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2.3.4平面与平面垂直的性质


新课导入
平面与平面垂直的定义 两个平面相交,如果它们所成的二面角是 直二面角,就说这两个平面互相垂直。
?
A D

?

B C

E

平面与平面垂直的判定定理 一个平面过另一个平面的垂线,则这 两个平面垂直。 符号表示: b ? β?

??

α ?β b ? α?
面面垂直

线面垂直

2.3.4 平面与平面垂直的性质

思 考 (1)如果平面α与平面β互相垂直,直线l在 平面α内,那么直线l与平面β的位置关系有哪几种 可能? l α α l β β β α l

(2)观察黑板所在的平面和地面,它们是 互相垂直的,那么黑板所在的平面里的任意一条 直线是否就一定和地面垂直?

(3)观察长方体ABCD-A'B'C'D'中,平面 AA'D'D与平面ABCD垂直,你能否在平面 AA'D'D中找一条直线垂直于平面ABCD?
D?

C?
B?

A?
D

C

A

B

(4)如何从面β中找出一条直线,令其垂直于 面α?在β内做直线BO⊥l,l垂直于平面α吗?

?

l
O B

?

下面,我们来证明l⊥α

已知α ? β, α ? β ? CD, AB ? β, AB ? CD于B. 求证 : AB ? α. ?
证明:在平面 α 内作BE⊥CD,垂足为B。 则∠ABE就是二面角α-CD-β的平面角。
A D B C E

?

∵α⊥β, ∴AB⊥BE(平面与平面垂直的定义) 又由题意知AB⊥CD,且BE ? CD=B

∴AB⊥α(直线与平面垂直的判定定理)

平面和平面垂直的性质定理
如果两个平面相互垂直,那么在一个平面 内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

?

A

l

?

O

B

符号表示: ? ? ?

? b ?? ? ? ??b ? ? ? ? ? ? l? ? b?l ?
线面垂直

面面垂直

思 考

平面?⊥平面β,点P在平面?内,过点P作平面 β的垂线PC,直线PC与平面?具有什么位置关系? α P B
C β

A
猜想:直线PC在平面?内

已知:?⊥β,?∩β=AB, P∈ ?,PC ⊥ β.求证:PC ?。 ?
α P

B
D C

β

A 过P做PD⊥AB,垂足为D。 ∵PD⊥AB,∴PD⊥面β。 ∵过一点只能做一条直线与平面垂直。 ∴PC与PD必重合,即PC在面α内。

例八 如图:已知平面α,β, ? ⊥β,直线a满足 a⊥β, ? a ,判断直线 ?? a与平面 的位置关系。 解:在 ? 内作垂直于 ? 与β 交线的直线b。 ∵ ? ⊥β

α

b

a

∴b ⊥β(平面与平面垂直的性质定理) ∵ ? ⊥β ∴a//b(直线与平面垂直的性质定理)
又∵a ? ? ∴a// ? (直线与平面平行的判定定理) 即直线a与平面 ? 平行。
β

例九 AB是⊙O的直径,点C是圆上异于A,B的任意一 点,PA⊥平面ABC,AF⊥PC于F.求证:AF⊥平面PBC。 P 证明: ∵AB是⊙O的直径 ∴AC⊥CB ∵PA⊥平面ABC,BC 平面ABC ∴PA⊥BC ∴BC⊥平面PAC F .O A ∵BC 平面PBC C ∴平面PBC⊥平面PAC 又∵AF⊥PC,AF 面PAC ,面PBC∩面PAC=PC ∩ ∩

B

∴AF⊥平面PBC



课堂小结
平面和平面垂直的性质定理: 如果两个平面相互垂直,那么在一个平面内 垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 面面垂直 线面垂直

证明线面垂直的两种方法: 线线垂直→线面垂直;面面垂直→线面垂直

高考链接
1(2008 辽宁)如图,在棱长为1的正方体 ABCD ? A?B?C ?D? 中,AP=BP=b( 0<b<1),截面PQEF∥ A?D 截面 PQGH∥ A?D 。 (Ⅰ)证明:平面PQEF和平面PQGH互相垂直; (Ⅱ)证明:截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值,并 求出这个值; (Ⅲ)若与平面PQEF所成的角为45°,求与平面PQGH所 成角的正弦值.

【解析】

随堂练习
1判断

1)若α⊥β,那么α内的所有直线都垂直于β( × )
2)两平面互相垂直,分别在这两平面内的两直 线互相垂直( × ) 3)两平面互相垂直,分别在两平面内且互相垂直的 两直线一定分别与另一个平面垂直( × )

4)两平面互相垂直,过一平面内的任一点在该平面 内作交线的垂线,则此直线必垂直与另一个平面 ( √)

已知两个平面垂直,则: 5)一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内 的任意一条直线 (×) 有可能平行,相交但不垂直,异面。 6)一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面 的无数条直线 (√) 7)一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平 面 (× ) 可能平行,可能相交但不垂直,可能在平面内。 8)过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂 线必垂直于另一个平面 (√)

2.如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形, BC ? 2,侧面PAB是等边三角形,且侧面 AB=2, PAB⊥底面ABCD。 (1)证明:侧面PAB⊥侧面PBC; (2)求侧棱PC与底面ABCD所成的角。 P

A

D

E
B

C

习题答案
1.A. 2.B.


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