当前位置:首页 >> 数学 >>

广东省湛江市农垦中学2015届高三上学期第一次月考数学试卷(理科)


广东省湛江市农垦中学 2015 届高三上学期第一次月考数学试卷 (理科)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知集合 M={﹣1,0,1},N={0,1,2},则 M∩N=() A.{﹣1,0,1} B.{﹣1,0,1,2} C.{﹣1,0,2} D.{0,1} 2. (5 分)已知复数 z 满足(3﹣4i)z=25,则 z=() A.﹣3﹣4i B.﹣3+4i C.3﹣4i

D.3+4i

3. (5 分)若变量 x,y 满足约束条件

且 z=2x+y 的最大值和最小值分别为 m 和 n,

则 m+n=() A.6

B.﹣6

C. 0

D.1

4. (5 分)若实数 k 满足 0<k<9,则曲线 A.焦距相等 B.实半轴长相等



=1 与曲线



=1 的()

C.虚半轴长相等

D.离心率相等

5. (5 分)已知向量 =(1,0,﹣1) ,则下列向量中与 成 90°夹角的是() A.(﹣1,1,0) B.(1,﹣1,1) C.(0,﹣1,1) D.(﹣1,0,1)

6. (5 分)已知某地区中小学学生的近视情况分布如图 1 和图 2 所示,为了解该地区中小学 生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取 2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中 生近视人数分别为()

A.200,20

B.100,20

C.200,10

D.100,10

7. (5 分)若空间中四条两两不同的直线 l1,l2,l3,l4,满足 l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下列 结论一定正确的是() A.l1⊥l4 C. l1 与 l4 既不垂直也不平行 B. l1∥l4 D.l1 与 l4 的位置关系不确定

8. (5 分)已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x∈(﹣∞,0)时不等式 f(x) +xf′ (x) <0 成立, 若 a=3 ?f (3 ) , b= (logπ3) ?f (logπ3) , c= ( a,b, c 的大小关系是() A.a>b>c B.c>a>b
0.3 0.3

) ?f (

) . 则

C.c>b>a

D.a>c>b

二、填空题:本大题共 5 小题.考生作答 6 小题.每小题 5 分,满分 25 分. (一)必做题 (9~13 题) 9. (5 分)不等式|x﹣3|+|x+2|≥5 的解集为. 10. (5 分)曲线 y=e
﹣5x

在点(0,1)处的切线方程为.

11. (5 分)从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 中任取 3 个不同的数,则这 3 个数的平均数 是 6 的概率为. 12. (5 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c,已知 bcosC+ccosB=3b, 则 =.
5

13. (5 分) 若等比数列{an}的各项均为正数, 且 a10a11+a9a12+a8a13=3e , 则 lna1+lna2+…+lna20=.

(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) (坐标系与参数方程选做题) 14. (5 分)在极坐标系中,曲线 C1 和 C2 的方程分别为 ρ=2cosθ 和 ρ=1,以极点为平面直角 坐标系的原点,极轴为 x 轴正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线 C1 和 C2 交点所在的直线 方程为.

(几何证明选讲选做题) 15.如图,在平行四边形 ABCD 中,点 E 在 AB 上且 EB=3AE,AC 与 DE 交于点 F,则

=.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (12 分)已知函数 f(x)=Asin(x+ ) ,x∈R,且 f( )= ,

(1)求 A 的值; (2)求 f(x)的单调区间; (3)求 f(x)在区间(0,π)内的最值. 17. (12 分)随机观测生产某种零件的某工厂 25 名工人的日加工零件数(单位:件) ,获得 数据如下: 30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42, 32,34,46,39,36 根据上述数据得到样本的频率分布表如下: 分组 频数 频率 [25,30] 3 0.12 (30,35] 5 0.20 (35,40] 8 0.32 (40,45] n1 f1 (45,50] n2 f2 (1)确定样本频率分布表中 n1,n2,f1 和 f2 的值; (2)求在这 25 名工人中任意抽取 2 人,且恰有 1 人的日加工零件数落在区间(30,35]的 概率; (3)求在该厂大量的工人中任取 4 人,至多有 1 人的日加工零件数落在区间(30,35]的概 率. 18. (14 分)如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,O 是 BC1 与 B1C 的交点. (1)求直线 AO 与直线 C1D1 所成角的余弦值; (2)求直线 AO 与平面 BCC1B1 所成角的正弦值; (2)求二面角 D﹣AC﹣B1 的正切值.

