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2015高考数学新课标Ⅱ卷(理科)


2015 高考数学新课标Ⅱ卷(理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 (1) 已知集合 A={-2,-1,0,2} ,B={x|(X-1) (x+2)<0},则 A∩B= (A) {--1,0} 【答案】A 【解析】由已知得 B ? x ?2 ? x ? 1 ,故 A (2)若 a 为实数且(2+ai) (a-2i)=-4i,则 a= (A)-1 【答案】B (B)0 (C)1 (D)2 (B) {0,1} (C) {-1,0,1} (D) {,0,,1,2}

?

?

B ? ??1,0? ,故选 A

[

(3)根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫排放量(单位:万吨)柱形图。以下

结论不正确的是

(A) 逐年比较,2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 (B) 2007 年我国治理二氧化硫排放显现 (C) 2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 (D) 2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 【答案】D 【解析】由柱形图得,从 2006 年以来,我国二氧化硫排放量呈下降趋势,故年排放量与年 份负相关. (4)等比数列{an}满足 a1=3,a1+ a3+ a5=21,则 a3+ a5+ a7 =

(A)21 【答案】B

(B)42

(C)63

(D)84

(5)设函数{an}=,则(-2)+= (A)3 【答案】C 【 解 析 】 由 已 知 得 f (? 2 )? 1 又 log ? l 2o g ? 4,3 2 , 1所以 2 1? (B)6 (C)9 (D)12

f (log2 12) ? 2log2 12?1 ? 2log2 6 ? 6 ,故
f (?2) ? f (log2 12) ? 9 .
(6)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部分体积与 剩余部分体积的与剩余部分体积的比值为 (A) 【答案】D 【解析】 由三视图得, 在正方体 ABCD ? A 截去四面体 A ? A1B1D1 , 如图所示, , 1B 1C1D 1 中,

1 8

(B)

1 7

(C)

1 6

(D)

1 5

1 1 3 1 3 1 5 ? a ? a ,故剩余几何体体积为 a 3 ? a 3 ? a 3 , 3 2 6 6 6 1 所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为 . 5
设正方体棱长为 a ,则 VA? A1B1D1 ?

D1

C1

A1 D

B1 C

A

B

(7)过三点 A(1,3) ,B(4,2) ,C(1,7)的圆交于 y 轴于 M、N 两点,则 MN = (A)2 6 【答案】C (B)8 (C)4 6 (D)10

(8)右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执 行该程序框图,若输入 a,b 分别为 14,18,则输出的 a=

A.0
[来源:Z.xx.k.Com]

B.2

C.4

D.14

【答案】B 【解析】程序在执行过程中, a , b 的值依次为 a ? 14 , b ? 18 ; b ? 4 ; a ? 10 ; a ? 6 ; a ? 2 ; b ? 2 ,此时 a ? b ? 2 程序结束,输出 a 的值为 2,故选 B. (9)已知 A,B 是球 O 的球面上两点,∠AOB=90,C 为该球面上的动点,若三棱锥 O-ABC 体积 的最大值为 36,则球 O 的表面积为 A.36π B.64π C.144π D.256π 【答案】C 【解析】如图所示,当点 C 位于垂直于面 AOB 的直径端点时,三棱锥 O ? ABC 的体积最 大,设球 O 的半径为 R ,此时 VO ? ABC ? VC ? AOB ? 球 O 的表面积为

1 1 2 1 ? R ? R ? R 3 ? 36 ,故 R ? 6 ,则 3 2 6

S ? 4? R 2 ? 144? ,故选 C.

C

O A B

10.如图,长方形 ABCD 的边 AB=2,BC=1,O 是 AB 的中点,点 P 沿着边 BC,CD 与 DA 运动, ∠BOP=x。将动点 P 到 AB 两点距离之和表示为 x 的函数 f(x) ,则 f(x)的图像大致为

【答案】B

的运动过程可以看出,轨迹关于直线 x ?

?
2

对称,且 f ( ) ? f ( ) ,且轨迹非线型,故选

?

?

4

2

B. (11)已知 A,B 为双曲线 E 的左,右顶点,点 M 在 E 上,?ABM 为等腰三角形,且顶角为 120°,则 E 的离心率为 (A)√5 (B)2 (C)√3 (D)√2 【答案】D

(12) 设函数 f’(x)是奇函数 则使得 f (x) >0 成立的 x 的取值范围是 (A) (C) 【答案】A 【解析】

的导函数, ( f -1) =0, 当 x>0 时,



(B) (D)

f ( x) xf ' ( x ) ? f (x ) ' 记函数 g ( x ) ? ,则 g ( x) ? ,因为当 x ? 0 时, xf ' ( x) ? f ( x) ? 0, 2 x x
' 故当 x ? 0 时, g ( x ) ? 0 ,所以 g ( x) 在 (0, ??) 单调递减;又因为函数 f ( x)( x ? R) 是奇

函数,故函数 g ( x) 是偶函数,所以 g ( x) 在 ( ??, 0) 单调递减,且 g (?1) ? g (1) ? 0 .当

0 ? x ? 1 时, g ( x ) ? 0 ,则 f ( x ) ? 0 ;当 x ? ?1 时, g ( x ) ? 0 ,则 f ( x ) ? 0 ,综上所
述,使得 f ( x) ? 0 成立的 x 的取值范围是

(??, ?1) (0,1) ,故选 A.
二、填空题 (13)设向量 a , b 不平行,向量 ? a ? b 与 a ? 2b 平行,则实数 ? ? _________.

