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2.1.1离散型随机变量


离散型随机变量及其分布列

引例:
(1)抛掷一枚骰子,可能出现的点数有几种情况? 能否把掷硬 (2)姚明罚球2次有可能得到的分数有几种情况? 币的结果也 用数字来表 0分,1分,2分 示呢? (3)抛掷一枚硬币,可能出现的结果有几种情况?

1,2,3,4,5,6

正面向上,反面向上
思考:在上

述试验开始之前,你能确定结果是哪一 种情况吗? 分析:不行,虽然我们能够事先知道随机试验可能出现的 所有结果,但在一般情况下,试验的结果是随机出现的。

一、随机变量的概念:
在前面的例子中,我们把随机试验的每一个结果都用 一个确定的数字来表示,这样试验结果的变化就可看成是 这些数字的变化。 若把这些数字当做某个变量的取值,则这个变量就叫 做随机变量,常用X、Y、x、h 来表示。

注意:有些随机试验的结果虽然不具有数量性质,但还是 可以用数量来表达,如在掷硬币的试验中,我们可以定义 “X=0,表示正面向上,X =1,表示反面向上”

按照我们的定义,所谓的随机变量,就是随机试验 的试验结果与实数之间的一个对应关系。那么,随机变量 与函数有类似的地方吗?
随机变量是试验结果与实数的一种对应关系,而 函数是实数与实数的一种对应关系,它们都是一种映射 在这两种映射之间, 试验结果的范围相当于函数的定义域, 随机变量的取值结果相当于函数的值域。 所以我们也把随机变量的取值范围叫做随机变量的值域。

例1、一个袋中装有5个白球和5个黑球,若从中任取3个, 则其中所含白球的个数x 就是一个随机变量,求x 的取值 范围,并说明x 的不同取值所表示的事件。
解: x 的取值范围是{0,1,2,3} ,其中 {x =0}表示的事件是“取出0个白球,3个黑球”; {x =1}表示的事件是“取出1个白球,2个黑球”; {x =2}表示的事件是“取出2个白球,1个黑球”; {x =3}表示的事件是“取出3个白球,0个黑球”;

变题:{x < 3}在这里又表示什么事件呢?

“取出的3个球中,白球不超过2个”

写出下列各随机变量可能的取值,并说明它们各自 所表示的随机试验的结果:
(1)从10张已编号的卡片(从1号到10号)中任取1张, 被取出的卡片的号数x ; (x=1、2、3、· · · 、10) (2)抛掷两个骰子,所得点数之和Y; (Y=2、3、· · · 、12)

(3)某城市1天之中发生的火警次数X( ;X=0、1、2、3、· · · )
(4)某品牌的电灯泡的寿命X; [0,+∞) (5)某林场树木最高达30米,最低是0.5米,则此林场 任意一棵树木的高度x. [0.5,30]

思考:前3个随机变量与最后两个有什么区别?

二、随机变量的分类:
1、如果可以按一定次序,把随机变量可能取的值一一 列出,那么这样的随机变量就叫做离散型随机变量。 (如掷骰子的结果,城市每天火警的次数等等) 2、若随机变量可以取某个区间内的一切值,那么这样的 随机变量叫做连续型随机变量。 (如灯泡的寿命,树木的高度等等) 注意: (1)随机变量不止两种,我们只研究离散型随机变量; (2)变量离散与否与变量的选取有关; 比如:对灯泡的寿命问题,可定义如下离散型随机变量

? 0, 寿命 ? 1000小时 Y ?? ?1, 寿命 ? 1000小时

下列试验的结果能否用离散型随机变量表示? (1)已知在从汕头到广州的铁道线上,每隔50米有一个 电线铁站,这些电线铁站的编号; (2)任意抽取一瓶某种标有2500ml的饮料,其实际量 与规定量之差; (3)某城市1天之内的温度; (4)某车站1小时内旅客流动的人数; (5)连续不断地投篮,第一次投中需要的投篮次数. (6)在优、良、中、及格、不及格5个等级的测试中, 某同学可能取得的等级。

若用X表示抛掷一枚质地均匀的骰子所得的点数, 请把X取不同值的概率填入下表,并求判断下列事件发生 的概率是多少? (1){X是偶数};(2) {X<3};
X
P

