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河北省衡水市冀州中学2016届高三复习班上学期第二次月考数学(理)试题B卷


试卷类型:B 卷

河北冀州中学

2015—2016 学年度上学期第二次月考 高三年级往届理科数学试题
考试时间 120 分钟 试题分数 150 分

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 l2 个小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题给出的四个选项中只有一 项是符合题目要求的.

x ? 0} , B ? { x | x 2 ? 2 x} ,则 A ? B ? ( ). x ?1 A. { x | 0 ? x ? 1} B. { x | 0 ? x ? 1} C. { x | 0 ? x ? 1} { x | 0 ? x ? 1}

1.若集合 A ? { x |

D.

2. “ | b | ? 2 ”是“直线 y ? A.充分不必要条件

3 x ? b 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 y ? 0 相交”的(
C.必要不充分条件



B. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

3.3.若角 α 的终边上有一点 P (?1, m ) ,且 sin ? cos ? ?

3 ,则 m 的值为( 4
D、 3



A、

3 4

B、 ? 3 )

C、 ? 3 或 ?

3 3

4.下列叙述正确的是(

A.命题: ? x ? R ,使 x ? sin x ? 2 ? 0 的否定为: ?x ? R ,均有 x ? sin x ? 2 ? 0 .
3 3

2 2 B.命题:若 x ? 1 ,则 x=1 或 x=-1 的逆否命题为:若 x ? 1 或 x ? ?1 ,则 x ? 1 .

C. 把函数 y ? sin 2 x 的图象沿 轴向左平移

? 个单位,可以得到函数 y ? cos 2 x 的图象 2

D. 己知 n ? N ,则幂函数 y ? x

3 n? 7

为偶函数,且在 (0, ??) 上单调递减的充要条件为 n=1

5.已知等差数列{an}中, a3 ? a9 ,公差 d<0;Sn 是数列{an}的前 n 项和,则(

)

A.

S5=S6

B.S5<S6

C.S6=0

D.

S5>S6

6.P 是三角形 ABC 所在平面内任一点,若 CB ? ? PA? PB, ? ? R ,则 P 一定在( A、AC 边所在的直线上 B、 ?ABC 内部 C、AB 边上 D、BC 边上

?

?

?



? ?π ?? 7.已知函数 f(x)=sin(2x+φ ),其中 φ 为实数,若 f(x)≤?f? ?? 对 x∈R 恒成立, ? ? 6 ?? ?π ? 且 f ? ?<f(π ),则下列结论正确的是( ) ?2? ? ?11 ? ?7π ? ?π ? A.f ? π ?=-1 B.f ? ?>f ? ? C.[0, ] 是 f(x)的单调递增区间 D.f(x)是奇函 ?12 ? ? 10 ? ? 5 ? 6
数 8. 已 知 A 、 B 、 C 是 直 线 l 上 不 同 的 三 个 点 , 点 O 不 在 直 线 l 上 , 则 使 等 式

??? ? ??? ? ??? ? ? x 2 OA ? xOB ? BC ? 0 成立的实数 x 的取值集合为
A.





?0?


B. ?

C.

??1?

D. ?0, ?1?

2 9.在各项均为正数的等比数列 {an } 中, (a1 ? a3 )(a5 ? a7 ) ? 4a4 ,则下列结论中正确的是



A.数列 {an } 是递增数列; C.数列 {an } 是递减数列;

B.数列 {an } 既不是递增数列也不是递减数列; D.数列 {an } 有可能是递增数列也有可能是递减数列. )

10.将石子摆成如图所示的梯形形状.称数列 5,9,14,20,?为“梯形数”.根据图形的构 成,此数列的第 2 014 项与 5 的差,即 a2 014-5=(

