,同份学案,不同的老师用,效果有很大的差异。 所以不能夸大学案的作用,教师的素养仍是一堂好课的重要条件。? 参考文献:? [1]? ? 皮连生? 学与教的心理学,? 华东师大出版社,2009? [2]? ? 林少杰.中学数学教学顶层设计研究,广东教育出版社,2012? ?

初中数学自主学习有效性的研究与实践
广州市第四十中学 【内容摘要】 培养学生自主学习的态度、使学生形成自主探索的学习习惯,这已是一个广 泛讨论的话题。在实践中,由于学校生源水平不同,教学的切入点不同,难度和 应对的具体方法也就不同。笔者从实际出发,采用构思严谨的教学方法,特别是 对自主预习的关键步骤给学生提供了行之有效的方法。通过三年的实践研究,所 得数据和结果证明,学生自主学习的习惯有效形成,教学效果得到明显的改善, 实验所采取的教学思路和方法是得当的。本文从自主学习研究的目的、意义、方 法和学习的实证研究等方面进行阐述, 为提高初中数学的有效性提供一个新的思 路,以供探讨。 彭天颖

【关键词】自主学习 1

自主预习

自主学习课堂教学

初中数学

探究自主学习的背景

教育部在《新课程标准》中明确地提出了“以人的发展为本” ,倡导自主学 习、合作学习与终身学习,注重培养学生的实践能力与创新能力,促进学生在学 习数学知识和思维训练、人格的健全等方面得到全面、和谐的发展。 《新课程标
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准》还指出,要适当让学生的思维通过与同伴的交流过程中得到拓展,在合作过 程中激发求知欲望进行自主学习与探索。数学教学过程是在老师的引导下,组织 学生自主进行观察、试验、猜测、验证、推理及交流。自主探索与合作交流是学 生学习数学的重要方式。从当前的教育背景与教育方针政策来看,自主学习方式 是一种培养学生发展能力的途径。 然而,我们在实际教学过程中看到,教学的设计与目标实现的效果往往会出 现一定的距离,究其原因是多方面的:有对学生的数学认知能力及个体差异的忽 视、教学目标设置不当、对学生的学习动机及学习情绪引导不当、教师的教学风 格与教学水平的差异、还有外部环境等因素都直接影响自主学习的预想结果。因 此,如何解决影响自主学习的各种阻碍因素,提高学生自主学习的有效性,就很 值得我们要联系实际。拓宽思路,把自主学习有效性的方法作为教学科研探究的 主题。

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自主学习内涵的理解

自主学习是指学习者能够自己制定学习目标及计划、 自我监控学习进展及学 习方法、自我调节学习策略、自我检查反馈和自我总结评价学习结果,并能对学 习结果进行自我补救。 在自主学习的课堂教学模式中,学生成为整个教学过程的主体,学生与教师 的角色随之发生了变化。学生成为了自己学习的计划者、发动者、组织者、评价 者、管理者和学习者的建议人。而教师则扮演着多种角色,即咨询者、协调者、 评价者、参与者以及各种信息材料的改进者。 在实际中,自主学习是学习者在自醒、自励、自控的心理素质下,通过分 析、探索、实践等方法来实现学习目标。若学习者对学习的内容、方式等方面都 能自主地作出选控, 那么他的学习就属于自主的。 既然, 学习目标是自我制定的, 学习内容是自主挑选的,学习时间是自主控制的,学习的方法是自主确定的,学 习者能够自我创造出有利于学习的各种条件, 并且能够自我判断和评价出学习的 结果,那么他的学习就是属于自主学习。相反,倘若学习者在学习的各方面完全 依靠教师或他人指导,那么他学习就是不自主学习。

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实施自主学习的目的和方法探究的意义

3.1 倡导自主学习的主要目的是为了促进学习者的自主发展,培养自主学习 能力的主要目的在于促进学习者的终身学习能力。对于教师来说,就是设计一定 的教育教学的大环境,提供给学生自主学习的空间,帮助他们合理地协调自主学 习与总体教育目标的关系。 3.2 实施自主学习方法探究的意义

①.通过对不同课型的自主学习教学指导方式的研究,在一定程度丰富自主 学习的研究内容,有助于推动理论在实践中的应用; ②.促进学生数学学习方式向自主学习方式转变,让学生切实认识到自主学 习是个体终身学习与终身发展的基础; ③.通过自主学习提升自我效能感。自我效能感是影响自主学习的一个重要 的动机性因素,提升自我效能感就能有效地提高自主学习的能力,两者是辩证统 一的。 4 4.1 值得重视的几个问题 当代社会发展要求学生要成为学习的主体。 学生和教师一样都是学习

的主体,科学知识是探究的客体。学生是通过教师的组织管理、引导辅导、帮助 纠正问题系统地学习科学知识,就目前状况来说,教师不可能人人都可以成为无 愧当代代优秀者中的优秀者。教师在全面发展方面还需要终身学习。倘若要求学 生必须按照自己的思维方式、学习方法、去做才是唯一标准的话,就会限制了学 生潜能的发挥,也就难以培养出一代超越一代的社会人才。突出学生在教育教学 过程中的能动作用和主体地位是当代教育发展的需要。 4.2 贯彻全面教育理念。在当代,学生掌握科学知识是基础,教师培养人

的目的不能满足于对知识的记忆、模仿作为唯一的目的,还要注重培养学生对知 识的运用能力、创新思维能力、自我探究的精神等,这些目标的达成都需要自主 学习的能力和习惯来支撑。 4.3 教师要设计高效的教学方案。 教师对自身的能力和责任心充满自信力,

才能获得学生的尊重。学生尊重教师,对教师有信任感,学习热情就会提升,自 然形成师生互动、互相尊重的氛围。教师对工作负责任既是尊重自己,又是尊重 学生的表现。在课堂上,教师给同学们展示自我成果的机会, 、激发他们的学习

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兴趣是最有效方法之一。即使答案不正确的,也应当鼓励学生积极探讨,从而使 学生学习保持解决数学问题的信心和兴趣。激励互动能提升学习者的自信心。 4.4 关注学生能力的发展。在教学过程中,教师不仅要着眼于学生的当前

的发展,更要关注学生未来的发展。 ,着眼于对学生数学学习方法的指导,激发 学生学习数学的兴趣,端正学习态度,培养良好的学习习惯。在课堂教学中,可 以适当组织学生进行学习方法的交流,让学生分享自己成功的学习心得。这样有 利于学生在借鉴、启发中,不断完善各自的学习方法,找到一条适合自己的,有 独特效果的学习途径, 形成自主学习的能力。 教师通过灵活的点拨和严谨的归纳, 为学生的可持续发展打下坚实的基础。 4.5 鼓励合作学习方式。学生在教师的组织和引导下进行学习和交流。合

作者之间相互支持、 相互帮助, 是激发营造创新思维的形成条件。 通过合作学习, 学习者个体的思维与智慧就可以为群体所共享。

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自主学习的实证研究 实验对象和方法

本人所任教的是广州市第四十中学的初一(7)班、(8)班,均有 55 人,共有 110 人被试。初一级有 550 人,共 10 个班,全级都为平行班。全级学生均为电 脑派位生,没有特长生。采用自然实验法,不改变作业的布置、教学内容和教学 时间等无关变量,只改变教学模式这个自变量,它包括传统教学模式和自主学习 教学指导模式。 5.2 5.2.1 实验有关参数的选定 实验教材

《九年义务教育数学课本》初中三个年级(人民教育出版社) 5.2.2 测试材料

入学摸底测试、初一、初二期末考试均为越秀区数学统一测试试卷,初三期 末考试为广州市初中升中考试试卷。 5.2.3 实验变量

自变量:教学模式。一种引导学生自主学习的教学方式;另一种传统教学方 式。

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因变量:数学教学效果,分别为学习成绩水平和学习兴趣水平 5.2.4无关变量的控制方式 (1)所选的实验班是两个平行班,人数、性别以及原有的学习成绩和兴趣水 平与全年级的水平基本相当,无明显差异。 (2)全年级和实验班选用的教材相同,所学内容相同,所学课时相同,按照 不同要求备课及上课。 (3)成绩测试在内容、时间、方式上相同,并且用统一的评分标准进行统一 阅卷。 5.3 实验过程

本实验的实际操作阶段解决的三个主要问题是:教师有效地主导自主预习; 教师主导课堂自主性学习教学;自主学习需要有效的反馈和修正等。 5.3.1 教师有效地指导学生自主预习 提倡自主学习,需引导学生进入有效的自我预习状态,自主预习是学生在教 师的指导下,带着明确的自学计划、目标和任务参与课前自学,自主预习的目标 是强调有效性,自觉进入数学学习的“最近发展区” 。 5.3.1.1 针对一个学期的学习内容开展的预习 (1)时间保证:安排在寒暑两假自学; (2)目标设定:把下学期所学的全部数学内容都深入地研究一遍,初步理解 各个单元的知识点,以及弄清楚各个知识结构之间的相互联系的概况; (3)任务:在预习阶段,要对整册书各单元的例题知识点做全面的理解,完 成对这些知识点的正确认知度达到 60%以上的水平; (4)根据自己预习情况,归纳整理出当时无法理解的内容要点,作为今后攻 关的难点。同时,在教科书中以横批加以注明,作为下一步课堂听课时思考破解 的重点。 例如:在七年级(下)第五章《相交线与平行线》中。我们要求学生在假期 中把以下相交线与平行线的公理、 判定以及性质的关系在假期的自主预习中了解 清楚。
相 ??? 交 相 第 10 页 共 交 页 167 线? 三 条 直 线 所 截 第 ? 两 条 直 线 邻补角、对顶角 垂线及其性质 对顶角相等? 点到直线的距离?
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? ? 两 条 直 线 被

同位角、内错角、同旁内角?

5.3.1.2 针对一个星期的学习计划、目标和任务的落实 (1)时间:安排在周六或周日; (2)目标:自主预习下一星期课堂教学的全部知识点,理解和掌握力求达到 80%以上的能力水平; (3)任务:准确理解下周学习的全部知识点,熟练掌握教科书相关例题的运 算。对个别难点也不能放弃,做好“难点提问笔记” ,这有利于带着问题听课, 理解和提问,达到听课思路轻松流畅、理解问题准确而又快速的高效学习目的。 通常来讲,学生对于数学预习的做法通常会表现为三种态度,1、是从不预 习;2、是对课本进行过泛读或思考,在预习中却带有明显的随意性,3、是认真 看了书,也做了相关例题的演算,但却很少有学生愿意或者有意识地把问题收集 起来,作为与同学们交流或在上课时作为攻克的方向。由于学生忽视了预习阶段 的作用, 或者没有重视预习过程应有的严谨性, 预习的有效性往往不能令人满意, 这样无论是老师或者是学生在课堂上都共同面对这样的难题, 那就是在课堂上的 45 分钟, 要从零开始进入数学思维新的、 几乎是陌生的知识点。 因此在教学中, 老师有效地主导自主预习,促使优生带着 20%的问题、中下生也能带着 50%左右 的问题进入课堂,从而实现学生整体认识起点高、互帮互学进度快、理解深的课 堂教学师生互动、生生互动的状态。 5.3.2 教师在课堂上有效地指导学生自主学习 数学教学过程不能是教师的简单讲解和传授知识, 也不应该是学生的简单模 仿和机械记忆,而应该让学生在一定的教学活动中去体验、感受数学。学生通过

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自主预习带着问题和明确的任务进入课堂,不懂的不要紧,留在上课解决,听课 时就有侧重,同步跟上老师的讲课思路。教师的主导作用体现在课堂教学中,大 胆地改变传统的教学方式,侧重在学生自主预习已知的基础上讲课,以新的授课 形式提高课堂教学节奏和效果。教师在教学中从学生的实际出发,从他们的已有 知识出发,创设有助于学生自主学习的问题情景,让学生经历数学知识的形成与 应用过程,鼓励学生自主探索。独立思考、多向交流,激发学生学习的积极性, 使学生产生自主学习的需要,使整个教学过程成为一个自主探究、师生互动、共 同发展的过程。 第一步,教师在学生自主预习基础上作有效导入。导入要抓住学生的问题、 需求、 选中攻克的目标。 要注重以下几个要点: (1) 对旧知识中重点难点的回顾; (2)介绍新知识承上启下的意义; (3)指出新知识的重点和难点,提示学生对 关键内容的特意关注。 把知识的点、 面有机地联系起来。 重点分析难题, 线、 (4) 因为难题所包含的知识点较多,对学生综合分析能力的要求较高。 第二步,精讲难点重点,要针对问题讲,提炼精讲的内容,要根据书本知识 提炼成教学知识, 通俗易懂, 语言要有穿透力, 几句话讲清楚的事不能拖泥带水, 敢于砍掉不讲的内容,在学生已知的基础上讲课,也就是在自主预习的基础上讲 课, 是一项对教学对象有充分了解的、 依靠创新性思维指导下的教学策略和方法。 第三步,提问交流,典型例题讲解。选题要精,包括接轨题、有效题、培优 题、扶差题等。师生在问提交流过程中,通常表现为两种互动状态。一种是传统 的师生课堂热烈讨论的显性状态;另一种是隐性的状态。隐形互动状态是对难点 和重点要作深层的思考,思考的过程需要时间,需要反思去求证,在自主学习中 是经常遇到的,我们要以科学的态度看待课堂教学过程的现象,课堂研讨问题不 是演戏,不要以为有几个人懂了全班同学都已懂。要求学生自主思考,不能依赖 别人,要为大部分的同学留有合理的思考时间。 第四步, 堂上练习, 充分发挥学生的自主探究的热情, 让学生手脑并用练习。 这时,我们要善于观察课堂教学中学生参与的程度及其反应。学生参与度一般表 现为三个层次:一是表层参与,学生的表现是被动的,习惯把解决不了的问题放 在一边,坐等同学老师解答;二是实际参与,学生的参与是自发性的,对解决不 了的问题会主动请教老师和同学,但自己不作深刻的思考;三是深层参与反应,

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学生的参与是主动积极的, 主动积极是最佳投入状态是实现有效自主学习教学形 式的必备条件。自主学习教学目标的达成要依靠有效的教学演绎;有效的教学组 织能力;有效的信息传递、交流和反思修正等经验的支持。 第五步,教师主导自主点评练习,补缺补漏实现教学目标。点评练习是纠正 错误的关键,实践中比较有效的做法是要做到课堂上反馈要迅速,能立即反馈的 问题不能拖,课内是清理问题的关键时间,现场能解决的事情不要留在课后,现 场及时纠正问题。在教师的引导下,学生的思维过程得以暴露,学生在尝试错误 的过程中,感受了知识的发生、发展过程,其自主性得到了较为充分的发挥。 第六步,指导课外作业,深化与扩展知识面。在课堂活动练习中,有些学生 觉得没有将自己的能力发挥完全, 而有些反应稍慢的学生则是刚刚弄明白其中的 奥妙还未来得及发挥,因此课外作业应设有基础题和提高题。在自主学习中要求 学生把每一次的课外作业看成是模拟的测验考试, 方法是鼓励学生不断提高运算 的准确度和速度。在课外作业中强调准确度和速度的做法,能够锻炼和提升学生 的临场心理素质,增强自主学习的紧迫感。 在自主学习的整个教学过程,从导入、精讲、提问、练习、点评、改错到完 成教学计划,对各个教学环节都要把握好,严格来说,课堂上的每一分钟都是属 于学生的,自主学习对教师的自我要求应该是更为严格,自主学习必须是内容与 形式的统一,否则就像一盘散沙陷入有形无实的境地。 5.4 课例分析,请看附录一。

5.5

实验操作性成果

对自主学习教学形式功能的评价,首先表现为一堂课的有效性,进而是一个 教学单元或一个教学阶段的有效性。我们更关注的是整个教学全程的有效性,即 对整体教学的投入与产出的评价,以教学目标的到达度作为评价。 5.5.1 教学业绩在实验前后的比较

入学考试

初一期末考试

初二期末考试

初三毕业会考

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实验班 对照班 实验班 对照班 学生人数 平均分 优秀率 (85%以上) 合格率 (60%以上) 低分率 (40%以下) 102 人 45.7 15.8% 461 人 45.8 16.61% 102 人 461 人

实验班 102 人 89.82 38.2%

对照班 461 人 78.59 28.1%

实验班 对照班 102 人 104.1 23.6% 461 人 90.83 7.84%

84.182 78.998 31% 23.7%

24.5%

25.1%

78.2%

66.2%

83.6%

67.5%

83.6%

66.23%

41.2%

40.3%

11.8%

15.5%

10.1%

19.7%

8.2%

18.66%

2007 年 9 月至 2010 年 6 月, 本人所教的两个实验班与全级平均分、 优秀率、 合格率、低分率作比较。下表中入学考试成绩由“八七协作组”统一试卷及统一 改卷,初一、初二考试均由广州市越秀区教育局进行统一命题、统一改卷。初三 毕业会考由广州市统一试卷及统一改卷。数据由学校教导处依据提供: (初一、初二年级卷面成绩满分为 120 分,初三年级满分为 150 分。 ) 从此表可以看出, 实验班学生的平均分比对照班平均分在入学摸底考试的低 了三分,经过一年的训练,初一期末考试时,比对照班平均分高了 5.2 分,优秀 率和及格率都明显高于对照班平均水平,低分率也低于对照班平均水平,成效较 为显著。此后两年的初二以及初三年级,平均分、优秀率与对照班平均水平继续 拉大,而且低分率继续下降。经过三年的自主学习实践,实验班的学生对数学学 习的兴趣大大提高, 很多同学能经常主动的去探究一些数学问题, 学习的主动性, 学习的能力得到了加强,学生间的协作交流能力也得到了加强。 5.5.2 学生数学入学成绩与毕业成绩进行 Z 检验。 检验实验班的成绩与全级总体成绩平均分的差异是否显著, Z 值计算公式 用

为:

,其中 X 为实验班平均分,U 为全级总体平均成绩,S 为

样本的标准差,n 为样本容量。

前测(2007 年 9 月) :入学考试( “八七协作组”统一试卷)

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班级 实验班 全级

平均分 45.7 45.8

样本容量 102 563

标准差(S) 22.3

检验值(Z) Z=0.045<1.96

显著性检验 差异不显著

后测(2010 年 6 月) :初三升学会考(广州市统一试卷) 班级 实验班 全级 平均分 104.1 93.29 样本容量 102 563 标准差(S) 30.4 检验值(Z) Z=3.59>2.58 显著性检验 差异非常显著

通过 Z 检验,实验班的成绩与全级的成绩差异非常显著。上表后测显示实验 班的数学平均分明显高于全级平均成绩。 以此说明了运用自主学习组织学生进行 数学学习,能非常有效提高学生的数学成绩。

5.5.3 关于实验前后学生学习数学的兴趣、学习方法比较以及自主学习后的 收获的问卷调查,请看附录二。

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问题与反思

①.鼓励学生个体自主学习和在教学中采用自主学习的教学形式,这两者是 有区别的。把自主学习作为课堂教学形式,需要依靠良好的班风和学风的密切配 合才能发挥出它的实际效能。在目前,我们还没有经验证明在班风和校风大环境 还不稳定的情况下,推行这种依靠自觉行为主导的学习方式是可行的。除非学校 德育管理方面得到改善,这种教学方法才能够普遍试用。 ②.实行自主学习这一教学形式,需要教师对教学过程的具体环节作技术上 的指导。客观上要求教师不仅具有教学的知识,而且要求教师本人也要具备相应 的自主学习经验的支持,否则,这种教学形式有可能因为缺乏学习经验支持的缘 故而逐渐失去它的功能。 ③.自主学习不是唯一的有效的教学方法,在教学中还要根据学校、社会、 家庭环境的具体要求, 综合其他优秀的教学方法, 才能突显它的本质意义。 因此, 探究还有待深化和发展。 ④.这一研究成果目前仅作用于对起始班的培养效果比较明显,对于中途接

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任的教学班,如何改变其学风习惯,本文尚缺乏这方面的经验。

