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2012高中数学联赛江苏赛区复赛一试


2012 年全国高中数学联赛江苏赛区 复赛参考答案与评分细则 一 试
一、填空题(本题满分 64 分,每小题 8 分) 1.若 4a-3ab=16,log2a= 答案:16;由 log2a=

a ?1 ,则 ab= b



a ?1 ,得 ab=2a+1,代入 4a-3ab=243 得,22a-6×2a-

16=0,解之得: b

2a=8,2a=-2(舍去),所以,ab=2a+1=16. 2.圆上 30 个点将圆等分,任取其中 3 个不同的点,这 3 个点顺次连结形成正三角形的概率
为 答案: .

1 3 ;从 30 个点中取 3 个不同的点有 C30 种方法,而形成正三角形的共有 10 种,故 406 10 概率为 3 . C30


3.已知正三棱锥的底面边长为 6,侧棱为 4,则此正三棱锥的外接球半径为

答案:4;由题意 A 到面 BCD 的距离为 2,取 BCD 中心为 O,则球 P 在直线 OP 上.设 OP 长为 x,则 x2+12=PB2=PA2=(2-x)2,解之得:x=-2.故球的半径为 4. 4.在等差数列{an}中,若 S4≤4,S5≥15,则 a4 的最小值是 .

答案:7;设公差为 d,由条件得:2a4≤2+3d,d≤a4-4,所以,2a4≤2+3d≤2+3(a4-3), 所以,a4≥7.

5.设 n∈N*,且 n4+2n3+5n2+12n+5 为完全平方数,则 n=
答案:1,或 2;因为(n2+n+2)2<n4+2n3+5n2+12n+5<(n2+n+4)2, 所以 n4+2n3+5n2+12n+5=(n2+n+3)2,解之得 n=1,2.



6.若不等式 a sin 2 x ? cos x≥a 2 ? 1 对任意的 x∈R 恒成立,则实数 a 的取值范围是



答案:a=0;令 cosx=-1,sinx=0, a sin 2 x ? cos x≥a 2 ? 1 ,得 a2≤0.而当 a=0,原式显 然恒成立成立.故 a=0.

7.在△ABC 中,AB=10,AB 边上的高为 3,当 AC·BC 最小时,AC+BC=



2012 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案第 1 页 共 5 页

答案:4 10 ;由三角形的面积公式得

1 1 ·AC·BCsinC= ×3×10=15, 2 2

所以 AC·BC ≥30.当且仅当∠C=90?时,等号成立,即 AC2+BC2=100, 所以 (AC+BC)2=AC2+BC2+2AC·BC=160,即 AC+BC=4 10 .

8.在给定的一个正 n (n≥10) 边形的 n 个顶点中任取 k 个点,使这 k 个点中存在 4 个点是某
个四边形的顶点,且该四边形有三条边是所给定的正 n 边形的边,则 k 的最小值 是 答案: k ? [ .

3n ] ? 1 ;将这正 n 边形的 n 个顶点顺次标记为 A1,A2,…,An.一个四边形的三 4

条边为所给定的正 n 边形的充分必要条件是它的四个顶点是正 n 边形的 4 个相邻的顶点.

n 记集合 A 为除去 A4k(k=1,2,…, [ ] )及 An 点(若 4|n,则 An= A n ),显然集合 A 中无正 4[ ] 4 4
n 边形中连续的顶点,故 k≥ [
反之正 n 边形中任意 [

3n ] ?1. 4

3n ] ? 1 中构成的集合中,一定有 4 个相邻的顶点.即在 n 个点中 4

3n [ ] ?1 n ?1 ] 个点后,因为 4 删除了 [ ? 3 ,故删除的相邻两点中,必有一个包含 4 个顶点相 n ?1 4 [ ] 4

邻的顶点,所以 k≤ [

3n ] ?1. 4

二、解答题(本题满分 16 分) 设△ABC 的内角 A、B、C 所对应的边长分别为 a、b、c.已知 a+b+c=16,求 B C B C A b2·cos2 +c2·cos2 2 +2bc·cos cos sin 的值. 2 2 2 2 解法一:b2cos2

B C B C A +c2cos2 2 +2bccos cos sin 2 2 2 2

1 1 B C B?C = b 2 (1 ? cos C ) + c 2 (1 ? cos B) +2bc cos cos cos 2 2 2 2 2 1 1 B C B C B C = b 2 (1 ? cos C ) + c 2 (1 ? cos B) +2bc cos2 cos2 -2 bc cos cos sin sin 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 = b 2 (1 ? cos C ) + c 2 (1 ? cos B) + bc(1+cosB)(1+cosC)- bc sinBsinC 2 2 2 2
= =

1 2 1 2 1 1 1 1 b + c + b(bcosC+ccosB)+ c(bcosC+ccosB) + bc+ bccos(B+C) ……8 分 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 b + c + ab+ ac + bc- bccosA 2 2 2 2 2 2
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= =

1 2 2 1 2 1 2 1 1 1 b + c + ab+ ac + bc (b +c -2bccosA)+ 4 4 4 2 2 2
……………………16 分

