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高二数学解答题训练--导数1


高二数学解答题训练---函数与导数
1.已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? 3bx ? c(b ? 0) ,且 g( x ) ? f ( x ) ? 2 是奇函数。 (Ⅰ)求 a,c 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间。

1

高二数学解答题训练---函数与导数
1.已知函数 f ( x

) ? x 3 ? ax2 ? 3bx ? c(b ? 0) ,且 g( x ) ? f ( x ) ? 2 是奇函数。 (Ⅰ)求 a,c 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间。

2.已知函数 f ( x ) ?

1 4 1 3 x ? ax ? a 2 x 2 ? a 4 (a ? 0) 4 3

(1)求函数 y ? f ( x ) 的单调区间; (2)若函数 y ? f ( x ) 的图像与直线 y ? 1 恰有两个交点,求 a 的取值范围。

2

2.已知函数 f ( x ) ?

1 4 1 3 x ? ax ? a 2 x 2 ? a 4 (a ? 0) 4 3

(1)求函数 y ? f ( x ) 的单调区间; (2)若函数 y ? f ( x ) 的图像与直线 y ? 1 恰有两个交点,求 a 的取值范围。

3.已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? x ? 1 , a ? R . (Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)设函数 f ( x ) 在区间 ( ? ,? ) 内是减函数,求 a 的取值范围。
解:(Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 的单调区间;
3

2 3

1 3

(Ⅱ)设函数 f ( x ) 在区间 ? ? , ? ? 内是减函数,求 a 的取值范围. 解析 当a
2

? 2 ? 3

1? 3?

(1) f ( x) ? x3 ? ax2 ? x ? 1 求导: f ?( x) ? 3x2 ? 2ax ? 1

≤ 3 时, ? ≤ 0 , f ?( x) ≥ 0 , f ( x) 在 R 上递增
? 3 , f ?( x) ? 0 求得两根为 x ?
? ? ?

当a

2

?a ? a 2 ? 3 3

即 f ( x ) 在 ? ??,

? ?a ? a 2 ? 3 ?a ? a 2 ? 3 ? ?a ? a 2 ? 3 ? , ? 递增, ? ? 递减, ? ? ? 3 3 3 ? ? ?

? ?a ? a 2 ? 3 ? , ? ? ? 递增 ? ? ? 3 ? ?
? ?a ? ? ? (2) ? ? ?a ? ? ? a2 ? 3 2 ≤? 3 3 a ?3 1 ≥? 3 3
2

,且 a

2

? 3 解得: a ≥

7 4

4.已知函数 f ( x) ? x 3 ? mx 2 ? m2 x ? 1 (m 为常数,且 m ? 0 )有极大值 9。 (Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)若斜率为 ? 5 的直线是曲线 y ? f ( x ) 的切线,求此直线方程. 5.设函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? 3a 2 x ? 1(a, b ? R) 在 x ? x1 , x ? x2 处取得极值,且

x1 ? x2 ? 2 。
(Ⅰ)若 a ? 1 ,求 b 的值,并求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若 a ? 0 ,求 b 的取值范围。 [? 6.已知函数 f ( x ) ?
解: f ?( x) ?

2 3 2 3 , ] 3 3

2x ? b ,求导函数 f ?( x ) ,并确定 f ( x ) 的单调区间. ( x ? 1)2

2( x ? 1) 2 ? (2 x ? b) ? 2( x ? 1) ( x ? 1) 4

4

?

?2 x ? 2b ? 2 ( x ? 1)3 2[ x ? (b ? 1)] . ( x ? 1)3

??

令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? b ? 1 . 当 b ? 1 ? 1 ,即 b ? 2 时, f ?( x ) 的变化情况如下表:

x
f ?( x )

(??,b ? 1)

b ?1
0

(b ? 11) ,

(1, ? ?)

?

?

?

当 b ? 1 ? 1 ,即 b ? 2 时, f ?( x ) 的变化情况如下表:

x
f ?( x )

(??, 1)
?

(1,b ?1)

b ?1
0

(b ? 1, ? ?)
?

?