【参考文献】 [1]钟启全,张华等.为了中华民族的复兴,为了每位学生的发展[M].北京:教 育科学出版社,1996.7. [2]张敏.教师学习的理论与实证研究[M].杭州:浙江大学出版社,2008.18. [3]徐志刚译注.论语通译阅.北京:人民文学出版社,2006.77. [4]程昌明译注.礼记附.呼和浩特:远方出版社,2004.7. [5]庞维国.自主学习:学与教的原理和策略[M].上海:华东师范大学出版社, 2003.7. [6]庞维国.论学生的自主学习.华东师范人学学报(教育科学版),2001(6) . [7]张春兴. 教育心理学——三化取向的理论与实践[M]. 杭州: 浙江教育出版社, 1998.265-269 [8]李小融.教育心理学新编[M].成都:四川教育出版社,2005.203-204

【附录一】

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《中点四边形》课例分析 1.教学目标 知识与技能: 能灵活运用三角形中位线性质探索中点四边形的形状。 “问 经历 题提出---探究---验证---归纳”的过程,渗透从“一般——特殊——一般”的 研究问题的方法,感受探索活动中所体现的转化、类比的思想方法。 2.教学重点、难点 教学重点:根据四边形的对角线的关系探究中点四边形的形状 教学难点:对确定中点四边形形状的主要因素的分析和概括。 3.教学过程 (1)复习引入 三角形的中位线有什么性质?你能否根据图形说说三角形的中位线性质? 如图 3-1,若 D、E 分别△ABC 的边 AB、AB 的中点。 结论:DE//BC,且 DE=
1 BC 2

引导学生复习旧知识,为本课的自主探索作铺垫。

A

H A
D E

D

E
B C

G

B

F

C

图 3-1

图 3-2

(2)新授课 中点四边形的定义: 如图 3-2,四边形 ABCD 中,E、F、G、H 分别是边 AB、BC、CD、DA 的中点。 顺次连结 EF、 FG、 GH、 得到四边形 EFGH。 HE 我们把四边形 EFGH 叫做四边形 ABCD 的中点四边形。 探究 1:任意四边形 ABCD 的中点四边形 EFGH 是什么形状呢? 在课堂小测中发现,能通过自主预习而证明出四边形 EFGH 是平行四边形的 同学有 80 位同学,占总人数的 72.7%。
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探究 2:若四边形 ABCD 分别为平行四边形、矩形、菱形、正方形和等腰梯 形,那它们的中点四边形会是什么形状呢?并说明理由。 让学生通过小组合作,猜想、归纳并证明:决定中点四边形 EFGH 的形状的 主要因素是四边形 ABCD 的对角线。 并在每个小组中随机抽出一位同学口头证明。 老师进行细致的补充讲评。 探究 3:(1)要使中点四边形是菱形,原四边形一定要是矩形吗? (2)要使中点四边形是矩形,原四边形一定要是菱形吗? (3)要使中点四边形是正方形,原四边形一定要是正方形吗? 概括规律: 中点四边形 EFGH 的形状是由四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 之间 的位置关系和数量关系决定的。通过之前的例题分析,学生初步对本课的关健知 识点有一定的掌握。这几个问题由学生独立思考完成证明过程,培养学生既有合 作探究,又可以进行独立思考的学习习惯。

练习: (1)如图 3-3,在四边形 ABCD 中,E、F、G、H 分别是边 AB、BD、CD、DA 的中点,问:四边形 EFGH 是平行四边形吗?为什么?请添加一个条件,使四边形 EFGH 为菱形,并说明理由。

图 3-3 对于第一个问题,全班同学都能知道是平行四边形,可是能通过证明而得 出结论的, 87 位同学, 有 占了总人数的 79%。 能完成第二小问的, 65 位同学, 有 占了总人数的 60%。本题目第一小题是基础题,但也有一定的变化。第二小题的 难度有了加深。满足了不同学生的需要。 (2)如图 3-4,O 点是△ABC 所在平面内一动点,连结 OB、OC,并把 AB、OB、 OC、CA 的中点 D、E、F、G 依次连结起来,设 DEFG 能构成四边形。 ①如图 3-6,当 O 点在△ABC 内时,求证:四边形 DEFG 是平行四边形。 ②如图 3-5,当 O 点移动到△ABC 外时,①的结论是否成立?画出图形并说
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明理由。 图 3-4 图 3-5 图 3-6

【附录二】 关于实验前后学生学习数学的兴趣、学习方法比较以及自主学习后的收获 的问卷调查。 本次教学实验,在实验班的前测与后测中,下发问卷各 102 份,全部有效回 收。 (1)定量结果 ①实验前后学生学习数学的兴趣变化统计(N=102) 表 4-1 实验班学生实验前后学习数学的兴趣比较 实验前 人数 对数学学习很感兴趣 对数学学习较感兴趣 对数学学习不感兴趣 29 人 31 人 42 人 百分比 28.4% 30.4% 41.2% 人数 80 人 15 人 7人 实验后 百分比 78.4% 14.7% 6.7%

②实验后学生学习数学的兴趣提升统计 表 4-2 实验班学生实验后学习数学的兴趣提升统计 人数 对数学学习的兴趣提升了 对数学学习的兴趣没变
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百分比 72.5% 20.6%
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74 人 21 人

对数学学习的兴趣降低了

7人

6.7%

在数学教学的过程中,学生对学习数学的兴趣极大的影响着教学的效果。促 进学生主动学习数学的重要因素之一是学生对数学学习兴趣。 它在数学学习活动 的过程中具有预备、推动和促进作用。从表 4-1、表 4-2 可以看出,实验班学生 通过实验阶段的自主学习,学生学习数学的兴趣有了大幅度的提升。在整个自主 学习实验研究的过程中,对实验班的学生进行自主学习方法的指导,使学生尝到 成功的喜悦,继而提高了学生对学习数学的兴趣,使之一直处于自觉学习的积极 状态的良性循环之中。使学生的学习潜能得以充分表现,数学学习的自我效能感 大大增强。 但也从调查中反应出 7.27%的同学, 通过自主学习, 兴趣反而降低了, 对数学仍然不感兴趣的同学达 7.27%。究其原因,一方面可能是他们难以改变传 统的以教师讲授法为主的受教方式。

③实验前后学习方法比较统计 表 4-3 实验班学生实验前后学习方法比较 实验前 人数 课前预习并整理提问笔记 课后复习例题、知识点 课后整理课堂、练习笔记 每单元知识点归类总结 5人 34 人 37 人 16 人 百分比 4.9% 33.4% 36.3% 15.7% 人数 76 人 89 人 83 人 71 人 实验后 百分比 74.5% 87.3% 81.4% 69.6%

④提高能力认同统计 表 4-4 实验班学生实验后对培养能力等方面的认同状况统计 能力方面 能培养自学的能力 能培养阅读和归纳的能力 能提升解题自信心 能培养与他人共同合作的能力
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人数 89 人 95 人 84 人 96 人

百分比 87.3% 93.1% 82.4% 94.1%
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能培养提出问题和解决问题的能力 能培养向他人求助能力

91 人 79 人

89.2% 77.5%

从表 4-3 和表 4-4 可以看出,实验前,学生在学习数学的方法上基本上未完 成良好的学习习惯;实验后,反映出学生在学习方法上大多掌握了基本的学习方 法和习惯。 综上所述,先进的教学方法也是先进生产力的组合,它是通过师生依据科学 的理念,改进教与学的方法和技能,引导学生以新的姿态参与数学的学习全程, 达到了提高教学效能的目的,以此改变了过往在教学中不断增加课时、增加学生 压力的原始的增效方式,因而使自主学习产生积极的作用。

(2)定性结果 实验后的调查问卷中, 笔者对学生进行了关于 “谈谈数学自主学习后的收获” 的问卷调查,现在摘录部分同学的感受如下: 梁乐诗: “老师上课讲的内容比以前少多了,我们课堂练习比以前多了。 ” 黎颖: “在家里学习数学的兴趣大了,我会找相关的数学辅导书看。 ” 梁熙: “以前我上数学课总是没有兴趣,现在课堂思考和同学们讨论的时间 多了,课堂上没有想睡觉的感觉了。 ” 刘广欣: “在课堂上我可以把自己的想法跟同学交流,不懂的问题可以随时 向同组的同学或老师请教。 ” 李志恒:“公式、定理和简单的题目,在上课前我已经学会了。上课时老师 都不用讲,老师引导我们解决难一点的题目。 ” 林诗琦: “小组讨论过程中,我向小组的同学讲解解题的过程,让我对知识 的理解加深了,凡讨论过或者争论过的问题我的印象特别深。 ” 李俊铭: “在家里我会理解数学公式和定理后,能解答简单的数学题目,如 果能够在上课前把难题做出来,我会感到很自豪。 ” 江嘉慧: “老师对我们进行学习方法的指导,我学会了怎样学习数学,遇到 不懂的题目会向同学或老师请教,我最喜欢看数学课外书了,我现在不害怕学习 数学了。 ”

在猜想证明中促进教学
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——《等腰三角形的性质》的教学反思
广州市第一一三中学 张 珏

内容摘要:学生学习数学应当是经历观察、实验、猜测、计算、 推理、验证等活动的过程,老师应该引导学生注重知识获得的过程。 本文的课例《等腰三角形的性质》以“教师启发—学生动手操作—大 胆猜想—探究证明”为主线,呈现了学生知识的获得过程。 关键词:知识获得、猜想证明

《数学课程标准》 指出: 学生学习数学应当有足够的时间和空间经历观察、 “ 实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。认真听讲、积极思考、动手实践、 自主探索、合作交流等,都是学习数学的重要方式。”在传统教学中,我们习惯 把数学课程内容视为一系列事实性的结论。 虽然它们确实是课程内容的知识点和 教学的重点,但是同时也带来了一些问题:学生不清楚知识的来龙去脉,老师只 关注数学结论,不关注数学思想、方法的产生与发展。实际上,学生才是学习的 主人,老师只是学生学习的引导者、组织者和合作者。老师应该引导学生注重知 识获得的过程。因此,在这节课的设计上,力争创设出符合学生的认知规律、轻 松和谐的学习氛围,让学生在老师的带领下逐步领会知识的精华。以下是我对本 节课的反思:

一、

教学目标的分析与确定

本节课要研究的是等腰三角形的性质及其应用。 学生感受到了对称的美与和 谐以后,进一步认识轴对称图形——等腰三角形。它对发展学生的空间观念以及 逻辑推理能力是一个渗透, 是后续学习等边三角形的基础, 也是今后证明角相等、 线段相等以及直线垂直的重要工具,在教材中,起着承上启下的作用。同时,等 腰三角形的性质在日常生活中的应用也很广泛, 利用等腰三角形的性质可以帮助 我们解决很多实际问题。因此,本节课的内容无论在理论上还是在实际应用上都 具有非常重要的意义。学生已经学习了轴对称以及全等三角形的性质与判定,对

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相应的知识比较熟练,已具备一定的思考探究与推理证明的能力。在教学中,关 键是要注重几何语言的描述和辅助线叙述的规范性。 本节内容的重点是掌握等腰三角形性质的发现和应用。 以教师的提问启发为 导,学生动手操作,参与探究。利用轴对称变换的性质,教师可以很容易引导学 生得出等腰三角形的性质。要突出这个重点,教师应积极引导,鼓励学生主动观 察、勇于探索、敢于猜想、善于总结,应用验证的方法进行合情推理。本节内容 的难点是对等腰三角形性质的证明与应用。学生分析能力不足,需要教师的引导 与帮助, 从而突破本节课的难点。 根据重点难点, 由此确定了本节课的教学目标:

1、知识技能目标:使学生了解等腰三角形是轴对称图形,理解等腰三角形 的性质,能运用等腰三角形的性质进行简单的计算和证明。 2、过程性目标(含情感态度价值观):让学生经历观察、猜想、操作、交 流、归纳、推理等活动,体会证明的必要性和重要性,培养学生的概括和逻辑思 维能力。

二、

教学策略的预设

根据教学内容和学生已有的认知基础,我选择启发探索法来开展教学。通过 教师与学生的共同参与、交流互动的方式,启发学生的思维,让学生在参与、讨 论的过程中感受到思维碰撞的心灵沟通, 真正实现学生学与教师教的有效教学活 动的统一。 “授人以鱼,不如授人以渔”。所以我把重点放在知识逐步形成的过程上。 首先创造一种环境,引导学生从已知的、熟悉的知识入手,让学生运用旧知识的 钥匙去开启新知识的大门, 进入新知识的领域。 同时, 在例题教学和习题训练中, 鼓励学生从不同角度去分析、解决新问题,切实提高学生分析问题、解决问题的 能力。

三、 教学环节和教学效果 (一)知识回顾,概念引入

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用 PPT 呈现几幅包含等腰三角形的图片,提问:观察这几幅图片,你能说出 图中包含的图形吗? 学生通过对图形的直观感受,回顾等腰三角形的概念以及腰、底边、顶角、 底角等概念。这样设计,既为后面教学的折纸活动做铺垫,又能利用图片激发学 生的学习兴趣,让学生体会到数学与生活息息相关,这是在一堂课初始“召唤” 学生注意力的好方法。 (二)动手操作,探究新知:教师采用多媒体演示,学生利用小组交流,逐 步建构新知识的框架,以此来突出重点,突破难点,培养学生的逻辑推理能力。 思考:① 等腰三角形是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么? 教师根据学生的回答,在多媒体课件上展示:等腰三角形是轴对称图形,它 的对称轴是折痕 AD 所在的直线(如图)。

② 把等腰三角形 ABC 沿着它的对称轴对折,你发现了有哪些线段相等?有 A 哪些角相等? 相等的线段 相等的角

B C D 这时教师让学生拿出课前准备好的等腰三角形,让学生经过动手操作、观察
讨论,寻求数学结论,为学生提供参与数学活动的时间和空间,调动学生的主观 能动性,激发好奇心和求知欲。 ③由上表中相等的线段和角,你能猜想等腰三角形的性质吗? 学生以四人小组为单位讨论,猜想等腰三角形的性质。通过动手实践、观察 分析、合作交流、合理猜想,培养学生自主探究学习的品质。在这个过程中,教 师应重点关注:①学生能否从轴对称图形的概念出发折纸判断;②学生在活动和 交流中表现出来的参与意识。 等腰三角形的性质猜想 1: 等腰三角形的两个底角相等。 “等边对等角” ( ) 等腰三角形的性质猜想 2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边 上的高相互重合。“三线合一” ) ( 思考:你能利用所学的知识证明等腰三角形的性质 1 吗?写出证明过程。 A
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已知:在△ABC 中,AB=AC. 求证:∠B=∠C.

通过教师的引导, 学生容易想到添加辅助线构造全等三角形对猜想加以论证, 从中学生感到自己像数学家那样发现问题、分析问题、发现规律、证实结论,让 知识由个别形象到一般抽象、由感性认识上升到理性认识,使学生的思维由形象 直观过渡到抽象的逻辑演绎,层层展开,步步深入,真正实现学生为主体的教学 宗旨。 不同的辅助线添加,出现了三种证明方法: A A

A

过点 A 作 AD⊥BC, 垂足为 D.

B

D

C

B C D 取 BC 边上的中点 D, 连接 AD

B C D 作∠BAC 的角平分线 AD, 与 BC 相交于点 D

教师鼓励学生运用不同的方法证明,启发学生的思维,切实提高学生分析问 题、解决问题的能力。学生也可以发现不同的辅助线作法带来的条件是不同的, 体会一题多解的愉悦心情。在这个过程中,教师尤其强调辅助线添加的说明,这 是本节课学生的易错点之一。 等腰三角形性质 1 的猜想得到证明后,教师利用图形提出问题: 在等腰三角形 ABC 中,若 AD 是底边上的高,那么 AD 是不是底边上的中线? 是不是顶角的平分线?为什么? 让学生自己去思考、去发现,充分发挥学生的主观能动性。学生通过自己动 脑得到等腰三角形的性质猜想 2 的证明,可以使他们较好地掌握知识、提高学习 数学的兴趣,达到了事半功倍之效。接下来等腰三角形的性质的数学语言填空, 能够培养学生的语言转换能力,增强理性认识,体验性质的正确性,提高学生的 演绎推理能力。

A
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D

(三) 例题学习,巩固提高 在“例题学习”的环节,我没有选择课本中的例题(如下), 在 ?ABC 中, AB = AC ,点 D 在 AC 上,且 BD = BC = AD , 求 ?ABC 各角的度数。 这道例题具有层次性和探索性,需要利用数形结合以及方程的数学思想, 对于刚刚接触等腰三角形性质的学生来说较难理解。因此,我将此题放在巩固练 习的 C 组,为学生的思考提供了充足的时间,在下节课学生熟悉掌握等腰三角形 的性质后,再作详细解说。而本节课的例题我设计了如下问题:

A
如图,已知△ABC 中 AB=AC,点 P 是底边 BC 的中点, PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分别是 D、E。 求证:PD=PE.

D B P

E C

此题有两种证明方法:第一种方法利用全等三角形的判定和性质,其中又涉 及到“等边对等角”的知识点;第二种方法利用“三线合一”。通过此题巩固新 知,学生不仅能够掌握等腰三角形的两个性质,而且可以体会到不同的证明方法 的巧妙之处。教师在不提供任何解题思路的情况下,让学生思考、讨论,由学生 说明自己的证明思路与过程,既培养了学生的语言表达能力,又发挥了学生的主 体地位,激发了学习兴趣,活跃了课堂气氛。

变式练习:在△ABC 中,AB=AC,点 D、E 在边 BC 上, AD=AE,那么 BD=CE 吗?说明你的理由.

