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二元一次不等式表示平面区域(2)


第十五教时

二元一次不等式表示平面区域(2)

教材:7.4 简单的线性规划 目的:1、了解二元一次不等式表示平面区域; 2、能画出二元一次不等式(组)所表示的平面区域。 过程: 一、复习提问 1、二元一次不等式 Ax
? By ? C ? 0

在平面直角坐标系中表示什么图形?

2、怎

样画二元一次不等式(组)所表示的平面区域?应注意哪些事项? 3、熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵。 二、新课 例 1、画出下列不等式表示的区域 (1)
( x ? y )( x ? y ? 1 ) ? 0

;(2)

3x ? 4 y ? 1 ? 5

;(3)

x ? y ? 2x
? 3x ? 4 y ? 1 ? 5

分析: (1)转化为等价的不等式组; (2)去绝对值符号, 等价转化为 ? 5 或者域点到直线的距离公式相联系,变形为
3 x ? 4 y ? 1 ? 0 的距离小于



3x ? 4 y ? 1 3
2

?1

,表示点 ( x , y ) 到直线 , x 得
? 0

? 4

2

1; (3)注意到不等式的传递性, x 由

? 2x

, 又用 ?

y

代 y ,不等式仍成立,区域关于 x 轴对称。 解:(1) ?
?x ? y ? 0 ?x ? y ? 0 ? 0 ? x ? y ? 1或? ?x ? y ? 1 ? 0 ?x ? y ? 1

矛盾无解,故点 ( x , y ) 在一带形区域内

(含边界) 。 (2)由 3 x ?
4 y ? 1 ? 5 ,即 ? 5 ? 3 x ? 4 y ? 1 ? 5

,得不等式组 ?

?3 x ? 4 y ? 6 ? 0 ?3 x ? 4 y ? 4 ? 0

,点 ( x , y ) 在

一带形区域内(不含边界) 。 (3) 由 x 当y
? 0

? 2x

,得 x

? 0

;当 y

? 0

时,有 ?

?x ? y ? 0 ?2 x ? y ? 0

点 ( x , y ) 在一条形区域内(边界);

,由对称性得出。

指出:把非规范形式等价转化为规范不等式组形式便于求解



?2 x ? y ? 3 ? 0 ? 2、利用区域求不等式组 ? 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 ? 3 x ? 5 y ? 15 ? 0 ?

的整数解

分析:不等式组的实数解集为三条直线
l 3 : 3 x ? 5 y ? 15 ? 0 l2 ? l3 ? C

l1 : 2 x ? y ? 3 ? 0

, l2

: 2x ? 3y ? 6 ? 0

, ,

所围成的三角形区域内部(不含边界)。设 l 1

? l2 ? A

, l1

? l3 ? B

,求得区域内点横坐标范围,取出 x 的所有整数值,再代回原不等式组转化

为 y 的一元不等式组得出相应的 y 的整数值。 解: l 1 设
: 2x ? y ? 3 ? 0 l ,2 : 2x ? 3y ? 6 ? 0
l ,3 : 3 x ? 5 y ? 15 ? 0

l ,1

? l2 ? A

l ,1

? l3 ? B


)

l2 ? l3 ? C

,∴ A (

15 8

,

3 4

)

, B ( 0 , ? 3 ) ,C (

75 19

,?

12 19

) 。于是看出区域内点的横坐标在 ( 0 ,

75 19

内,取 x =1,2,3,当 x =1

? ? y ? ?1 ? 4 ? 时,代入原不等式组有 ? y ? 3 ? 12 ? ?y ? ? 5 ?

??

12 5

? y ? ? 1 ,得 y



-2,∴区域内有整点(1,-2)。同理可求得另外三个整点(2,0),(2,-1),(3,-1)。 指出:求不等式的整数解即求区域内的整点是教学中的难点,它为线性规划中求最优 整数解作铺垫。常有两种处理方法,一种是通过打出网络求整点;另一种是本题解答 中所采用的,先确定区域内点的横坐标的范围,确定 x 的所有整数值,再代回原不等 式组,得出 y 的一元一次不等式组,再确定 y 的所有整数值,即先固定 x ,再用 x 制约
y



例 3 、 设 P ( x , y ) ,其中 x , y ?
x ? y ? n( x, y ? N )

N

,求满足 x

? y ? 4

的点 P 的个数。一般地,满足

点 P 的个数又应为多少?

?x ? 0 ? 分析: 题意即指求不等式组 ? y ? 0 ?x ? y ? 4 ?
0 ? y ? 4

的整数解。 先固定 x 的取值, 作以下分类:x

? 0,

取y

? 0 ,1, 2 , 3 , 4

, 共有 5 个整数解, 5 个整点; 即 x ,y
? 0

0 ? 1, ? y ? 3

, y 取

? 0 ,1, 2 , 3 ,

共有 4 个整点,?,x 一般地,共有 N

? 4

,有一个整点,故共有 5+4+3+2+1=15(个)整点。
( n ? 1 )( n ? 2 ) 2

? ( n ? 1) ? n ? ( n ? 1) ? ? ? 2 ? 1 ?

(个)整点。

例 4、某同学拿 50 元钱买纪念邮票,票面 8 角的每套 5 张,票面 2 元的每套 4 张,如 果每套至少买两套,问共有几种买法? 设票面 8 角的买 x 套, 票面 2 元的买
? x ? 2, x ? N ? 根据题意得不等式组 ? y ? 2 , y ? N y 套, ? 0 . 8 ? 5 x ? 2 ? 4 y ? 50 ?

?

? x ? 2, x ? N ? ? y ? 2, y ? N ? 4 x ? 8 y ? 50 ?

?

? x ? 2, x ? N ? ? y ? 2, y ? N ? 2 x ? 4 y ? 25 ?

,当

y ? 2

时代入

2x ? 4 y ? 25

,得

2 x ? 17

,取

2 ? x ? 8 ,即 x ?
2 ? x ? 4

2,3,4,5,6,7,8 共 7 种;当 y
? 5

? 3

时,

2 ? x ? 6

,有 5 种;当 y

? 4

时,

,有 3 种;当 y

时, x

? 2

,有 1 种,故共有 7+5+3+1=16(种)不同的买

法。 三、练习 画出下列不等式表示的平面区域 1.y 6.
? x ?1;
x ? 2y ?1 ?

2.x
5

? y

; 3.x

? y

; (2 x 4. .

? y ? 3 )( x ? y ) ? 0

; 5.y ( 2 x

? y ? 3) ? 0



; 7. y

? x ? 2y

图1

图2

图3

图4 三、小结:

图5

图6

图7

四、作业: 补充:画出下列不等式表示的平面区域 1. xy
? 0

2. ( x

? 1 )( y ? 1 ) ? 0

3. x ( y

? x) ? 0


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