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江苏省苏北四市2011届高三第二次调研测试


徐州、淮安、连云港、 徐州、淮安、连云港、盐城四市 2011 届高三第二次调研考试

数学Ⅰ试题
一、填空题:本大题共 14 小题,每题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上. ........ 1.复数 z = (1 + 3i)i ( i 是虚数单位),则 z 的实部是 ▲ . ▲ . 2.已知集合 A = { x ?1 ≤ x ≤ 2} , B = { x x < 1} ,则 A I (?R B ) =

3.在学生人数比例为 2 : 3: 5 的 A, B , C 三所学校中,用分层抽样方法招募 n 名志愿者,若 在 A 学校恰好选出了 6 名志愿者,那么 n = ▲ .

4.已知直线 l1 : ax ? y + 2a + 1 = 0 和 l2 : 2 x ? (a ? 1) y + 2 = 0 (a ∈ R ) ,则 l1 ⊥ l2 的充要条件 是a =▲ .

5 π 5.已知 α 为锐角, cos α = ,则 tan( + α ) = ▲ . 5 4
6.设 a , b, c 是单位向量,且 a = b + c ,则向量 a,b 的 夹角等于 ▲ . A

开始 1, S 1 N

A≤M Y S A S+ 2 A A+ 1

7.如图是一个算法的流程图,若输出的结果是 31, 则判断框中的整数 M 的值是 ▲ . 8.在区间 [ ?5,5] 内随机地取出一个数 a ,使得

输出 S 结束

1∈{x | 2 x 2 + ax ? a 2 > 0} 的概率为 ▲ .
9.在△ ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,

(第 7 题)

若 sin A = 3 sin C , B = 30o , b = 2 ,则△ ABC 的面积是 ▲ .

10.双曲线

x2 y 2 ? = 1(a > 0, b > 0) 的两条渐近线将平面划分为“上、 左、 下、 右”四个区域 (不 a2 b2 含边界) ,若点 (1, 2) 在“上”区域内,则双曲线离心率 e 的取值范围是 ▲ .
A1 B1 C1

11.如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的所有棱长均等于 1,且

∠A1 AB = ∠A1 AC = 60 ,则该三棱柱的体积是 ▲ .
o

12.已知函数 f ( x) = mx 3 + nx 2 的图象在点 ( ?1, 2) 处的切线 恰好与直线 3x + y = 0 平行,若 f ( x) 在区间 [t , t + 1] 上 单调递减,则实数 t 的取值范围是 ▲ . A B (第 11 题) ▲ . C

13.已知实数 a , b , c 满足 a + b + c = 9 , ab + bc + ca = 24 ,则 b 的取值范围是

14.已知函数 f ( x) = x + 1 + x + 2 + L + x + 2011 + x ? 1 + x ? 2 + L + x ? 2011 ( x ∈ R ) , 且 f ( a 2 ? 3a + 2) = f ( a ? 1) ,则满足条件的所有整数 a 的和是 ▲ .

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 ....... 字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分)

π π 已知函数 f ( x) = sin(2 x + ) ? cos(2 x + ) + 2cos 2 x . 6 3 π (1)求 f ( ) 的值; 12
(2)求 f (x ) 的最大值及相应 x 的值.

16.(本小题满分 14 分) 如 图 , 在 四 棱 锥 E ? ABCD 中 , 底 面 ABCD 为 矩 形 , 平 面 ABCD ⊥ 平 面 ABE ,

∠AEB = 90o , BE = BC , F 为 CE 的中点,求证:
(1) AE ∥平面 BDF ; (2)平面 BDF ⊥ 平面 ACE . D C

F A E (第 16 题) B

17.(本小题满分 14 分)

据环保部门测定, 某处的污染指数与附近污染源的强度成正比, 与到污染源距离的平方 成反比,比例常数为 k (k > 0) .现已知相距 18 km 的 A,B 两家化工厂(污染源)的污 它们连线上任意一点 C 处的污染指数 y 等于两化工厂对该处的污染 染强度分别为 a, b , 指数之和.设 AC = x ( km ) . (1)试将 y 表示为 x 的函数; (2)若 a = 1 ,且 x = 6 时, y 取得最小值,试求 b 的值.

