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2.2.1 综合法和分析法 课件(人教A版选修1-2)


第二章

推理与证明

栏目 导引

复习
推 理
合情推理
(或然性推理)

演绎推理 (必然性推理) 三段论 (一般到特殊)

归纳
(特殊到一般)

类比 (特殊到特殊)

演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思 维过程. 数学结论、证明思路的发现, 主要靠合情推理.

在数学证明中,我们经常从已知条件和某些数学定义、定
理、公理、性质等出发通过推理导出所要的结论。 例:已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc

证明: 因为b2+c2

≥2bc,a>0

所以a(b2+c2)≥2abc.
又因为c2+b2
≥2bc,b>0

所以b(c2+a2)≥ 2abc.
因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.

1、综合法:
利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等, 经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论

成立,这种证明方法叫做综合法也叫顺推法
特点:由因导果 用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示 所要证明的结论. 则综合法用框图表示为:

P ? Q1

Q1 ? Q 2

Q2 ? Q3



Qn ? Q

综合法是由一个个推理组成的

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推理与证明

例:求证: 证明:因为 所以为了证明 只需证明 展开得

3? 7 ?2 5
都是正数,

3 ? 7和2 5

3? 7 ?2 5

( 3 ? 7)2 ? (2 5)2

10 ? 2 21 ? 20



21 ? 5
成立。
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只需证明21<25,因为21<25成立, 所以不等式

3? 7 ?2 5

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推理与证明

2,分析法
一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求推证过程中, 使每一步结论成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归 结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理 等)为止,这种证明的方法叫做分析法也叫逆推法。 特点:执果索因. 用框图表示分析法的思考过程、特点.

Q ? P1

P1 ? P2

P2 ? P3



得到一个明显 成立的结论
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推理与证明

2.2.1

综合法和分析法

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推理与证明

新知初探思维启动
综合法和分析法 综合法 利用_________ 已知条件 和某些数 学_______ 定义 、________ 公理 、 定理 等,经过一系列 定 ________ 推理论证 ,最后推导 义 的__________ 出所要证明的结论成立, 这种证明方法叫做综合法 分析法 要证明 的结论出发, 从_________ 逐步寻求使它成立的 充分条件 ,直至最后, ___________ 把要证明的结论归结为判 定一个明显成立的条件(已 定义 定理 知条件、 ________ 、 _______ 公理 、_______等),这 种证明方法叫做分析法
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推理与证明

综合法
P?Q1 → Q1?Q2 →

分析法

框 图 表 示

Q2?Q3 →?→ Qn?Q

已知条件 、已有 (P表示___________ 定义 、_______ 公理 、 的_______ 定理 等,Q表示 ________ 所要证明的结论 ____________________

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推理与证明

综合法 特点 顺推证法或由 因导果法

分析法 逆推证法或执 果索因法

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推理与证明

想一想

1.综合法与分析法的推理过程是合情推理还是
演绎推理? 提示:综合法与分析法的推理过程是演绎推 理,因为综合法与分析法的每一步推理都是 严密的逻辑推理,从而得到的每一个结论都 是正确的,不同于合情推理中的“猜想”.

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推理与证明

2.分析法是把所要求证的结论当作已知条件来

推理吗?
提示:分析法并不是把所要求证的结论当作 已知条件来推理,而是寻求使结论成立的充 分条件.

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推理与证明

做一做
1.以下命题中正确的是( )

A.综合法是执果索因的逆推法 B.综合法是由因导果的顺推法 C.综合法是因果互推的两头凑法

D.综合法就是举反例
答案:B

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推理与证明

2. 要证明 3 + 7<2 5 可选择的方法有以下几 种,其中最合理的是( ) A.综合法 B.分析法 C.类比法 D.归纳法

解析:选B.从数据来看,宜用分析法.