19. (14 分)设各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn 满足 Sn ﹣(n +n﹣3)Sn 2 * ﹣3(n +n)=0,n∈N ① (1)求 a1 的值; (2)对①进行因式分解并求数列{an}的通项公式; (3)证明:对一切正整数 n,有 + +…+ < ②

2

2

20. (14 分)已知椭圆

+

=1(a>b>0)的离心率为

,以该椭圆上的点和椭圆的左、

右焦点 F1、F2 为顶点的三角形的周长为 4( 设 P 为该双曲线上异于顶点的任一点. (1)求椭圆和双曲线的标准方程;

+1) .一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,

(2)设直线 PF1、PF2 的斜率分别为 k1、k2,证明:k1?k2=1. 21. (14 分)已知函数 f(x)=x﹣ +a(2﹣lnx) (a∈R) ,讨论函数 f(x)的单调性.

广东省湛江市农垦中学 2015 届高三上学期第一次月考数 学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知集合 M={﹣1,0,1},N={0,1,2},则 M∩N=() A.{﹣1,0,1} B.{﹣1,0,1,2} C.{﹣1,0,2} D.{0,1} 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 由 M 与 N,求出两集合的交集即可. 解答: 解:∵M={﹣1,0,1},N={0,1,2}, ∴M∩N={0,1}. 故选:D. 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 2. (5 分)已知复数 z 满足(3﹣4i)z=25,则 z=() A.﹣3﹣4i B.﹣3+4i C.3﹣4i

D.3+4i

考点: 复数相等的充要条件. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 由题意利用两个复数代数形式的乘除法, 虚数单位 i 的幂运算性质, 计算求得结果. 解答: 解:∵满足(3﹣4i)z=25,则 z= = =3+4i,

故选:D. 点评: 本题主要考查两个复数代数形式的乘除法, 虚数单位 i 的幂运算性质, 属于基础题.

3. (5 分)若变量 x,y 满足约束条件

且 z=2x+y 的最大值和最小值分别为 m 和 n,

则 m+n=() A.6

B.﹣6

C. 0

D.1

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对应的平面区域,利用 z 的几何意义,进行平移即可得到结论. 解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图: 由 z=2x+y,得 y=﹣2x+z, 平移直线 y=﹣2x+z,由图象可知当直线 y=﹣2x+z 经过点 A, 直线 y=﹣2x+z 的截距最小,此时 z 最小, 由 ,解得 ,

即 A(﹣1,﹣1) ,此时 z=﹣2﹣1=﹣3,此时 n=﹣3, 平移直线 y=﹣2x+z,由图象可知当直线 y=﹣2x+z 经过点,B, 直线 y=﹣2x+z 的截距最大,此时 z 最大, 由 ,解得 ,

即 B(2,﹣1) ,此时 z=2×2﹣1=3,即 m=3, 则 m+n=3+(﹣3)=0, 故选:C.

点评: 本题主要考查线性规划的应用,利用 z 的几何意义, 利用数形结合是解决本题的关 键.

4. (5 分)若实数 k 满足 0<k<9,则曲线 A.焦距相等 B.实半轴长相等



=1 与曲线



=1 的()

C.虚半轴长相等

D.离心率相等

考点: 专题: 分析: 结论. 解答: 即曲线

双曲线的简单性质. 圆锥曲线的定义、性质与方程. 根据 k 的取值范围,判断曲线为对应的双曲线,以及 a,b,c 的大小关系即可得到 解:当 0<k<9,则 0<9﹣k<9,16<25﹣k<25, ﹣ =1 表示焦点在 x 轴上的双曲线,其中 a =25,b =9﹣k,c =34﹣k,
2 2 2

曲线



=1 表示焦点在 x 轴上的双曲线,其中 a =25﹣k,b =9,c =34﹣k,

2

2

2

即两个双曲线的焦距相等, 故选:A. 点评: 本题主要考查双曲线的方程和性质,根据不等式的范围判断 a,b,c 是解决本题的 关键.

