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2015年高考全国卷2理科数学试题及答案解析(word精校版)


2015 年高考全国卷 2 理科数学试题及答案解析 (word 精校版)
注意事项: 1.本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必先将自己的 姓名、准考证号码填写在答题卡上。 2.回答第 I 卷时,选出每小题的答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答

第 II 卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。 (1) 已知集合 A={-2,-1,0,1,2} ,B={x|(X-1) (x+2)<0},则 A∩B=( (A) {--1,0} 【答案】A 【解析】由已知得 B ? x ?2 ? x ? 1 ,故 A (2)若 a 为实数且(2+ai) (a-2i)=-4i,则 a=( (A)-1 【答案】B (B)0 (C)1 (D)2 (B) {0,1} (C) {-1,0,1} (D) {,0,,1,2} )

?

?

B ? ??1, 0? ,故选 A


(3)根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫排放量(单位:万吨)柱形图。以下结论不 正确的是( )

(A) 逐年比较,2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 (B) 2007 年我国治理二氧化硫排放显现 (C) 2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 (D) 2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 【答案】D 【解析】由柱形图得,从 2006 年以来,我国二氧化硫排放量呈下降趋势,故年排放量与年份负相 关. (4)等比数列{an}满足 a1=3, a1 ? a3 ? a5 =21,则 a3 ? a5 ? a7 ? ( (A)21 【答案】B (B)42 (C)63 (D)84 )

(5)设函数 f ( x) ? ? (A)3 【答案】C

?1 ? log 2 (2 ? x), x ? 1,
x ?1 ?2 , x ? 1,

, f (?2) ? f (log 2 12) ? ( (D)12

)

(B)6

(C)9

【解析】由已知得 f (?2) ? 1 ? log 2 4 ? 3 ,又 log 2 12 ? 1 ,所以 f (log 2 12) ? 2 故

log 2 12 ?1

? 2log2 6 ? 6 ,

f (?2) ? f (log 2 12) ? 9 .
(6)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部分体积与剩余部 分体积的比值为

(A) 【答案】D

1 8

(B)

1 7

(C)

1 6

(D)

1 5

【解析】由三视图得,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,截去四面体 A ? A1 B1 D1 ,如图所示, ,设正

1 1 3 1 3 1 5 ? a ? a ,故剩余几何体体积为 a 3 ? a 3 ? a 3 ,所以截去部 3 2 6 6 6 1 分体积与剩余部分体积的比值为 . 5
方体棱长为 a ,则 VA? A1B1D1 ?

D1

C1

A1 D

B1 C

A

B

(7)过三点 A(1,3) ,B(4,2) ,C(1,-7)的圆交于 y 轴于 M、N 两点,则 MN = (A)2 6 【答案】C (B)8 (C)4 6 (D)10

(8)右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序 框图,若输入 a,b 分别为 14,18,则输出的 a=

A.0 【答案】B

B.2

C.4

D.14

【解析】程序在执行过程中, a , b 的值依次为 a ? 14 , b ? 18 ; b ? 4 ; a ? 10 ; a ? 6 ; a ? 2 ; b ? 2 ,此时 a ? b ? 2 程序结束,输出 a 的值为 2,故选 B. (9)已知 A,B 是球 O 的球面上两点,∠AOB=90,C 为该球面上的动点,若三棱锥 O-ABC 体积的最 大值为 36,则球 O 的表面积为 A.36π B.64π C.144π D.256π 【答案】C 【解析】如图所示,当点 C 位于垂直于面 AOB 的直径端点时,三棱锥 O ? ABC 的体积最大,设球

1 1 1 O 的半径为 R ,此时 VO ? ABC ? VC ? AOB ? ? R 2 ? R ? R 3 ? 36 ,故 R ? 6 ,则球 O 的表面积为 3 2 6
S ? 4? R 2 ? 144? ,故选 C.

C

O A B

10.如图,长方形 ABCD 的边 AB=2,BC=1,O 是 AB 的中点,点 P 沿着边 BC,CD 与 DA 运动, 记∠BOP=x.将动点 P 到 A、B 两点距离之和表示为 x 的函数 f(x) ,则 f(x)的图像大致为

【答案】B

的运 动过程可以看出,轨迹关于直线 x ?

?
2

对称,且 f ( ) ? f ( ) ,且轨迹非线型,故选 B.

?

?

4

2

(11)已知 A,B 为双曲线 E 的左,右顶点,点 M 在 E 上,?ABM 为等腰三角形,且顶角为 120° , 则 E 的离心率为 (A)√5 (B)2 (C)√3 (D)√2 【答案】D

(12)设函数 f’(x)是奇函数 f ( x)( x ? R ) 的导函数,f(-1)=0,当 x ? 0 时, xf ( x) ? f ( x) ? 0 ,
'

则使得 f ( x) ? 0 成立的 x 的取值范围是 (A) (C) 【答案】A 【解析】 记 函 数 g ( x) ? (B) (D)

xf ' ( x) ? f ( x ) f ( x) ' ' , 则 g ( x) ? , 因 为 当 x ? 0 时 , xf ( x) ? f ( x) ? 0 , 故 当 2 x x

x ? 0 时, g ' ( x) ? 0 ,所以 g ( x) 在 (0, ??) 单调递减;又因为函数 f ( x)( x ? R) 是奇函数,故函数
g ( x) 是 偶 函 数 , 所 以 g ( x) 在 (??, 0) 单 调 递 减 , 且 g (?1) ? g (1) ? 0 . 当 0 ? x ? 1 时 , g ( x) ? 0 ,则 f ( x) ? 0 ;当 x ? ?1 时, g ( x) ? 0 ,则 f ( x) ? 0 ,综上所述,使得 f ( x) ? 0 成立
的 x 的取值范围是

(??, ?1) (0,1) ,故选 A.
二、填空题 (13)设向量 a , b 不平行,向量 ? a ? b 与 a ? 2b 平行,则实数 ? ? _________.