18.(本小题满分 16 分)

如图,椭圆

x2 y2 3 + 2 = 1 (a > b > 0) 过点 P (1, ) ,其左、右焦点分别为 F1 , F2 ,离心率 2 a b 2 uuuur uuuu r 1 e = , M , N 是椭圆右准线上的两个动点,且 F1M ? F2 N = 0 . M 2 y (1)求椭圆的方程;
(2)求 MN 的最小值;

(3)以 MN 为直径的圆 C 是否过定点? 请证明你的结论.
F1 O F2

x

N

(第 18 题)

19.(本小题满分 16 分) 高 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且满足 2 S n = pan ? 2n , n ∈ N * ,其中常数 p > 2 . (1)证明:数列 {an + 1} 为等比数列; (2)若 a2 = 3 ,求数列 {an } 的通项公式; (3)对于(2)中数列 {an } ,若数列 {bn } 满足 bn = log 2 ( an + 1) ( n ∈ N * ) ,在 bk 与 bk +1 之间插入 2k ?1 ( k ∈ N* )个 2,得到一个新的数列 {cn } ,试问:是否存在正整数 m,使得数列 {cn } 的前 m 项的和 Tm = 2011 ?如果存在,求出 m 的值;如果不存在, 说明理由.

20.(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) = x 2 ? 1, g ( x) = a | x ? 1| . (1)若关于 x 的方程 | f ( x) |= g ( x) 只有一个实数解,求实数 a 的取值范围; (2)若当 x ∈ R 时,不等式 f ( x) ≥ g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)求函数 h( x) =| f ( x) | + g ( x) 在区间 [?2, 2] 上的最大值(直接写出结果,不需给出演 ...... ..... 算步骤) ... .

数学Ⅱ试题(附加题) 数学Ⅱ试题(附加题)
注意事项: 本试卷共 2 页,均为非选择题(第 21 题~第 23 题) 。本卷满分为 40 分,考试时间为 30 分钟,考试结束后,请将答题卡交回。作答试题,必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题 卡上指定位置作答,在其它位置作答一律无效。 21. 【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作 ....... ........... 答.若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. . A. 选修 4-1:几何证明选讲 (本小题满分 10 分) 如图, PA 与⊙ O 相切于点 A , D 为 PA 的中点, 过点 D 引割线交⊙ O 于 B , C 两点, 求证: ∠DPB = ∠DCP . O· A B D P

C B.选修 4—2:矩阵与变换 (本小题满分 10 分) 第 21-A 题

?1 已知矩阵 M = ? ?2

2? 的一个特征值为 3,求另一个特征值及其对应的一个特征向量. x? ?

C.选修 4—4:坐标系与参数方程 (本小题满分 10 分)

π 在极坐标系中,圆 C 的方程为 ρ = 2 2 sin(θ + ) ,以极点为坐标原点,极轴为 x 轴的正 4 ? x = t, 半轴建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,判断直线 l 和圆 ? y = 1 + 2t
C 的位置关系.

D.选修 4—5:不等式选讲 (本小题满分 10 分) 求函数 y = 1 ? x + 4 + 2 x 的最大值. 【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分。请在答题卡指定区域内作答,解答 ....... 时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分 10 分)

1 1 已知动圆 P 过点 F (0, ) 且与直线 y = ? 相切. 4 4
(1)求点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点 F 作一条直线交轨迹 C 于 A, B 两点,轨迹 C 在 A, B 两点处的切线相交于点

N , M 为线段 AB 的中点,求证: MN ⊥ x 轴.
y

F· P ·

O

x

第 22 题

23. (本小题满分 10 分)

1 甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为 , a, a (0 < a < 1) ,三人各射击一次, 2 击中目标的次数记为 ξ .
(1)求 ξ 的分布列及数学期望; (2)在概率 P (ξ = i ) ( i =0,1,2,3)中, 若 P (ξ = 1) 的值最大, 求实数 a 的取值范围.

参考答案与评分标准
一 填空题 1. ?3 ; 2. {x |1 ≤ x ≤ 2} ; 3. 30 ; 8. 0.3 ; 9. 3 ; 10. 1, 5 ; 11. 二 解答题

1 4. ; 3

5. ?3 ;

6.