变式练习与例题类似,可以结合“等边对等角”“三线合一”得到两种不同 的证明方法。以此培养学生正确应用所学知识的应用能力,增强应用意识,参与 意识。

(四)课堂小结,反思归纳

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让学生以小组为单位,用问题“这节课我们主要学习了什么内容?你有哪 些收获?”归纳本节课的知识要点,培养学生总结归纳和语言表达能力,让学生 养成归纳、反思的良好学习习惯。

(五)摩拳擦掌,巩固加强 巩固练习结合本节课的知识内容,根据学生的学习情况,分层次设置了 A、 B、C 的题目,满足不同学生的发展需求。

四、

成功与不足

在这节课的设计和讲授过程中,我比较满意的是: 1、恰当地发挥了“以教师为主导,以学生为主体”的教学地位。通过学生 的动手操作、 合作交流, 让学生真正参与到数学知识的探讨之中, 在定理的猜想、 证明过程中体会到数学学习的乐趣。这一切都离不开教师的引导。教师作为学习 的组织者,营造学习氛围,创设学习环境,用恰当的手段去引发学生做有意义的 数学思考,从而让学生成为学习的主人,获得知识。 2、例题和练习的巧妙设计。波利亚说:“抽象的道理是重要的,但要用一 切办法使它们看得见、摸得着。” 等腰三角形的性质是抽象的,如何在实际题 目中应用,这是教师需要向学生呈现的问题。因此,例题和练习的设计可以运用 等腰三角形的两个性质,出现两种不同的证明方法。从而将复杂的数学对象简明 化,将抽象的数学关系具体化。 3、精心制作了课件,并设计了板书。Powerpoint 课件中加入变换效果,让 学生可以直观地感受到不同的图形变化,有效地提高了课堂效率。板书设计得精 炼, 有所侧重。 本节课的知识要点在黑板上一目了然, 恰当地运用图形辅助教学。 教学永远是一门遗憾的艺术,没有最好,力求更好。这节课的不足之处有: 1、数学语言的诠释不够。虽然学生能够理解、掌握等腰三角形的性质,但 对于简练的数学语言概况还存在着一些疑惑,尤其是性质 2 的数学语言描述。教 师应该给学生的思维转换提供足够的时间, 并通过适当的讲解将难以理解的数学 内容纳入学生的知识结构中。

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2、没有呈现完整的证明过程。学生经历猜想、思考、讨论,书写出证明过 程,教师在课堂上及时进行了讲评,激励学生的学习。然而并非每个学生都能够 既完整又准确地书写出过程,这就突出了教师呈现规范的证明过程的必要性。以 此帮助学生纠正学习中遇到的问题,及时反馈学习信息。 3、对等腰三角形性质的文字解释不足。“等边对等角”“三线合一”有其 特定的成立条件,如“在△ABC 中,AB=BC,则∠B=∠C”“等腰三角形的高、中 线以及角平分线互相重合”,这两种说法看似“等边对等角”“三线合一”,实 际上是错误的。 教师可以以这两个错误的例子向学生进一步解释等腰三角形的性 质,加深学生的印象。 经过一节课的反复研究与探讨,我深刻感受到,一节好的课堂,必须以学生 为主体,从学生的实际出发,启发引导学生主动地接受新知识。在教学中,通过 学生的积极参与让学生亲身体验如何“做数学”,如何实现数学的“再创造”, 并从中感受到数学的力量。学生学习数学的目的不仅仅是获得知识与技能,更重 要的是获得自己去探索数学的体验和利用数学去解决实际问题的能力。

参考文献: 1、《义务教育数学课程标准》,北京师范大学出版集团,2012 年 3 月 2、《义务教育数学课程标准解读》,北京师范大学出版集团,2012 年 3 月

浅谈“等腰三角形”教学中的数学思想与方法?
广州市第 113 中学 刘阳平

【内容摘要】 数学思想和方法是基础知识的重要组成部分,是数学知识的精髓 和灵魂。本文论述了在初中数学“等腰三角形”的教学中,通过对等腰三角形性 质的灵活运用,以及对遇有角平分线和平行线这一类题的解题规律的探索,归纳 出了:巧妙的构建数学模型、 “a=b+c”型题中辅助线的“截长补短” 、转换与 类比、分类讨论与数形结合以及有关角度计算时方程设元的思想与方法。 【关键词】 等腰三角形 教学 数学思想 方法

《数学课程标准解读》 (实验稿)指出:“初中数学的基础知识主要是初中 代数、几何中的概念、法则、性质、公式、公理、定理以及由其内容所反映出来 的数学思想和方法。 ”这里把数学思想方法列为基础知识的重要组成部分放到初 中数学教学中的突出位置。 “等腰三角形”是人教版《数学》八年级上册第十二
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章第三节的内容,教学知识点虽然不多,但包含了丰富的数学思想与方法,本人 在教学中通过对等腰三角形性质的灵活运用, 以及对遇有角平分线和平行线这一 类题的解题规律的探索, 归纳出 “等腰三角形” 教学中以下四种数学思想与方法, 以供参考。 一、建模与“截长补短”的思想 1、平行线与角平分线中的等量代换与建模
A D

引例 1、已知:如图,AD∥BC,BD 平分∠ABC。求证:AB=AD 引例 2、已知:如图,∠CAE 是ΔABC 的外角,∠EAD=∠DAC,AD C B ∥BC。求证:AB=AC。 共同之处:都出现了平行线,都出现了角平分线。都利用了“等量代 E 换”与“等边对等角”的性质,都得到了一个等腰三角形。 A D 图形建模: 引例 1: a:内角平分线? ΔABD 是等腰三角形? b:平行线 引例 2: B C a:外角平分线? ΔABC 是等腰三角形? b:平行线 前者的平分线是内角平分线,平行线是平行于这个角的一边;后者的平分线 是外角平分线,平行线是平行于这个角的角平分线本身。在这两种情 况下, 都能得到一个必然的等腰三角形。 这是个双胞胎图形, 在这里, 第一个图形,其背上是一个等腰三角形,第二个图形,翻个个儿其背 D 上也是一个等腰三角形,因此我称之为“背孩子的图形” 。 例 1:已知:如图,∠ABC、∠ACB 的平分线相交于点 F,过 F 作 B DE∥BC,交 AB 于点 D,交 AC 于点 E。求证:BD+EC=DE 由“背孩子图形”可得ΔBDF 和ΔFEC 是等腰三角形,由 BD=DF, EC=EF,问题得证。证明:略 题型建模: “a=b+c”型 例 1 中构建的“背孩子图形”模型,我们把要证的结论作为“a= B M b+c”型。 变式:过 F 作 FM∥AB 交 BC 于点 M,过 F 作 FN∥AC 交 BC 于点 N。 求证:ΔFMN 的周长=BC。 这个图形中,也有两个“背孩子图形” ,可得 FM=BM,FN=NC,问题得到解 决。 例 2:CE、CF 分别平分∠ACB 和它的外角,EF∥BC,EF 交 AC 于点 D,E 是 CE 与 AB 的交点。求证:DE=DF A 例 3:如图,点 D 是∠ABC 的角平分线与∠ACB 的外 F D E E 角平分线的交点,DE∥BC,DE 交 AB 于点 E,交 AC 于点 F。求证:EF=BE-CF。 两个例题都是“a=b+c”型题,这里面仍然包含有 B K B C 两个“背孩子图形” 。由于出现了角平分线和平行线,我 们很容易得到ΔDEC 和ΔDFC 是等腰三角形,问题得到证明。 可见,我们在解题时,通过多题归一发现不同题目中的规律,巧妙的建立数 学模型,会给我们带来极大的帮助。
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A

F

E C

A

F C N

A D F

C

M

2、 “a=b+c”型题中辅助线的“截长补短” 例 1 构建了“背孩子图形”模型以及结论的“a=b+c”型。 “a=b+c”型 题可以用“截长补短”的方法来证明,基本思路是:Ⅰ、 “截长” :将长的线段截 一段与短的线段中一段相等,再证明剩下的部分与另一段相等;Ⅱ、 “补短” :将 两段短的 b、c 连结成长的线段,再证此线段与 a 相等即可。可以简记为“ ‘截长 补短’证等线。 ”现在我们来看看他们具体是如何解答的。 例 4:已知:如图,AB∥CD,AM、CM 分别平分∠BAC 和∠ACD,交于点 M,过 M 作一直线交 AB 于 E,交 CD 于 F。求证:AC=AE+CF。
A E M D
C

B

A

E M F D

G

B

A E M

B

A E G M
D

B

C

F

C

F G

C

F

D

(1)用“补短”的方法来证明 延长 CM 交 AB 于点 G。若能证明 AC=AG,EG=CF 就可以了。利用“背孩子 的图形”的模型,由 CM 平分∠ACD,AB∥CD,可得 AG=AC,又由 AM 平分∠BAC, 可得 AM⊥CG,CM=MB。再利用 ASA 或 AAS 可证ΔEMG≌ΔCFM。在这里,我们也 可以通过“三线合一” ,得到∠AMC=90°。 (2)用“截长”的方法来证明 在 AC 上截取 AG=AE,再证明 CG=CF, “从对称的角度,补上所缺的部分或 割去多余的部分” 。把ΔEMA 沿 AM 对折,GM 所在的位置缺一条线段,因此 GM 就 是辅助线所在的位置。 SAS 易证ΔEMA≌ΔAGM, 用 有∠AGM=∠AEM, 又∵AB∥CD, ∴∠AEM=∠CFM,∴∠CGM=∠CFM,使用 AAS 可得,ΔCGM≌ΔMCF,有 GC=CF, 问题得到解决。 该辅助线其他的表述方法: ①作∠GMA=∠AME, 交 AC 于点 M; MG ② 作 CG=CF;③作∠GMC=∠FMC。 二、转换与类比的思想
A 原题:例 5:已知:在ΔABC 中,∠ABC=45°,H 是高 AD 和 BE 的交点。求证:BH=AC。 H E 把它放在ΔADC 和ΔBHD 中, 已有∠BDA=∠ADC=90°, 由∠ABC =45°,可得∠ABD=∠BAD,有 AD=BD,由∠EBC+∠C=90°,∠ D C CAD+∠C=90°,可得∠HBD=∠CAD,即证。在这里,也可以看做 B 把ΔADC 旋转 90°后得到ΔBHD 去证全等。证明:略。 转换类比 1:已知:如图,在 RtΔABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,BD 平分 ∠ABC,BE⊥BD 的延长线于 E。求证:BD=2EC。 这里出现了角平分线,由上述的解题思考规律, “从对称的角度补 F 上所缺的部分” ,如图所示,虚线所在位置是对称 A A 所缺的部分,由 BE 是高,BD 平分∠ABC,易得Δ E FBC 是等腰三角形,由“三线合一” ,得 FC=2EC, D D 再证 FC=BD,即可。通过构造 2EC 的线段,成功 B B C 的消化了“2” ,也可以理解成 BD=EC+EC。这也 运用了“截长补短”的思想。所以通过补短,能正确做出这样的辅助线:延长 CE,BA 交于点 F。
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E C

这是例 5 的变形,只是把它类比到不同的情景中而已。 转换类比 2:把例 6 的图形旋转 90°再放到正方形中去。 已知:如图,在正方形 ABCD 中,AF⊥CE 于 F,AF 交 CD 于 G。 求证:DG=DE。证明:略 通过上述几个例子不难发现不同题目中的相同之处,在解答这 类题时力争达到解一题,通一类的目的。通过类比在“见树木的同 时,能见森林” 。 三、有关角度计算的方程设元的思想

A

D G

E

F

B

C

等腰三角形中遇到有关角的计算的问题,当题目中出现有较多相等的线段, 众多的角之间的关系,情况比较复杂时,可以用设未知数,列方程(组)解的方法 进行解决,用下面的具体方法做到化繁为简,迅速解题:①由相等的线段,根据 “等边对等角”得出相应相等的角,弄清各角之间关系;②设最小的角为 x,其 余各角用含 x 的式子表示出来;③找一个合适的三角形,用三角形的内角和定理 列方程解之。 例 6:如图,在ΔABC 中,AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB。求∠A 的度数。 根据我们的规律,先弄清各角之间关系,设最小的角为 x°,把其它角用含 x 的式子表示出来。 解:设∠EBD=x°。 ∵BE=ED=AD A ∴∠EBD=∠EDB=x°, ∴∠A=∠AED=∠EBD+∠EDB=2x°, D ∵AB=AC,BD=BC, E ∴∠ABC=∠ACB=∠BDC=3x° 又∵∠A+∠ABC+∠ACB=180° B C ∴2x°+3x°+3x°=180° ∴∠A=2x=45° 类似练习: (1)如图 1,B、D、F 在 AN 上,C、E 在 AG 上,且 AB=BC=CD,EC=ED= EF,∠A=20°,求∠FEG 的大小。 (答案:100°)
A B D C F N

E D A
图2

B

E

G

C

图1

(2)如图 2,在ΔABC 中,∠ACB=90o,若 AE=AC,BD=BC,求∠ECD 的度数。 (答案:45°) 四、等腰三角形分割中的数形结合与“分类讨论”的思想 图形分割问题是几何画图中一种,也是最近几年中考的热点。三角形的分割 需要利用分类讨论思想和数形结合思想, 等腰三角形可以从顶角顶点和底角顶点 进行分割,运用三角形外角等于不相邻的两个内角和,三角形内角和等于 180°

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的知识,不难得出顶角为 90°、36°、108°、 (

180 )°的等腰三角形才可以 7

分割成 2 个等腰三角形。 1、从顶角顶点分割 (1)顶角为直角 如图 3,等腰直角三角形 ABC 沿底边 BC 高线 AD 分割就能分割成 2 个等腰直角三 角形 ABD 和 ADC。 (2)顶角为 108° 如图 4,顶角为 108°等腰三角形可分割成 2 个等腰三角形。 2、从底角顶点分割 (1)顶角为 36° 如图 5,顶角为 36°的等腰三角形可从底角平分线分割成以 AD,CD 和 CD,CB 为 腰的 2 个等腰三角形。 (2)顶角为(180/7)° 如图 6,顶角为(180/7)°的等腰三角形能分割成 2 个等腰三角形。在△ ABC 中沿底角 C 点分割成∠A=∠ACD, ∠CDB=∠BCD, 设∠A=X, 则∠ACD=X, ∠BDC=2X (利用三角形外角和等于不相邻两个内角之和。 这时∠DBC=2X, ) 从而推出∠C=3X, 最后利用三角形内角和等于 180°,就可算出∠A=(180/7)°。

图3

图4

图5

图6

数学思想和方法是基础知识的重要组成部分, 它提示了基础知识的精神实质, 是数学知识的精髓和灵魂, 是研究和解决数学问题的金钥匙, 通过对数学思想及 方法的学习和运用能培养学生多题归一, 善于思考本质的能力, 使学生体会数学 内在的和谐美、感受自身能力增长的快乐,有利于提高学生的数学素养。 【参考文献】 [1] 冯军.谈谈“截长补短”在几何证明中的运用[J].新一代,2009 年第 9 期 [2] 桑静华.“截长补短法”解证线段和差问题[J].中学生数理化, 2010 年第 7期 [3] 孙月贤.巧用方程思想方法,提升数学解题能力[J].数学大世界,2012 年 第8期 [4] 吴秀东.运用数学思想计算角度的大小专题训练[J]. 数学学习与研究, 2008 年第 10 期
?

? “说题”教学在数学中考复习中的应用研究?
王建锋? ? 广州市第 86 中学分校?
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【内容摘要】由于中考复习时间紧迫任务繁重,当前普遍做法就是“满堂灌”和 大规模的题海战术,最后老师和学生都身心非常疲惫,事倍功半。针对这一现状 本文从初三学生的学习能力、 思维能力以及中考数学复习实际出发提出了在中考 复习中适时合理的应用“说题”教学的观点。本文界定了“说题”教学的内涵、 原则、组织形式和评价标准。阐述了“说题”教学模式在中考复习中具体的实施 方法、提高学生学习效果的作用及在实施过程中应该注意的问题。? 【关键词】? ? ? ? “说题”教学? ? ? 中考复习? ? ? ? 数学? 1. 问题的提出? 中考复习是初中阶段最为紧张和关键的时期。在这一时期,要将初中三年 所有的知识点复习到位、 融会贯通, 还要能熟练运用, 因而任务之重、 时间之紧、 强度之大可想而知。当下通常的做法是老师引领学生复习知识点,然后是例题讲 评,最后就是通过大量的练习、考试去巩固。学生只能在老师的推动之下毫无自 主的机械模仿,被动的接受,没有自主创新的能力。现在很多老师发现学生不会 “做题” ,因而认为学生是越来越懒、越来越笨、越来越难教。其实不然,学生 不会做题的根本原因很大程度上不是知识点没有掌握, 而是学生没有从根本上理 解题目的意思,也就是不会审题、从而找不到解决问题的切入点,理不清解题的 思路,因而无法动笔。题海战术可能在短时间内会有一定的“效果” ,但是它会 加重老师和学生的负担,从长远来看对学生也没有很大的好处,这种做法与我们 的新课程改革的理念也是相背而驰的。 那么如何在初三复习阶段这么有限的时间 内的复习到各个知识点、 有效提高学生的解题素养呢?基于初三所处的特殊时期 和初三学生在知识能力方面的特殊性,在中考复习中适时合理的应用“说题”教 学却可以起到事半功倍的效果。? 2. 说题教学的内涵? 说题教学就是在教学过程中学生运用数学语言, 口述探寻数学问题解决的思 维过程以及所采用的数学思想方法和解题策略等。 它主要通过说的方式跳过演算 过程, 直接口述解题策略和方法, 不仅能缩短不必要浪费的时间, 增加课堂容量, 还能直观快速的反应学生的思维动态, 能加强学生与学生以及学生与老师之间的 交流和沟通。它是学生从模仿到理解上的质的飞跃。? 2.1 说题的内容? ? ? ? 实施说题教学,应该让学生说下面这几个方面的内容:? 说审题: 审题是解题的关键, 很多学生不会解题最关键就是不能读懂题目的 意思不会审题,说审题就要说清楚题目的条件、结论及所涉及到的知识点,特 别是能说出一些关键词和隐含条件。要能够通过审题将题目中的图形、文字在 大脑中融合在一起重新建构,加深认识。? 说解题思路:如果说审题是解题的基础,那么思路将是解题的灵魂。说解题 思路就是要说出已知什么,要求什么,我们要怎么办的问题。通过不断的深入 分析挖掘揣摩出题者的意图,找出问题的突破口才有可能正确解答出答案的可 能。? 说方法过程:解题思路是一个宏观的思路,解题过程一个具体的实施过程。 它包括两个方面的含义:第一,要求学生通过思路的引领如何一步一步的解答出 题目。当然这个过程我们可以跳过具体的演算过程,说出每一步该做什么、该怎 么做就可以了。第二,由于对于题目的理解和切入点的不同可以有不同的解法, 应该充分的让学生能说出自己的的理解和解题方法, 通过这方面的说不但可以扩 宽学生的思维,还可以将让学生将知识点的融会贯通。?
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说题型变式:改变题设或者结论,重新改编题目,通过这样的变式训练可以 加深学生的认识,发散学生的思维,举一反三。但是在具体的操作中,要求学生 变式难度较大,可以通过老师的变式,让学生说出其解法。通过这方面的训练可 以使例题教学有以一当十的效果。? 说解题反思: 反思是学生对自己认知过程认知结果的监控和体会, 是学生对 于解题过程的思维的沉淀和积累。 说反思就是要让学生能总结出类似题目的通常 解法、题目中的容易出错的地方,应该注意的地方等。? 2.2 说题的原则? ? ? ? 说题教学必须要遵循一定的原则,否则将起不到预期的效果。说题教学大 体要遵循下面这几个方面的原则:? 目的性原则: 教师在选题的时候要依据知识点的复习内容一定要有目的、 有 计划、有针对性,不能无的放矢。? 示范性原则: 因为说题对于知识的要求及学生的口头表达能力有较高的要求, 要通过教师的示范使学生明白自己要说什么,该怎么说。? 层次性原则:选题要能循序渐进由浅入深,在思维上有一定的梯度,能使各 个层次的学生在说题上能有所作为。? 时效性原则:在教学过程中能给学生充分的思考时间,充分展示自己思维过 程的机会,不能走过场走形式。? 2.3 说题的组织形式? 实施说题教学的时候,在课堂中应该根据题目的性质、难易程度采取适当的 方式进行说题:? 个人说题:由一个学生单独完成说题。这样能充分暴露学生的思维过程,及 时了解学生的思维动态,方便老师对学生的思维及时的予以诊断和评价。? 小组说题:根据学生的程度进行分组,由小组集体讨论,充分酝酿后,小组 成员相互分工完成说题的各项内容或者小组成员之间相互说题。? 在初三总复习中, 个人说题对于个别学生的辅导其作用尤为突出。对于基础 比较好的学生让其说题,老师可以快速领略其思路,把握其脉络;对于基础较 差的学生,老师可以很快诊断学生的思维误区。如果学生不会讲,老师可以讲 解给学生听,然后由学生讲给老师听,只要学生能够通过自的口说出来题目的 解题思路或者解题方法说明学生已经学会了。这种方式对于一些平时学习不务 实、喜欢抄作业的学生尤为见效。因为说题是不能通过简单的抄袭的来的。? 由于学生比较多,老师不可能详细听每个学生的说题,这时候我们可以通 过小组说题的模式鼓励学生对学生说题,相互辅导,相互就学习,相互提高。 这种方式能充分的调动各个层次学生的积极性, 加强学生之间的相互交流合作, 相互学习共同进步。特别适合优等生和学困生的相互帮扶,减轻教师的工作负 担。? 笔者在初三复习的过程中大规模的采用个人说题和小组说题相结合的方式 进行说题教学,每次考试老师在课堂上只是讲解错误比较多的题目,其余的题 目由学生自己通过相互的学习相互的说题来弄清楚做错的题目,然后老师随机 抽查学生带着试卷到老师面前讲给老师听。这种方式不限场地不限时间,方便 操作。真正实现由“结果性”到结果性加过程性的转变。这种方法很大程度上 杜绝了学生的拖拉、不务实的态度和平时喜欢抄作业的习惯从而从根本上提高 了学生的学习效果。? 2.4 说题的评价反馈?
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学生说题是学生对于知识点的掌握好坏的最为直观的体现,通过学生的说题 老师就可以比较清楚发现学生存在的问题的和应该努力的方向, 这样就可以让学 生的中考复习更加有针对性。 因此要对学生的说题之后老师应该给学生及时的评 价反馈,老师都会发给学生一个反馈的纸条,让学生清楚自己的问题所在。? ??????????????? ? ? 评价结果? 很好? 一般? 不过关? 评价内容? ? ? ? ? ? 基本概念定理:? ? ? ? 基本运算能力:? ? ? ? 基本推理能力:? 数学思想方法:? 需要努力的方向? ? 3. 说题教学实例? 例:如图,抛物线 y =
1 2 x + mx + n 交 x 轴于 A、B 两 2
D

?

? ?

?

点,交 y 轴于点 C,点 P 是它的顶点,点 A 的横 坐标是 ? 3,点 B 的横坐标是 1.?