, 上单调递增, 所以,当 b ? 2 时,函数 f ( x ) 在 (??,b ? 1) 上单调递减,在 (b ? 11) , ? ?) 上单调递减. 在 (1 1) 上单调递减,在 (1,b ?1) 上单调递增,在 (b ? 1, ? ?) 当 b ? 2 时,函数 f ( x ) 在 (??,
单调递减. 当 b ? 1 ? 1 ,即 b ? 2 时, f ( x ) ? 调递减. 上

2 1) 上单调递减,在 (1, ? ?) 上单 ,所以函数 f ( x ) 在 (??, x ?1

7. 已知函数 f ( x) ? x 3 ? mx 2 ? nx ? 2 的图象过点 ( ?1,?6) , 且函数 g( x ) ? f ?( x ) ? 6 x 的 图象关于 y 轴对称。 (Ⅰ)求 m、n 的值及函数 y ? f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若 a>0,求函数 y ? f ( x ) 在区间 (a ? 1, a ? 1) 内的极值。

5

8. 设函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 曲线 y ? f ( x ) 通过点 (0,2a ? 3) , 且在点 ( ?1, f ( ?1) 处的切线垂直于 y 轴. (Ⅰ)用 a 分别表示 b 和 c ; (Ⅱ)当 bc 取得最小值时,求函数 g? x ? ? ? f ? x ?? e ? x 的单调区间.
解:(Ⅰ)因为 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c, 所以f ?(x ) ? 2ax ? b. 又因为曲线 y ? f ( x) 通过点(0,2a+3), 故 f (0) ? 2a ? 3, 而f (0) ? c, 从而c ? 2a ? 3. 又曲线 y ? f ( x) 在(-1,f(-1))处的切线垂直于 y 轴,故 f ?(?1) ? 0, 即-2a+b=0,因此 b=2a. (Ⅱ)由(Ⅰ)得 bc ? 2a (2a ? 3) ? 4(a ? ) ?

3 2 9 , 4 4 3 9 故当 a ? ? 时, bc 取得最小值- . 4 4 3 3 此时有 b ? ? , c ? . 2 2 3 2 3 3 3 3 从而 f ( x) ? ? x ? x ? , f ?( x ) ? ? x ? , 4 2 2 2 2 3 3 3 g ( x ) ? ? f ( x )c ? x ? ( x 2 ? x ? )e ? x , 4 2 2 3 2 ?x ?x 所以 g ?( x) ? ( f ( x) ? f ?( x) e ? ? ( x ? 4) e . 4
令 g ?( x) ? 0 ,解得 x1 ? ?2, x2 ? 2.

当 x ? (??, ?2)时, g ?( x) ? 0, 故g ( x)在x ? (??, ?2)上为减函数;
6

当 x ? (?2, 2)时,g ?( x) ? 0, 故g ( x)在x ? (2, ??)上为减函数. 当 x ? (2, ??)时,g ?( x) ? 0,故g ( x)在x ? (2, ??)上为减函数. 由此可见,函数 g ( x) 的单调递减区间为(-∞,-2)和(2,+∞) ;单调递增区间为(-2, 2).

9.设函数 f ( x ) ?

1 ( x ? 0 ,且 x ? 1) x ln x

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)已知 2 ? x a 对任意 x ? (0,1) 成立,求实数 a 的取值范围。
解 (1)
1 x

f ' ( x) ? ?

1 ln x ? 1 , 若 f ' ( x) ? 0, 则 x ? 列表如下 2 2 e x ln x 1 (0, ) e
+ 单调增

x
f ' ( x)
f ( x)
1

1 e
0 极大值 f ( )

1 ( ,1) e
-

(1, ??)
单调减

1 e

单调减

(2)



2 x ? x a 两边取对数, 得

1 ln 2 ? a ln x ,由于 0 ? x ? 1, 所以 x

7

a 1 ? ln 2 x ln x
由(1)的结果可知,当 x ? (0,1) 时,

(1)

1 f ( x ) ? f ( ) ? ?e , e a ? ?e ,即 a ? ?e ln 2 为使(1)式对所有 x ? (0,1) 成立,当且仅当 ln 2

10.已知函数 f ( x) ? x4 ? ax3 ? 2 x 2 ? b( x ? R) ( x ? R) ,其中 a , b ? R . (Ⅰ)当 a ? ?