【答案】

1 2

【 解 析 】 因 为 向 量 ? a ? b 与 a ? 2b 平 行 , 所 以 ? a ? b ? ( k a ?2 ) b ,则 ?

?? ? k, 所以 ?1 ? 2k ,

??

1 . 2

? x ? y ? 1 ? 0, ? (14)若 x,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 0, ,则 z ? x ? y 的最大值为____________. ? x ? 2 y ? 2 ? 0, ?
【答案】

3 2

4 3 2 1 –4 –3 –2 –1

y

B D
1 2 3 4

O
–1 –2 –3 –4

x

C

(15) (a ? x)(1 ? x) 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32,则 a ? __________.
4

【答案】 3 【解析】 由已知得 (1 ? x) ? 1 ? 4 x ? 6 x ? 4 x ? x , 故 (a ?x) ( 1 ?x )
4 2 3 4 4

的展开式中 x 的奇数

3 3 5 次幂项分别为 4ax ,4ax ,x ,6 x ,x , 其系数之和为 4a ? 4a ? 1+6+1=32 , 解得 a ? 3 .

(16)设 Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和,且 a1 ? ?1 , an?1 ? Sn Sn?1 ,则 Sn ? ________. 【答案】 ?

1 n

【解析】由已知得 an?1 ? Sn?1 ? Sn ? Sn?1 ? Sn ,两边同时除以 Sn ?1 ? Sn ,得

1 1 ? ? ?1, Sn ?1 Sn

故数列 ?

?1? 1 ? ?1 ? (n ? 1) ? ?n ,所以 ? 是以 ?1 为首项, ?1 为公差的等差数列,则 Sn ? Sn ?

Sn ? ?

1 . n

三.解答题 (17)?ABC 中,D 是 BC 上的点,AD 平分∠ BAC,?ABD 是?ADC 面积的 2 倍。

(Ⅰ ) (Ⅱ ) (18)某公司为了解用户对其产品的满意度,从 A,B 两地区分别随机调查了 20 个用户,得到 用户对产品的满意度评分如下: A 地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 (Ⅰ )根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度 评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,得出结论即可) ; (Ⅱ )根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个不等级: 满意度评分 满意度等级 低于 70 分 不满意 70 分到 89 分 满意 不低于 90 分 非常满意

记时间 C:“A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级”。 假设两地区用户的评 价结果相互独立。根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求 C 的概 率 19. (12 分) 如图,长方体 ABCD-A1B1C1D1 中 AB=16,BC=10,AA1=8,点 E,F 分别在 A1B1,D1C1 上,A1E=D1F。过带你 E,F 的平面 a 与此长方体的面相交,交线围成一个正方形

(Ⅰ )在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由) (Ⅱ )求直线 AF 与平面 a 所成角的正弦值

20. 已知椭圆 C:错误!未找到引用源。 ,直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴,l 与 C 有两 个交点 A,B,线段 AB 的中点为 M. (Ⅰ )证明:直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值; (Ⅱ )若 l 过点(错误!未找到引用源。 ),延长线段 OM 与 C 交于点 P,四边形 OAPB 能否平 行四边行?若能,求此时 l 的斜率,若不能,说明理由. 21.设函数 f(x)=emx+x2-mx. (Ⅰ )证明:f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增; (Ⅱ )若对于任意 x 1, x2∈ [-1,1],都有|f(x1)- f(x2)|≤e-1,求 m 的取值范围

请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写 清题号。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,O 为等腰三角形 ABC 内一点,圆 O 与 ABC 的底边 BC 交于 M、N 两点与底边上的 高 AD 交于点 G,且与 AB、AC 分别相切于 E、F 两点.

(1)证明:EF 平行于 BC (2) 若 AG 等于圆 O 的半径,且 AE=MN= ,求四边形 EBCF 的面积。

(23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 (23)在直角坐标系 xOy 中,曲线 极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 : (1).求 与 交点的直角坐标 (2).若 与 相交于点 A, 与 相交于点 B,求 (24) (本小题满分 10 分)选修 4-5 不等式选讲 的最大值 ,曲线 : ,在以 O 为 .

设 a、b、c、d 均为正数,且 a+b=c+d,证明:


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