(1)求 m 、 n 的值; (2)求直线 PC 的解析式; (3)请探究以点 A 为圆心、直径为 5 的圆与直线 PC 的位置关系,并说明理由.
说审题: 题干中给出了二次函数的解析式 y = x 2 + mx + n , 在这个解析式中有 两个待定的系数 m、n 。“点 A 的横坐标是 ? 3,点 B 的横坐标是 1.”实际上是 告诉我们 A、B 的坐标分别为(-3,0)、(1,0)。第(1)小题是要求二次函数 解析式中的两个待定系数 m、n 。第(2)小题要求直线的解析式就是求一次函数
1 2

y = kx + b 中的待定系数 k、b 。第(3)小题要判别的是直线与圆的位置关系。
说解题思路: (1)要求 m、n 的值就是要求函数的具体解析式,而求解析式有三种方式: 一般式、顶点式、交点式。题设部分已经告诉我们了二次项的系数,进而我们需 要两个点的坐标利用一般式就可以得出结果。同时我们也注意到 A、B 两个点是 抛物线与 X 轴的交点,因而我们也可以利用交点式来求解。 (2)由题意知 PC 是一条直线(不与坐标轴平行),因而它的解析式就是 一个形如 y = kx + b 的一次函数,要确定这个解析式,必须要求出 k、b ,而要求
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出这两个待定的系数我们必须要知道直线所经过的两个点。而由第(1)小问我 们可以求出抛物线顶点 P 及其与 Y 轴交点 C 的坐标.从而本题就转化为求一个二 元一次方程组解的问题了。 (3)探究以点 A 为圆心、直径为 5 的圆与直线 PC 的位置关系,就是要说 明直线与圆的位置关系,而要说明直线与圆的位置关系就是要确定圆心(A)到 直线(PC)的距离与圆的半径(2.5)之间的大小关系。圆的半径已经知道,那 么本小问要解决的问题就是求出圆心 A 到直线的距离。而点到之间的距离就是 点到直线的垂线段的长度。那么本题的关键就是求出这个垂线段的长度。 说方法过程: (1)方法一:利用一般式解题 将 A(1,0)B(-3,0)代入抛物线解析式 y =

1 2 x + mx + n 中可以得一个二元 2

一次方程组,解出这个方程组就可以求出 m、n 的值: 方法二:利用交点式解题

1 1 3 依题意可知抛物线的解析式为: y = ( x + 3)( x ? 1) = x 2 + x ? ,所以 2 2 2 3 m = 1, n = ? 2
(2)在第(1)小问中我们已经求出了二次函数的解析式,把这个解析式化成 顶点式就可以求出顶点 P 的坐标。同时令 x = 0 ,就可以求出抛物线与 y 轴交点 C 的坐标。设直线 PC 的解析式为: y = kx + b ,代入 P、 的坐标可得一个关于 k、b 的二元一次方程组。 C 解出这个方程组的解,就可以得到直线 PC 的解析 式。

D

(3)如图,过点 A 作 AM ⊥ PC 于 M, 本小题 的关键是求出 AM 的长, 由图易知 △BCD∽△MAD, BC CD M 因而有 ,又因为前面已经求出了抛物 = AM AD 线和直线 PC 的解析式,因此易求得 BC、CD、AD 的长度,代入比例式可求得 AM 的值,通过比较 AM 与 2.5 的大小关系即可确定直线与圆的位置关系。 说题型变式: 题设变式:
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3 1 变式 1: 如图, 抛物线 y = x 2 + mx + n 交 x 轴于 A、 两点, y 轴于点 C(0, ? ), B 交 2 2 点 P 是它的顶点,点 A(-3,0)。 3 1 变式 2: 如图, 抛物线 y = x 2 + mx + n 交 x 轴于 A、 两点, y 轴于点 C(0, ? ), B 交 2 2 点 P 是它的顶点,且对称轴为直线 x =-1.
变式 3:如图,抛物线 y = x 2 + mx + n 交 x 轴于 A、B 两点,交 y 轴于点 C,点 P(-1,-2)是它的顶点。 …… 结论变式: 变式 1:求四边形 APCB 的面积。 变式 2:以 A 为圆心,半径为 r 作圆,试探究 r 满足何条件时,圆 A 与直线 PC 相交、相切、相离? 变式 3:以 A 为圆心,直径为 5 作圆。当圆 A 以 1(单位/秒)的速度向由移 动,试求出圆 A 与直线 PC 有公共点所持续的时间。 变式 4:试在 y 轴上找点 Q 使得 AQ+QP 最小,并求出这个最小值。 …… 说反思:对于本题我们要熟练二次函数和一次函数待定系数法的运用,要 掌握对于直线与圆的位置关系的界定,要加深有关“距离”概念的认识,在进行 几何图形运算的时候要注意勾股定理和相似这两个基本工具的运用。 本例题难度不大,但是它是一个考查了学生对于待定系数法求函数解析式、 判定直线与圆的位置关系、相似三角形的性质与判定、勾股定理的运用等较为综 合的题目。整个过程我们更突出说,而把一些计算的问题暂时放一放,学生只需 要动动口,把自己的思维过程表述出来与同学、老师充分交流。这样不仅能充分 发挥学生的主体作用,调动学生的学习积极性,变一言堂为群言堂,还可以理清 学生的思维头绪,让学生养成严密的逻辑思维习惯。在变式环节通过变式练习还 使学生可以举一反三、发散思维增加课堂容量。? 4. 说题教学应该注意的问题? ? ? ? ? 在实施说题教学的过程中,我们应该注意下面几个方面的问题:? 4.1 创造平等和谐的课堂氛围, 让学生能毫无压力大胆参与到说题教学中来。 ? 4.2 充分发挥学生的能动性,尽可能的让更多的人参与到说题中来,让学生 能有机会充分暴露自己的思维过程。? 4.3 说题过程中老师要能恰到好处充分的予以引导、诊断、评价和鼓励,使
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学生能完成自己的说题过程。? 4.4 在学生说题的过程中要有一个度,不能让整个课堂放任自流,说题的范 围不能毫无边际,否则整个课堂就没有重点,教学效果就会大打折扣。? 4.5 在说题的变式环节,由于变式对于学生而言难度太大,应充分的让学生 通过本题联想以前做过的类似的题目,或者老师提出变式,由说出解答过程。? 4.6“说题”对于学生的要求较高,因此最好从低年级开始训练学生说题。? ? ? ? ? ? 说题教学从根本上夯实了老师主导学生主体的教学模式,加强了老师和学 生的交流,变“一言堂”为“群言堂” ,把课堂真正还给学生。这种教学方式让 学生真正成为课堂和学习的主人, 把课堂变成为学生主动学习知识的最好的舞台。 通过笔者一段时间的操作, 不但在很大程度上提高了学生的学习积极性而且切实 提高了学生的学习能力和学习成绩。? ? ? ? ? ? ? ? ? 参考文献:? 殷伟康? ? “数学说题”教学的原则与教育功能? ? ? 教育理论与实践? 2011.5? 徐风杰? ? 新课标下如何进行数学教学中的 “说题” 教学? ? ? 现代阅读? ? 2012.7? ??? ? ? ? ?
? ? ?

教学中应实现单元间的大循环 —— 一道题给我们的警醒 广州市黄埔区港湾中学 钟淑欢

【摘要】函数是代数的核心.实现单元间的大循环是最能有效提高教学效果和调 动学生的学习积极性方法之一. 在单元教学中,有的知识点看似重要,但放眼整 个初中阶段,或许他是可以被代替而可有可无.有的题目和方法,在单元里当时 看来是可讲可不讲的,但从整个初中阶段来说,他隐藏的知识和方法影响却是深 远的.教学中应着眼于整体,侧重于单元间的大循环. 【关键词】 核心内容 单元间大循环 整体规划

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一、难道,函数就那么的不可逾越?还是我们的教学出了问题? 在一个星期一的早上,区教研室在我校初二年级的三个班测试了一道题,事 前并没有告诉学生要测试.题目如下: 某市出租车的起步价 8 元(起租里程 3 公里) ,之后是每公里 2.5 元,每车 次需加收 1 元的燃油附加费. 请写出打的费用 y(元)与打的所走里程 x(公里) 的函数关系式,并画出函数图象. 考核的结果,让人有点无法接受,三个班一百二十几人能做出来的学生寥寥 无几.其中一个班,一个做对的都没有,图也基本不会画. 同样是一道函数题, 2011 年我们广州市中考的第 24 题得分情况也不容乐观! 当年的考试题目和全市的分析数据如下: 24.(14 分)已知关于 x 的二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点 C(0,1),且 与 x 轴交于不同的两点 A、B,点 A 的坐标是(1,0) (1)求 c 的值; (2)求 a 的取值范围; (3)该二次函数的图象与直线 y=1 交于 C、D 两点,设 A、B、C、D 四点构成的 四边形的对角线相交于点 P,记△PCD 的面积为 S1,△PAB 的面积为 S2,当 0<a<1 时,求证:S1- S2 为常数,并求出该常数。 [2]该题广州市 120259 考生的平均分、难度、标准差、区分度统计: 小题号 24 满分值 14 平均分 2.61 难度 0.19 标准差 2.26 区分度 0.32

分数分布曲线百分比:

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难道,函数就那么的不可逾越?还是我们的教学出了问题?前一周五下午, 这三个班都以区公开课的形式学习了“分段函数”.有两个班是区异地教学比赛 课由外校参赛老师上课,一个班是由我们自己老师上的,而且是作为区资深教师 的示范观摩课.三个班水平相当, 在年级普通班的中上水平.上课的都是我区的优 秀教师,每位老师都花了两个多星期备课,还结合了自己学校科组老师的意见做 了充分的准备.其中有一位异地教学老师上课时的探究一选用的题目和测试题几 乎一样,仅仅是数字不同,上课时学生的参与度非常高.如果是中考能猜题猜得 那么准,那简直就可以为之疯狂,我们都认为那个班学生会做得很好.但事与愿 违,那个班能做出来的也屈指可数! 他们才刚学完的“分段函数” ,上课的内容是书本 118 页的例 5,题目是这 样的: [1] “黄金 1 号”玉米种子的价格为 5 元/千克,如果一次购买 2 千克以上 的种子,超过 2 千克部分的种子的价格打 8 折. (1)填出下表: 购买种子的数量(千克) 付款的金额(元) (2)写出购买种子数量与付款金额之间的函数解析式,并画出函数图象 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

二、我们的应对策略 (一)解决问题的必要性 我国 2011 年版的《义务教育数学课程标准》对学生学习要求有了较大的提 高。 “双基”调整为“四基”.通过义务阶段的学习,学生能获得适应社会生活和 进一步发展所必须的 “重要数学知识以及基本的数学思想方法和必要的应用技能” 基础知识、基本技能的基础上增加了“基本思想和基本活动经验”.同时,提出 通过数学学习增强学生发现问题和提出问题的能力、分析和解决问题的能力;了 解数学的价值,提高学习数学的兴趣,增强学好数学的信心,养成良好的学习习 惯,具有初步的创新意识和科学态度,立足于培养创新性人才。函数是整个初中 代数的核心,它的权重不容忽视.

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整套人教版的初中数学教材的知识是螺旋式呈现和提高的, 实现单元间的大 循环是最能有效提高教学效果和调动学生的学习积极性方法之一.函数是整个初 中代数的核心,为学生提供了许多用数学思想思考生活问题的数学建模。让学生 掌握函数,并用函数的思想去思考和解决生活中的问题,已成为我们初中数学教 学的重要教学目标. (二)问题剖析 函数是整个初中代数的核心, 面对这个如此郁闷的结果, 我们做了以下剖析: 客观原因:毕竟是区公开课,而且有两个班是用作异地教学比赛,老师和学 生都难免紧张点.事前也并没有告知学生要小测,经过周末两天,学生的是瞬时 记忆已经忘得差不多,剩下的基本是永久记忆. 主观原因: 学生对应用题与生俱来畏惧, 缺乏生活经验读不懂 “起租里程” 、 不知道什么是每车次,导致不敢下笔;或者是不能把里程 x(公里)准确划分,有 的不会画函数 y = 3 的图象,画射线也不熟悉. 《2012 年广州市初中数学会考指导书 数学》 页新增加了 46 “作函数图象”

的要求,要求学生画图是不用质疑的。但教材直至《一次函数》单元,教学内容 都没有要求学生会画函数 y = 3 的图象。因此要求学生画函数 y = 3 在 0 < x ≤ 3 区 域的线段就显得更难了. 公开课的例题是 2008 年人教版改版时新增加的分段函数的例题,生活中常 有的阶梯收费、手机收费等等都是分段函数和例题都源于同一个数学建模. (三)解决办法 能力不是一朝一夕就能形成的, 整套人教版的初中数学知识是螺旋式呈现的, 不要等到学 《一次函数》 才去解决一次函数的问题, 要高瞻远瞩做好适当的铺垫. 突破这个难点,我们可以从以下几个方面着手: 第一:我们有三年的时间不要吝啬于给学生探究的时间. 2012 年新版的人教版教材也意识到这个问题,分段和分类函数的数学建模 在初一的一元一次方程的应用 104 页的探究 3 就已经出现了, 为了使学生更容易 理解我们可以把它转换成以下四个问题: [3]如下面的电话计费问题。 问题 1:下表给出的是两种移动电话的计费方式:
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月使用费(元)

主叫限定时间(分)

主叫超时费(元/分)

被叫

方式一 方式二

58 88

150 350

0.25 0.19

免费 免费

你明白表格中这些数字的含义吗? 问题 2:你认为选择哪种计费方式更省钱呢? 月主叫时间 (单位: 分) 50 150 250 350 450 550 …… 问题 3:你能用一个表表示任意一个时间的计费,并能说出任意一个时间两种不 同的计费吗?设一个月内用移动电话主叫时间为 t 分(t 是正整数). 月主叫时间 t /分 方式一计费(元) 58 58 方式二计费(元) 88 88 方式一计费(元) 方式二计费(元)

t 小于 150 t 等于 150

问题 4:观察你的列表,你能从中发现如何根据主叫时间选择省钱的计费方 式吗? 分类思想、方程思想;代入法、特殊值法;方程、方程组、不等式;分类函 数、分段函数;学会看表、分析数据、找规律…….这道题有足够的“权重”让 我们花一节课去探究.但事实上这常常是老师们觉得上课时间不够而忽视的探究 课,隐藏了那么多我们常常挂在嘴边的关键词!这正是学生在数学学科要获得的 发现问题和解决问题的能力基础。教学中不能只着眼于一个单元的内容,对教材 内容的处理一定要有前瞻性,千万不要吝啬于给学生进行有效探究的时间. 第二:在初一学平面直角坐标系时不妨让学生在小方格上“绣出”如在
0 ≤ x ≤ 3 区域 y = 3 的线段
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在第六章学坐标时就应该让学生学会画函数 y = 3 等函数的图象,但无需强 调,那是函数图象,只要学生能按要求画出符合要求的线即可.为了方便学生理 解可以以我们生活中常见的十字绣的底画印刷作为数学建模, 让学生探究和尝试 在坐标系上画出不同要求的线.探究课可以这样设计: 我国传统工艺隐藏着无限的商机,例如十字绣,商家在方格布上淡淡地印出 图文,根据提示,即使从来没秀过花的人也 能秀出世界名画来,给人以无限的成就感! 聪明的商家是如何把图片印刷到网格布上 的呢?其实就是把我们数学的平面直角坐 标系中不同的坐标点按照需要填涂成不同 的颜色. 尽管学生还没有学习函数, 但让学生在 小方格上 “绣出”如在 0 ≤ x ≤ 3 区域 y = 3 的 线段,在 ? 4 ≤ x ≤ 3 区域 y = x + 1 的线段,并不是件难事.甚至可以拓展到直线、 射线和曲线等等.让学生在小方格上“绣出”一幅完整的图就更完美了. 第三:用小方格画图最合适 通过画大量的标准图的实践后,学生基本能快速准确画出函数草图.然而每 次画标准图学生都用了大量的时间画坐标系、描点等等。一节课下来能画两三个 函数图像就很不错了,很难达到有效技能训练的量. 《几何画板》的诞生大大方便了我们数学绘图,他能画出我们平常教学所需 的所有图形,以及图形的变换的等.在一次用《几何画板》二次函数图像时,我 产生了这样的一个想法,电脑构图是靠填充屏幕上一个个隐藏了的小方格,几何 画板也是靠利用方格的交点和填充方格来绘出我们所需的图形, 为何不把这一原 理应用到所有画图的教学中呢? 方格本有传统的几何本,小、中、大方格本以及作文本等.因为几何本格太 小,用起来不方便。中大方格以及作文本格数太少不能满足繁琐的画图需要,而 小方格方便画图的同时也方便书写,是最佳选择. 以往难以画得标准的图,用了小方格学生画起来就轻松多了.而且中考也常

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有网格画图的出现.当学生熟练掌握方格画图再抛开小方格,画函数图象就不是 件难事. 例如相对较难的二次函数,只要学会选择恰当的单位长度,学生操作起来也 不见得难.以下是 用的两个范例: 小方格使

y = x2

y = ?3x 2

1 y = ? x2 3

利用小方格画图,可大量节省学校的印刷量.同时,能实现学生课内有效训 练.初中数学教学适合用小方格画图的不仅是函数.类似的平面直角坐标系、 轴对 称、位似、平移、旋转等章节都非常适合. 三、 《一次函数》承前启后 同样地在《一次函数》这章的教学中我们也不应该把学生局限于一次函数. 首先,根据学生的情况可做适当的拓展。如果学生学习基础较好,完全可以 把二次函数和反比例函数告知学生,并教会学生画抛物线和双曲线等. 其次,引导学生理清函数学习的脉络。整章书学习完毕后,组织学生一起对 《一次函数》的题型、思想方法和解题策略进行系统的归纳和总结。

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系统地我们可以把一次函数问题归纳为:函数图象问题、系数问题、自变量 的取值范围问题、交点问题、单一的函数应用、分段函数应用、分类函数应用、 最值问题和方案问题等等.当学生面对比较复杂的综合题,相应的解题方法和策 略就可以对号入座化繁为简。如 2012 版初二课本 129 页的第 9 题: [1]A、B 两家商场平时以同样价格出售相同的商品,春节期间让利酬宾,A 商场所有商品按 8 折出售;B 商场消费金额超过 200 元后,超出部分可在这家商 店按 7 折价格购物.如何选择商场来购物更经济? 仔细分析,该题涉及分类函数、分段函数应用和自变量取值范围,再利用交 点和图象解决;或者再利用交点和不等式也可以解决. 当学生能看得出题目是什么问题,并熟悉解题的策略,再经过反比例函数和 二次函数的历练,那么函数的学习就可以从难变易,学会了自然就想学就有学习 的信心和兴趣. 在单元教学中,有的知识点看似重要,但放眼整个初中阶段,或许他是可以 被代替而可有可无.有的题目和方法,在单元里当时看来是可讲可不讲的,但从 整个初中阶段来说, 他隐藏的知识和方法影响却是深远的.教学中应着眼于整体, 侧重于单元间的大循环. 实现单元间的大循环是教学工作的大趋势。 把初中 29 章书进行系统的整合, 理清知识传授的脉络,在教学中实现单元间的大循环,进而合理、科学地把知识 传授给我们的学生有待于我们进一步的探讨和努力.