A.2 018×2 012 C.1 009×2 012

B.1 010×2 013 D.2 020×2 013

? 的取值范围是( ) 3 3 3 ? ?? ? ? 2k? ? 2k? ? ? A. ? 2k? ? , 2k? ? ? , k ? Z B. ? ? , ? ?,k ? Z 6 3? 6 3 3? ? ? 3 5? ? ? C. ? 2k? ? 6 , 2k? ? ? ? , k ? Z ? ? ? ?? ? 5? ? ? D. ? 2k? ? , 2k? ? ? ? ? 2k? ? , 2k? ? ? ? , k ? Z 4 3? ? 6 ? ? 5? 12.已知函数 y ? sin x ? a cos x 的图象关于 x ? 对称,则函数 y ? a sin x ? cos x 的图
11.设 sin ? ? 0,cos ? ? 0, 且 sin
? cos
,则

?

?

3

象的一条对称轴是 ( A. x ?



?
3

B. x ?

2? 3

C. x ? ?

D. x ?

11? 6

第Ⅱ卷
二、填空题(本大题包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在答题纸中的横线上).

13. 设 向 量 a ? (cos ? ,sin ? ) , b ? (cos ? ,sin ? ) , 其 中 0 ? ? ? ? ? ? , 若

?

?

? ? ? ? 2a ? b ? a ? 2b ,则 ? ? ? ?
1 ? ? 2an (0 ? an ? 2 ) 6 ?? ,若 a1 ? ,则 a2016 = 1 7 ? 2an ? 1( ? an ? 1) 2 ?

14.数列 ?an ? 满足 an ? 1

15. 已知函数 f ( x ) ? sin 2 x ? 2cos2 x ? 1 ,有下列四个结论: ①函数 f ( x ) 在区间 [ ?

3? ? 3? , ] 上是增函数;②点 ( , 0) 是函数 f ( x ) 图象的一个对称中 8 8 8

心 ; ③ 函 数 f ( x) 的 图 象 可 以 由 函 数 y ?

2 sin 2 x 的 图 象 向 左 平 移

? 得到;④若 4

x ? [0, ] ,则 f ( x ) 的值域为 [0, 2] .则所有正确结论的序号是 2
16. 已知数列 {an } 中满足 a1 ? 15 ,

?

an ? 1 ? an a ? 2 ,则 n 的最小值为 n n

三、解答题(本大题包括 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤).
17. (本小题满分 10 分) 已知 p:x1 和 x2 是方程 x ? mx ? 2 ? 0 的两个实根, 不等式 a 2 ? 5a ? 3 ?| x1 ? x2 | 对任意实
2

数 m∈[-1,1]恒成立;q:不等式 ax ? 2 x ? 1 ? 0 有解,
2

若 p 为真,q 为假,求 a 的取值范围. 18. (本小题满分 12 分)在锐角△ABC 中,角 A,B ,C 所对的边分别为 a,b ,c ,已 知 a ? 7 ,b =3, 7 sin B ? sin A ? 2 3 . (Ⅰ) 求角A 的大小; (Ⅱ) 求△ABC 的面积.

19. (本小题满分 12 分) 数列 {an } 是等差数列,若公差 d ? 0, a1 ? 1 ,且 a3 是 a1 , a9 的等比中项。 (1)求数列 {an } 的通项公式。 (2)若对任意的 n ? N ? ,不等式 围。

1 1 1 ? ??? ? ? 恒成立,求实数 ? 的取值范 a1a2 a2a3 an an ? 1

20. (本小题满分 12 分) 如图,函数 f ( x ) ? A sin(? x ? ? ) (其中 A ? 0, ? ? 0, ? ?

?

2 象与坐标轴的三个交点为 P , Q, R ,且 P (1, 0) , Q( m,0) ( m ? 0) ,
, M 为 QR 的中点, PM ? 5 . 4 (Ⅰ)求 m 的值及 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)设 ?PRQ ? ? ,求 tan ? . 21.(本小题满分 12 分) 设 一 元 二 次 方 程 an x2 ? an?1 x ? 1 ? 0 (n=1,2,3, ? ) 有 两 根

)的图

?PQR ?

?