5. (5 分)已知向量 =(1,0,﹣1) ,则下列向量中与 成 90°夹角的是() A.(﹣1,1,0) B.(1,﹣1,1) C.(0,﹣1,1) D.(﹣1,0,1)

考点: 空间向量的夹角与距离求解公式. 专题: 空间向量及应用. 分析: 利用向量的数量积和向量垂直的性质求解. 解答: 解:∵向量 =(1,0,﹣1) , (1,0,﹣1)?(﹣1,1,0)=﹣1, (1,0,﹣1)?(1,﹣1,1)=0, (1,0,﹣1)?(0,﹣1,1)=﹣1, (1,0,﹣1)?(﹣1,0,1)=﹣2, ∴与 成 90°夹角的是(1,﹣1,1) . 故选:B. 点评: 本题考查与 成 90°夹角的向量的求法,是基础题,解题时要认真审题. 6. (5 分)已知某地区中小学学生的近视情况分布如图 1 和图 2 所示,为了解该地区中小学 生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取 2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中 生近视人数分别为()

A.200,20

B.100,20

C.200,10

D.100,10

考点: 频率分布直方图. 专题: 概率与统计. 分析: 根据图 1 可得总体个数,根据抽取比例可得样本容量,计算分层抽样的抽取比例, 求得样本中的高中学生数,再利用图 2 求得样本中抽取的高中学生近视人数. 解答: 解:由图 1 知:总体个数为 3500+2000+4500=10000, ∴样本容量=10000×2%=200, 分层抽样抽取的比例为 ,

∴高中生抽取的学生数为 40, ∴抽取的高中生近视人数为 40×50%=20. 故选:A. 点评: 本题借助图表考查了分层抽样方法,熟练掌握分层抽样的特征是关键. 7. (5 分)若空间中四条两两不同的直线 l1,l2,l3,l4,满足 l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下列 结论一定正确的是() A.l1⊥l4 B. l1∥l4 C. l1 与 l4 既不垂直也不平行 D.l1 与 l4 的位置关系不确定 考点: 空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 根据在空间中垂直于同一直线的二直线的位置关系是平行、相交或异面可得,∴l1 与 l4 的位置关系不确定. 解答: 解:∵l1⊥l2,l2⊥l3,∴l1 与 l3 的位置关系不确定, 又 l4⊥l3,∴l1 与 l4 的位置关系不确定. 故 A、B、C 错误. 故选:D. 点评: 本题考查了空间直线的垂直关系的判定, 考查了学生的空间想象能力, 在空间中垂 直于同一直线的二直线的位置关系是平行、相交或异面. 8. (5 分)已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x∈(﹣∞,0)时不等式 f(x) +xf′ (x) <0 成立, 若 a=3 ?f (3 ) , b= (logπ3) ?f (logπ3) , c= ( a,b,c 的大小关系是()
0.3 0.3

) ?f (

) . 则

A.a>b>c

B.c>a>b

C.c>b>a

D.a>c>b

考点: 函数奇偶性的性质;简单复合函数的导数;函数的单调性与导数的关系. 专题: 综合题;压轴题. 分析: 由已知式子(x)+xf′(x) ,可以联想到: (uv)′=u′v+uv′,从而可设 h(x)=xf(x) , 有:h′(x)=f(x)+xf′(x)<0,所以利用 h(x)的单调性问题很容易解决. 解答: 解:构造函数 h(x)=xf(x) , 由函数 y=f(x)以及函数 y=x 是 R 上的奇函数可得 h(x)=xf(x)是 R 上的偶函数, 又当 x∈(﹣∞,0)时 h′(x)=f(x)+xf′(x)<0, 所以函数 h(x)在 x∈(﹣∞,0)时的单调性为单调递减函数; 所以 h(x)在 x∈(0,+∞)时的单调性为单调递增函数. 又因为函数 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,所以 f(0)=0,从而 h(0)=0 因为 =﹣2,所以 f(
0.3 0.5