【参考资料】 [1]《义务教育课程标准实验教科书 数学 初中部分》

[2]《2011 年市中考分析教研统计数据》 [3] 广州市黄埔区 123 中学邓晓斌老师教学设计 《义务教育数学课程标准 (2011 年版) 》

《全日制义务教育数学课程标准(实验稿) 》 《2012 年 广州市初中毕业生学业考试指导书 数学》

深化与改造课本习题,强化数学变式训练?
广州黄埔港湾中学
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吴玉湘
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【摘要】 :有效地进行变式训练教学是培养学生解题能力和创新思维能力的 有效途径之一。教师要根据教学需要和学生实际情况,精心设计练习题,有所侧 重地加以挖掘,有计划地加以落实,加强数学思维训练,使学生练得精、练得巧、 练到点子上。 【关键词】:概念变式,公式、法则、定理变式,解题思维变式 一、相关背景 1. 提出问题 中考试题有不少源于“教材” ,选编教材“原题” ,仿制“类题” 。为此我们 的教学应紧扣教材,认真研究教材,深化和改造课本习题,才能培养学生驾驭课 本知识的能力。因为课本中的例、习题是经过编者反复琢磨,认真筛选后精心设 置的,具有一定的探究性、典型性,并且简明扼要、难度适中、编排合理,面向 大多数学生。笔者在教学中对课本习题大胆地进行深化与改造,收到良好效果。 通过这种训练有助于学生更深刻地理解所学知识, 促进和增强学生思维的深刻性, 充分训练学生思维的应变力、想象力及创造力.? 2.数学变式的分类 数学变式采用的方法主要是改变题目的表达方式,如题设与结论的互换,图 形的位置、形状、大小等的变化,规律及语言符号的互译,最终使学生掌握那些 在变化过程中始终不变的因素,从而透过现象看到本质。这就是人们常讲的“万 变不离其宗” 。另外,由于巧妙设计变式于课堂教学中,学生感到课堂的丰富多 彩,从而增强了课堂的趣味性。 从知识类型上区分,数学变式可分为概念定义变式、定理公式变式、解题 思维变式三类。下面笔者结合教学实践,从这三方面入手浅析如何深化与改造课 本习题,强化变式训练,激活学生数学思维。 二、数学变式的教学实践 1.概念变式训练,启发学生积极参与观察、分析、归纳,培养学生正确概 括的思维能力。

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从培养学生思维能力的要求来看,形成数学概念,揭示其内涵与外延,比 数学概念的定义本身更重要。在形成概念的过程中,可以利用变式引导学生积极 参与形成概念的全过程,提高学生学习的积极性,并通过多样化的变式,逐步培 养学生的观察、分析以及概括的能力。 案例 1? ? 当 x 是怎样的实数时, x ? 2 在实数范围内有意义?(九上人教课 本)? 变式 1:当 a 是怎样的实数时,下列各式在实数范围内有意义?? (1) 2 ? a ; (2) ? 2a ? 变式 2:当 x? ? ? ? ? ? ? ? ? 时,式子

1
x?2

在实数范围内有意义?? ?

变式 3:? 若 3n ? 2 是整数,求正整数 n 的值(至少写出 3 个) .? 点评? ? ? 讲完例题后, 学生对二次根式定义中的条件 a ≥ 0 ” “ 还不是很理解, 应用方面会有所欠缺,三个变式就是很好的补充,每一种变式都不一样,可以加 深学生对二次根式定义的理解,并进行了拓展与延伸,能帮助学生综合运用所学 知识解决相关问题。? 案例 2 什么条件下,分式

x ?1 的值为 0?(八下人教课本) x x2 ?1 的值为零? x?3

变式 1:当 x_______时,分式 变式 2:当 x______时,分式 变形 3:当 x_____时,分式 点评

x2 ?1 的值为零? x ?1

x 2 ? 3x + 2 的值为零? x2 + x ? 2

讲完例题后,学生对“分子为零而分母不为零”这个条件还不是很

清晰,此时通过层层深入的变式训练,学生对分式概念的理解逐渐加深,对分式 概念的本质有清晰的认识, 因此教师在以后的练习中也要明确类似知识点的考查 方向,防止盲目出题、学生盲目练习,在有限的时间内使得效益最大化。 2.公式、法则、定理变式训练,使学生深刻认知公式、法则、定理间的多 种联系,从而培养学生多向变通的思维能力。 数学中的公式、法则、定理是数学知识中的重要内容,它们是解决数学问
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题的重要理论基础。 掌握定理和公式的关键在于明确理解定理和公式中概念的联 系, 对于这种联系的任何形式的机械的理解, 是不能熟练应用定理和公式的根源, 它是缺乏多向变通思维能力的结果。 在教学中我们要善于利用变式训练引导学生 掌握公式、法则、定理中的各要素之间的联系和本质规律,使学生能加深理解和 灵活运用。 案例 3? ? 在学习圆的切线的判定定理时,为了帮助学生更好地理解定理中的 关键要素:①过半径外端;②垂直于这条半径,给出了下列变式题组: 变式 1:下列图中直线 l 是不是圆的切线?说明理由。 (九上人教课本图形改 编) ?

图 1?

变式 2:判断,错误的要画出图形说明: (1)与圆有公共点的直线是圆的切线; ? ? )? (? (2)垂直于圆的半径的直线是圆的切线; ? ? )? (? (3)与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线; ? ? )? (? (4)过圆直径的端点,并且垂直于此直径的直线是圆的切线; ? ? )? (? (5)经过半径外端的直线是圆的切线.? ? 点评 变式 1 给出图形让学生说明图中直线不是圆的切线的理由, 同时给变

式 2 做了铺垫;变式 2 接着给出文字题让学生作出判断,难度虽然加深了,但在 变式 1 的帮助下画反例图形就变得容易多了。通过上面的变式训练,学生既理解 了切线判定定理的两个条件,避免了机械背诵、生搬硬套,又从多方位理解了定 理的实质,增加了思维的灵活性。? 变式 3:如图 2,直线 AB 经过⊙O 上的点 C,并且 OA=OB,CA=CB.? 求证:直 线 AB 是⊙O 的切线。? 变式 4: 如图 3, 已知 O 为∠BAC 平分线上一点,OD⊥AB 于 D,? 以 O 为圆心, OD 为半径作⊙O。? ? 求证:AC 与⊙O 相切。? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
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图 3? 图 2?

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?

点评

变式 3、4 既让学生体会到如何运用切线的判定定理证明一条直线是

圆的切线,又让学生知道证明切线添加辅助线的方法:? (1)直线与圆的公共点已知时,连半径,证垂直;? (2)直线与圆公共点不确定时,过圆心作垂直,证半径。? 3.解题思维变式,利用变式来改变题目的条件或结论,揭示条件、结论间的 联系,解题方法之间的联系与规律,从而培养学生联想、转化、推理、归纳、 探索的思维能力。 在解题教学的思维训练中,变式是一种很有效的方法。通过变式训练,可以 从不同角度去改变题目,通过解题后的反思,归纳出同一类问题的解题思维形成 过程与方法的采用,通过改变条件,可以让学生对满足不同条件的情况作出正确 的分析,通过改变结论等培养学生推理、探索的思维能力。解题变式分为解题方 法的变式与题型的变式。 3.1 多题一解,培养学生触一通类的数学思维能力。 案例 4? ? 例题 已知二次函数的图像经过 A (-1,0)、B (3,0)、C (1,-5)

三点,求这个二次函数的解析式。 (九下人教课本) 变式 1:已知抛物线经过 A (-1,0)、C (1,-5)两点,且对称轴是直线 x = 1 , 求这条抛物线的解析式。 变式 2: 已知二次函数的图像与一次函数 y = ? 5 x ? 5 的图像相交于 A (-1,a)、
2 2

C (1,c)两点,并且经过点 B (3,0),求这个二次函数的解析式。 点评 教学中先让学生议练, 教师在知识的转折点上提出一些关键性的问题

进行点拨,在思路上为学生扫除障碍。对于变式 1,先让学生比较它与例题的已 知条件有什么不同?引导学生抓住“对称轴是直线 x = 1 ”利用对称性,求点出 B 的坐标。对于变式 2, 讨论怎样求 A、C 两点的坐标,思考怎样转化为例题求解。 要善于应用“化整为零、各个击破”的思想方法把一个综合题分解为几个简单问 题来解决,逐步引导学生把变式 2 分解为两个问题:①求 a、c 的值;②求二次 函数的解析式(转化为例题) 。通过这题组“多题一解”变式训练,既可巩固强 化解题思想方法,又让学生通过多题一解,抓住本质,触一通类,培养学生的变
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通能力,收到举一反三的效果。 3.2 一题多解,培养学生思维的开阔性、发散性和灵活性。 案例 5? ? ? 在上面案例 4 给学生介绍了多种解法以后,给出如下变式:? 已知抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点是(‐1,4),且经过点(1,2),求 a、b、c 的 值。? 解法一? ? ∵抛物线顶点是(‐1,4)? ? ? ? ? ? ? ? ? ∴可设所求抛物线为 y = a ( x + 1) 2 + 4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 把点(1,2)代入,得 2 = a (1 + 1) 2 + 4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解得 a= ?

1 ? 2

1 1 7 ? ? ? ? ? ? ? ∴可设所求抛物线为 y = ? ( x + 1) 2 + 4 = ? x 2 ? x + ? 2 2 2 1 7 ∴a= ? ,? b=-1,c= ? 2 2
解法二? ? ∵抛物线顶点是(‐1,4)? ? ? ? ? ? ? ? ∴抛物线对称轴是直线 x=-1? ? ? ? ? ? ? ? 点(1,2)直线 x=1 的对称点是(‐3,2)? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 把(‐1,4)、(1,2)、(‐3,2)代入 y=ax2+bx+c 得关于 a、b、c 三元 一次方程组,再求出 a、b、c 的值。? 解法三? ? ∵抛物线顶点是(‐1,4)? ? ? ? ? ? ? ? ? ∴?

b =-1……(1)? 2a

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 再把(‐1,4)、(1,2)代入 y=ax2+bx+c 得两个关于 a、b、c 的方程, 与(1)式一起组成方程组,再求出 a、b、c 的值。? 点评? ? 解法一计算是最简单的,但学生看到题目给出的是一般式,并且不是 求解析式,而是求 a、b、c 的值,就不敢去尝试顶点式,反而更倾向于解法二、 三,因此教学中给学生介绍多种解法是必须的,可以给学生提供更多的选择。? ? 3.3 一题多变,培养学生思维的深刻性 案例 6? ? 如图 4,△ABD、△AEC 都是等边三角形.BE 与 DC 有什么关系? 你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗?(九上人教课本)?

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变式 1:已知条件不变,改变结论? 如图 7,△ABD、△AEC 都是等边三角形,猜想直线 CD 与直线 BE 的夹角, 并说明理由.? 变式 2? :给出新的结论,探究合适条件? 如图 5, 在△ABC 中, 分别以 AB,AC,BC 为边在 BC 的同侧作等边三角形 ABD、 ACE、BCA.? (1)求证:四边形 DAEF 是平行四边形;? (2)当△ABC 满足什么条件时,四边形 DAEF 是菱形?? 变式 3:? 改变问题情境,挖掘内在联系? 如图 6, 分别以△ABC 的边 AB、 为一边向外作正方形 AEDB 和正方形 ACFG, AC 连结 CE、BG。则 BG 与 CE 有什么关系?说明理由.? ? ? ? ? ?
B C B C F D E G D A D

A?
E

E

A?
F

图 4?

图 5?

B

C

图 6?

点评? 变式 2 把由两边向外作正三角形改为由三边向外作正三角形,重点考 查平行四边形、菱形、等边三角形等知识,是一道几何型综合题;变式 3 把向外 作正三角形改为正方形,但还是运用全等三角形解决。这些变式既考查学生对知 识的综合运用,又能培养学生分析问题能力和推理能力,使知识进一步理解和升 华。? 案例 7? ? 如图 7, A、 B、 C 两两不相交,且半径都是 0.5cm ,求图中三 个扇形(即阴影部分)的面积之和. (九上人教课本)? 变式 1? ? 如图 8, A、 B、 C、 D 两两不相交,且半径都是 0.5cm ,? 求图中三个扇形(即阴影部分)的面积之和.? ? ? ? ? ?
B C

?
A

?

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图 7? 图8 图9

? ? ? 变式 2? ? 如图 9, ? ?A、 B、 C、 D、 E 两两不相交, 且半径都是 0.5cm ,

求图中三个扇形(即阴影部分)的面积之和.? 变式 3:如果把五个圆改为 n 个圆,其他条件不变,所得 n 个扇形(即阴影 部分)的面积之和是多少?? 点评? ? 扇形在不断增加,难度似乎加大了,但变之中蕴含着不变的规律,学 生觉得很有趣,学起来自然就轻松了,思维更加活跃。? 4.信息技术与初中数学变式教学整合,给学生提供一个求异、思变的创新 氛围和无限的想象空间。 义务教育阶段《数学课程标准(2011 版)》强调:“……要重视运用现代信息 技术,要大力开发并为学生提供更丰富的学习资源,把现代信息技术作为学生学 习数学和解决问题的强有力工具……”.信息技术环境下的数学变式教学正好为 这一理念提供一个良好的平台. 经过长期的教学实践,发现将信息技术与数学变式教学进行“整合”,用来 解决数学教学难的问题,不仅简单易行,容易着手,力度较好把握,而且效果也 较明显. 案例8 ⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm和4?cm,如果O1?O2满足下列条件,⊙

O1和⊙O2各有什么位置关系?? (1)O1?O2=8cm; (2)O1?O2=7cm;…… (九上人教课本)? 针对我校只是一所区级普通中学的生源情况,笔者采用的教学策略是先 让学生独立思考,然后利用几何画板直观演示,帮助学生理解利用数形结合 解决此类问题。具体做法是:制作如图 10 的课件,慢慢拖动图中的点 O1 或 O2,使 O1?O2 分别等于各小题中圆心距的值,两圆的位置关系很清晰地显示出 来;或者按图中各命令标签,会显示出每种位置关系对应的 O1?O2 等于多少.

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图 10

变式

⊙O1? 半径为 4? cm,O1? O2=8cm,如果⊙O1 和⊙O2 位置关系分别满

足下列条件,写出⊙O2 的半径 r2 的值.(如果答案不唯一,只需写出一个) (1)两圆相离,则 r2=? ? ? ? ? ? ? ? ; (2)两圆相交,则 r2=? ? ? ? ? ? ? ;…… 这个变式属于逆向思维,讲课时采取的是“比一比,看谁说得快”的形式, 既调动了学习气氛,又使得学生的思维得到提升,几分钟的比赛时间使得学生意 犹未尽。? ? 案例 9 例题 人教课本) 笔者利用几何画板在计算机上作出了三个二次函数 y=x2,y=2x2 ,y= 研究函数 y=ax2 的图象随 a 的变化而变化的规律. 在同一直角坐标系中画出二次函数 y=2x2 ,y=

1 2 x 的图象.? (九下 2 1 2 x 的 2

图象(如图 11) ,并让学生观察函数 y=ax2 的图象随 a 的变化而变化的情况,引导 学生得到当 a>0 时,y=ax2 的图象的开口方向、开口大小与系数 a 的关系规律。? ? ? 变式:在同一直角坐标系中画出二次函数 y=-x2,y=-2x2, y=-

1 2 x 的图象.? 并探究当 2

a<0 时,y=ax2 的图象的开口方向、开口大小与 系数 a 的关系规律。? 几何画板的最大优势,在于几何图形的动 态化和“形”与“数”的同步化,通过变式课 件多向启发,使学生思路开阔,学会多角度、 多层次地思维,从而能抓住问题的实质,找出解?
图 11

决问题的关键,总结出规律,促使学生打破常规的解题模式,达到思维的简缩。 ? 总之, 在初中数学教学中, 特别是复习课, 教师应引导学生对课本典型例题、 习题进行合理演变,把一些常见的题凝聚成题组,既可使学生窥视到一类题的内 在联系和区别, 又能看到题目演变的全过程, 使学生遇到新题不会感到无从下手; 既能开阔学生的解题思路,培养学生的解题能力,又能增强学生举一反三的应变

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能力,让学生的思维在“变式”中流淌而增效。 参考文献 [1] 赵 晓 楚 、 周 爱 东 . 如 何 在 数 学 课 堂 中 实 施 变 式 教 学 . 中 小 学 教 学 研 究.2007 年.5. [2]徐勇彪. 变式训练在初中数学中的应用与思考.新课程研究? ? [3]潘小明.试论信息技术与数学课程的整合策略[J] .《数学通报》,2003年 7月. [4]义务教育《数学课程标准(2011年版)解读》 ?

利用数学模型,搭建学生学习的脚手架
番禺区大石中学 冼鉴民

【摘要】:模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途 径,是学生学习数学和应用数学必具备的能力。在初中数学教学中根据“问题情 境—建立模型—求解验证” 来建立数学模型, 并在教学中注意渗透数学建模思想, 能引导学生探究数学知识与规律,培养数学能力,加深数学知识与原理的理解, 让问题解决化难为易,为学生学习数学搭建可靠的脚手架。 【关键词】:模型思想、数学模型、数学学习、脚手架

一、问题的提出
数学模型是沟通数学与外部世界的桥梁,模型思想是数学的基本思想之一。 义务教育《数学课程标准》强调:“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外 部世界联系的基本途径。” 数学教育要重视学生应用数学知识解决实际问题能 力的培养,而这种能力的核心就是掌握数学建模思想方法。数学建模思想方法作 为数学的一种基本方法,渗透在初中数学教材的各种知识板块当中,在方程、不 等式、函数和三角函数等内容篇章中呈现更为突出,学生学习掌握这种思想方法 是完成学习任务和继续深造学习必备的基本能力。然而,在日常数学学习中,学 生普遍对应用数学知识解决实际问题都感到困难, 对如何将实际问题抽象成数学 问题更是难上加难。培养学生数学建模能力,是提高学生分析解决实际问题能力 的根本途径。 同时, 数学建模思想方法蕴涵着多种数学思维, 是思维训练的过程, 也是观察、抽象、归纳、作图、数学符号表达等多种能力训练和加强的过程。

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因此,学习数学建模思想方法不仅是学生数学应用的需要,而且是数学学习 与数学思维的需要。在建立模型、求解模型的过程中,体现“问题情境—建立模 型—求解验证”的过程,便于学生理解和掌握相关的知识技能,感悟数学思想、 积累活动经验,提高提出问题、分析和解决问题的能力,增强应用意识和创新意 识。总之,在初中数学教学中渗透数学建模思想,就是帮助学生搭建数学学习的 脚手架。

二、建立数学模型,搭建学生学习的脚手架
在初中数学教学中建立数学模型,并注意渗透数学建模思想,能引导学生探 究数学知识与规律,培养数学能力,加深数学知识与原理的理解,让问题解决化 难为易,为学生学习数学搭建可靠的脚手架。 (一)? 利用数学模型,搭建学生理解知识的来胧去脉的脚手架,让问题解决 化难为易 以实际问题的解决作为载体,并结合初中数学中常见的数学模型,通过建 立数学模型来引入数学的概念、法则,通过解决实际问题,帮助学生理解知识的 来胧去脉,加深学生对数学知识的理解与掌握,让问题解决化难为易。 例 1、王芳同学跳起来把一个排球打在离她 2 米远的地上,排球反弹碰到 墙上,如果她跳起击球的高度是 1.8 米,排球落地点离墙的距离是 6 米,假设球 一直沿直线运动,球能碰到墙面离地多高的地方? 在解答本题时,有的学生尝试画图,有的学生尝试运算,还有的学生尝试 解读。生生互动,可谓热闹。然而,成绩好的学生做得有滋有味时,还有一部分 学生无从入手。他们读了题目,却不知题目的意思。这时,教师可采用“问题情 景——建立数学模型——解决问题”的教学模式,使学生 在有梯度的理解中,不断联系思维,让模型浮出水面。教 师可以让学生先解决纯数学问题: (已知:C、B、E 在同 一直线上, ∠ACB=∠DBE=90°, ∠ABC=∠DBE, AC=1.8, CB=2, BE=6, DE。 然后, 求 ) 将该模型放在实际背景里, 让学生理解,再认识模型,获取已有的知识印象,再通过 反复思考,回应模型的本质,从而达到化难为易,最终解决问题的目的。只有让 学生感受模型的存在,无意识中感悟同类问题的通式同形,达到无心插柳柳成荫 的境界。 数学模型的建立,需要教师有心栽花,也需要课堂的反反复复的训练,还需 要学生的瞬间顿悟方可成就的。 (二)搭建数形转化的脚手架,生成数学模型,加深数学知识与原理的理解
C B E A D

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数学知识的学习对形成学生的模型思想是非常重要的。 很多老师在对基础知 识的教学,存在着“轻过程,重结果”的现象。如对公式定理的教学,许多采取 的是“公式+例题”的方式,实质是“满堂灌” ,最后只能导致学生“知其然,不 知所以然”的后果。事实上,一个公式的推导伴随着数学模型的建立过程,所以 一定要引导学生经历这个公式的推导过程。
2 2 例 2、对平方差公式(a+b) (a-b)=a -b 的教学