10 时,讨论函数 f ( x ) 的单调性; 3

(Ⅱ)若函数 f ( x ) 仅在 x ? 0 处有极值,求 a 的取值范围; (Ⅲ)若对于任意的 a ? [?2,2] ,不等式 f ( x ) ? 1 在 [?1,1] 上恒成立,求 b 的取值范围.
(Ⅰ)解析 当a ? ?

f ?( x) ? 4x3 ? 3ax2 ? 4x ? x(4x2 ? 3ax ? 4) .

10 时, f ?( x) ? x(4 x2 ?10x ? 4) ? 2x(2 x ?1)( x ? 2) . 3 1 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x1 ? 0 , x2 ? , x3 ? 2 . 2
当 x 变化时, f ?( x ) , f ( x ) 的变化情况如下表:

x
f ?( x ) f ( x)

(??, 0)
- ↘

0 0 极小值

1 (0, ) 2
+ ↗

1 2
0 极大值

1 ( , 2) 2
- ↘

2 0 极小值

(2, ??)
+ ↗

所以 f ( x ) 在 (0, ) , (2, ??) 内是增函数,在 ( ??, 0) , ( , 2) 内是减函数. (Ⅱ)解析

1 2

1 2

f ?( x) ? x(4 x2 ? 3ax ? 4) ,显然 x ? 0 不是方程 4 x2 ? 3ax ? 4 ? 0 的根.

2 2 为使 f ( x ) 仅在 x ? 0 处有极值,必须 4 x ? 3ax ? 4 ? 0 成立,即有 ? ? 9a ? 64 ? 0 .

8 8 ? a ? .这时, f (0) ? b 是唯一极值. 3 3 8 8 因此满足条件的 a 的取值范围是 [? , ] . 3 3
解些不等式,得 ? (Ⅲ)解:由条件 a ? [?2, 2] ,可知 ? ? 9a ? 64 ? 0 ,从而 4 x ? 3ax ? 4 ? 0 恒成立.
2 2

8

当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 . 因此函数 f ( x ) 在 [?1,1] 上的最大值是 f (1) 与 f (?1) 两者中的较大者. 为使对任意的 a ? [?2, 2] , 不等式 f ( x) ? 1 在 [?1,1] 上恒成立, 当且仅当 ? 在 a ? [?2, 2] 上恒成立. 所以 b ? ?4 ,因此满足条件的 b 的取值范围是 (??, ?4] .

? f (1) ? 1 ?b ? ?2 ? a , 即? , ? f (?1) ? 1 ?b ? ?2 ? a

11.设函数 f ( x ) ?

sin x . 2 ? cos x

(Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)如果对任何 x ? 0 ,都有 f ( x ) ? ax ,求 a 的取值范围.
解: (Ⅰ) f ?( x) ? 当 2kπ ?

(2 ? cos x) cos x ? sin x(? sin x) 2cos x ? 1 ? . ········· 2 分 2 (2 ? cos x) (2 ? cos x) 2

2π 2π 1 ? x ? 2kπ ? ( k ? Z )时, cos x ? ? ,即 f ?( x) ? 0 ; 3 3 2 2π 4π 1 ? x ? 2kπ ? 当 2kπ ? ( k ? Z )时, cos x ? ? ,即 f ?( x) ? 0 . 3 3 2
因此 f ( x ) 在每一个区间 ? 2kπ ?

? ?

2π 2π ? , 2kπ ? ? ( k ? Z )是增函数, 3 3 ?

2π 4π ? ? f ( x) 在每一个区间 ? 2kπ ? , 2kπ ? ? ( k ? Z )是减函数. ········ 6 分 3 3 ? ?
(Ⅱ)令 g ( x) ? ax ? f (x ) ,则

g ?( x) ? a ?

2 cos x ? 1 (2 ? cos x) 2

?a?

2 3 ? 2 ? cos x (2 ? cos x) 2
2

1 1? 1 ? ? 3? ? ? ?a? . 3 ? 2 ? cos x 3 ?
9

故当 a ≥

1 时, g ?( x) ≥ 0 . 3

又 g (0) ? 0 ,所以当 x ≥ 0 时, g ( x) ≥ g (0) ? 0 ,即 f ( x) ≤ ax . ····· 9 分 当0 ? a ?

1 时,令 h( x) ? sin x ? 3ax ,则 h?( x) ? cos x ? 3a . h?( x ) ? 0 的锐角根为 x0 3
因此 h( x) 在 [0, x0 ) 上单调增加.

故当 x ?[0, x0 ) 时, h?( x) ? 0 .