π ; 7.4; 3

(

)

2 ;12. [?2, ?1] ; 13. [1 5] ; 14.6 。 , 4

π π π π 15.(1) f ( ) = sin(2 × + ) ? cos(2 × + 12 12 6 12 π π π = sin ? cos + 1 + cos 3 2 6 2分
= 3 3 ? 0 +1+ 2 2

π π ) + 2cos 2 3 12
…………………………………………………

= 3 + 1 ………………………………………………………………………………………
…6 分

π π (1)Q f ( x) = sin(2 x + ) ? cos(2 x + ) + 2cos 2 x 6 3 = sin 2 x cos π π π π + cos 2 x sin ? cos 2 x cos + sin 2 x sin + 2cos 2 x + 1 …………………10 分 6 6 3 3

= 3 sin 2 x + cos 2 x + 1 = 2sin(2 x +
…12 分

π
6

) + 1 ,……………………………………………

π ∴ 当 sin(2 x + ) = 1 时, f ( x) max = 2 + 1 = 3 , 6
此 时 ,

2x +

π π = 2k π + , 6 2



x = kπ +

π (k ∈ Z) ,……………………………………………14 分 6
D G F A B C

16.(1)设 AC I BD = G ,连接 FG ,易知 G 是 AC 的中点, ∵ F 是 EC 中点.∴在△ ACE 中, FG ∥ AE , ∵ AE ? 平面 BFD , FG ? 平面 BFD , ∴ AE ∥平面 BFD . ………………………………6 分 …………2 分

E (2)Q 平面 ABCD ⊥ 平面 ABE , BC ⊥ AB , 平面 ABCD I 平面 ABE = AB ∴ BC ⊥ 平面 ABE ,又Q AE ? 平面 ABE , ∴ BC ⊥ AE ,

又Q AE ⊥ BE , BC I BE = B ,∴ AE ⊥ 平面 BCE ,∴ AE ⊥ BF ,……………………………10 分 在 △BCE 中, BE = CB, F 为 CE 的中点,∴ BF ⊥ CE , AE I CE = E ∴ BF ⊥ 平面 ACE , 又 BF ? 平面 BDF , ∴ 平面 BDF ⊥ 平面 ACE . ……………………………………………… 14 分

17.解: (1)设点 C 受 A 污染源污染程度为 其 中 k >0. 从 而

ka kb ,点 C 受 B 污染源污染程度为 , 2 x (18 ? x) 2
且 度

k 为 比 例 系 数 , ……………………………………………………………………4 分 点 C 处 受 污 染 程
…………………………………………6 分

y=

ka kb . + x 2 (18 ? x) 2

(2) 因为 a = 1 , 所以,y = 8分

k kb , + 2 x (18 ? x)2

……………………………

y ' = k[

18 ?2 2b 令 得 , + ] , y' = 0 , x = 3 3 x (18 ? x) 1+ 3 b

……………………………

12 分 又此时 x = 6 ,解得 b = 8 ,经验证符合题意. 所 以 , 污 染 源 B 的 污 染 8. ……………………………14 分 18.(1)Q e =





b







c 1 3 = ,且过点 P (1, ) , a 2 2

9 ?1 ? a 2 + 4b 2 = 1, ? a = 2, ? ? ∴ ? a = 2c, 解 得 ? ?b = 3, ? ? a 2 = b2 + c 2 , ? ? 2 x y2 + = 1 .……………………………………4 分 4 3













uuuur uuuu r uuuur uuuu r (2) 设点 M (4, y1 ), N (4, y2 ) 则 F1M = (5, y1 ), F2 N = (3, y2 ), F1M ? F2 N = 15 + y1 y2 = 0 ,

∴ y1 y2 = ?15 ,

又Q MN = y2 ? y1 = - 的 最

15 15 ? y1 = + y1 ≥ 2 15 , y1 y1
小 值 为

∴ MN

2 15 .…………………………………………………………………………10 分
(3) 圆心 C 的坐标为 (4,
y ? y1 y1 + y2 ) ,半径 r = 2 . 2 2

圆 C 的方程为 ( x ? 4)2 + ( y ? 整

y1 + y2 2 ( y2 ? y1 )2 ) = , 2 4
理 得 ……………………………………16 分 :

x 2 + y 2 ? 8 x ? ( y1 + y2 ) y + 16 + y1 y2 = 0 .
Q y1 y2 = ?15 ,∴ x 2 + y 2 ? 8 x ? ( y1 + y2 ) y + 1 = 0
令 y = 0 ,得 x 2 ? 8 x + 1 = 0 ,∴ x = 4 ± 15 .