平方差公式是一个常用的公式,我们可以运用多项式乘以多项式的推理,得 出这个公式,并进行相应的操练。除了这个方法外,我们还要根据学生已有的生 活经验,让学生探究,充分展示“探究过程”:平方差公式几何意义是什么?是 否可以通过图形的拼揍来得到这个公式?并引导学生观察公式的特点: 左边是两 数和乘以这两数差的形式,右边是两数的平方差。如图:图1中外框是边长为a 的正方形,右下角是边长为b的正方形,把它剪去,再把①拼揍到图2的位置,左 边图形的面积是a2-b2, 右边图形的面积是 (a+b) (a-b) ,从而可得(a+b) (a-b)=a2-b2。 利用数形结合的思想,我们还可以探究得 到完全平方公式: (a+b) =a +2ab+b ;勾股定 理:a +b =c 等等。 这样,学生通过合作交流,完成剪拼活动,
2 2 2 2 2 2

① a-b ① a 图1 b a+b 图2

验证了公式的正确性。学生经历了探索过程,生成了数学模型,帮助学生进行数 形转化,不仅能理解、掌握公式的意义,而且还能获得数学活动经验,让学生体 会到几何与代数之间的内在联系,符合《数学课程标准》理念。 (三)逐步渗透数学模型思想,搭建思维桥梁,引导学生探究数学知识与规 律,培养数学能力 数学要根据具体的教学内容,创设合理的问题情境,引导学生通过实践、思 考、探索、交流等活动,获得数学的基础知识、基本技能、基本思想及基本活动 经验,促使学生发现问题和分析问题能力的不断提高。所以,在教学中应结合具 体问题创设情境,活用数学模型思想,引导学生进行观察、操作、探究、归纳、 猜想、讨论、交流等一系列活动,从而培养数学能力。 例 3、 参加一次足球比赛的每两队之间都进行一场比赛, 共有 6 队参加比赛。 1、在这次比赛中,共进行多少场比赛? 2、如果参加比赛队数 10 队,又共进行多少场比赛?对于任意队数参赛,能 否找出一种办法计算共进行多少场比赛? 对于这个问题,我们可以这样引导学生进行思考探索: 1、如果有两个队参赛,比赛场数为 1 场,如果有三个队参赛,比赛场数为 2 场,如果有四个队参赛,比赛场数为 6 场,……,如果有五个队参赛,六个队 参赛,x 个队参赛呢?
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共进行比赛场数 y 与 x 个队参赛关系,请完成下表: X Y 2、 以表中的对应数据为坐标点, 描出 y 与 x 之间的函数关系所对应的图象。 3、猜想 y 与 x 之间的函数关系是怎样的?并求出 y 与 x 之 间的函数关系式。 分析: 1、通过学生分析、探究等活动,容易得出表中对应的 y 的 值。 2、在得出 y 的值后,建立直角坐标系,通过描点、连线, 得出如图所示函数图象。 3、通过观察发现,所画的图象是抛物线的一部分,把表中的任三个点代入 抛物线的解析式 y = ax 2 + bx + c ,求出解析式 y = 1 2 3 4 5 6 …

1 2 1 x ? x 。这就是共赛场数 y 2 2

与 x 个队参赛之间的一个数学模型, 有了这个模型, 比赛场数问题就不难解决了。 活用这个模型,我们还可解决类似的问题: “参加一次商品交易会的每两家公司 之间都签订了一份合同,所有公司共签订了 45 份合同,共有多少家公司参加商 品交易会?”“一个 n 边形,对角线的总条数 s 与 n 的函数关系式”等等。 、 学生在学习过新知识后, 教师应根据教材的内容、 特点对所学内容进行深化, 渗透数学模型思想,搭建思维桥梁,引导学生探究数学知识与规律,促进学生的 知识迁移和发展,提高学生解决问题的能力。 例 4、求证:任意四边形四边中点的连线,所得的四 边形是平行四边形。 已知:四边形 ABCD 中,E、F、G、H 分别是 AB、BC、 CD、AD 的中点。求证:四边形 EFGH 是平行四边形。 此问题目是在学习了三角形的中位线定理后出现的,
A H D G C

E B

F

题目涉及到中点,教学中可引导学生用“一组对边平行且相等的四边形是平行四 边形”“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”“两组对边分别相等的四边 、 、 形是平行四边形” 等方法来证明, 实现 “一题多证” 这样做既开拓学生的思维, 。 又能使知识、 能力都得到提升。 如果把题目再作一些修改, “一题多变” 把 实现 。 题目中的“四边形 ABCD”改为“平行四边形 ABCD”“矩形 ABCD”“菱形 ABCD” 、 、 、 “梯形 ABCD”“等腰梯形 ABCD”“正方形 ABCD”等,四边形 EFGH 又是什么样 、 、 的特殊四边形?通过学生讨论、探究,引导学生总结,四边形 EFGH 的形状与原 四边形 ABCD 的什么条件有关?是与四边形 ABCD 的对角线有关,最后得出“当四 边形 ABCD 的对角线相等,则四边形 EFGH 是矩形”“当四边形 ABCD 的对角线垂 、 直,则四边形 EFGH 是菱形”这个数学模型。
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象这样,搭建“一题多证”“一题多变”的脚手架,渗透数学模型思想,引 、 导学生探究数学知识与规律, 让学生的思维得到拓展, 学生的学习兴趣得到激发, 学生的数学学习能力得到提高。

三、结语
以实际问题的解决作为载体,并结合初中数学中常见的数学模型,通过建立 数学模型来理解数学的概念和原理, 让学生体验到数学学习与研究并不是无章可 循,难于登天。引导学生在研究数学问题时,以实际问题为数学背景,建立数学 模型, 利用已有的数学方法求得问题解决, 使实际问题与数学问题之间建立通道。 从而使学生在数学的学习中逐步体会数学模型的作用, 体验与运用数学建模的思 想。 数学是训练思维学科,在数学教学中教师应注意引导学生大胆想象和猜想, 应用已有数学知识,尝试构建数学模型解决实际生产生活中的数学问题;数学问 题并非只在数学课中存在,数学教学应特别注意学科间的融合,这不但可以提升 数学学习的质量,还可以提升相关学科的学习质量,乃至于对学生的继续学习都 会产生深远的影响;作为数学教师要更新教学理念,提高自身的数学建模水平, 在教学过程中,搭建思维桥梁与脚手架,才能更好的引导学生通过数学建模树立 解决数学应用问题的信心,提高解决实际问题的能力。
参考文献: 1、数学课程标准.北京师范大学出版社.2012 年 2、李树臣.渗透数学模型思想的基本途径.中学数学杂志.2012.10 3、张雄、李得虎.数学方法论与解题研究.教育出版社.2003 4、赵振威.中学数学教材教法. 华东师范大学出版社. 1994

自主学习在初三数学一轮复习中的探究与实践?
广州市科学城中学? ? 钟凤齐?

[摘要]初中总复习阶段,很多老师都碰到这样的问题:该复习的内 容太多,而时间又很紧。解决办法只有一个,让学生自主学习,提高 课堂效果。在初三一轮复习中,为了实现有效性教学,笔者尝试了一 系列的能让学生主动参与,自主学习的教学模式,让学生从会做题, 到会讲题,到学命中考题,在中考复习中提高了学生的综合素质,提 高复习效率。 关键词:自主学习,初中数学,一轮复习,师生换位
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一、问题的提出 笔者从事初中教学 13 年, 其中 7 年教初三。 在中考备考总复习阶 段,经常感觉很困惑:知识点千头万绪,该做的练习太多,可时间却 迫在眉睫;既想面面俱到,又担心主次不分;既要面向全体,又要分 出层次。于是我们总是花费大量的时间把每一章的定义、定理、题型 进行收集、整理、归纳并打印成试卷发给学生。学生做完后,老师批 改订正,订正时主要采用在课堂上逐题讲解的方法。学生每天在“题 海”中挣扎,既不敢不做,又确实应接不暇,每天疲于奔命,学习积 极性与学习信心都大受打击。结果学生与老师都十分紧张、疲惫,但 是效果却往往不如人意, 学生埋怨老师发的试卷多, 老师埋怨学生 “做 了这么多练习,还是没学好” 。今年本人再次任教初三,对于中考的 复习策略该如何制定, 怎样的复习模式才是最有效的呢?本人想在这 一年的备考中做一些有效性教学的尝试。 二、学生自主学习的理论依据 ->自主学习产生的背景 我国新一轮基础教育课程改革强调要使学生能适应终身学习的要 求,具有适应终身学习的基础知识、基本技能和方法,“改变课程过 于注重知识传授的倾向,强调形成积极主动的学习态度”,“在课程实 施中要改变过去强调接受学习,倡导学生主动参与、乐于探究,勤于 动手,培养学生搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析和 解决问题的能力”?[1]。因此,自主学习就显得尤为重要。 二>自主学习的含义 自主学习指学习者在教师的指导下,对自己正在进行的学习活动 进行主动、积极、自觉的计划、监控、评价、调整的过程。 (单志艳 定义) 三>自主学习的意义和作用 (一)学生通过对教学内容的自主探究,可以对课题的学习达到更自 觉、更深刻、更持续的掌握,可以提高自主学习的能力
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(二)自主学习能让学生潜在的个性特长得到充分的发展 (三)自主学习能激活、诱导学生学习的积极性,促进学生良好的学 习态度与学习心态的形成 四>自主学习的特点 自主学习是学生在学习活动中自我决定、自我选择、自我调控、 自我评价反思,发展自身主体性的过程。与自主学习相对的是他主学 习。他主学习是他人(教师)为学生做主的一种学习。从自主学习的 本质及自主学习与其相对应的他主学习的比较中, 我们可以得出自主 学习的几个基本特点:能动性、独立性和异步性。自主学习的能动性 是相对于他主学习的受动性而言的; 自主学习的独立性相对于传统学 习的依赖性;自主学习的异步性是相对于传统学习的“齐步走”。? [2]? 三、学生自主学习的初步实践 ->中考复习探实效,德育模式试迁移 我担任了 9 年的班主任,在班级管理过程中,我注重学生的自主 管理,学生自治,而且“学生自主管理”这个课题已经是近年我校确 定的德育发展方向, “能让学生做的事情都让学生去参与”是我当班 主任的宗旨。在平时的教学中,我们总强调, “有效的教学标准不是 在于老师讲了多少,讲得多好,而是在于学生学了多少,学得多好” ?
[3]。 由此, 我想今年的中考复习, 我能否尽可能地调动学生参与课堂,

在参与中提高复习效率,进而提高教学成绩。 二>教育教学兼课题,课堂实践敢尝试 (一) “学生课前讲题”成为数学课堂的组成 学生能把题目做出来,有时不一定能反映出他的水平;但如果能 给别人讲怎么做,那才真的是理解。让学生动手、动口,通过学生的 讲来反馈他对知识的掌握情况是我平时看重的地方。我认为,在复习 课中让学生自己选题,给全班同学练习,然后讲评的方式能比较有效 地调动学生的参与程度。这个活动具体分为几部分: ->1、学生精心选题。选题的原则是根据近段时间复习的内容,结
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合以前新课学习和老师一轮复习的重点内容, 结合班上同学的掌握情 况,选编对大家“有价值”的题目,题型不限,难度适中,能保证大 部分同学都可以做。我给每一位出题的同学预先发了一张 A4“命题 纸” ,上面有题目内容、题目出处、考查要点、解题分析、答案以及 评分标准。 ->2、在黑板板演。在预备铃之前,负责讲题的同学会把题目抄写 在黑板,给班上的同学练习。同时运用小黑板把题目的答案和评分标 准预先准备好,为清晰讲题做好准备,也节约时间。 ->3、全班练习。我给全班同学统一送了一本软皮抄,专门是这时 段用来练习的。大概是 8 分钟时间完成,然后分别交给 11 个数学学 习小组的组长批改。 ->4、评讲与研讨。讲题的同学挂上小黑板,对题目进行解析,提 出解题思路和分析解题中的注意事项, 对题目的关键点和陷阱作分析。 讲完以后允许班上同学提问,对问题进行研讨、拓展。 ->5、老师评点。学生讲题和研讨完成以后,老师都对命题质量、 讲题人表现、题目解答和题目拓展等做一些评点,以鼓励为主,当然 少不了对一些争论不休的残局进行解围。 ->6、成绩分析。组长对照评分标准后,把组员的分数登记在班公 布的登分册中,我可以了解同学们的表现,同时也给同学们比较、参 考。 ->7、附学生作品:

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图1

图2

(二) 、学生备课、讲课,师生换位收获多。 经过了前三章内容的复习,我们的复习模式基本形成,对于第一 轮的复习,主要还是让学生自我构建,综合、提升的方面要求不高。 于是我又萌生了让学生代替老师讲课的想法,并做了有效的尝试。 我们班分了 11 个小组,担任小组长的基本是成绩前列的同学,在 一轮复习中我感觉到他们其实是学有余力的。 于是我就让两个小组长 合作,对某一节课的内容提前两天准备,在数学课上代替老师讲课。 接到任务的同学非常重视和认真, 用一天的时间参考教材和复习资料, 收集题目,准备需要讲的例题和习题,第二天去老师那里试讲一遍, 老师对重难点问题、关键问题给予指导。正式上课时间到了,在大家 热烈的掌声中, 两位小老师站在讲台上为同学们讲解这一节课的内容, 让同学们提问。而老师则在台下认真聆听、认真思考,有时是全班巡 堂,了解情况和解答问题,课堂是一个非常自由、平等、有学术氛围 的空间。 当然也有个别同学表达能力不强, 讲解不清或过于紧张声音偏小,
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引起其他同学哄笑的情况出现,但只要老师善于引导,多点宽容,并 且制定好课堂评分标准,就能驾驭好课堂。 (三)“错题病例集”的建立让学生脚踏实地。 、 经常有学生跟我讲,上课听老师讲课听得懂,但到自己练习时, 总感到困难重重;在做作业时,许多题目老师讲过了、自己做过了、 甚至考过了,却无从入手;在测试或考试时,同学们都会有做错的题 目,也许下次考试还是会错。我想,在这些错题的背后,往往是学习 中的知识漏洞。学生平时做题后很少进行反思,做错时只就题改题, 不能对知识系统和数学方法进行归纳。要解决这个问题,我认为最有 效的途径是建立起“数学病例集” 。 一开学我就送给每个学生一个笔记本,名为“错题病例集” ,要 求每一个同学,对每天的练习和作业等出现的自己做错的题目,登记 在自己的错题集上,每错必登,多错多登,少错少登,无错不登。错 题集基本格式为: 原题:…… 错解:…… 错误原因(种类):…… 正解:…… 学生手上都有一本自己的数学“错题病例集” ,现在到了总复习阶 段了,该怎样发挥它的最大作用呢?我做了以下尝试,我将代数部分 分为四个单元:数与式、方程与不等式、函数、统计与概率;将几何 部分分为六个单元:相交线和平行线、三角形、四边形、圆、图形的 变换、解直角三角形,11 个小组各承担一个单元,要求把这章节中 出现的错题分别向全班同学收集,分类整理后用纸抄好,誊印出来给 全班同学共享。这种“错误集体出现”的复习方式让我们的复习事半 功倍。 附学生作品

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图3 (四)编写单元测试卷,学生共享资源。 复习完每个单元后,我都要进行一次单元测试,目的在于查漏补 缺和信息反馈。以往测试卷都是我们老师出的,今年我想尝试一下让 学生出卷。 “方程与不等式” 每个小组各出一份。 如 , 由小组长牵头, 研究参考资料和教材, 按中考要求的考点以及命题方向, 学命中考题。 小组长给小组成员分工,试卷分选择题、填空题、计算题、应用题, 并且在试卷前面写上命题人的名字,同时附上答案,这个过程要求全 组成员共同参与。11 张测试卷收上来后,我选择一份质量较好的作 为正式测试卷,并且对入选的这组同学给予大力表扬和加分,其余的 张贴在后面黑板让同学们自己去看去做。 学生对这种测验方式感觉很 新鲜,也很乐意去找资料出试卷。 其实学生命题的试卷水平有限,不管他们做得怎样,我只想让学 生在这个过程中感觉到学习的快乐,有自己学习的欲望。

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三>总结反思问效果,坚守信念创佳绩 中考复习过程是一个知识能力提升、心理素质提高的综合过程, 在一轮复习中,我正是尝试以“学生自主学习”的宗旨来组织我的课 堂,所以出现有一系列让学生参与的形式,当然我也一直在反思,这 样的复习模式, 在中考一轮复习中真的有效吗?如果从好的方面来看, 还真的可以总结以下几点: (一) 、学生对课堂教学的参与是充分的。 对于负责“命题”“讲题”的同学来说,在参与中个人的收获是 、 很大的。如果要选一道题,学生必须经历对中考考纲的研究、对所学 知识的回顾、对选定问题深入钻研、解题规范的研究、走上讲台还要 注意表达能力的锻炼。而对于一些需要走上讲台组织同学们复习的 “小老师”来说,对他们的要求就更进一步了。事实上,经过一段时 间的锻炼,学生上台的表现有了明显的进步,他们在表达能力、解题 思路方面更显成熟稳重。 对于台下的同学来说, “课前十分钟讲题”期间他们在做题、听 讲和讨论的过程中学习是高效率的, 从来不会有同学在这期间打瞌睡、 走神。另外对于同龄人讲出来的思路和方法好像特别有共同语言,比 较容易接受。 同时由于学生讲出来的东西往往没有老师的那种权威性, 同学们很喜欢质疑、 挑刺, 正是这样往往引发了一些相关问题的争论, 经过一番唇枪舌剑之后,老师出来解围,那往往是大快人心的学习过 程。从课堂教学的有效性看来,我认为学生充分“参与”了就是成功 了一半。 (二) 、老师讲得好,不如学生研讨中归纳总结。 我特别做了一个尝试,在调研测试以后,我暂停了“学生讲题” 的模式,回到老师“一言堂” ,我发现在很多时候,上课不到十分钟 就已经有同学走神,甚至打瞌睡了。这时我思考,老师讲课,虽然条 理性强,讲得权威、标准,但学生的学习不一定是高效的。 回顾让学生讲题时, 同学们在课堂上提出对解答过程的不同意见, 对讲题同学提出比较有深度的问题, 引起了大家对该知识较深层次的
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思考。为了应付台下同学的不同问题,备课的同学就需要更充分的准 备。 由此可想, 老师的 “一言堂” 只能让学生被动地接受知识, “争 而 论”所得让学生能主动梳理知识,那效果是显然不同的。 (三) 、师生换位,更能反思自己的教与学。 作为老师,走下讲坛,坐在学生座位上,很多时候对台上同学遮 挡黑板、 思路紊乱、 语言不流利、 知识错误、 板书不规范等心急如焚, 很想走上讲台来讲课。反思自己的讲课,平时何尝不是犯了这一些错 误呢,而且学生天天都得面对我们的这些陋习,岂不是更痛苦?作为 教师本身是一次很好的反思机会。另外,学生在讲,老师可以在下面 巡查、解疑,就可以创造更多的时间和精力去辅导学生。 作为学生,走上讲台给同学们讲解,对自己的思路需要整理得更 加清晰; 在应付同学们提出来的问题时, 才发现 “书到用时方恨少” 。 走下讲台之后,他们听课的注意力就是不一样。 (四) 、成绩的进步,让我坚定课堂改革的信心。 在初三一轮复习中推行“学生自主学习”的课堂,自己的疑惑一 直就没有停止过,我也特别观察学生的数学成绩,希望能寻找到一个 答案。 我教的是两个班,因为我是初三(2)班班主任,所以把该班作 为“自主学习”的实验班,初三(1)班则用传统复习方式。从期末 复习的月考成绩开始,到一模二模考试,两个班的成绩对比如下: 考试类型 实验班均分 对比班均分 分差 一次月考 二次月考 三次月考 64.23 58.62 +5.63 55.84 51.77 +4.07 图5 几次的测试成绩都是实验班较高,这给了我进一步实践的信心。 自主学习的复习模式让学生感受到学习数学的快乐, 很多时候都会看 到学生争论问题,很多平时不太喜欢数学的同学也受到了感染,加入
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一模 69.34 65.33 +4.01

二模 71.93 64.22 +7.71

60.60 55.10 +5.50

到争论的行列。学生学习数学的心理在发生积极的变化,更多的同学 喜欢上数学,这是笔者最希望看到的。实行自主学习复习模式也使初 三(2)班在 2011 年中考中,取得较好的成绩,平均分 86.03 分,优 分率 11.90%,合格率 57.14%,对比班平均分 81.03 分,实验班的平 均分、优分率、合格率均居于年级第一名[4]。 四、结束语 《基础教育课程改革纲要(试行) 》中指出: “教师在教学过程中应 与学生积极互动、共同发展,要处理好传授知识和培养能力的关系, 注重培养学生的独立性和自主性,引导学生质疑、调查、探究,在实 践中学习,促进学生在老师指导下主动地、富有个性地学习”? [5]。 因此在新课程改革背景下探索学生自主学习的策略有着非常重要的 实践意义。随着对“学生自主学习”不断的探究和理解,笔者逐渐认 识到, “学生自主学习”原来并不仅仅适合于中考一轮复习,这种教 学的理念还可以继续在各领域各阶段的教学中进行实践和拓展。
参考文献 [1] 朱慕菊等,走进新课程[M],北京:北京师范大学出版社,2002 年 4 月. [2] 单志艳,教育与自主创造幸福[J],中国德育,2007(7). [3] 王定铜,谈谈目标教学与六要素教学方式的关系[J],广州教研杂志,2011, (4). [4] 广州市第九十一中学,2010——2011 教学成绩. [5] 教基[2001]17 号,基础教育课程改革纲要(试行) ,2001 年 6 月 7 日.