1

2

3

4

5

6

1 6

1 6

1 6

1 6

1 6

1 6

1 解:P(X是偶数)=P(X=2)+P(X=4)+P(X=6) ? 2 1 P(X<3)=P(X=1)+P(X=2) ? 3

三、离散型随机变量的分布列:
一般地,若离散型随机变量X 可能取的不同值为: x1,x2,…,xi,…,xn X取每一个xi (i=1,2,…,n)的概率P(X=xi)=Pi,则称表:
X P x1 P1 x2 P2 … … xi Pi … …

为离散型随机变量X的概率分布列,简称为X的分布列. 有时为了表达简单,也用等式 P(X=xi)=Pi i=1,2,…,n 来表示X的分布列

离散型随机变量的分布列应注意问题:
X
P

x1
P1

x2
P2




xi
Pi




1、分布列的构成: (1)列出了离散型随机变量X的所有取值; (2)求出了X的每一个取值的概率; 2、分布列的性质:

(1)pi ? 0, i ? 1, 2, ? ? ?

(2 ) ? pi ? p1 ? p2 ? ? ? ? ? pn ? 1
i ?1

n

例2、在掷一枚图钉的随机试验中,令

?1,针尖向上 X ?? ?0,针尖向下
如果针尖向上的概率为p,试写出随机变量X的分布列。 解:根据分布列的性质,针尖向下的概率是(1-p),于是, 随机变量X的分布列是
X P 0 1-p 1 p

像上面这样的分布列称为两点分布列。

如果随机变量X的分布列为两点分布列,就称 X服从两点分布,而称p=P(X=1)为成功概率。

例3、袋子中有3个红球,2个白球,1个黑球,这些球 除颜色外完全相同,现要从中摸一个球出来,若摸到 黑球得1分,摸到白球得0分,摸到红球倒扣1分,试写 出从该盒内随机取出一球所得分数X的分布列. 解:因为只取1球,所以X的取值只能是1,0,-1

1 2 1 ? P ( X ? 1) ? , P ( X ? 0) ? ? , 6 6 3 3 1 P ( X ? ?1) ? ? 6 2
∴从袋子中随机取出一球

X P

1

0

-1

所得分数X的分布列为:

1 6

1 3

1 2

求离散型随机变量分布列的基本步骤: (1)确定随机变量的所有可能的值xi (2)求出各取值的概率P(X=xi)=pi (3)列出表格

定值

求概率

列表

课堂练习:
1、随机变量 x 的所有等可能取值为 1, 2,3,…, n , 若 P ?x ? 4 ? ? 0.3 ,则( A. n ? 3 B. n ? 4

C

) D.不能确定

C. n ? 10

3 5 2、若随机变量ξ的分布列如下表所示,则常数a=_____
ξ P -1 0.16 0 1 2
2

3 0.3

a 10

a

a 5

课堂练习:
3、某一射手射击所得环数 x 分布列为 X P 4 0.02 5 0.04 6 0.06 7 0.09 8 0.28 9 0.29 10 0.22

0.88 则此射手“射击一次命中环数≥7”的概率是_______

思考:一个口袋有5只同样大小的球,编号分别为1,2, 3,4,5,从中同时取出3只,以X表示取出的球最小的 号码,求X的分布列。 解:因为同时取出3个球,故X的取值只能是1,2,3 当X=1时,其他两球可在剩余的4个球中任选
2 C4 3 故其概率为 P ( X ? 1) ? 3 ? C5 5 当X=2时,其他两球的编号在3,4,5中选, 2 C3 3 故其概率为 P ( X ? 2) ? 3 ? C5 10 当X=3时,只可能是3,4,5这种情况, 1 概率为 P ( X ? 3) ? 10

思考:一个口袋有5只同样大小的球,编号分别为1,2, 3,4,5,从中同时取出3只,以X表示取出的球最小的 号码,求X的分布列。

∴随机变量X的分布列为

X P

1

2

3

3 5

3 10

1 10

小结:
一、随机变量的定义: 二、随机变量的分类: 三、随机变量的分布列:
1、分布列的性质: (1)pi ? 0, i ? 1, 2, ? ? ?

(2 ) ? pi ? p1 ? p2 ? ? ? ? ? pn ? 1
i ?1

n

2、求分布列的步骤:

定值

求概率

列表

作业:
课本P49 A组第1、5题


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