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正弦余弦函数的性质


$1.4.2 正、余弦函数的性质(一)

要点回顾. 正弦函数、余弦函数的图象 1)图象作法--- 几何法
2)正弦曲线、余弦曲线
y
1 (0,0) -4? -3? -2? -? -1
? ( ,1)
2

五点法
正弦曲 线
( 2? ,0)

o y
(0,1) 1

( ? ,0) ?

2?

3?

4?

5?

6?

3? ( ,-1) 2

x

-4?

-3?

-2?

-?

? (o ,0) 2 -1

3? ( ,0)

( 2? ,1) 2? 3? 4?

余弦曲 线
5? 6?

?

2

( ? ,-1)

x

新课讲解.

正弦函数、余弦函数的性质1
y

诱导公式sin(x+2π ) =sinx,的几何意义.

o

x X X+2π X+2π

X

我们发现,正弦函数值具有周而复始的变化规 律,函数图象按照一定规律不断重复地出现. 数学上,用周期性这个概念来定量的刻画这种 “周而复始”的变化规律.

新课讲解. 正弦函数、余弦函数的性质1 (一)关于周期性 1.周期性的定义 对于函数f(x),如果存在一个非零常数T, 使得当x取定义域内的每一个值时,都有

f(x+T)=f(x)
那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T 叫做这个函数的周期. 注意:如果在周期函数f(x)的所有周期中 思考:正、余弦函数周期是什么?有几个? 存在一个最小的正数,那么这个最小正数 就叫做f(x)的最小正周期.

新课讲解. 正弦函数、余弦函数的性质1 (一)关于周期性 说明 1)T是f(x)的周期,那么kT也一定是f(x)的 周期.(k为非零整数),今后如不加说明, 所求的周期一般都是指函数的最小正周期; 2)定义中的f(x+T)=f(x) 要对定义域中的 每一个x都成立,只有个别x满足并不能说 明T是f(x)的周期; 3)定义中的f(x+T)=f(x) ,周期T是自变量 所加的非零常数. 如:f(2x+T)=f(2x),周期是什么?

新课讲解. 正弦函数、余弦函数的性质1 (一)关于周期性 2.求函数的周期 例1.求下列函数的周期: 1) y ? 3cos x , x ? R

2) y ? sin 2 x , x ? R 1 ? 3) y ? 2sin( x ? ) , x ? R 2 6 4) y ? A sin(?x ? ? ) , x ? R (其中A, ? , ?为常数,且A ? 0, ? ? 0)

新课讲解.
一般结论:

正弦函数、余弦函数的性质1

函数y ? A sin(?x ? ? ) , x ? R及函数y ? Acos(?x ? ? ) , x ? R (其中A, ?, ?为常数,且A ? 0, ? ? 0)的周期T ?

2?

?

函数y ? A sin(?x ? ? ) , x ? R及函数y ? Acos(?x ? ? ) , x ? R (其中A, ?, ?为常数,且A ? 0)的周期T ?

2?

?

一般地,如果函数 f ( x)的周期是T,那么 T 函数f (?x)的周期是

?

新课讲解. 正弦函数、余弦函数的性质1 例2.求下列函数的周期: ---利用结论
1) y ? sin(3 x ?

?

3 1 ? 2) y ? 3cos(? x ? ) , x ? R 3 5 3) y ? sin 2 x , x ? R 4) y ? sin(2 x ?

) , x?R

?
4

) ? 2 cos(3 x ?

?
6

) , x?R

新课讲解. 正弦函数、余弦函数的性质1 (二)关于奇偶性 f ( x ) ? sin x , x ? R
y
1

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

任意x ? R f ( ? x ) ? sin( ? x ) ? ? sin x ? ? f ( x ) ? f ( x ) ? sin x 为奇函数 f ( x ) ? cos x , x ? R y
1

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

任意x ? R f ( ? x ) ? cos( ? x ) ? cos x ? f ( x ) ? f ( x ) ? cos x 为偶函数

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

新课讲解. 正弦函数、余弦函数的性质1 例3.下列函数是奇函数的为( D )
x ? cos x sin x ? cos x A. f ( x) ? 2 B. f ( x) ? x ? cos x sin x ? cos x
2

C. f ( x) ? 2

cos x

D. f ( x) ? lg(sin x ? 1 ? sin x )
2

在下列区间上的奇偶性 ? ? ? ? (1) x ? (? , ) (2) x ? [ ? , ] 2 2 2 2 注意大前提:定义域关于原点对称

1 ? sin x ? cos x 例4.试判断函数 f ( x) ? 1 ? sin x ? cos x

小结
1.周期性
1)定义:对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得 当x取定义域内的每一个值时,都有 f(x+T)=f(x) 那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个 函数的周期. 2)正弦函数、余弦函数的最小正周期是2π
3) 函数y ? A sin(?x ? ? ) , x ? R及函数y ? Acos(?x ? ? ) , x ? R 2? (其中A, ?, ?为常数,且A ? 0)的周期T ?

?

2.正弦函数、余弦函数的奇偶性
结论:正弦函数是奇函数,余弦函数是偶函数

作业
书本P46. A组3、10 B组 3
补充: 1.判断下列函数的奇偶性

1) y ? 2 cos 2x

2) y ? sin x ?1

2.1)定义在R上的奇函数f(x)的图象有 一条对称轴x=1,证明f(x)为周期函数 2) 定义在R上的偶函数f(x)的图象有 一条对称轴x=1,证明f(x)为周期函数


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