)=f(﹣2)=﹣f(2) ,

由 0<logπ3<1<3 <3 <2 所以 h(logπ3)<h(3 )<h(2)=f(
0.3

) ,即:b<a<c

故选 B. 点评: 本题考查的考点与方法有:1)所有的基本函数的奇偶性;2)抽象问题具体化的思 想方法,构造函数的思想;3)导数的运算法则: (uv)′=u′v+uv′;4)指对数函数的图象;5) 奇偶函数在对称区间上的单调性: 奇函数在对称区间上的单调性相同; 偶函数在对称区间上 的单调性相反;5)奇偶函数的性质:奇×奇=偶;偶×偶=偶;奇×偶=奇(同号得正、异号得 负) ;奇+奇=奇;偶+偶=偶. 本题结合已知构造出 h(x)是正确解答的关键所在. 二、填空题:本大题共 5 小题.考生作答 6 小题.每小题 5 分,满分 25 分. (一)必做题 (9~13 题) 9. (5 分)不等式|x﹣3|+|x+2|≥5 的解集为 R. 考点: 绝对值不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由绝对值的意义可得|x﹣3|+|x+2|的最小值为 5,可得不等式|x﹣3|+|x+2|≥5 恒成立, 从而得出结论. 解答: 解:由于|x﹣3|+|x+2|表示数轴上的 x 对应点到 3、﹣2 对应点的距离之和,它的最 小值为 5, 可得不等式|x﹣3|+|x+2|≥5 恒成立, 故答案为:R. 点评: 本题主要考查绝对值的意义,绝对值不等式的解法,函数的恒成立问题,体现了转 化的数学思想,属于基础题. 10. (5 分)曲线 y=e
﹣5x

在点(0,1)处的切线方程为 5x+y﹣1=0.

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 计算题;导数的概念及应用.

分析: 求出导函数,求出切线斜率,利用点斜式可得切线方程. 解答: 解:由于 y=e 令 x=0,可得 y′=﹣5,
﹣5x ﹣5x

,可得 y′=﹣5e ,

﹣x

∴曲线 y=e 在点(0,1)处的切线方程为 y﹣1=﹣5x, 即 5x+y﹣1=0 故答案为:5x+y﹣1=0. 点评: 本题考查导数的几何意义:曲线在某点处的切线的斜率,考查学生的计算能力,属 于基础题. 11. (5 分)从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 中任取 3 个不同的数,则这 3 个数的平均数 是 6 的概率为 .

考点: 列举法计算基本事件数及事件发生的概率;众数、中位数、平均数. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 由题意求出所有的可能取法,并列举出符合条件的取法即可. 解答: 解:从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 中任取 3 个不同的数共有 =120 种可能;

这 3 个数的平均数是 6 的可能有: (1,8,9) , (2,7,9) , (3,6,9) , (3,7,8) , (4,5, 9) , (4,6,8) , (5,6,7)7 种; 则这 3 个数的平均数是 6 的概率为 故答案为: . .

点评: 本题考查了列举法求概率的步骤及方法,属于基础题. 12. (5 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c,已知 bcosC+ccosB=3b, 则 =3.

考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 已知等式利用正弦定理化简,再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形, 将结果利用正弦定理化简即可求出所求式子的值. 解答: 解:已知等式 bcosC+ccosB=3b,利用正弦定理化简得:sinBcosC+sinCcosB=3sinB, 即 sin(B+C)=3sinB, 整理得:sinA=3sinB, 再利用正弦定理化简得:a=3b, 则 =3. 故答案为:3 点评: 此题考查了正弦定理,熟练掌握正弦定理是解本题的关键.