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推理与证明

分析基本不等式: (a>0,b>0)的证明.

a+b ? 2

ab

a+b ? ab 证明:要证; 2 只需证;a + b ? 2 ab

还原成综合法: 证明:
2 ( a ? b ) ?0 因为;

只需证;a + b ? 2 ab ? 0 只需证;( a ? b ) ? 0
2

所以 a + b ? 2 ab ? 0 所以 a + b ? 2 ab

因为;( a ? b )2 ? 0 成立

a+b 所以 ? 2

a+b ? ab 成立 所以 2 ab成立
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推理与证明

典题例证技法归纳
题型探究 题型一
例1

2 m 已知 x+y+z=m.求证:x2+y2+z2≥ . 3

综合法的应用

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推理与证明

【证明】 ∵x+y+z=m, 2 2 2 2 2 ∴(x+y+z) =x +y +z +2(xy+yz+zx)=m . 2 2 2 2 2 2 又∵x +y ≥2xy,y +z ≥2yz,z +x ≥2xz. 2 2 2 ∴2(x +y +z )≥2(xy+yz+zx), 2 2 2 即 x +y +z ≥xy+yz+zx, 2 2 2 2 2 2 2 ∴m =x +y +z +2(xy+yz+zx)≤3(x +y +z ). 2 2 2 2 m ∴x +y +z ≥ . 3
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推理与证明

互动探究 1.已知a+b+c=6.求a2+b2+c2的最小值.
2 6 解:由本例的结论知 a2+b2+c2≥ =12, 3 当且仅当 a=b=c=2 时, “=”成立, ∴a2+b2+c2 的最小值为 12.

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推理与证明

题型二
例2

分析法的应用

(本题满分 9 分)设 a,b 为实数.求证: 2 2 2 a +b ≥ (a+b). 2

【思路点拨】 式即可.

题目条件适合使用分析法证

明不等式,只需要注意分析法证明问题的格

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推理与证明

名师微博
分类讨论是关键!
【证明】 当 a+b≤0 时, ∵ a2+b2≥0, 2 2 2 ∴ a +b ≥ (a+b)成立.2 分 2 当 a+b>0 时,用分析法证明如下: 2 2 2 要证 a +b ≥ (a+b),3 分 2 ? 2 ? ? 2,5 分 2 2 2 只需证( a +b ) ≥? (a+b)? ? ? 2 ?
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推理与证明

1 2 即证 a +b ≥ (a +b2+2ab), 2 即证 a2+b2≥2ab.6 分 ∵a2+b2≥2ab 对一切实数恒成立.7 分 2 2 2 ∴ a +b ≥ (a+b)成立.8 分 2 综上所述,不等式得证.
2 2

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推理与证明

变式训练
2.当 x≥4 时,证明: x-1- x-2< x-3- x-4.
证明: 当 x≥4 时, 欲证 x-1- x-2< x-3 - x-4, 只需证 x-1+ x-4< x-3+ x-2, 即证( x-1+ x-4)2<( x-3+ x-2)2, 展 开 得 2x - 5 + 2 x-1 · x-4 <2x - 5 + 2 x-3· x-2,

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推理与证明

即 (x-1)(x-4)< (x-3)(x-2), 只需证[ (x-1)(x-4)]2<[ (x-3)(x-2)]2, 即证 x2-5x+4<x2-5x+6,即 4<6, 这显然成立. ∴当 x≥4 时, x-1- x-2< x-3- x-4.

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推理与证明

题型三
例3

综合法与分析法的应用

△ABC的三个内角A,B,C成等差数列.

求证:(a+b)-1+(b+c)-1=3(a+b+c)-1.
【证明】 法一:要证(a+b)-1+(b+c)-1=3(a - +b+c) 1, 1 1 3 即证 + = , a + b b + c a+ b + c a + b + c a+ b+ c 即证 + =3, a+b b+c c a 也即 + =1. a+ b b + c
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推理与证明

只需证c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c), 需证c2+a2=ac+b2. ∵△ABC三个内角A,B,C成等差数列, ∴B=60°. 由余弦定理,有b2=c2+a2-2cacos60°.