故当 x ?[0, x0 ) 时, h( x) ? h(0) ? 0 ,即 sin x ? 3ax . 于是,当 x ? (0, x0 ) 时, f ( x) ? 当 a ≤ 0 时,有 f ?

sin x sin x ? ? ax . 2 ? cos x 3

π ?π? 1 ? ? ? 0≥ a . 2 ?2? 2

因此, a 的取值范围是 ? , ? ? ?.

?1 ?3

? ?

12.已知函数 f ( x ) ?

kx ? 1 ( c ? 0 且 c ? 1 , k ? R )恰有一个极大值点和一个极小值 x2 ? c

点,其中一个是 x ? ?c . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的另一个极值点; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的极大值 M 和极小值 m ,并求 M ? m ? 1 时 k 的取值范围.
解: (Ⅰ) f ?( x) ?
2

k ( x 2 ? c) ? 2 x(kx ? 1) ?kx 2 ? 2 x ? ck ,由题意知 f ?(?c) ? 0 , ? ( x 2 ? c) 2 ( x 2 ? c) 2
c ? 0 ,? k ? 0 .

即得 c k ? 2c ? ck ? 0 , (*)
2

由 f ?( x) ? 0 得 ?kx ? 2 x ? ck ? 0 , 由韦达定理知另一个极值点为 x ? 1 (或 x ? c ?

2 ) . k

2 2 ,即 c ? 1 ? . c ?1 k 当 c ? 1 时, k ? 0 ;当 0 ? c ? 1 时, k ? ?2 .
(Ⅱ)由(*)式得 k ?

? c) 和 (1, ? ?) 内是减函数,在 (?c, 1) 内是增函数. (i)当 k ? 0 时, f ( x ) 在 (??,
? M ? f (1) ? k ?1 k ? ? 0, c ?1 2
10

m ? f (?c) ?

?kc ? 1 ?k 2 ? ?0, c 2 ? c 2(k ? 2)

由M ?m ?

k k2 ? ≥1 及 k ? 0 ,解得 k ≥ 2 . 2 2(k ? 2)

(ii)当 k ? ?2 时, f ( x ) 在 (??, ? c) 和 (1, ? ?) 内是增函数,在 (?c, 1) 内是减函数.

k ?k 2 ? M ? f (?c) ? ? 0 , m ? f (1) ? ? 0 2 2(k ? 2)

M ?m ?

?k 2 k (k ? 1)2 ? 1 ? ? 1? ≥1 恒成立. 2(k ? 2) 2 k ?2

综上可知,所求 k 的取值范围为 (??, ? 2) [ 2, ? ?) .

13.已知 x ? 3 是函数 f ( x) ? a ln(1 ? x) ? x 2 ? 10 x 的一个极值点。 (Ⅰ)求 a ; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)若直线 y ? b 与函数 y ? f ( x ) 的图象有 3 个交点,求 b 的取值范围。
' 【解】 : (Ⅰ)因为 f ? x ? ? ' 所以 f ? 3? ?

a ? 2 x ? 10 1? x

a ? 6 ? 10 ? 0 4

因此 a ? 16 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,

f ? x ? ? 16ln ?1 ? x ? ? x2 ?10x, x ? ? ?1, ???
f ? x? ?
'

2 ? x 2 ? 4 x ? 3? 1? x

当 x ? ? ?1,1?

?3, ??? 时, f ' ? x? ? 0
'

当 x ? ?1,3? 时, f

? x? ? 0

所以 f ? x ? 的单调增区间是 ? ?1,1? , ? 3, ???

f ? x ? 的单调减区间是 ?1,3?
11

(Ⅲ)由(Ⅱ)知, f ? x ? 在 ? ?1,1? 内单调增加,在 ?1,3? 内单调减少,在 ? 3, ?? ? 上单调增加,且当

x ? 1 或 x ? 3 时, f ' ? x ? ? 0
所以 f ? x ? 的极大值为 f ?1? ? 16ln 2 ? 9 ,极小值为 f ?3? ? 32ln 2 ? 21 因此 f ?16? ? 16 ?10 ?16 ? 16ln 2 ? 9 ? f ?1?
2

f ? e ?2 ? 1? ? ?32 ? 11 ? ?21 ? f ? 3?
所以在 f ? x ? 的三个单调区间 ? ?1,1? , ?1,3? , ?3, ??? 直线 y ? b 有 y ? f ? x ? 的图象各有一个交点,当 且仅当 f ? 3? ? b ? f ?1? 因此, b 的取值范围为 ? 32ln 2 ? 21,16ln 2 ? 9? 。

14.已知函数 f ( x ) ?