【答案】

1 2

【解析】因为向量 ? a ? b 与 a ? 2b 平行,所以 ? a ? b ? ( ,则 ? k a ? 2b)

?? ? k, 1 所以 ? ? . 2 ?1 ? 2k ,

? x ? y ? 1 ? 0, ? (14)若 x,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 0, ,则 z ? x ? y 的最大值为____________. ? x ? 2 y ? 2 ? 0, ?
【答案】

3 2

4 3 2 1 –4 –3 –2 –1

y

B D
1 2 3 4

O
–1 –2 –3 –4

x

C

(15) (a ? x)(1 ? x) 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32,则 a ? __________.
4

【答案】 3 【解析】由已知得 (1 ? x) ? 1 ? 4 x ? 6 x ? 4 x ? x ,故 (a ? x)(1 ? x) 的展开式中 x 的奇数次幂项
4 2 3 4 4

分别为 4ax , 4ax 3 , x , 6 x 3 , x 5 ,其系数之和为 4a ? 4a ? 1+6+1=32 ,解得 a ? 3 . (16)设 S n 是数列 ?an ? 的前 n 项和,且 a1 ? ?1 , an ?1 ? S n S n ?1 ,则 S n ? ________. 【答案】 ?

1 n

【解析】由已知得 an ?1 ? S n ?1 ? S n ? S n ?1 ? S n ,两边同时除以 S n ?1 ? S n ,得

1 1 ? ? ?1 ,故数列 S n ?1 S n

?1? 1 1 ? ? 是以 ?1 为首项, ?1 为公差 的等差数列,则 ? ?1 ? (n ? 1) ? ? n ,所以 S n ? ? . n Sn ? Sn ?
三.解答题 (17)?ABC 中,D 是 BC 上的点,AD 平分∠BAC,?ABD 是?ADC 面积的 2 倍。 (Ⅰ)求

sin ?B ; sin ?C

(Ⅱ) 若 AD =1, DC =

2 求 BD 和 AC 的长. 2

(18)某公司为了解用户对其产品的满意度,从 A,B 两地区分别随机调查了 20 个用户,得到用户对 产品的满意度评分如下: A 地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 (Ⅰ)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的

平均值及分散程度(不要求计算出具体值,得出结论即可) ; (Ⅱ)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个不等级: 满意度评分 满意度等级 低于 70 分 不满意 70 分到 89 分 满意 不低于 90 分 非常满意

记时间 C:“A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级”。假设两地区用户的评价结果 相互独立。根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求 C 的概率

19. (本小题满分 12 分) 如图, 长方体 ABCD—A1B1C1D1 中, AB = 16, BC = 10, = 8,点 E,F 分别在 A1B1,D1C1 上,A1E = D1F = 4,过点 的平面 α 与此长方体的面相交,交线围成一个正方形。 (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由) ; (2)求直线 AF 与平面 α 所成的角的正弦值。

D1

F

C1

AA1 E, F

A1

E D

B1 C

A

B

20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C:9 x2 ? y 2 ? m2 (m ? 0) , 直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴, l 与 C 有两个交点 A, B,线段 AB 的中点为 M。 (1)证明:直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值;

m (2)若 l 过点 ( , m) ,延长线段 OM 与 C 交于点 P,四边形 OAPB 能否为平行四边形?若能, 3 求此时 l 的斜率;若不能,说明理由。

21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? emx ? x2 ? mx 。 (1)证明: f ( x) 在 (??,0) 单调递减,在 (0, ??) 单调递增; (2)若对于任意 x1 , x2 ?[?1,1] ,都有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? e ? 1 ,求 m 的取值范围。

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。作答时请写 清题号 22. (本小题满分 10 分) A 选修 4 - 1:几何证明选讲 如图,O 为等腰三角形 ABC 内一点,⊙O 与 ΔABC 的 底 边 BC 交于 M,N 两点,与底边上的高 AD 交于点 G,且 与 G AB,AC 分别相切于 E,F 两点。 E F (1)证明:EF∥BC; (2)若 AG 等于⊙O 的半径,且 AE ? MN ? 2 3 ,求 形 EBCF 的面积。 B M O D N C 四 边

23. (本小题满分 10 分) 选修 4 - 4:坐标系与参数方程
? x ? t cos ? 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1: ? (t 为参数,t ≠ 0) ,其中 0 ≤ α < π,在以 O 为极点, ? y ? t sin ?

x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2: ? ? 2sin ? ,C3: ? ? 2 3 cos? 。 (1)求 C2 与 C3 交点的直角坐标; (2)若 C1 与 C2 相交于点 A,C1 与 C3 相交于点 B,求 | AB | 的最大值。

24. (本小题满分 10 分) 选修 4 - 5:不等式选讲 设 a,b,c,d 均为正数,且 a + b = c + d,证明: (1)若 ab > cd;则 a ? b ? c ? d ; (2) a ? b ? c ? d 是 | a ? b |?| c ? d | 的充要条件。

附:全部试题答案


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