? 和 ? ,且满足

6? ? 2?? ? 6? ? 3

(1)试用 an 表示 an+1; (2)求证:数列{ a n ? (3)当 a1 ?

2 }是等比数列; 3

7 时,求数列{an}的通项公式. 6

22. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 满足: a1 ? 1, an?1 ? an sin2 ? ? sin2? ? cos2n ? . (Ⅰ)当 ? ?

?
4

时,求数列 {an } 的通项公式;

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若数列 {bn } 满足 bn ? sin

? an
2

, Sn 为数列 {bn } 的前 n 项和,求证:

对任意 n ? N , Sn ? 3 ?
*

5? . 8

高三往届理科数学参考答案
一、选择题 A 卷:AACCD B 卷:AACDA 二、填空题 13、 三、解答题 17、由题意可得:P 真: | x1 ? x2 |? BDACD ACCBB DA DD 16、

? 2

14、

3 7

15、①②

27 4

m 2 ? 8 ,? m ? [?1,1] ,? | x1 ? x2 |max ? 3 ,

若不等式 a 2 ? 5a ? 3 ?| x1 ? x2 | 对任意实数 m ? [?1,1] 恒成立,
2 则有 a ? 5a ? 3 ? 3 ,解得: a ? ?1 或 a ? 6

??????6 分

q 假:由题意可得: ? 综上可得: a ? ?1

?a ? 0 ,解得: a ? ?1 ?4 ? 4a ? 0

??????8 分 ??????10 分

18.(Ⅰ)解:在 ?ABC 中,由正弦定理

a sin A

?

b sin B



?????? 2 分

得 分

7 sin A

?

3 sin B

,即 7 sin B ? 3sin A ,

?????? 3

又因为 7 sin B ? sin A ? 2 3 ,解得 sin A ?

3 2



???? 5 分

因为 ?ABC 为锐角三角形,所以 A ?

π . 3

???? 6 分

(Ⅱ)解:在 ?ABC 中,由余弦定理 cos A ?

b2 ? c2 ? a 2 2bc

,得

1 2

?

9 ? c2 ? 7 6c



即 c 2 ? 3c ? 2 ? 0 ,解得 c ? 1 或 c ? 2 . ???? 8 分 当 c ? 1 时,因为 cos B ?

a 2 ? c 2 ? b2
2ac

??

7 ? 0, 14
?????? 10 分

所以角 B 为钝角,不符合题意,舍去. 当 c ? 2 时,因为 cos B ?

a 2 ? c 2 ? b2
2ac

?

7 ? 0 ,且 b ? c , b ? a , 14

所以 ?ABC 为锐角三角形,符合题意. 所以 ?ABC 的面积 S ? 1bc sin A? 1?3?2? 3 ? 3 3 . 2 2 2 2 ∴通项公式 an ? n 。 (2)由通项公式知: ?5 分 ??? 12 分

2 19.解: (1) (a1 ? 2d ) ? a1 (a1 ? 8d ) ,得 d ? 1 或 d ? 0 (舍去) ,

1 1 1 1 ? ? ? ,??????8 分 an an?1 n(n ? 1) n n ? 1



1 1 1 1 1 1 1 1 1 ,??10 分 ? ??? ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 1? a1a2 a2 a3 an an?1 2 2 3 n n ?1 n ?1

易知,当 n ? 1 时, 1 ?

1 1 1 有最小值 ,∴ ? ? n ?1 2 2

????12 分

,?OQ ? OR , ? Q(m,0) ,? R(0, ?m) 4 m m 又 M 为 QR 的中点,? M ( , ? ) ,又 PM ? 5 2 2 m m ,??3 分 ( ? 1)2 ? ( )2 ? 5 , m2 ? 2m ? 8 ? 0 , m ? 4 , m ? ?2 (舍去) 2 2 T 2? ? ? 6 ,? ? ????4 分 ? R(0, ?4) , Q(4, 0) , ? 3 , T ? 6 , 2 ? 3 把 P(1, 0) 代入 f ( x) ? A sin(

20、解: (Ⅰ)? ?PQR ?