1 2 2 2 1 (a +b +c +2ab+ 2ac +2bc)2= (a+b+c)2=64. 4 4 B C B C A 解法二:b2cos2 +c2cos2 2 +2bccos cos sin 2 2 2 2
=4R2(sin2Bcos2

B C B C A +sin2Ccos2 2 +2sinBsinCcos cos sin ) 2 2 2 2 B B B C C A C =16R2 cos2 2 cos2 ( sin2 2 +sin2 +2sin sin 2 sin ) ……………………8 分 2 2 2 2 B C 1 ? cos B 1 ? cos C cos A ? cos B ? cos C ? 1 =16R2 cos2 2 cos2 ( + + ) 2 2 2 2 A B C =16R2 (cos 2 cos 2 cos )2 2
=R2(sinA+sinB+sinC)2 a?b?c =( )2 2 =64. ……………………16 分

解法三:如图,延长 BC 至 E,使 CE=AC=b,延长 CB 至 F,使 BF=AC=c,连 AE,AF. 设 AE,AF 的中点分别 M,N,则 AM=b·cos ∠MAN=∠A+

C B ,AN=c·cos , 2 2
…………………8 分
A N F B C M E

1 ? A (∠B+∠C)= + . 2 2 2 B C B C A 所以 b2cos2 +c2cos2 2 +2bccos cos sin 2 2 2 2
=AM2+AN2-2AM·ANcos∠MAN=MN2 =(

a?b?c 2 ) =64. 2

…………………16 分

三、解答题(本题满分 20 分)

x2 y2 已知椭圆a2+b2=1 (a>b>0) 右焦点为 F,右准线 l 交 x 轴于点 N,过椭圆上一点 P 作 PM 垂直于准线 l ,垂足为 M .若 PN 平分∠ FPM ,且四边形 OFMP 为平行四边形,

2 证明:e>3.

y P O F

l M N x

证法一:设点 P(x0,y0).由对称性,不妨设 y0>0.

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a2 b2 四边形 OFMN 为平行四边形,所以 PM=OF=c,于是由 PM= c -x0=c,得 x0= c . x02 y02 b4 又 a2 + b2 =1,得 y02=b2(1- a2c2). b2 2 当 PF 垂直于 x 轴,则有 c =c ,得 e= 2 . b 当 PF 不垂直于 x 轴,则有 kPM= 0,kPN=-
…………………5 分

b4 1- a2c2 b , k PN= c

b4 1- a2c2 , b2 - c c

kPM-kPN 于是 tan∠NPM=| 1+ k k |= PN PM

b

b4 1- a2c2 , c b4 a2b2c 1- a2c2·| 2 4 6 |,…………………10 分 a c -b

kPF-kPN tan∠NPF=| 1+ k k |= b PN PF
由 tan∠NPM=tan∠NPF 得 因此

a2b2c2=a2c4-b6,
…………………15 分

e6=(e2-1)2,即 e3=1-e2, 得 e3 + e2=1,

8 4 20 2 因为函数 f(t)=t3 +t2 在 t>0 时单调增加,f(3)=27+9=27<1=f(e), 2 所以 e>3.故结论成立.
证法二:因为∠NPM=∠NPF,∠NPM=∠PNF, 所以 ∠NPF=∠PNF,得 …………………20 分

PF=NF.

…………………5 分

PF 又四边形 OFMP 为平行四边形,所以 PM=OF,且 PM =e, a2 c ON-OF PF NF 1 于是 e =PM =OF = = OF c -1 =e2-1,
从而 e3 + e2=1 (以下与证明一相同). 四、解答题(本题满分 20 分) 解关于 x 的方程 …………………15 分

θ θ (cos22)x3+(3cos22-4)x+sinθ=0.

θ 解:若 cos2=0,则 sinθ=0,故 x=0. θ θ 若 sin2=0,则 cos22=1,sinθ=0,从而 x=0 或 x=±1.
…………………5 分

θ θ θ θ 若 cos2≠0,且 sin2≠0,则原方程化为 x3-(3-4sec22)x+2 tan2=0, θ θ 即 x3-(4tan22+1)x+2 tan2=0,

2012 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案第 4 页 共 5 页

θ θ 即 4xtan22-2tan2+x-x3=0. θ θ 因为 sin2≠0,所以 tan2≠0,从而 x≠0. θ θ θ 于是 4xtan22-2tan2+x-x3=0 是关于 tan2的二次方程,
解得

…………………10 分

θ x θ 1-x tan2=2,或 tan2= 2x .

2

…………………15 分

再解这两个关于 x 的方程得 综上所述,原方程的解是

θ θ θ x=2tan2,或 x=-tan2±sec2.

θ 当 cos2=0,即 θ=2kπ+π(k∈Z)时,x=0; θ θ 当 cos2≠0,即 θ≠2kπ+π(k∈Z)时,x=2tan2, θ θ θ 或 x=-tan2±sec2(当 sin2=0 时的情况包含在其中).
…………………20 分

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