1 3 x ? x2 ? 2 3

(Ⅰ)设 ?an ?是正数组成的数列,前 n 项和为 Sn ,其中 a1 ? 3 ,若点
2 ? ( an , an ?1 ? 2an?1 )(n ? N ? ) 在函数 y ? f ( x ) 的图象上,求证:点 (n, Sn ) 也在

y ? f ?( x ) 的图象上;
(Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 (a ? 1, a ) 内的极值。
(Ⅰ)证明:因为 f ( x) ?

1 3 x ? x 2 ? 2, 所以 f ′(x)=x2+2x, 3

2 ? 由点 (an , an ?1 ? 2an?1 )(n ? N ) 在函数 y=f′(x)的图象上,

又 an ? 0(n ? N? ), 所以 (an?1 ? an )(an?1 ? an ? 2) ? 0, 所以 S n ? 3n ?

n(n ? 1) ? 2=n 2 ? 2 n ,又因为 f ′(n)=n2+2n,所以 Sn ? f ?(n) , 2

故点 (n, Sn ) 也在函数 y=f′(x)的图象上.
2 (Ⅱ)解: f ?( x) ? x ? 2x ? x( x ? 2) ,

由 f ?( x) ? 0, 得 x ? 0或x ? ?2 . 当 x 变化时, f ?( x ) ﹑ f ( x ) 的变化情况如下表:
12

注意到 (a ?1) ? a ? 1 ? 2 ,从而 ①当 a ? 1 ? ?2 ? a, 即 ? 2 ? a ? ?1时,f ( x)的极大值为f ( ?2) ? ?

2 ,此时 f ( x ) 无极小值; 3

②当 a ?1 ? 0 ? a,即0 ? a ? 1 时,f ( x) 的极小值为 f (0) ? ?2 ,此时 f ( x) 无极大值; ③ 当

x f′(x) f(x)

(-∞,-2) + ↗

-2 0 极大值

(-2,0) ↘

0 0 极小值

(0,+∞) + ↗

a? 2 ? 或

. 1 ? a ? 或0 ? a时 1 ?既无极大值又无极小值 f , x( )

15. 已知 a 是实数,函数 f ( x ) ? (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间;

x ( x ? a) 。

(Ⅱ)设 g ( a ) 为 f ( x ) 在区间 [0,2] 上的最小值。 (i)写出 g ( a ) 的表达式; (ii)求 a 的取值范围,使得 ? 6 ? g(a ) ? ?2 。
? ?) , (Ⅰ)解:函数的定义域为 [0,

f ?( x) ? x ?

x ? a 3x ? a ? (x ? 0) . 2 x 2 x

若 a ≤ 0 ,则 f ?( x) ? 0 ,

f ( x) 有单调递增区间 [0, ? ?) .
若 a ? 0 ,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 当0 ? x ? 当x?

a , 3

a 时, f ?( x) ? 0 , 3

a 时, f ?( x) ? 0 . 3

? a? ?a ? f ( x) 有单调递减区间 ?0, ? ,单调递增区间 ? , ? ?? . ? 3? ?3 ?
2] 上单调递增, (Ⅱ)解: (i)若 a ≤ 0 , f ( x ) 在 [0,
所以 g (a) ? f (0) ? 0 .
13

若 0 ? a ? 6 , f ( x ) 在 ?0, ? 上单调递减,在 ? , 2 ? 上单调递增,

? a? ? 3?

?a ? ?3 ?

所以 g (a) ? f ?

2a a ?a? . ??? 3 3 ?3?

若 a ≥ 6 , f ( x ) 在 [0, 2] 上单调递减, 所以 g (a) ? f (2) ? 2(2 ? a) .

a ≤ 0, ?0, ? ? 2a a 综上所述, g (a ) ? ?? , 0 ? a ? 6, ? 3 3 ? 2(2 ? a), a ≥ 6. ?
(ii)令 ?6 ≤ g (a) ≤ ?2 . 若 a ≤ 0 ,无解. 若 0 ? a ? 6 ,解得 3 ≤ a ? 6 . 若 a ≥ 6 ,解得 6 ≤ a ≤ 2 ? 3 2 . 故 a 的取值范围为 3 ≤ a ≤ 2 ? 3 2 .

