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二元一次不等式(组)与平面区域改版


课题: §3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域 第 1 课时 鄂旗中学数学组张飞 授课类型:新授课 【教学目标】 1.知识与技能:了解二元一次不等式的几何意义,会用二元一次不等式组表示平面区域; 2.过程与方法:经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程,提高数学建模的能力; 3.情态与价值:通过本节课的学习,体会数学来源与生活,提高数学学习兴趣。 【教学重点】 用二元一

次不等式(组)表示平面区域; 【教学难点】 【教学过程】

1.课题导入
1.从实际问题中抽象出二元一次不等式(组)的数学模型 课本 “银行信贷资金分配问题” 教师引导学生思考、探究,让学生经历建立线性规划模型的过程。 在获得探究体验的基础上,通过交流形成共识:

2.讲授新课
1.建立二元一次不等式模型 把实际问题

转化 ????? ? 数学问题:

设用于企业贷款的资金为 x 元,用于个人贷款的资金为 y 元。 (把文字语言

转化 ????? ? 符号语言)
(1)

(资金总数为 25 000 000 元) ? x ? y ? 25000000

( 预 计 企 业 贷 款 创 收 12% , 个 人 贷 款 创 收 10% , 共 创 收 30 000 元 以 上 )

?% ) y ?(12%)x+(10
(2)

30 012 0x 0 ? 10 y ? 3000000 即

(用于企业和个人贷款的资金数额都不能是负值) ? x ? 0, y ? 0 将(1) (2) (3)合在一起,得到分配资金应满足的条件:

(3)

? x ? y ? 25000000 ? ?12 x ? 10 y ? 3000000 ? x ? 0, y ? 0 ?
2.二元一次不等式和二元一次不等式组的定义 (1)二元一次不等式:含有两个未知数,并且未知数的最高次数是 1 的不等式叫做二元一 次不等式。 (2)二元一次不等式组:有几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组。 (3)二元一次不等式(组)的解集:满足二元一次不等式(组)的 x 和 y 的取值构成有序 实数对(x,y) ,所有这样的有序实数对(x,y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解 集。

1

(4)二元一次不等式(组)的解集与平面直角坐标系内的点之间的关系: 二元一次不等式(组)的解集是有序实数对,而点的坐标也是有序实数对,因此,有序 实数对就可以看成是平面内点的坐标,进而,二元一次不等式(组)的解集就可以看成是 直角坐标系内的点构成的集合。 3.探究二元一次不等式(组)的解集表示的图形 (1)回忆、思考 回忆:初中一元一次不等式(组)的解集所表示的图形——数轴上的区间 思考:在直角坐标系内,二元一次不等式(组)的解集表示什么图形? (2)探究 从特殊到一般: 先研究具体的二元一次不等式 x-y<6 的解集所表示的图形。 如图:在平面直角坐标系内,x-y=6 表示一条直线。平面内所有的点被直线分成三类: 第一类:在直线 x-y=6 上的点; 第二类:在直线 x-y=6 左上方的区域内的点; 第三类:在直线 x-y=6 右下方的区域内的点。 设点是直线 x-y=6 上的点,选取点,使它的坐标满足不等式 x-y<6,请同学们完成课本 第 93 页的表格, 横坐标 x 点 P 的纵坐标 y1 点 A 的纵坐标 y2 并思考: 当点 A 与点 P 有相同的横坐标时,它们的纵坐标有什么关系? 根据此说说, 直线 x-y=6 左上方的坐标与不等式 x-y<6 有什么关系? 直线 x-y=6 右下方点的坐标呢? 学生思考、讨论、交流,达成共识: 在平面直角坐标系中,以二元一次不等式 x-y<6 的解为坐标的点都在直线 x-y=6 的左上方;反过来,直线 x-y=6 左上方的点的坐标都满足不等式 x-y<6。 因此,在平面直角坐标系中,不等式 x-y<6 表示直线 x-y=6 左上方的平面区域;如图。 类似的:二元一次不等式 x-y>6 表示直线 x-y=6 右下方的区域;如图。 直线叫做这两个区域的边界 由特殊例子推广到一般情况: (3)结论: 二元一次不等式 Ax+By+C>0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax+By+C=0 某一侧所有点组 成的平面区域.(虚线表示区域不包括边界直线) 4.二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 由于对在直线 Ax+By+C=0 同一侧的所有点( x, y ),把它的坐标( x, y )代入 Ax+By+C, 所得到实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一特殊点( x0,y0),从 Ax0+By0+C 的正负即可判断 Ax+By+C>0 表示直线哪一侧的平面区域.(特殊地,当 C≠0 时,常把原点 作为此特殊点)
【应用举例】

-3

-2

-1

0

1

2

3

例 1 画出不等式 x ? 4 y ? 4 表示的平面区域。

2

解:先画直线 x ? 4 y ? 4 (画成虚线). 取原点(0,0) ,代入 x +4y-4,∵0+4×0-4=-4<0, ∴原点在 x ? 4 y ? 4 表示的平面区域内,不等式 x ? 4 y ? 4 表示的区域如图: 归纳: 画二元一次不等式表示的平面区域常采用 “直线定界, 特殊点定域” 的方法。特殊地, 当 C ? 0 时,常把原点作为此特殊点。 变式 1、画出不等式 4 x ? 3 y ? 12 所表示的平面区域。 变式 2、画出不等式 x ? 1 所表示的平面区域。

例 2 用平面区域表示.不等式组 ?

? y ? ?3x ? 12 的解集。 ?x ? 2 y

分析: 不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集, 因而是各个不 等式所表示的平面区域的公共部分。 解 : 不 等 式 y ? ?3x ? 12表 示 直线 y ? ?3x ? 12 右 下 方 的 区 域, x ? 2 y 表 示 直 线

x ? 2 y 右上方的区域,取两区域重叠的部分,如图的阴影部分就表示原不等式组的解集。
归纳: 不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集, 因而是各个不等式 所表示的平面区域的公共部分。

? 0 表示的平面区域。 变式 1、画出不等式 ( x ? 2 y ? 1)(x ? y ? 4)
变式 2、由直线 x ? y ? 2 ? 0 , x ? 2 y ? 1 ? 0 和 2 x ? y ? 1 ? 0 围成的三角形区域(包括边 界)用不等式可表示为 。

3.随堂练习
1、课本练习 1、2、3

4.课时小结
1.二元一次不等式表示的平面区域. 2.二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法. 3.二元一次不等式组表示的平面区域.

3


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