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【原创】江苏省2014—2015学年高一数学必修四随堂练习及答案:15三角函数综合]


高一随堂练习:三角函数综合
1.已知弧长为 ? cm 的弧所对的圆心角为 2 . 设 函 数 y ? 2s i n2 (x-

? ,则这条弧所在的扇形面积为 4

cm 2 .

?
3

) 的 图 象 关 于 点 P ( x0 ,0) 成 中 心 对 称 , 若 x 0 ?

[ ?

?
2

,0 ] , 则

x0 =________.
3.将函数 y ? sin( x ? 再向左平移

?
3

), x ? ? 0, 2? ? 的图象上各点的纵坐标不变横坐标伸长到原来的 2 倍,
.

? 个单位,所得函数的单调递增区间为 6

4.已知函数 f ( x) ? sin ? x ( ? >0).在 ?0,5? ) 内有 7 个最值点,则 ? 的范围是______. 5.给出下列个命题: ①若函数 f ? x ? ? a sin ? 2 x ?

? ?

?

? ? ? ? ? ? x ? R ? 为偶函数,则 ? ? k? ? ? k ? Z ? ; 6 3 ?

1 5 ? ) 在 ( , ? ) 上单调递减,则 ? 的取值范围是 [ , ] ; 2 4 4 2 ? ③函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (其中 A ? 0,| ? |? )的图象如图所示,则 f ( x ) 的解析式为 2 ? f ( x) ? sin(2x ? ) ; 3
②已知 ? ? 0 ,函数 f ( x) ? sin(? x ?

?

y
π 7π 12

O
-1

3

x

④设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边为 a, b, c 若 (a ? b)c ? 2ab ,则 C ? ⑤设 ? ? 0 ,函数 y ? sin(? x ? 最小值是

?
2



?
3

) ? 2 的图象向右平移

4? 个单位后与原图象重合,则 ? 的 3

3 . 2

其中正确的命题为____________. 6.已知函数 f ( x) ? sin(2 x ?

?
4

) , 有如下四个命题:

①点 ( ? , 0) 是函数 f ( x ) 的一个中心对称点;

5 8

②若函数 f ( x ) 表示某简谐运动,则该简谐运动的初相为 ?

?
4



③若 x1 ? x2 ,且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?1 ,则 x1 ? x2 ? k? ( k ? Z 且k ? 0 ) ; ④若 f ( x ) 的图像向右平移 ? (? ? 0) 个单位后变为偶函数,则 ? 的最小值是 其中正确命题的序号是________ _______. 7. 如果 y=1–sin2x–mcosx 的最小值为–4,则 m 的值为 8.函数 y ? cos

? ; 8

.

x 的最小正周期 T ? 2

.

9.函数 y ? lg sin(cos x) 的定义域为______________________________。 10.给出下列命题:①存在实数 x ,使 sin x ? cos x ?

3 ; 2

②若 ? , ? 是第一象限角,且 ? ? ? ,则 cos ? ? cos ? ; ③函数 y ? sin( x ?

2 3

?
2

) 是偶函数;

④函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移

? ? 个单位,得到函数 y ? sin(2 x ? ) 的图象. 4 4

其中正确命题的序号是____________. (把正确命题的序号都填上) 11. (本小题满分 12 分) 如图,某地一天中 6 时至 14 时的温度变化曲线近

? ?? ? ? ? ? y ? A sin ? x ? ? ? b 似满足函数 (其中 2 ) ,
(1)求这一天 6 时至 14 时的最大温差; (2)求与图中曲线对应的函数解析式.
T /℃ 30 20 10 O 6 8 10 12 14 t/h

12.函数 f ( x) ? A sin(? x ? 的距离为

?
6

) ?1( A ? 0, ? ? 0) 的最大值为 3,其图像相邻两条对称轴之间

? . 2

(1)求函数 f(x)的解析式;

(2)设 ? ? (0,

?

), f ( ) ? 2 ,求 ? 的值. 2 2

?

13.已知

sin x ? cos x ? 3. sin x ? cos x

(1)求 tan x 的值; (2)若 x 是第三象限的角,化简三角式 14.已知函数 f ( x) ? sin( x ?

1 ? sinx 1 ? sinx ,并求值. ? 1 ? sin x 1 ? sin x

1 2

?
3

), x ? R 。

(1)求函数 f ( x ) 的单调递减区间; (2)求函数 f ( x ) 在区间 ? 0, ? ? 上的最大值及最小值; (3)将函数 y ? sin( x ?

1 2

?
3

) 的图象作怎样的变换可得到 y ? sin x 的图象?

15.已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ ),x∈R(其中 A>0,ω >0,0<φ <

? )的周期为π ,且 2

图象上一个最低点为 M ? (1)求 f(x)的解析式; (2)当 x∈ ? 0,

? 2? ? , ?2 ? . ? 3 ?

? ? ? 时,求 f(x)的最值. ? 12 ? ? ? ?

16.已知函数 f(x)=2sin ? 2 x ?

??

?. 4?

(1)求函数 y=f(x)的最小正周期及单调递增区间; (2)若 f ? x0 ?

? ?

??

6 ? =- 5 ,求 f(x0)的值. 8?

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参考答案 1. 2? 【解析】 试题分析:设扇形的弧长、半径、圆心角的弧度数、分别为 l , R, ? ,则 l ? ? , ? ?

?
4

,故

R?

l

?
?
3

?

1 1 ? ? 4 ,所以 S扇形 ? lR ? ? ? ? 4 ? 2? . ? 2 2

4
考点:扇形的面积公式. 2. ? .

【解析】

? (? k? 试 题 分 析 : 由 题 意 当 函 数 y ? 2 sin( 2 x - ) ? 0 时 , 2 x ? ? k 3 3
x= k? ? ? ? k ( ? ? Z ,当 ) k ? ?1 时, x0 ? ? . 2 6 3
? ? 3 ? ? 7? 23? ? , ? ,? , 6 ? ? 6 2 ? ? ? 2 ?

?

?

Z ) , 即

考点:正弦函数的性质. 3. ? ?

【解析】 试题分析:函数 y ? sin( x ? 倍,变为

?
3

), x ? ? 0, 2? ? 的图象上各点的纵坐标不变横坐标伸长到原来的 2

1 ? y ? sin( x ? ), x ? ? 0, 4? ? 2 3













? 6













?1 ? ?? ?? ?? ?1 y ? sin ? ? x ? ? ? ? ? sin ? x ? ? , 6 ? 3? 4? ?2 ?2 ?

? 1 ? ? ? 3? ? ? 23? ? .当 2k? ? ? x ? ? 2k? ? 时,解得 4k? ? ? x ? 4k? ? ,又因 x ? ?? , ? 2 2 4 2 2 2 ? 6 6 ?


? ? 23? ? ? ? 3 ? ? 7? 23? ? ,所以 x ? ? ? , ? ? 或 x ? ? ,所以所求函数的单调递增区间是 x ? ?? , , ? 6 ? ? 6 6 ? ? 6 2 ? ? 2 ? ? ? 3 ? ? 7? 23? ? . ? , ? ,? , ? 6 ? ? 6 2 ? ? ? 2 ?
考点:1.三角函数的图像与平移变换;2.三角函数的单调性 4. ?

? 13 3 ? , ? 10 2 ? ?

【解析】
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试题分析:∵函数 f ( x ) =sin ( ω x )在 ?0,5? ) 内有 7 个最值点,设其周期为 T ,则

1 3 13 2 ? 15 ? 2 13 3 3 T ? 5? ? 3 T , 即 ? ? 5? ? ? ?? ? ,∴ω 的取值范围是 ,解得 4 4 4 ? 4 ? 10 2

? 13 3 ? ? , ?. ? 10 2 ?
考点:三角函数的周期性及其求法. 5.①②③⑤. 【解析】 试题分析:对于命题①,由于正弦曲线的对称轴方程为 x ?

?
2

? k? ? k ? Z ? , 且 函 数

? ? ? f ? x ? ? a sin ? 2 x ? ? ? ? ? x ? R ? 为 偶 函 数 , 则 直 线 x ? 0 是 它 的 一 条 对 称 轴 , 则 3 ? ?
?
3 ?? ?

?
2

? k? ? k ? Z ? , 解得 ? ? ?

?
6

? k? ? k ? Z ? ; 对于命题②, 由于 ? ? 0 , 当

?
2

? x ??

时,

??
2

?
4

?? x ?

? ?? ? ? ? ? ? , 且 函 数 f ? x? 在 ? ,? ? 上 单 调 递 减 , 则 有 4 4 ?2 ?

?

? ?? ? ? ? ? ? k? ? 1 5 5 1 ? 2 4 2 ? k ? Z ? ,解得 2k ? ? ? ? ? k ? k ? Z ? ,则 ? k ? 2k ? ,所以 ? 2 4 4 2 ??? ? ? ? 3? ? k? ? ? 4 2
3 1 1 1 3 , 由于 ? ? 0 , 所以 2k ? ? 0 ? k ? ? , 所以 ? ? k ? , 因为 k ? Z , 所以 k ? 0 , 4 2 4 4 4 1 5 从而有 ? ? ? , 故命题②为真命题; 对于命题③, 由图象知,f ? x ?min ? ? A ? ?1 ? A ? 1 , 2 4 k? 1 2? 7? ? ? ? ? ? ? ,解得 ? ? 2 ,所以 f ? x ? ? sin ? 2x ? ? ? , 4 ? 12 3 4
在 x?

?? ? f ? ? ? 0 且函数 f ? x ? ?3?

?
3

附 近 单 调 递 减 , 则 有 2?

?
3

?? ?? k ?? ?k

? Z ? ,因为 ? ?

?
2

,所以

?
6

?

2? 7? 2? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ,解得 ? ? ,所以函数 f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? ,命题 ,则有 3 6 3 3 3? ?

③为真命题;对于命题④, 所 以

? a ? b?

? a ? b? c ? 2ab ?
2
c? a?b 2

2

, , 故

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? a?b? 2 a ?b ?? 2 2 ? 2 2 2 a ?b ?c 3a 2 ? 3b 2 ? 2ab ? a ? b ? ? 2 ? a ? b ? 2 ? ? cos C ? ? ? ? 2ab 2ab 8ab 2ab
2 2

2

? 0 ,故 C 为锐角,故命题④为假命题;对于命题⑤,由题意知,
?? ? 3k k ? N? ? , ? 2

4? 2k? ? ?k ? N ? ? , 3 ?

当 k ? 1 时, ? 取最小值

3 ,故命题⑤为真命题.故以上正确的命题是①②③⑤. 2

考点:1.三角函数的对称性;2.三角函数的单调性;3.三角函数的图象;4.余弦定理;5.三 角函数的周期性 6.①②③④ 【解析】 试题分析:根据题意,由于函数 f ( x) ? sin(2 x ?

?
4

) ,那么结合周期公式以及函数的对称性质

可知,①点 ( ? , 0) 是函数 f ( x ) 的一个中心对称点;成立。 ②若函数 f ( x ) 表示某简谐运动,则该简谐运动的初相为 ?

5 8

?
4

;成立。

③若 x1 ? x2 ,且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?1 ,则 x1 ? x2 ? k? ( k ? Z 且k ? 0 ) ;可知函数的最值之 间的相邻坐标间的距离为周期的整数倍,成立。 ④若 f ( x ) 的图像向右平移 ? (? ? 0) 个单位后变为偶函数,则 ? 的最小值是 因此答案为①②③④ 考点:三角函数的性质 点评:主要是考查了三角函数的性质的运用,属于基础题。 7.±5

? ,可知成立。 8

m 2 m2 【解析】 原式化为 y ? (cosx ? ) ? . 2 4


m <–1,ymin=1+m=–4 ? m=–5. 2

当–1≤ 当

? m2 m ≤1,ymin= =–4 ? m=±4 不符. 2 4

m >1,ymin=1–m=–4 ? m=5. 2 8. 4? 2? 【解析】最小正周期 T ? ? 4? 1 2

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9. (2k? ?

?
2

, 2 k? ?

?
2

), (k ? Z )

【解析】 sin(cos x) ? 0, 而 ?1 ? cos x ? 1,?0 ? cos x ? 1,

2 k? ?
10.③

?
2

? x ? 2 k? ?

?
2

,k ?Z 。

【解析】 对于①, sin x ? cos x ?

? 3 2 sin( x ? ) ? 2 ? ; 4 2

对于②,反例为 ? ? 300 , ? ? ?3300 ,虽然 ? ? ? ,但是 cos ? ? cos ? 对于③, y ? sin 2 x ? y ? sin 2( x ?

?

) ? sin(2 x ? ) 4 2

?

11.解:(1)这一天 6 时至 14 时的最大温差是 20 度;

1 2? ? 3? ? ? 14 ? 6 ? ? ?? 8 ,点(6,10)代入得 4 , (2) 由图知 A ? 10, b ? 20, 又由 2 ? 得 ? 3? y ? 10sin( x ? ) ? 20 8 4 所以函数解析式为: , x ?[6,14] .
【解析】略 12.(1) y=2sin ? 2 x ? 【解析】 试题分析:(1)确定正弦型函数的解析式,关键在于确定 A, ? , ? .一般的。通过观察可得 A, ? , 通过代入点的坐标求 ? . (2)根据(1)所得解析式,得到 sin ? ? ? 角α =

? ?

??

? +1;(2) α = 3 . 6?

?

? ?

??

1 ? ? ? ? ? = 2 .结合 0<α < 2 ,及- 6 <α - 6 < 3 ,求 6?

? . 3

本题易错点在于忽视角的范围. 试题解析: (1)∵函数 f(x)的最大值为 3, ∴A+1=3,即 A=2. ∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为 ∴最小正周期 T=π ,∴ω =2,

? , 2

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∴函数 f(x)的解析式为 y=2sin ? 2 x ?

? ?

??

? +1 . 6?

5分

(2)∵ f ?

?? ?? ? ? ? =2sin ? ? ? ? +1=2, 6? ?2? ? ??
1 ?=2 . 6?

∴sin ? ? ? ∵0<α <

? ?

? ? ? ? ,∴- <α - < , 2 6 6 3 ? ? ? ∴α - = ,∴α = . 6 6 3
考点:正弦型函数的图象和性质,已知三角函数值求角. 13. (1) tan x ? 2 ; (2) ?4 . 【解析】 试题分析: (1)利用商数关系 tan x ?

10 分

sin x 及题设变形整理即得 tan x 的值; cos x

(2) 注意

1 ? sinx 1 ? sinx 既是一个无理式, 又是一个分式, 那么化简时既要考虑通分, ? 1 ? sin x 1 ? sin x

又要考虑化为有理式.考虑通分,显然将两个式子的分母的积作为公分母,这样一来,被开方 式又是完全平方式,即可以开方去掉根号,从将该三角式化简. 试题解析: (1)∵

sin x ? cos x ?3 sin x ? cos x
2分 4分



tan x ? 1 ?3 tan x ? 1

解之得 tan x ? 2 (2)∵ x 是第三象限的角 ∴

1 ? sinx 1 ? sinx (1 ? sinx)2 (1 ? sinx)2 ? = ? 1 ? sin x 1 ? sin x (1 ? sin x) ? (1 ? sinx) (1 ? sin x) ? (1 ? sinx)

6分

=

1 ? sinx 1 ? sinx ? | cos x | | cos x |
1 ? sinx 1 ? sinx ? = ?2 tan x ? cos x ? cos x
10 分 12 分

=

由第(1)问可知:原式= ?2 tan x = ?4 考点:三角函数同角关系式.

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14. (1)调递减区间为: [4k? ? (2)当 z ?

?

?
2

3 5? 1 当z ? ,即 x ? ? 时, f ( x ) 有最小值 f (? ) ? ; 6 2 1 ? 1 ? (3)法一:将 y ? sin( x ? ) 的图象的横坐标变为原来的 ,再向右平移 个单位. 2 3 2 3 1 ? 2? 1 法二:将 y ? sin( x ? ) 的图象向右平移 个单位,再将横坐标变为原来的 . 2 3 3 2
【解析】 试题分析: ( 1 )将

,即 x ?

?
3

7 , 4k? ? ? ]( k ? Z ) 3 3

时, f ( x ) 有最大值 f ( ) ? 1 ,

?

1 ? ? 5? x ? ? [ , ] ,再借助正弦曲线即可求解; (3)法一、先平移后放缩;法二、先放缩后 2 3 3 6
平移 试题解析: (1)令 z ?

1 ? x ? 看作一个整体,利用正弦函数的单调性即可求解; ( 2 )先求出 2 3

1 ? x ? ,则 y ? sin z 2 3

y ? sin z 的单调递减区间为 [2k? ?
由 2 k? ?

?

?

2 1 ? 又 z ? x ? 在 (??, ? ?) 上为增函数,故原函数的单调递减区间为: 2 3 ? 7 [4k? ? , 4k? ? ? ]( k ? Z ) (4 分) 3 3
(2)令 z ? 当z ?

?

1 ? 3? x ? ? 2 k? ? , (k ? Z ) 得: 2 3 2

3 , 2k? ? ? ]( k ? Z ) 2 2 4k? ?

?

7 ? x ? 4k? ? ? , k ? Z 3 3

1 ? ? ? 5? ? x ? ,则 y ? sin z , z ? ? , ? 2 3 ?3 6 ?

?

2 3 3 5? 1 当z ? ,即 x ? ? 时, f ( x ) 有最小值 f (? ) ? ; (8 分) 6 2 1 ? 1 ? (3)法一:将 y ? sin( x ? ) 的图象的横坐标变为原来的 ,再向右平移 个单位。 (12 2 3 2 3
分) 法二:将 y ? sin( x ?

,即 x ?

?

时, f ( x ) 有最大值 f ( ) ? 1 ,

?

1 2

?
3

) 的图象向右平移

2? 1 个单位,再将横坐标变为原来的 。 (12 分) 3 2

考点:三角函数的图像和性质 15. (1)f(x)=2sin ? 2 x ?

? ?

??

? (2)最小值 1,最大值 3 . 6?

【解析】(1)由最低点为 M ?
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2? 2? ? 2? ? = =2. , ?2 ? ,得 A=2.由 T=π ,得 ω = T ? ? 3 ?
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由点 M ?

? 2? ? ? 4? ? , ?2 ? 在图象上得 2sin ? ? ? ? =-2, ? 3 ? ? 3 ?
4? ? ? 4? ? +φ =2kπ - (k∈Z), ? ? ? =-1,∴ 3 2 ? 3 ? 11? ? ?? ? ?? ? ,k∈Z.又 φ ∈ ? 0, ? ,∴φ = ,∴f(x)=2sin ? 2 x ? ? . 6 6 6? ? 2? ?

即 sin ?

即 φ =2kπ -

(2)∵x∈ ? 0, ∴当 2x+

? ?? ? ? ? ? ? ,∴2x+ ∈ ? , ? . ? 6 ?6 3? ? 12 ?

? ? = ,即 x=0 时,f(x)取得最小值 1; 6 6 ? ? ? 当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)取得最大值 3 12 6 3
16. (1) ?- ?+k?, ?+k? ? ,k∈Z(2)

? ?

3 8

1 8

? ?

2 7 2 或- 5 5

【解析】(1)T=

2? 1 ? 3 ? =π ,增区间为 ?- ?+k?, ?+k? ? ,k∈Z. 2 8 ? 8 ?

(2)f ? x0 ?

? ?

??

6 3 4 ?? ? ? =- 5 ,即 sin(2x0)=- 5 ,所以 cos(2x0)=± 5 ,f(x0)=2sin ? 2 x0 ? ? = 8? 4? ?

2 (sin2x0+cos2x0)=

2 7 2 或- . 5 5

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