14

高二数学综合练习---导数
一、选择题: 1、函数 y ? f ( x ) 在一点的导数值为 0 是函数 y ? f ( x ) 在这点取极值的( A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 ) D. 0 ) )

D.必要非充分条件

2、函数 y ? x4 ? 4 x ? 3 在区间 [?2,3] 上的最小值为( A. 72 B. 36 C. 12

3、设 a ? R ,若函数 y ? e x ? ax , x ? R 有大于零的极值点,则( A. a ? ?1 4、点 P 在曲线 y ? B. a ? ? 1 C. a ? ?

1 e

D. a ? ?

1 e


4 上,? 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角,则 ? 的范围是( ex ?1
B. [ , )

A. [0,

?
4

)

? ?

4 2

C. (

? 3?
2 , 4

]

D. [

3? ,? ) 4

5、函数 f ( x) ? ( x ? 3)e x 的单调递增区间是( A. (??,2) B.(0,3)

) C.(1,4) D. (2,??)

6、若函数 y ? f ( x ) 的导函数 在区间 [a , b] 上是增函数,则函数 y ? f ( x ) 在区间 [a , b] 上 ...
15

的图象可能是 (
y

)
y y y

o

a A.

b x

o

a

b x B.

o

a

b x C.

o

a

b x D.

7、右图是函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? b 的部分图象,则函数 g( x ) ? ln x ? f ?( x ) 的零点所在 的区间是( ) B. (1,2) D. ( 2,3) ) D.8

1 1 4 2 1 C. ( ,1) 2

A. ( , )

8、已知 f ( x) ? x 2 ? 3 x ? f ?(1) ,则 f ?( 2) ? ( A.1 二、填空题: B. 2 C.4

9、若 f ( x) ? x 3 ,且 f ?( x0 ) ? 3 ,则 x0 的值为______; 10、曲线 y ? x 3 ? 4 x 在点 (1,?3) 处的切线倾斜角为__________; 11、函数 y ?

sin x 的导数为________________; x

12、曲线 y ? ln x 在点 M (e ,1) 处的切线的斜率是_____,切线的方程为____________; 13、函数 y ? x 3 ? x 2 ? 5 x ? 5 的单调递增区间是_________________。 14、如图,函数 f ( x ) 的图象是折线段 ABC ,其中 A ,
y 4 3 2 1 O A C

B , C 的坐标分别为 ( 0,4) , ( 2,0) , ( 6,4) ,
则 f ( f (0)) ? _____; lim
?x ?0

f (1 ? ?x ) ? f (1) ? ______。 ?x

B 1 2 3 4 5 6

x

(用数字作答) 三、解答题:
16

15、求垂直于直线 2 x ? 6 y ? 1 ? 0 并且与曲线 y ? x 3 ? 3 x 2 ? 5 相切的直线方程。

16、已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ,当 x ? 1 时,有极大值 3 ; (1)求 a, b 的值; (2)求函数 f ( x ) 的极小值。

17、已知 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c 有极大值 f (? ) 和极小值 f ( ? ) 。 (1)求 f (? ) ? f ( ? ) 的值; (2)设曲线 y ? f ( x ) 的极值点为 A、B,求证:线段 AB 的中点在 y ? f ( x ) 上。

18、设函数 f ( x ) ? x 3 ?

9 2 x ? 6x ? a ; 2 (1)对于任意实数 x , f ?( x ) ? m 恒成立,求 m 的最大值;
17

(2)若方程 f ( x ) ? 0 有且仅有一个实根,求 a 的取值范围。

19、已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ( x 2 ? 2ax)e x . (Ⅰ)当 x 为何值时, f ( x ) 取得最小值?证明你的结论; (Ⅱ)设 f ( x ) 在 [?1,1] 上是单调函数,求 a 的取值范围.

20、 设函数 f ( x) ? x 2 ? a ln(1 ? x) 有两个极值点 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 (I)求 a 的取值范围,并讨论 f ( x ) 的单调性;

18

(II)证明: f ( x2 ) ?

1 ? 2 ln 2 4

19


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