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等差数列前N项和课件


2.3

等差数列的前n项和

复习回顾
1.等差数列的概念 2.等差数列的通项公式 3.等差中项 4.等差数列的性质

an-an-1=d (n∈N*且 n≥2) an=a1+(n-1)d a+b 2

A=———

① an=am+(n-m)d
②若m+n

=p+q则am+an=ap+aq ③ 若m ? n ? 2 p, 则am ? an ? 2a p

探究发现

泰姬陵坐落于印度古都阿格,是十七 世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱 妃所建,她宏伟壮观,纯白大理石砌建 而成的主体建筑叫人心醉神迷,成为世 界七大建筑奇迹之一。陵寝以宝石镶饰, 图案之细致令人叫绝。 传说陵寝中有一个三角形图案,以相 同大小的圆宝石镶饰而成,共有 100 层 (见左图),奢靡之程度,可见一斑。 你知道这个图案一共花了多少宝石吗?

等差数列的前n项和
德国古代著名数学家高斯 10岁的时候很快就解决了这 个问题:1+2+3+…+100=?你知道高斯是怎样算出来的 吗? 赶快开动脑筋,想一想!

问题1:

1 +2 +…+20+21=?

问题2:
求和:1+2+3+4+…+n=?
记:S= 1 + 2 + 3 +…+(n-2)+(n-1)+n 2 +1 S= n+(n-1)+(n-2)+…+ 3 +
? 2S ? n(n ? 1)

n( n ? 1) ?S ? 2

数列前n 项和的意义
这节课我们研究的问题是:(1)已知等差数列 { an }的首项a1,项数n,第n项an,求前n项 和Sn的计算公式;(2)对此公式进行应用。 数列{ an }: a1, a2 , a3 ,…, an ,…

我们把 a1+a2 + a3 + … + an 叫做数列{ an } 的前n项和,记作Sn

问题3:设等差数列 {an} 的首项为a1,公差为d,如 何求等差数列的前n项和Sn= a1 +a2+a3+…+an?

解: Sn=a1+ a2 +a3 +…+an-2+an-1+an 倒序相加 Sn=an+an-1+an-2+…+a3 + a2 +a1 变式:能否用 a1,n,d表示Sn? 两式左右分别相加,得 2Sn=(a1+an)+ (a2+an-1)+ (a3+an-2)+…+

(an-2+a3)+ (an-1+a2)+ (an+a1) =n(a1+an) 因为a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…
n(a1 ? an ) an=a1+(n-1)d n( n ? 1) ? Sn ? S n ? na1 ? d 2 2

两个公式的共同已知量是a1和n,不同的已 知量是:公式(1)已知an,公式(2)已知d 。 已知三个量就可以求出Sn ,我们要根据具体 题目,灵活采用这两个公式。

说明:两个等差数列的求和公式及通项 公式,一共涉及到5个量,通常已知其中 3个,可求另外2个。

例1:在等差数列?a n ?中, ( 1)已知a1 ? 3, a 50 ? 101, 求s50 ; 1 (2)已知a1 ? 3, d ? , 求s10 . 2

解: ( 1 )根据等差数列前 n项和公式,得
3 ? 101 S50 ? ? 50 ? 2600 2
( 2 )根据等差数列前 n项和公式,得

公 式 应 用


10 ? 9 1 105 S10 ? 10 ? 3 ? ? ? 2 2 2

选 用 公 式

公式应用之

变用公式

例2 等差数列-10,-6,-2,2,…的前多少 项的和为54? 解: 设该数列为{an}, 前n项的和是54 ,
∵a1=-10, d=-6-(-10)=4 ,

n(n ? 1) ? ?10n ? ? 4 ? 54. 2
整理得 n2-6n-27=0. 解得 n=9, n=-3(舍弃).

因此等差数列-10, -6, -2, 2 , …前9项的和是54.

例3.已知一个等差数列的前10项和是310,

前20项的和是1220,由这些条件能确定这
个等差数列的前n项和的公式吗?
解:由于S10=310,S20=1220,将它们代 入公式 n( n ? 1) 可得

所以

2 ? 10a1 ? 45d ? 310 ? ?20a1 ? 190d ? 1220

S n ? na1 ?

d

?a1 ? 4 于是, ? ?d ? 6

n(n ? 1) 2 Sn ? n ? 4 ? ? 6=3n ? n 2

例3.已知一个等差数列的前10项和是310,

前20项的和是1220,由这些条件能确定这
个等差数列的前n项和的公式吗?
10( a1 ? a10 ) 另解: S10 ? ? 310 ? a1 ? a10 ? 62 ① 2 20(a1 ? a20 ) S 20 ? ? 1220 ? a1 ? a20 ? 122② 2

两式相减得

?d ? 6

a20 ? a10 ? 60

( n n ?1 ) 2 S n ? a1n ? d ? 3n ? n 2

a1 ? 4

课堂小结
等差数列前n项和公式
n(a1 ? an ) Sn ? 2

n(n ? 1) S n ? na1 ? d 2

公式的推证用的是倒序相加法
在两个求和公式中,各有五个元素,只要知道其中三个元 素,结合通项公式就可求出另两个元素.

练 习
1.根据条件,求相应等差数列{an}的Sn: ①a1=5, an=95, n=10; ②a1=100, d=-2, n=50; ③a1=14.5, d=0.7, an=32.
答案:①500; ②2550; ③604.5

2.等差数列5,4,3,2,…前多少项的和是-30?
提示:先化为n2-11n-60=0,得n=15, 或n=-4(舍

弃)


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