13. (5 分)若等比数列{an}的各项均为正数,且 a10a11+a9a12+a8a13=3e ,则 lna1+lna2+…+lna20=50. 考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 5 分析: 直接由等比数列的性质结合已知得到 a10a11=e , 然后利用对数的运算性质化简后得 答案. 解答: 解:∵数列{an}为等比数列,且 a10a11+a9a12+a8a13=3e , 5 ∴3a10a11=3e , 5 ∴a10a11=e , 10 ∴lna1+lna2+…lna20=ln(a1a2…a20)=ln(a10a11) 5 10 50 =ln(e ) =lne =50. 故答案为:50. 点评: 本题考查了等比数列的运算性质,考查对数的运算性质,考查了计算能力,是基础 题. (二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) (坐标系与参数方程选做题) 14. (5 分)在极坐标系中,曲线 C1 和 C2 的方程分别为 ρ=2cosθ 和 ρ=1,以极点为平面直角 坐标系的原点,极轴为 x 轴正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线 C1 和 C2 交点所在的直线 方程为 .
5

5

考点: 简单曲线的极坐标方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: 曲线 C1 和 C2 的极坐标方程:ρ=2cosθ 和 ρ=1,分别化为:x +y =2x,x +y =1,两 式相减可得:2x=1,即可. 解答: 解:曲线 C1 和 C2 的极坐标方程:ρ=2cosθ 和 ρ=1, 2 2 2 2 分别化为:x +y =2x,x +y =1, 两式相减可得:2x=1, 因此曲线 C1 和 C2 交点所在的直线方程为:2x=1. 故答案为:x= . 点评: 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、 两个圆的交点所在直线的方程, 属于基 础题. (几何证明选讲选做题) 15.如图,在平行四边形 ABCD 中,点 E 在 AB 上且 EB=3AE,AC 与 DE 交于点 F,则
2 2 2 2

=16.

考点: 三角形的面积公式. 专题: 立体几何. 分析: 由于 EB=3AE,AB∥CD.可得 质即可得出. 解答: 解:∵EB=3AE,AB∥CD. ∴ ∴ ,△ CDF∽△AEF. = =16. ,△ CDF∽△AEF.再利用相似三角形的性

故答案为:16. 点评: 本题考查了平行四边形与相似三角形的性质,属于基础题. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (12 分)已知函数 f(x)=Asin(x+ ) ,x∈R,且 f( )= ,

(1)求 A 的值; (2)求 f(x)的单调区间; (3)求 f(x)在区间(0,π)内的最值. 考点: 正弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)根据条件 f( )= ,代入即可求 A 的值;

(2)根据三角函数的单调性的性质即可求 f(x)的单调区间; (3)结合三角函数的图象和性质,即可求 f(x)在区间(0,π)内的最值. 解答: 解: (1) 依题意有 (2)∵ ∴f(x)= 由 即 f(x)的单调增区间为[2kπ﹣ 减区间: 即 f(x)的单调减区间为[2kπ+ (3)∵0<x<π,∴ 当 ,即 <x+ < ,2kπ+ , ,没有最小值. ],k∈Z. ,2kπ+ ],k∈Z. , , sin(x+ ) ,x∈R, , , 故 .

时,取得最大值为

点评: 本题主要考查三角函数的图象和性质,要求熟练张函数单调性和最值的求解.

17. (12 分)随机观测生产某种零件的某工厂 25 名工人的日加工零件数(单位:件) ,获得 数据如下: 30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42, 32,34,46,39,36 根据上述数据得到样本的频率分布表如下: 分组 频数 频率 [25,30] 3 0.12 (30,35] 5 0.20 (35,40] 8 0.32 (40,45] n1 f1 (45,50] n2 f2 (1)确定样本频率分布表中 n1,n2,f1 和 f2 的值; (2)求在这 25 名工人中任意抽取 2 人,且恰有 1 人的日加工零件数落在区间(30,35]的 概率; (3)求在该厂大量的工人中任取 4 人,至多有 1 人的日加工零件数落在区间(30,35]的概 率. 考点: 列举法计算基本事件数及事件发生的概率;频率分布直方图. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: (1)由题中给出的数据求出 n1,n2,f1 和 f2 的值; (2)利用古典概型概率公式求 解; (3)利用古典概型概率公式求解. 解答: 解: (1)n1=7,n2=2,f1=0.28,f2=0.08. (2)25 名工人中,日加工零件数落在区间(30,35]的人数为 5 人,设在这 25 名工人中任 意抽取 2 人,且恰有 1 人的日加工零件数落在区间(30,35]的事件为 A,则 .