?

基于新课标“数学思想”的教学探究?
黄埔区双沙中学? ? ? ? 单会平?
内容提要: “数学思想”是新一轮数学课改一个明显亮点,作为“四 基”之一,纳入数学课程目标。由此可见人们对他的关注。 “数学思
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想”是数学的灵魂,数学教学的最主要任务是使学生学会思考,培养 学生的思维能力,这是由数学学科的性质决定的,教师必须重视数学 思想方法的挖掘和研究,加强数学思想方法的传授与渗透。本文从用 什么方式引导学生的数学思维活动, 使学生在掌握知识的过程中学习 数学思考方法,从学会思考逐步走向学会学习方面做一些探索。 关键词: 正文:?
一、在新课标中“数学思想”的地位 <<数学课程标准(2011 版)>>明确了义务教育阶段数学课程的总目标,由原 来的基础知识、 基本技能 “双基” 目标, 又增加了基本思想、 基本活动经验的 “四 基”目标。不仅关注数学知识的学习,而且关注数学思想方法的渗透,数学素养 的提升。因此,数学教学重要目标之一,就是在教学过程中以数学知识为载体, 渗透并引导学生提炼数学思想方法,最终优化学生的思维结构,提高学生的思维 品质,使数学学习真正成为积淀学生素质的过程。 二、关于“数学思想”的认识 数学思想包括基本思想以及由这些基本思想演变、 派生、 发展出来的数学思想: 如 1、数学抽象思想以及派生出来的分类的思想、集合的思想、变中有不变的思 想、符号的思想、对应思想、有限与无限的思想等。 2、数学推理思想以及派生出来的归纳思想、演绎思想、公理化思想、数形结 合的思想、 转换划归的思想、 联想类比思想、 普遍联系的思想、 逐步逼近的思想、 代换的思想、特殊与一般的思想等。 3、数学模型思想以及派生出来的简化的思想、量化的思想、函数的思想、方 程的思想、优化的思想、随机的思想、统计的思想等。 4、数学审美思想以及派生出来的对称的思想、简洁的思想、统一的思想、和 谐的思想等。 三、当今中学数学课堂教学中存在的问题 在当今功利化社会环境下,应试教育占主导地位,注重考试分数、升学率等眼
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新课标

数学思想

教学设计

渗透

前利益,忽视理性精神、数学能力和全面发展等长期目标。教育观念相对落后, 数学方法比较陈旧,导致数学教学中出现诸多问题,例如: 1、数学教学“不自然” ,强加于人,压抑了学生的数学学习兴趣; 2、缺乏问题意识,不利于创新精神和实践能力的培养; 3、不重视基本概念、核心数学思想的教学,不利于学生数学素养的提高; 4、重结果轻过程,损害数学思维过程的完整性,不利于数学思维能力的培养; 5、解题教学注重“题型+技巧” ,学生机械重复,模仿记忆,缺少独立思考的机 会,数学思维发展迟缓,并导致学生数学课业负担过重; 6、学生的学习方法单一,被动,缺少归纳、抽象等活动,对培养学习习惯、数 学能力、数学素养以及创新精神等不利。 四、针对以上存在的问题,在具体的教学实践中应如何渗透“数学思想” 1、认真理解教材,挖掘课程内容中数学思想。 数学教材体系有两条基本线索:一条是数学知识,这是明线;另一条是数学思 想方法,这是蕴涵在教材中的暗线。正是由于数学思想具有隐喻性的特点,它隐 藏于知识的内部,于是我在备课时,悉心研究《课标》 ,认真钻研教材,努力挖 掘教材中能进行数学思想渗透的各种素材,对数学知识从数学思想角度分析,以 此确定在课堂教学中通过对“双基”的教学,渗透数学思想。如在平面几何的教 学中,教材中的探究内容中有很多是要学生动手做数学,在备课时就充分分析哪 些内容比较适合“动手做” ,在“做”中学;哪些内容不适宜只停留于“动手做” 的水平, 而应该主动进行数学的理性思维; 又如在一次函数与二元一次方程 (组) 教学中,学生已分别学习了一次函数的图象与二元一次方程组的解。那么一次函 数的图象与二元一次方程组有什么关系;如何不解方程组去求方程组的解;如何 根据函数的图象解决实际问题是这节课的新内容。 首先利用图象解决代数的解方 程组,将方程转化为函数,渗透数形结合的思想;再通过对两个一次函数图象的 研究和分析,确定交点的坐标与方程组的解之间的一一对应的关系;最后根据图 象求出方程组解的近似解,体现了无限逼近的极限数学思想。 2、精心教学设计,渗透数学思想方法 数学思想方法具有过程性的特点,它蕴涵于数学知识的发生、发展过程中,没 有“过程”就没有“思想” 。因此我精心设计教学过程,从问题的提出、情景的

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创设,到教学方法的选择,整个教学过程都要做到有意识、有目的的进行数学思 想方法的渗透。 2.1 在类比中引入,通过知识迁移,有意对学生进行数学思想的渗透 我在讲授新的教学内容,如概念、性质、法则、公式、公理、定理时,且新、 旧知识有联系,常运用类比的数学思想,使学生顺理成章理解和掌握。如在“分 式”一章学习中,出示一组这样的题目,



2 5 2+5 7 + = 3 3= 3 3

2× 2 1× 3 2 1 + ② 3 2 = 3 × (__) + 2 × (__) =____

2 5 + ③ a a =

2+7 9 = (__) (__)

2 1 2 ? (__) 1? (__) ? = ? = a bc a ? (__) bc ? (__) ____ ④

类比“分数”的学习,掌握分式的概念及分式的加减运算。有时又发现如只停留 在知识的表层,学生很难运用这些内容解决问题。于是较注重以知识为载体,领 悟它与其它知识的关系, 让学生亲身体验创造性思维活动中所经历和应用到的数 学思想和方法。 例如,在学习不等式的三个基本性质中,我有意设计这样一组变式练习。 1、 如图所示: 点A对应的数为 a,点B对应的数为 b, a___b (填 则 “>” “<” 或 )

分别将点A、 B 向左沿 x 轴平移 2 个单位到点 A1 、 B1 ,则点 A1 对应的数为__, 点 点 点 B1 对应的数为___ ,则 a-2 ___ b-2 由上面规律填空: 当不等式两边加上或减去同一个数(正数或负数)时,不等号的方向 ________ ;

2、如图所示:OA1=3OA, OB1=3OB,A 点对应的数是 a , B 点对应的数是 b ,则 A1 点对应的数是 ____ B1 点对应的数是_____
O? ? ? ? ? A? ? ? ? ? B? ? ? ? ? x? ? ? ? ?

A1 ? ? ?

B1 ? ? ?

如图所示:OA1=3OA, OB1=3OB,A 点对应的数是 a , B 点对应的数是 b ,则 A1 点 对应的数是 _____ B1 点对应的数是 ______
A? ? ? ? O? ? ? ? ? ? B? ? ? ? ? x? ? ? ? ? B1 ? ? ?
70

A1? ? ? ?
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如图所示:OA1=3OA, OB1=3OB,A 点对应的数是 a , B 点对应的数是 b ,则 A1 点 对应的数是______ B1 点对应的数是 _______

A1? ? ? ?

B1 ? ? ?

A? ? ? B? ? ? ? ? O? ? ? ? ? x? ? ? ? ?

由上面规律填空: 当不等式两边乘同一个正数时,不等号的方向 ______ ; 3、 、如图所示:OA1=OA, OB1=OB,A 点对应的数是 a , B 点对应的数是 b ,则 A1 点对应的数是 ____ B1 点对应的数是______

B1? ? ? ?

A1 ? ? ?

O? ? ? ? ?

A? ? ? ? ?

B? ? ? ? ? x? ? ? ? ?

如图所示:OA1=OA, OB1=OB,A 点对应的数是 a , B 点对应的数是 b ,则 A1 点对 应的数是_____ B1 点对应的数是_______

B1? ? ? ?

A? ? ? ? ?

O? ? ? ? ?

A1 ? ? ?

B? ? ? ? ? x? ? ? ? ?

如图所示:OA1=OA, OB1=OB,A 点对应的数是 a , B 点对应的数是 b ,则 A1 点对 应的数是_____ B1 点对应的数是 ______

A? ? ? ? ?

B? ? ? ? ?

O? ? ? ?

B1 ? ?

A1 ? ? x? ? ? ? ?

由上面规律填空: 当不等式两边乘(或除以)同一个负数时,不等号的方向_______ 这样学生借助数轴,用数形结合的方法让学生直观感受不等式的三个基本性质。 同时恰当地对数学思想方法给予提炼与概括,加深了学生的印象。 2.2 采用设计“问题串” ,形成数学思想方法 在教学中我也一直存有这么一个困惑:平时题目讲得也不少,可只要条件稍稍 一变,一些学生就会不知所措,总是停留在模仿型解题的水平上,很难形成较强
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解决问题的能力,更谈不上创新能力的形成。因此在解决问题的过程中,我就把 最大的教学精力花在诱导学生怎样去想,怎样想到,到哪里去找解题的思路上, 置数学思想方法的运用于解题的中心位置, 充分发挥数学思想的解题功能──定 向功能、联想功能、构造功能和模糊延伸功能。常常采用设计“问题串” 。精心 设计一“串”问题,学生带着这些问题进行一系列的活动,如阅读教材、独立思 考、分析判断、实验操作,推理验算、归纳总结、相互交流等,这个过程是一个循 环的过程,在解决每一个问题的进程中,我都注意引导学生形成数学思想方法。 如 在一次函数与二元一次方程(组)教学中,出示以下指导问题: 问题 1、二元一次方程 3x+5y=8 可以转化为 y=____________ 问题 2、是不是任意的二元一次方程都能进行这样的转化?

3 8 问题 3、在坐标系中画出一次函数 y= - x+ y 的图象? 5 5 3 8 问题 4、在直线 y= - x+ y 上任意取一点(x,y) ,则 x、y 一定是方程 3x+5y=8 5 5
的解吗?为什么? 问题 5、在同一坐标系中再画出二元一次方程 2x—y=1 所对应的直线,并观察这 两条直线有交点吗? 问题 6、这个交点的坐标是方程组的解吗?为什么?

3 8 问题 7、当自变量 x 取何值时,函数 y= - x+ 与 y=2x—1 的值相等? 5 5

?3x+5y =8 ? ?2x?y =1 是同一个问题吗? 问题 8、这个问题与解方程组
这 8 个问题的设计采取由“数—形—数” ,步步为营、层层推进的策略,让学生 能够随着思考的深入, 逐步形成用函数的思想去解决方程问题。 从而体现 “转化” 和“数形”结合的思想。体现学生思维的多样性和灵活性,有效建立前后知识点 之间的关系, 使知识和方法有机融合为一体, 真正让学生由知识升华到思想方法。 2.3 在小结和复习及习题评讲中,提炼概括数学思想方法 在单元知识小结和复习中,不仅要引导学生归纳知识结构,而且更要重视引导 学生对章节知识中蕴藏的数学思想方法加以归纳和概括。 同时在习题评讲中我也 不是就题论题,授之以“渔”比授之以“鱼”更为重要。因而我常把潜于习题中 的这种思想方法提炼出来,挖掘其深刻内涵,使之表层化,使学生易于从中掌握
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有关数学思想方法的知识, 并使这种“知识”消化吸收成具有“个性”的数学思 想,指导学生的解题。例如在小结归纳有一条公共边的两个三角形全等的基本图 形时:1、当两个三角形在公共边 AC 的异侧时, 如图 1, AB=AD,? ∠BAC = ∠DAC ,即点 D 在以 A 为圆心, 长为半径的圆上, 有 AB 点 C 在 ∠BAD 的角平分线上。如图 2,有 AB=CD,∠BAC=∠DCA,此时四边形 ABCD 是平行四边形; 2、当两个三角形在公共边 AC 的同侧时,如图 3,AB= CD,
∠ACD = ∠CAB ,此时四边形 ABDC 是等腰梯形。
D? C? D C C? D?

B A?

A

B

B? A? (图 3)

(图 1)

(图 2)

三种基本图形都是根据 SAS 判定 ,学生都很熟悉。接着出示: 问题:在正方形网格中,△ABC 的顶点在格点上,请在图中画出格点 D,使 A、 B、D 为顶点的三角形与△ABC 全等。这样学生在归纳三角形全等条件基础下,充 分利用基本图形,易得到答案 ?ABD1 、 ?ABD2 、 ?ABD3 都和△ABC 全等。
B? D2 D1

A?

C? D3?

当学生学完函数进行复习时, 将三角形全等的这三个基本图形应用到平面直角坐 标系中,与直线、双曲线、抛物线图象结合。?

2 出示问题:已知点 A(2,0) ,在双曲线 y= (x>0)上取两点 P、Q,以 O、P、 x
Q 为顶点的三角形与△OAP 全等,试求 P、Q 的坐标。? 通过这样的的小结设计,从最基本的图形入手,层层深入,得出解决问题的数 学思想,从而指导解决其它类型的题目。这样充分发挥了学生的主体作用,学生 参与问题的探索,大大激发了学生的求知兴趣,使学生在归纳知识的同时,感受 和领会到了数学思想和方法的魅力。

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?3、通过改变学生的学习方式,领悟数学思想方法。 平时我发现:学生在数学学习中总是忙于做题,一味地为了做题而做题,疲于 应付。 面对最为重要的数学思想的渗透与感悟力不从心, 题目求解后的收效不高。 对数学思想的认识,只停留在老师强调后被动了解或接受,不能灵活运用思想方 法解决问题。新课程标准也积极倡导学生改变被动、枯燥听讲与练习为主的单一 学习方式,学生应自觉、主动进行恰当合适的探究学习。例如在学习用待定系数 法求二次函数解析式时,设计如下图所示一组探究题目:指导学生通过观察下列 图像的特征,选择设合适的函数关系式,再思考有几个未知的系数,需要寻找几 个点的坐标代入所设的函数关系中求解。 这样学生通过类比一次函数, 数形结合, 分类讨论,自主探究出二次函数解析式的各种解法。

因此我在教学中,一方面强调学生要重视知识的来源,积极参与到数学课堂活动 中。另一方面要求学生有意把得到的数学思想、方法,运用到解决新的数学问题 之中去。进而激活学生的思维活跃度,优化学生的知识框架与问题解决途径,提 高能力。 结语、 数学思想和方法是数学的精髓,贯穿在整个中学数学教材的知识点中,它支撑 和统帅着数学知识。我们教师要有很强的数学思想教学意识,数学思想渗透要与
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整个数学知识的传授融为一体,不能拘泥于外在表现形式, “贴标签” 。它的形成 需要学生经历“认识—实践—再认识—再实践” 。不是一蹴而就的,不能搞突击 教学, 是一个细致而漫长的过程, 应常抓不懈, 使学生在 “润物细无声” 中领悟。 从而培养学生的数学素养,提高综合运用能力。

参考文献
1. 义务教育数学课程标准: 2011 年版/ 中华人民共和国教育部制定.北京: 北京师范大 出版社,2012.1 2.郑毓信. “数学思想”面面观 中学数学教学参考(中旬),2012,8 学

3.林少杰 .“非线性主干循环活动型”单元教学模式的理论、方法与实施 广州: 广东教育出版社, 2009.12 . 广州:广东教育出版社, 2006.

4.高慎英,刘良华. 有效教学论[M].

工程问题应用题的教学反思
广州市第九十一中学 黎洁蕴 【摘要】本文介绍了一道一元一次方程应用题――工程问题的教学研讨过程,及 研讨会后反思。本文收集了研讨会上,该题三种分析题目的教学方法,探究如何 才能在课堂上尽可能满足不同学生个体差异和不同学习需求。 会后笔者根据教学
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研讨对此题的教学进行研讨反思,尝试把三种教学方法综合,引导学生分析题中 的等量关系,列方程解应用题。 【关键词】工程问题 应用题 教学反思

2012 年 11 月 9 日星期五,我参加了在某中学一楼会议室召开的“基于学生 个体差异和不同学习需求的数学教学策略研究” 的课堂教学设计与案例研讨会议。 我们小组研讨的课题是人教版七年级中的一节 “一元一次方程的应用—工作量问 题” 。 该课的课程目标是学生能根据具体问题中的数量关系列出方程, 体会方程是 刻画现实世界数量关系的有效模型。这堂课的教学重点是如何引导学生分析、理 解教材[1]《3.4 实际问题与一元一次方程》中的例 2。这道题目是一道典型的工 作量问题的应用题,但该例题涉及单人和多人实际工作量,而且全部工作量要分 两个阶段完成,所以难度偏大。我们的研讨会围绕这怎么对这道题目进行教学展 开了研讨。 教材例 2 原题:整理一批图书,由一个人做要 40h 完成。现在计划由一部分人 先做 4h,再增加 2 人和他们一起做 8h, 完成这项工作。 假设这些人的工作效率相同, 具体应先安排多少人工作? 阅读完题目后,老师们都觉得这个题目最难解决的问题是:该题文字阅读量 较大。怎样能使学生在众多条件中理解文字含义,从中找出等量关系呢? 方法一:列表法 主笔学案的 A 老师向我们讲述了他的主张的分析方法:列表法。A 老师的分 析思路是这样的:一个人单独完成的工作时间可由题目得出是 40 小时,这里可 1 以把工作总量看作 1, 因此人均工作效率(一个人做 1 小时完成的工作量)为 。 40 4x 设 x 人先做 4 小时,完成的工作量为 。 再增加 2 人和前一部分人一起做 8 小时, 40 8( x + 2) 完成的工作量为 。这两个工作量之和应等于总工作量。因此,可以列表 40 格,填写为: 工作主体 工作量 原计划 一个人单独完成 1 现计划 一部分人先做 增加 2 人再做 工作效率 工作时间 1 40 40 x 4 40 x+2 8 40

4x 40 8( x + 2) 40

列出方程

4x 8 ( x + 2) + =1 40 40

表格法其实对于条件,信息的梳理都很有帮助,有助于中等学生自己整理条 件和解决问题。 但学生的实际情况是,大部份同学都不喜欢用表格法,觉得表格比较复杂,
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难以自己完成。在研讨会上,老师们围绕怎样能使学生在众多条件中理解文字含 义、容易地找出等量关系展开了研讨。表格法是不是最好的方法?还有别的方法 吗? 方法二、填空法 有参会的老师提出可以在讲解时,设一些填空让学生完成。 对于学生来说,题目一下子太难了,难以理解,老师可以为他们搭一些小台 阶,让他们轻易着陆。这道题目可以这样设计填空: 这道题工作总量没有具体给出,可以看作 一个人单独完成需要 40 小时, 所以人均工作效率(一个人做 1 小时完成的工 作量)为 现在把工作分为两阶段。 阶段一,x 人先做 4 小时,完成的工作量为 阶段二,再增加 2 人和前一部分人一起做 8 小时,则实际参与工作的有 人,完成的工作量为 两阶段的工作量的和就等于工作总量了,等量关系为 填空法能很好地帮助学生理解题目含义,把难题都化解为许多容易的小问, 使中下生,甚至学困生都能完成。但依赖填空法,学生将缺少独立性。离开了老 师的填空,学生又怎么自己解题呢?因此填空法不是我们教学的首选。 方法三、线段分析法 这时候,有老师提出可以尝试用线段分析法。把工作总量看作是一条线段, 把工作分阶段完成可以看作是把线段分成几部分。