即b2=c2+a2-ac,c2+a2=ac+b2,
此式即分析中欲证之等式,即原式得证. 法二:∵△ABC三个内角A,B,C成等差数列,

∴B=60°.

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第二章

推理与证明

由余弦定理,有 b2=c2+a2-2cacos60°, 得 c2+a2=ac+b2, 两边同时加 ab+bc 得 c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c), c a 两边除以(a+b)(b+c)得 + =1, a+b b+c ? c ? ? a ? ? ? ? ∴?a+b+1?+?b+c+1? ?=3, ? ? ? ? 1 1 3 即 + = , a+b b+c a+b+c ∴(a+b)-1+(b+c)-1=3(a+b+c)-1.
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推理与证明

备考例题
1.定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x+2),当

x>1 时, f(x) 单调递增,如果 x1 + x2>2 且 (x1 - 1)(x2
-1)<0,则f(x1)+f(x2)的值( A.恒小于0 C.可能为0 ) B.恒大于0 D.可正可负

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推理与证明

解析:选B.由f(-x)=-f(x+2)知函数y=f(x) 关于点(1,0)对称.

由(x1-1)(x2-1)<0知x1-1,x2-1异号,不妨
设x1>1,则x2<1. ∵x1+x2>2,∴x1>2-x2. 由x2<1知2-x2>1,故x1>2-x2>1. ∴f(x1)>f(2-x2),

∵f(2-x2)=-f(x2),
∴f(x1)>-f(x2),即f(x1)+f(x2)>0.
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第二章

推理与证明

?1?x 2.已知函数 f(x)=?2? ,a,b∈(0,+∞),A= ? ? ?a+b? ? 2ab ? ? ? ? ? f? , B = f ( ab ) , C = f ? ?a+b?,则 A,B,C ? 2 ? ? ?

的大小关系为________.

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推理与证明

a+ b 解析:∵a>0,b>0,∴ ≥ ab. 2 2 ab 2ab ∴ ≤1,∴ ≤ ab. a+b a+b ?1?x 又 f(x)=?2? 在(0,+∞)上为减函数, ? ? ?a+b? ? 2ab ? ? ? ? ? 故有 f? ≤ f ( ab ) ≤ f ? ?a+b?. ? 2 ? ? ?

答案:A≤B≤C

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推理与证明

3.已知△ABC的三边a,b,c的倒数成等差数列, 试分别用综合法和分析法证明:∠B为锐角.
2 1 1 a+c 证明:(综合法)由题意: = + = , b a c ac 2ac 则 b= , a+c ∴b(a+c)=2ac,∵a+c>b, ∴b(a+c)=2ac>b2. a2+c2-b2 2ac-b2 ∴cosB= ≥ >0. 2ac 2ac

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推理与证明

π 又 y=cosx 在(0,π )上单调递减,且 cos =0, 2 π ∴0<∠B< ,即∠B 为锐角. 2 (分析法)要证明∠B 为锐角,只需证 cosB>0, a2+c2-b2 又因为 cosB= ,所以只需证明 a2+c2 2ac -b2>0,即 a2+c2>b2,因为 a2+c2≥2ac,所以 2 1 1 2 只需证明 2ac>b ,由已知 = + ,即 2ac=b(a b a c +c). 所以只需证明 b(a+c)>b2, 即 a+c>b,显然成立,所以∠B 为锐角.
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第二章

推理与证明

小结:
分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。 在数学解题中: 分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发,一 步一步地探索下去,最后达到题设的已知条件。 综合法则是从数学题的已知条件出发,经过逐步的 逻辑推理,最后达到待证结论或需求问题。

对于解答证明来说,分析法表现为执果索因,综合 法表现为由因导果,它们是寻求解题思路的两种基本思 考方法,应用十分广泛。

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