(3)由(1)知,任取一人,日加工零件数落在区间(30,35]的概率为 , 设该厂任取 4 人,没有人日加工零件数落在区间(30,35]的事件为 B,恰有 1 人人日加工 零件数落在区间(30,35]的事件为 C, 则 , ,

故至多有 1 人的日加工零件数落在区间 (30, 35]的概率为 答:在该厂任取 4 人,至多有 1 人的日加工零件数落在区间(30,35]的概率为 点评: 本题考查了频率分布表的作法及古典概型的概率公式应用,属于基础题. 18. (14 分)如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,O 是 BC1 与 B1C 的交点. (1)求直线 AO 与直线 C1D1 所成角的余弦值; (2)求直线 AO 与平面 BCC1B1 所成角的正弦值; (2)求二面角 D﹣AC﹣B1 的正切值. .

考点: 用空间向量求平面间的夹角;异面直线及其所成的角;直线与平面所成的角. 专题: 空间角. 分析: (1) 设正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 2, 以 D 为原点, 建立空间直角坐标系, 利用向量法能求出直线 AO 与直线 C1D1 所成角的余弦值. (2)求出平面 BCC1B1 的法向量和 的正弦值. (3)求出平面 ACB1 的法向量和平面 ACD 的法向量,利用向量法能求出二面角 D﹣AC﹣ B1 的正切值. 解答: 解: (1)设正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 2, 以 D 为原点,建立空间直角坐标系, 则 A(2,0,0) ,O(1,2,1) , C1(0,2,2) ,D1(0,0,2) , =(﹣1,2,1) , |cos< >|=| =(0,﹣2,0) , |= . . (4 分) , =(﹣1,2,1) , ,利用向量法能求出直线 AO 与平面 BCC1B1 所成角

∴直线 AO 与直线 C1D1 所成角的余弦值为 (2)∵平面 BCC1B1 的法向量 设直线 AO 与平面 BCC1B1 所成角为 θ, sinθ=|cos< >|=| |= .

∴直线 AO 与平面 BCC1B1 所成角的正弦值

. (8 分)

(3)A(2,0,0) ,C(0,2,0) ,B1(2,2,2) , =(﹣2,2,0) , =(0,2,2) ,

设平面 ACB1 的法向量 =(x,y,z) , 则 ,

取 x=1,得 =(1,1,﹣1) ,

又平面 ACD 的法向量 =(0,0,1) , 设二面角 D﹣AC﹣B1 的平面角为 α,α 为钝角, ∴cosα=﹣|cos< >|=﹣| |=﹣ ,

∴tan , ∴二面角 D﹣AC﹣B1 的正切值为

. (14 分)

点评: 本题考查直线与直线所成角的余弦值的求法, 考查直线与平面所成角的正弦值的求 法,考查二面角的正切值的求法,解题时要注意向量法的合理运用. 19. (14 分)设各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn 满足 Sn ﹣(n +n﹣3)Sn 2 * ﹣3(n +n)=0,n∈N ① (1)求 a1 的值; (2)对①进行因式分解并求数列{an}的通项公式; (3)证明:对一切正整数 n,有 + +…+ < ②
2 2

考点: 数列与不等式的综合. 专题: 等差数列与等比数列;不等式的解法及应用. 分析: (1)直接在数列递推式中取 n=1 求得 a1 的值; (2)由数列递推式因式分解求得 Sn,然后由 an=Sn﹣Sn﹣1(n≥2)求数列{an}的通项公式; (3)把{an}的通项公式代入 ,整理后列项,利用裂项相消法求和后放缩证明

数列不等式. 2 2 2 解答: (1)解:在 Sn ﹣(n +n﹣3)Sn﹣3(n +n)=0 中, 取 n=1,得 ,

解得:a1=2 或 a1=﹣3. ∵数列{an}的各项均为正数, ∴a1=2;

(2)解:由 Sn ﹣(n +n﹣3)Sn﹣3(n +n)=0,得 , 即 .