这样的线段是按阶段切分的,这是第一种方法。如果按 x 人做的工作量,和 后来才来的 2 个人做的工作量切分,则又是另外一种方法。线段分析图就可以这 样画:

根据这样的线段图,学生的列式可能会有不同的方法出现,如:

( 4 + 8) x + 8 × 2 = 1
40 40
线段图可以很清晰第把工作量分阶段表示,但“工作总量=工作效率×工作
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时间”这一等量关系表示的就不很清晰。 会后反思: 对于涉及多人工作,分阶段完成整项工作,数据多而复杂的问题,怎样才能 让学生容易理解,又能让学生经历将实际问题转化为方程的数学模型过程,掌握 分析问题和解决问题的一些基本方法呢?上述的三种方法各有优缺点, 能否将三 种方法综合呢? 我的尝试。 在学生接触例 2 这道题前,我尝试给学生做一些手脚架。先让学生完成以下 题目。 1、 整理一批图书,一个人做要 40h 完成,一个人的工作效率是多少? 2、 整理一批图书,一个人做要 40h 完成,但他只做了 4 小时,他做了多少工 作量? 3、 整理一批图书,一个人做要 40h 完成,有 x 人来做,一起做了 4 小时,做 了多少工作量? 然后才给出例 2 的题目:整理一批图书,由一个人做要 40h 完成。现在计划 由一部分人先做 4h,再增加 2 人和他们一起做 8h,完成这项工作。假设这些人的 工作效率相同,具体应先安排多少人工作? 根据题目含义,请分析“工作量=人均效率×人数×时间” 。 给出下表让学生填写: 第一阶段工作量+第二阶段工作量=工作总量 1 第一阶段工作量 第二阶段工作量 人均效率 人数 时间 人均效率 人数 时间

学生根据题意,可填得: 第一阶段工作量+第二阶段工作量=工作总量 1 第一阶段工作量 第二阶段工作量 人均效率 人数 时间 人均效率 人数 时间 1 1 x 4 X+2 8 40 40

4x 40 4x 8 ( x + 2) + =1 40 40

8 ( x + 2) 40

由工作重量 1=第一阶段工作量+第二阶段工作量 可得出方程:

收获总结: 教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。 在数学教学活动中,教师要把基本理念转化为自己的教学行为, 处理好教师 讲授与学生自主学习的关系,注重启发学生积极思考;发扬教学民主,当好学生 数学活动的组织者、引导者、合作者;关注学生的个体差异,有效地实施有差异 的教学,使每个学生都得到充分的发展。[2] 我很庆幸能参与这样的研讨会,研讨会上,各位骨干教师都能毫不保留地给
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出自己的经验和意见, 使大家的思想碰撞出火花, 集众人智慧解决这一教学难题。 同时,大家的教学方法也给予了我指导,启发了我对自己的教学的一些思考,让 我有了更改的方向和成长的空间。 参考文献: [1] 数学七年级上册 人民教育出版社 2011 年版. [2]? 义务教育数学课程标准 2011 年版. ?

优化数学课堂提问,促进课堂有效互动?
广州市执信中学数学科? ? 张晖莉? ? 【摘? ? 要】新课程改革把教学过程的本质定义为教与学的互动、交往,师生 双方相互交流、相互沟通、相互启发、相互补充、彼此分享思考、共同进步的过 程.? 而在数学课堂中,精心设计有效的提问,是培养和发展学生数学能力的重要 手段,更是促进师生有效互动的有效方法.? 【关键词】有效提问;互动;逆向追问? ? 一、前言? 在新课程改革中提出了改变传统的满堂灌的传授方式, 提倡互动交流的教学 模式.? 在《基础教育课程改革纲要》中明确指出:教师在教学过程中应与学生积 极互动,共同发展,要处理好传授知识与培养能力的关系,注重培养学生的独立 性和自主性,引导学生质疑、调查、探究.? 因此,研究如何促进教学互动是当今 新型教师的首要任务.? 在数学学习的过程中,问题是数学的心脏.? 优秀的提问表现为师生之间的对 话,是一种教学信息的双向交流互动活动.? 有效提问是促进课堂有效互动的重要 环节.? 教育家陶行知说:创造始于问题,有了问题才有思考,有了思考才有解决 问题的方法,才有找到独立思路的可能.? 在数学课堂中,教师如何利用个人的知 识技能,巧妙的设计问题,使学生心中产生疑问,引起学生积极的思考,激发学 生主动学习,是取得好的教学效果的关键.? ? ? 因此,设计优秀的教学提问是促进课堂有效互动的重要手段.? ? 二、了解学生的认知规律是提出优秀问题的前提? 学生从出生到童年、少年及青年各个时期,他们的身心都在经历一个不断完 善和发展的过程,同时他们的思维模式也在不断的发展.? 初中阶段学生思维发展 水平正处在从形象思维向抽象逻辑思维过度的时期, 学生很多活动形式逐渐内化, 抽象思维逐渐取代动作思维和形象思维.? 因此教学互动方面更多的体现为积极 的,静态的,有时更多的是学生自问自答的“内动”形式.? 因此,在课堂教学中,
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教师的提问尤显重要.? ? 1.? 趣味引导性提问? 初一年级大部分学生的心理特点是好奇、 好玩、 自尊心强, 倾向于形象思维.? 这要求教师提问时,一要形象有趣,二要围绕教学目的层次清楚,有针对性的用 一些子问题做铺垫,来降低思维难度.? 案例一:七年级上册“三视图”的教学时,可将导入设计为:横看成岭侧成峰, 远近高低各不同, 不识庐山真面目, 只缘身在此山中.? 教师可问:你知道这首诗的 作者与题目吗?? 哪位同学能说出作者是怎样观察庐山的呢?? 由此, 教师引出这首 诗中隐含的一些数学知识,告诉学生它教会我们怎样观察物体,通过这样趣味性 的问题设计使学生体会绚丽多姿而深邃含蓄的数学美联系实际, 贴近生活才能让 问题走近学生,使学生对问题产生兴趣,从而调动学生的学习兴趣,引导学生主 动思考.? ? 案例二:七年级上册,在教学探索“多边形内角和”这一内容时,可以以三角 形内角和作为基点,引发将多边形分割成三角形来解决,又可以发现不同的分割 法,围绕某个总问题的解决而设计.? 实践证明:这样的设计层次清楚,正对性强, 学生感触深,收效好.? 2.逆向连锁追问? 从初二到初三,学生的抽象逻辑思维能力逐渐成熟,课本知识的难度也开始 加深,这时,更要培养学生的逻辑思维能力,? 注重学生的逆向分析能力.? 案例三:在“三角形中位线定理”的教学中,若按传统的方式教学,教师必然 先给出中位线的定义,然后讲述中位线定理的内容,再分析和证明这个定理,最 后给出中位线的定理.? 定理得到后就开始讲注意事项,之后将例题,学生进行模 拟训练.? 这种模式当然能够达到既定的效果,看起来也是调理清楚,但是学生在 学习中却难免觉得单调乏味.? 为了调动学生的积极性,培养学生的逻辑思维,我 在这节课中做了如下的处理:先让学生画一个任意的四边形,然后让他们将四边 形每条边的中点按顺序连接起来, 让学生观察思考所得到的四边形的形状是怎样 的.? 学生会发现:所画的四边形不一样,但由中点连接起来的四边形的形状却有 共同的特点.? 这样,强烈的好奇心会使他们去探个究竟.? 趁此良机,我会问:这 个中点四边形是什么形状?有可能是矩形,菱形,正方形吗?那为什么会出现这 些形状?要出现这些形状,需要些什么条件?这样逐层剥开,从枝到根,逆向探 索,最终探究出真相.? 案例四:在引导学生分析习题“点 C、D 在以 AB 为直径的⊙O 上,且 CD 平 分∠ACB,若 AB=2,∠CBA=15°,求 CD 的长,”时.? 如果直接讲述解题过程,教师 娓娓道来,学生自然知识知道可以这样解题,但不知为何要这样去解题,更不能 学会如何去分析解题思路,不能达成培养学生逻辑思维能力的目标.? 因此,在讲

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解诸如此类问题的过程中,我通常做如下引导:? ①问:一般情况下,有哪些方法可求线段长度?? 此时,学生会回忆所学的知识,起到温故的作用,并从 中搜索出与求线段长度相关的知识.课堂上, 学生得到了提出 了:截长补短,全等,构造直角三角形求解等方法.? ②追问: 如何构造直角三角形?(此处以通过构造直角三 角形求解为例)? 学生进一步思索, 得出两种方法: 过圆心做 CD 的垂径; 角三角形.? ③追问:如何求边的长度?是否有特殊的直角三角形出现?? 几次“逆向追问”,解题思路已基本清晰.? 学生很快得到如下三种作辅助线的 方法:? ? ? ? ? ? ? ? ? “授人以鱼不如授之以渔”. 逆向思维在解决一些数学问题和实际问题时, 往 ? 往可以给人一种意想不到的效果.在教学过程中通过不断的追问,不仅可以培养 学生的逆向思维,更可促使学生“动”起来,做到主动分析,主动解决问题.? 正如 古罗马教育家昆体良所说:“教是为了不教”.? ? 三、深入挖掘教材内涵是提出优秀问题的关键? 作为一名教师,在了解学生认知特点的同时,还因怎样提高自身的数学素养 呢?我想,最基本的还应从熟读教材开始.教材功是一位教师必备的基本功之一.? 我们应该深入发掘教材内涵,提高自身的数学素养.? 1.? 研读课标,明确教学目标,有效的提问? 《课程标准》 规定的是国家对国民在某方面或某领域的基本素质要求, 因此, 它毫无疑问地对教材、教学和评价具有重要的指导意义,是教材、教学和评价的 出发点和归宿.? 案例五:在八年上次《一次函数》这一章节中课标明确要求:通过讨论课题

B

O C A

D

连接并延长 DO 交圆于点 E,并连接 CE,根据直径所对的圆周角为直角来构造直

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学习中选择最佳方案的问题, 提高综合运用所学函数知识分析和解决实际问题的 能力.? 因此,我将教学目标设定为:体验运用一次函数图象的方法研究方案选择 问题,切实提高学生的实践意识与综合应用数学知识的能力.? ? 2.? 回归教材,寻求探究途径,有深度的提问? 教材,狭义讲就是教科书,是一个课程的核心教学材料,是课堂教学、师生 活动的源泉和标本.? 新教材中,更注重学生解决实际问题的能力,每一节都从实 际问题的探究出发, 经过思考, 再进行归纳.? 例如, 在“全等三角形”这一章节中, 所有的判定方法都是通过动手画图、 实验和探究得出, 使学生确信它们的正确性.? 教师在引导学生对书本出现的问题进行探究的同时,还要深度挖掘教材的内涵, 适时的对教材的内容进行重组和拓展,深化探究主题,拓展探究空间,以提升学 生对问题的拓展研究能力,掌握解决问题的本质.? 案例六:在引导学生对八年级上册“教材”P8 的“探究 3”进行探究之后,我根 据学生的学情, 进一步提出问题“先任意画出一个 ?ABC .? 再画出一个 ?A ' B ' C ' , 使 A ' B ' = AB , A ' C ' = AC , ∠B ' = ∠B .? 画好的 ?A ' B ' C ' 一定和 ?ABC 全等 吗?”? ? 学生 1: ?A ' B ' C ' ≌ ?ABC ? 学生 2:不一定全等,并给出反例(图中?
?ACC ' 为等腰三角形)?

类比问题:已知三角形相邻两边长分别为 20cm 和 30cm,第三边上的高为 10cm,则此三角形的面积为多少?? 通过对反例的探究和对问题的类比研究, 学生更深刻的理解了全等三角形的 判定定理的推导过程,取得了较好的教学效果.? 这样,在教学的过程中,教师不 仅让学生学会了解决问题,还培养了学生主动提出问题,善于质疑,乐于探究的 数学思维品质,促进了课堂的有效互动.? ? 四、结语? 德国著名教育家第斯多惠说:“教学艺术不在于传授的本领,而在于激励、 唤醒和鼓舞”.? 数学课堂上,优秀的提问可以引导学生积极思考、主动探索、善于 质疑,思考的热情被有效的激发出来,这正是教学相长意义上的一种良性互动.? ? 总之,促进课堂有效互动,必须注意优化课堂教学提问这一环节,使之根据 学情,紧紧围绕教学目标来进行,较好的激发学生的思维,培养学生的能力.? 愿 我们在教学实践中做个有心人,不断探索,朝着促进课堂有效互动的目标努力, 切实提高数学课堂教学的质量.?
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? 【参考文献】? [1]? 卢彩.? 优化数学课堂提问提高课堂效率[J].? 数学学习与研究,?2012(02).? [2]? 梁干超.? 初中数学教师课堂提问的有效性探究[J].? 中国校外教育,?2012(06).? [3]? 徐殿虎.? 挖掘数学教材内涵实施有效教学[J].? 数学学习与研究,2012(04).? [4]? 义务教育课程标准实验教科书[M].? 人民教育出版社,2008(03):171‐174.? ???

一起来玩数学?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ——数学课堂师生有效互动的探究? 广州市执信中学? ? ? 邓春茹? 【摘要】义务教育的课堂应该是充满轻松愉快气氛的课堂,本文本着符合初中学 生的年龄和心理特点的原则,探究数学课堂上的有效师生互动的几种方式:巧创 课前演讲情景,激发学生学习研究数学的兴趣;善用小组学习,建立师生互动新 模式;延迟判断学生反馈,培养学生创造性思维,树立学生学好数学的信心。 【关键词】课程改革 师生互动 课前演讲 小组学习 延迟判断

“数学好玩”曾经是数学家陈省身先生对数学的赞美。 《义务教育数学课程 标准(2011 年版) 》里面明确指出此次课程改革的一项重要任务是改善学生的学 习方式。在传统的教学中,学生的数学学习方式和方法比较单一,类型模仿、习 题演练成为最主要的方法,学生在数学学习中显得比较被动,缺乏自主、多样化 的学习。? 教师的教最终是为了学生的学,而为了学生学得更有效,我们一线教师必须 关注、研究学生的学习状况,组织、引导学生的学习过程,营建良好的数学学习 环境。那怎样在数学课堂上开展有趣有效的师生互动,让学生觉得数学好玩,想 一直玩数学呢?结合自己的教学实践,我谈谈几种有效的方式:? 方式一:巧创激趣情境? 前苏联著名教育家斯托利亚尔在《数学教育学》中介绍了青年儿童在学习几 何、代数时的不同水平,在不同阶段上,学生掌握知识,思考方式、方法,思维

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水平都有明显差异。因此,要使数学教学成为有趣好玩的数学活动必须了解学生 的年龄特征和认知规律。? 例如我开办课前演讲讲坛的方法。? 1. 学生分析? 七年级的学生更多地关注“有趣、好玩、新奇”的事物,因此,学习素材的 选取、呈现,以及学习活动的安排都应当充分考虑到学生的实际生活背景和趣味 性。八年级的学生开始对“有用”的数学更感兴趣,此时,学习素材的选取更应 当关注数学在生活中的应用(现实的、具体的问题解决) 。九年级的学生开始有 比较强烈的自我意识,因此对于自己的直观经验相冲突的现象,对有挑战性的任 务很感兴趣。这使得我们教师应当设法让学生经历“做数学”的机会,使他们能 够在这些活动中表现自我。? 我班学生人数较少,共 35 人,且思维较活跃,表现欲很强,口头表达能力 有待锻炼。? 2. 过程? 【抛砖引玉】在《有理数》第一节课我讲起了“笛卡尔与坐标系”的故事, 学生们被吸引住, 感觉一下子拉近了与数学家的距离, 仿佛自己变成了小笛卡尔, 只要仔细观察数学就在身边!学生们意犹未尽,想我再多讲一些,于是我便顺势 利导开设“数学家小故事讲坛” 。? 【具体要求】 (1)形式:按学号轮流,一人上台演讲,师生互动点评; (2) 内容: 数学家背景、 成长小故事, 成就等等, 还可以自己出一道数学题考考大家; (3)5 分钟之内完成; (4)每位同学设有讲坛记录与点评本,课后收取演讲资 料。? 3. 实施效果? 每位同学都抱着极大的热情来做好演讲准备, 结合最新学习数学知识或同学 们感兴趣的数学话题展开演讲,还有不少的同学不仅仅讲数学家故事,还有物理 学家、天文学家等科学家的故事,从古到今,颇为精彩。学生在演讲过程中锻炼 了胆量,表达能力和组织能力均得到很大的提升,更重要的是师生、生生间的交 流融洽,发言也很踊跃,营造轻松开放的数学课堂气氛,有利于减轻学生学习数 学的心理压力,让学生在课堂上大胆表达自己的想法,敢于质疑,逐渐爱上研究

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数学!? 记得在学习一次函数期间, 小霖同学向大家讲述了笛卡尔的第十三封情书的 故事: “……在笛卡儿快要死去的时候,他寄出了第 13 封情书,当他寄出去没多 久后.就气绝身亡了。这封信的内容只有短短的一行…… r=a(1-sinθ) ,当瑞典克 丽丝汀公主收到这封信时,雀跃无比,她立刻动手研究这行字的秘密。没多久就 解出来了, 用的就是直角坐标图 (注: 实际上是极坐标系) 将整个曲线图作出来, 就是有名的心形线! ”并在黑板上画出了粗略的心形函数图象,同学们听得津津 有味,虽然不甚理解这个心形函数,但竟然在班上掀起了一股徒手画心形函数图 象的潮流,不少同学还让我借助电脑里面的软件几何画板来画。我想这时函数的 魅力发挥得淋漓尽致, 学生能不爱上作图象吗?还害怕作图吗?答案当然是否定 的! 我在课室专门设立了一个数学角, 同学们的演讲资料和自编自找的数学题都 积累在这里, 方便学生在课后继续讨论在课堂上没有时间解决的有趣的数学问题。 方式二:善用小组学习? 《义务教育数学课程标准(2011 年版)解读》中指出,数学教学过程应是 学生主动学习的过程, 它不仅是一个认识过程, 而且也是一个交流和合作的过程。 交流和合作的互利过程,为学生主动学习提供了开放的活动方式,提供了宽松和 民主的环境,更有利于发展学生的主体性,促进学生智力、情感和社会技能的发 展及创造能力的发展,为此,我们以强化小组交流与合作学习为核心,彻底改变 课堂教学中“教师主讲,学生主听”的单一的教学组织形式,促进各个层次学生 的共同发展,让课堂充满了数学探索研究活跃的气氛。? (一)改革课堂教学的空间形式? 小组交流与合作学习的空间形式多种多样,比较常见的有:T 型、马蹄型、 蜂窝型等。这些形式都以打乱原有的秧田座位排列方式为基本模式,遵循“组内 异质,组间同质”的原则而构成,小组一般由 5 人或 7 人组成,也有 4 人、6 人 小组等等。小组的这种排列缩短了学生与学生之间的距离,增强了学生间相互交 往的机会,有利于小组内成员的交流和合作学习。 (二)小组学习任务的布置

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小组内的交流与合作学习主要以协同活动为中介实现的, 因此教师在组织小 组交流与合作学习活动中,应把需要讨论、互相启发、反复推敲的问题布置给学 习小组,让小组围绕问题进行交流和合作学习。教师不仅要指导组内交往,而且 要引导组际交流,不仅要交流学习结果,更要重视交流学习方法。 (三)注意培养学生的合作意识,训练学生的合作技能 教育学生树立集体主义观念和互帮互学的合作意识, 使每个人都能为集体目 标的实现尽心尽力。不断向学生传授合作的基本技能,使他们学会既善于积极主 动地表现自己的意见, 敢于说出不同的看法, 又善于倾听别人的意见, 相互启迪, 并能够综合吸收各种不同的观点, 共同寻找解决问题的思路。 在具体实施过程中, 教师要及时地有针对性地予以指导,训练学生养成良好的合作学习习惯。 <教学实例> 人教版七上《4.4 课

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