?

?

?? ?

?
2

,?? ? ?

?
3

x ? ? ) , A sin( ? ? ) ? 0 , 3 3

?

????????5 分

把 R(0, ?4) 代入 f ( x) ? A sin(

?

? ? 8 3 x ? ) , A sin( ? ) ? ?4 , A ? 3 3 3 3

??6 分

f ( x) 的解析式为 f ( x) ?

8 3 ? ? sin( x ? ) 3 3 3 8 3 ? ? sin( x ? ) 3 3 3
????7 分 ??8 分

所以 m 的值为 4 , f ( x ) 的解析式为 f ( x) ?

(Ⅱ)解法一:△ PQR 中, PR ? 12 ? 42 ? 17 , PQ ? 3 , RQ ? 4 2 由余弦定理得: cos ? ?

PR 2 ? RQ2 ? PQ2 ( 17)2 ? (4 2) 2 ? 32 5 34 ,?10 分 ? ? 2 PR ? RQ 34 2 ? 17 ? 4 2 3 34 ? 为锐角, sin ? ? , ????????????11 分 34 3 ? tan ? ? ???????????12 分 5
21.(1)∵一元二次方程 a n x 2 ? a n?1x ? 1 ? 0 (n=1,2,3,?)有两根α 和β ,

a n ?1 1 , ?? ? , an an 1 1 6a 2 ∵6α -2α β +6β =3,∴ n ?1 ? ? 3 ,即 a n ?1 ? a n ? . ????4 分 2 3 an an
由根与系数的关系易得 ? ? ? ?

1 1 2 1 2 a n ? , ∴ a n ?1 ? ? (a n ? ) , 2 3 3 2 3 2 a n ?1 ? 2 3?1 , 当 a n ? ? 0 时, 2 3 2 an ? 3 2 2 2 2 2 2 当 a n ? ? 0, 即 a n ? 时,此时一元二次方程为 x ? x ? 1 ? 0 ,即 2x -2x+3=0, 3 3 3 3
(2)∵ a n ?1 ? Δ =4-24<0

∴不合题意,即数列{ a n ?

2 }是等比数列. ????8 分 3

2 7 2 1 1 ? ? ? 为首项,公比为 的等比数列, 3 6 3 2 2 2 1 1 n ?1 1 n 1 n 2 ∴ an ? ? ? ( ) ? ( ) , 即 an ? ( ) ? , 3 2 2 2 2 3 1 n 2 ∴数列{an}的通项公式是 a n ? ( ) ? . ????12 分 2 3
(3)由(2)知:数列 {a n ? } 是以 a1 ? 22.解: (1)当 ? =

2 3

?
4

时, an ?1 ?

1 1 an ? n , 2 2

2n an?1 ? 2n?1 ? an ? 1,
n ?1 所以 2 an 是以 1 为首项、1 为公差的等差数列, 2n?1 an ? n,

?

?

从而 an ?

n 2 n ?1

.

????4 分

(2) bn ? sin

n? 3? , b1 ? b2 ? 1, b3 ? sin ? 1, n 2 8

所以当 n ? 1, 2,3 时, S n

? 3?

5? 成立; 8

????6 分

n? n? ? , 2n 2n 4 5 6 n Sn ? 3 ? ( 4 ? 5 ? 6 ? ??? ? n )? , 2 2 2 2 4 5 6 n 1 4 5 6 n 令 T ? 4 ? 5 ? 6 ? ??? ? n , T ? 5 ? 6 ? 7 ? ??? ? n ?1 , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 4 1 1 1 n 1 1 5 , 两式相减得 T ? 4 ? 5 ? 6 ? ??? ? n ? n ?1 ? ? 4 ? 2 2 2 2 2 2 4 2 16 5 5? T ? , 所以S n ? 3 ? . 8 8 5? * . 综上所述,对任意 n ? N , S n ? 3 ? ????12 分 8
当 n ? 4 时,因为 bn ? sin


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