2

2

2

当 n=1 时,a1=2. 当 n≥2 时, 验证 n=1 时上式成立, ∴an=2n; (3)证明:由于 .



+

+…+







+

+…+

< .

点评: 本题考查了数列递推式, 考查了由数列的和求数列的通项公式, 训练了裂项相消法 求数列的和,考查了放缩法证明数列不等式,是压轴题.

20. (14 分)已知椭圆

+

=1(a>b>0)的离心率为

,以该椭圆上的点和椭圆的左、

右焦点 F1、F2 为顶点的三角形的周长为 4( +1) .一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点, 设 P 为该双曲线上异于顶点的任一点. (1)求椭圆和双曲线的标准方程; (2)设直线 PF1、PF2 的斜率分别为 k1、k2,证明:k1?k2=1. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)由题意知,确定椭圆离心率,利用椭圆的定义得到又 2a+2c=4( +1) ,解 方程组即可求得椭圆的方程,等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点可求得该双曲线的方程; (2)设点 P(x0,y0) ,根据斜率公式求得 k1、k2,把点 P(x0,y0)在双曲线上,即可证 明结果. 解答: 解: (1)设椭圆的半焦距为 c,由题意知: = 所以 a=2 ,c=2, 2 2 2 又 a =b +c ,因此 b=2. ,2a+2c=4( +1) ,

故椭圆的标准方程为

. (4 分)

由题意设等轴双曲线的标准方程为

(m>0) ,

因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点,所以 m=2, 因此双曲线的标准方程为 (2)证明:P(x0,y0) , 则 k1= ,k2=
2

=1. (8 分)


2

因为点 P 在双曲线 x ﹣y =4 上,所以

=4.

因此 k1k2=

?

=1. ,即 k1k2=1. (14 分)

点评: 本题考查了椭圆的定义、离心率、椭圆与双曲线的标准方程、直线与圆锥曲线的位 置关系,是一道综合性的试题,考查了学生综合运用知识解决问题的能力. 21. (14 分)已知函数 f(x)=x﹣ +a(2﹣lnx) (a∈R) ,讨论函数 f(x)的单调性.

考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: 求出函数 f(x)的导函数,对 a 进行分类,讨论 f′(x)的正负性,从而得出函数 f(x)单调区间. 解答: 解:f(x)的定义域为(0,+∞) , ,

(1)当 a≤0 时,
2

,f(x)在区间(0,+∞)上是增函数;
2

(2)当 a>0 时,设 g(x)=x ﹣ax+2(x>0) ,则二次方程 g(x)=0 的判别式△ =a ﹣8 2 2 ①当△ =a ﹣8≤0,即 a∈[0,2 ]时,g(x)=x ﹣ax+2≥0,f(x)在区间(0,+∞)上是增 函数; 2 ②当△ =a ﹣8>0,即 a∈(2 ,+∞)时,二次方程 g(x)=0 有两个不相同的实数根,记 为 ,且 x2>x1>0

结合函数 g(x)的图象可知,f(x)在区间(0,x1)和(x2,+∞)上是增函数,在区间(x1, x2)上是减函数.

综上得:当 a∈(﹣∞,2 当 a∈(2

]时,f(x)在(0,+∞)上单调递增; )和( ,+∞)上单调递增,

,+∞)时,f(x)在(0,

在(



)上单调递减.

点评: 本题考查了分类讨论思想,二次方程根的问题,等价转化思想,属于基础题.


赞助商链接
相关文章:
广东省湛江市农垦实验中学2014-2015学年高二数学上学期...
(2)中 Tn 的最值. 广东省湛江市农垦实验中学 2014-2015高二上学期第一次月考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 ...
海南农垦中学07-08高一数学第一次月考数学试卷
07- 高一数学第一次月考数学试卷 海南农垦中学 07-08 高一数学第一次月考数学试卷(考试范围:必修 1 第一章 考试范围: 时间: 时间:120 分钟 命题人:吴春霞)...
更多相关标签: