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第五节 简单的三角恒等变换


第五节 简单的三角恒等变换

α α α (1)用 cosα 表示 sin2 ,cos2 ,tan2 . 2 2 2 α sin2 = 2 α α α (2)用 cosα 表示 sin ,cos ,tan . 2 2 2 α sin =± 2 α cos =± 2 α tan =± 2 1-cosα ; 2 1+cosα ; 2 1-cosα . 1+cosα α ;cos2 = 2 α ;tan2 = 2 .

α (3)用 sinα,cosα 表示 tan . 2 1-cosα α sinα tan = = . 2 1+cosα sinα 2.形如 asinx+bcosx 的化简 asinx+bcosx= a2+b2sin(x+φ),其中 tanφ= . 3.“1”的妙用 π π sin2α+cos2α=1,cos2α+2sin2α=1,1=2cos2α-cos2α,sin =cos0=tan =1. 2 4 α 1.已知 π<α<2π,则 cos 等于( 2 A.- C.- 1-cosα 2 1+cosα 2 B. 1-cosα 2 D. 1+cosα 2 )

π α α 解析:∵π<α<2π,∴ < <π,∴cos <0, 2 2 2 α ∴cos =- 2 1+cosα .答案:C 2 ) B.2cos1 D.-2sin1

2.化简 2+2cos2的结果是( A.-2cos1 C.2sin1

解析: 2+2cos2= 2?1+cos2?= 4cos21=2cos1. 答案:B 24 α 3.已知 sinα=- ,则 tan 等于( 25 2

)
1

3 A.- 4 3 4 C.- 或- 4 3 α 3 4 解析:由 sinα= 得 tan =- 或- . α 2 4 3 1+tan2 2 4. sin?180° +2α? cos2α · 等于( 1+cos2α cos?90° +α? ) α 2tan 2

4 B.- 3 3 4 D. 或 4 3

A.-sinα C.sinα ?-sin2α?· cos α 2sinα· cosα· cos2α 解析:原式= = =cosα. 2 2cos α· sinα ?1+cos2α?· ?-sinα? 5. 1 3 - 的值为( sin10° sin80° )
2

B.-cosα D.cosα

A.1 C .4

B.2 1 D. 4

cos10° - 3sin10° 2cos70° 1 3 解析:原式= - = = =4,故选 C. sin10° cos10° sin10° cos10° 1 sin20° 2 题型一 三角函数式的化简

θ θ ?1+sinθ+cosθ??sin -cos ? 2 2 【例 1】 化简: (0<θ<π). 2+2cosθ [解] 原式 θ θ θ θ θ ?2sin cos +2cos2 ??sin -cos ? 2 2 2 2 2 = θ 4cos2 2 θ θ θ cos ?sin2 -cos2 ? 2 2 2 = θ |cos | 2 θ -cos · cosθ 2 = . θ |cos | 2 θ π 因为 0<θ<π,所以 0< < , 2 2 θ 所以 cos >0,所以原式=-cosθ. 2 [方法· 规律] 进行三角化简的几种解题思路: (1)角的变换:观察各角之间的和、差、倍、半关系,减少角的种类,化异角为同角. (2)函数名称的变换:观察、比较题设与结论之间在等号左右两边的函数名称的差异,化异名为同名.
2

(3)常数的变换常用方式有: π 3 π 1=sin2α+cos2α=tan , =sin 等. 4 2 3 (4)次数的变化:常用方式是升次或降次;主要公式是二倍角的余弦公式及其逆向使用. (5)结构变化:对条件、结论的结构进行调整,或重新分组,或移项,或变除为乘,或求差等. 1 α 1-cos2α [变式 1] 化简:( -tan )· . α 2 sin2α tan 2 α α cos sin 2 2 2sin2α 解:原式=( - )· α α 2sinαcosα sin cos 2 2 α α cos2 -sin2 2 2 sinα = · α α cosα sin · cos 2 2 = 2cosα sinα · =2. sinα cosα 三角函数式的求值 sin47° -sin17° cos30° (1)(2014· 昆明调研) =( cos17° ) 1 B.- 2 D. 3 2

题型二 【例 2】 A.- 1 C. 2 3 2

π 12 π cos2α (2)(2014· 合肥模拟)已知 cos( -α)= ,α∈(0, ),则 =________. 4 13 4 π sin? +α? 4 sin47° -sin17° cos30° [解析] (1) cos17° = = = sin?17° +30° ?-sin17° cos30° cos17° sin17° cos30° +cos17° sin30° -sin17° cos30° cos17° cos17° sin30° 1 =sin30° = . cos17° 2

π sin? +2α? 2 cos2α π (2) = =2cos( +α) π π 4 sin? +α? sin? +α? 4 4 π π π =2cos[ -( -α)]=2sin( -α), 2 4 4 π π π ∵0<α< ,∴0< -α< , 4 4 4 π 12 又 cos( -α)= , 4 13
3

π ∴sin( -α)= 4

π 1-cos2? -α?= 4

12 5 1-? ?2= , 13 13

5 10 ∴原式=2× = . 13 13 π π [方法· 规律] 1.本题(2)求解时,也可将 cos( -α),sin( +α)展开化简最终转化为求 cosα-sinα 的值. 4 4 2.三角函数的“给式(值)求值”的关键是找出已知式与未知式的关系,将所给一个或几个三角函数式经过变形,转 化成所求函数式能使用的形式,或者将所求函数式经过变形后再用条件达到求值的目的. x x [变式 2] 已知 sin -2cos =0. 2 2 (1)求 tanx 的值; (2)求 cos2x 的值. π 2cos? +x?· sinx 4

x x x 解:(1)由 sin -2cos =0,得 tan =2, 2 2 2 2×2 4 ∴tanx= = 2=- . x 3 1 - 2 1-tan2 2 π π π (2)∵cos2x=sin(2x+ )=2sin(x+ )cos(x+ ), 2 4 4 π π 2sin?x+ ?cos?x+ ? 4 4 sinx+cosx ∴原式= = π sinx 2cos? +x?· sinx 4 1 3 1 =1+ =1+(- )= . tanx 4 4 题型三 【例 3】 三角变换的简单应用 (2014· 安徽合肥一模)设函数 f(x)= 2 π cos(2x+ )+sin2x. 2 4 x 2tan 2

(1)求 f(x)的最小正周期; π π 1 (2)设函数 g(x)对任意 x∈R,有 g(x+ )=g(x),且当 x∈[0, ]时,g(x)= -f(x),求 g(x)在区间[-π,0]上的解析式. 2 2 2 [解] (1)f(x)= = 2 π cos(2x+ )+sin2x 2 4

2 π π 1-cos 2x (cos 2xcos -sin 2xsin )+ 2 4 4 2

1 1 = - sin 2x. 2 2 故 f(x)的最小正周期为 π. π 1 1 π π π (2)当 x∈[0, ]时,g(x)= -f(x)= sin 2x,故①当 x∈[- ,0]时,x+ ∈[0, ]. 2 2 2 2 2 2 π 由于对任意 x∈R,g(x+ )=g(x),从而 2
4

π 1 π g(x)=g(x+ )= sin[2(x+ )] 2 2 2 1 1 = sin(π+2x)=- sin 2x. 2 2 π π ②当 x∈[-π,- )时,x+π∈[0, ),从而 2 2 1 1 g(x)=g(x+π)= sin[2(x+π)]= sin 2x. 2 2 综合①②得 g(x)在[-π,0]上的解析式为

?2sin 2x,x∈[-π,-2?, g(x)=? 1 π ?-2sin 2x,x∈[-2,0].
[方法· 规律] 1.利用 asinx+bcosx= a2+b2sin(x+φ)把形如 y=asinx+bcosx+k 的函数化为一个角的某种函数的一次 式,可以求三角函数的周期、单调区间、值域和最值、对称轴等. 2.(1)三角恒等变换要坚持结构同化原则,即尽可能地化为同角函数、同名函数、同次函数等,其中切化弦也是同化 思想的体现;(2)降次是一种三角变换的常用技巧,要灵活运用降次公式. x x x 1 [变式 3] (2014· 四川锦阳检测)已知函数 f(x)=cos2 -sin cos - . 2 2 2 2 (1)求函数 f(x)的最小正周期和值域; 3 2 (2)若 f(α)= ,求 sin2α 的值. 10 x x x 1 1 1 1 解:(1)由已知,f(x)=cos2 -sin cos - = (1+cosx)- sinx- 2 2 2 2 2 2 2 = 2 π 2 2 cos(x+ ),所以 f(x)的最小正周期为 2π,值域为[- , ]. 2 4 2 2 2 π 3 2 π 3 cos(α+ )= ,所以 cos(α+ )= . 2 4 10 4 5

1

π

(2)由(1)知,f(α)=

π π π 8 7 所以 sin2α=-cos( +2α)=-cos2(α+ )=1-2cos2(α+ )=1- = . 2 4 4 25 25

使用公式时不注意使用条件 【例 1】 若 sinα=m,α 为第二象限角,则 tan2α 的值为( 2m 1-m2 A.- 1-2m2 2m 1-m2 B. 1-2m2 ) D.以上全不对

2m 1-m2 C.± 1-2m2

[错解] 由 sinα=m,α 为第二象限角,得: cosα=- 1-sin2α=- 1-m2,tanα=- 2m 1-m2 2tanα tan2α= ,故选 A. 2 =- 1-tan α 1-2m2 3π [剖析] 这是一道热点测试题, 上述解法执行了“标准”答案选 A.题设条件中的 m∈(0,1), 事实上, 如当 α=2kπ+ 4
5

m , 1-m2

(k∈Z)时,1-2m2=0,tan2α 失掉意义,若题设条件中限制 m≠

2 ,则应当选 A. 2

忽视角的范围 1 1 【例 2】 若 α,β 是锐角,且 sinα-sinβ=- ,cosα-cosβ= ,求 tan(α-β). 2 2 1 1 1 1 [错解] ∵sinα-sinβ=- ,cosα-cosβ= ,两边平方相加,得 2-2cosαcosβ-2sinαsinβ= ,即 2-2cos(α-β)= , 2 2 2 2 sin?α-β? 3 π π 7 7 ∴cos(α-β)= ,∵α,β 是锐角,∴- <α-β< ,∴sin(α-β)=± ,故 tan(α-β)= =± . 4 2 2 4 3 cos?α-β? π π 1 [剖析] 本题错误在于 α-β 的范围分析得不对,由于 α,β 是锐角,所以- <α-β< ,但还应注意 sinα-sinβ=- 2 2 2 <0, ∴sinα<sinβ,α<β. π 从而- <α-β<0,故由 cos(α-β)的值只能得到 sin(α-β)<0 的值. 2 1 1 1 [正解] ∵sinα-sinβ=- ,cosα-cosβ= ,两式平方相加,得 2-2cosαcosβ-2sinαsinβ= , 2 2 2 1 3 即 2-2cos(α-β)= ,∴cos(α-β)= . 2 4 1 π π ∵α,β 是锐角,且 sinα-sinβ=- <0,∴0<α<β< ,∴- <α-β<0. 2 2 2 ∴sin(α-β)=- 1-cos2?α-β?=- sin?α-β? 7 7 ,∴tan(α-β)= =- . 4 3 cos?α-β?

6


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