C







(4 ± 15,0) .……………………………………………………………………………16 分
19.解: (1)∵ 2 S n = pan ? 2n ,∴ 2 S n +1 = pan +1 ? 2(n + 1) ,∴ 2an +1 = pan +1 ? pan ? 2 , ∴

an +1 =

p 2 an + p?2 p?2





an +1 + 1 =

p (an + 1) , p?2

…………………………………4 分

∵ 2a1 = pa1 ? 2 ,∴ a1 =

p > 0 ,∴ a1 + 1 > 0 p?2



an +1 + 1 p = ≠ 0 ,∴数列 {an + 1} 为等比数列. an + 1 p ? 2 p n p n ∴ ) , an = ( ) ?1 p?2 p?2
……………………………

(2) (1) an + 1 = ( 由 知 8分 又∵ a2 = 3 , ( ∴ 10 分

p 2 ∴ ∴ ) ? 1 = 3 , p = 4 , an = 2 n ? 1 p?2

……………………………

(3)由(2)得 bn = log 2 2n ,即 bn = n,(n ∈ N * ) ,

数列 {C n } 中, bk (含 bk 项)前的所有项的和是:

( + 2 + 3 + L + k ) + (20 + 21 + 22 + L + 2k ? 2 ) × 2 = 1
当 k=10 时,其和是 55 + 210 ? 2 = 1077 < 2011 当 k=11 时,其和是 66 + 211 ? 2 = 2112 > 2011 又因为 2011-1077=934=467 × 2,是 2 的倍数

k (k + 1) + 2k ? 2 …………………12 分 2

………………………………14 分

所以当 m = 10 + (1 + 2 + 22 + L + 28 ) + 467 = 988 时, Tm = 2011 , 所以存在 m=988 使得 Tm = 2011 ……………………………………16 分

20. (1)方程 | f ( x) |= g ( x) ,即 | x 2 ? 1|= a | x ? 1| ,变形得 | x ? 1| (| x + 1| ? a ) = 0 , 显然, x = 1 已是该方程的根,从而欲原方程只有一解,即要求方程 | x + 1|= a , 有且仅有一个等于 1 的解或无解 , 结合图形得 a < 0 . ……………………4 分 (2)不等式 f ( x) ≥ g ( x) 对 x ∈ R 恒成立,即 ( x 2 ? 1) ≥ a | x ? 1| (*)对 x ∈ R 恒成立, (*)显然成立,此时 a ∈ R ; ①当 x = 1 时, x 2 ? 1 ? x + 1, ( x > 1), x2 ? 1 ②当 x ≠ 1 时, (*)可变形为 a ≤ ,令 ? ( x) = =? | x ? 1| | x ? 1| ? ?( x + 1), ( x < 1). 因为当 x > 1 时, ? ( x) > 2 ,当 x < 1 时, ? ( x) > ?2 , 所以 ? ( x) > ?2 ,故此时 a ≤ ?2 . 综合①②,得所求实数 a 的取值范围是 a ≤ ?2 . …………………………………8 分

? x 2 + ax ? a ? 1, ( x ≥ 1), ? (3)因为 h( x) =| f ( x) | + g ( x) =| x 2 ? 1| + a | x ? 1| = ? ? x 2 ? ax + a + 1, ( ?1 ≤ x < 1), …10 分 ? x 2 ? ax + a ? 1, ( x < ?1). ? a ① 当 > 1, 即a > 2 时,结合图形可知 h( x) 在 [ ?2,1] 上递减,在 [1, 2] 上递增, 2 且 h( ?2) = 3a + 3, h(2) = a + 3 ,经比较,此时 h( x) 在 [ ?2, 2] 上的最大值为 3a + 3 . a a ② 当 0 ≤ ≤ 1, 即0 ≤ a ≤ 2 时,结合图形可知 h( x) 在 [ ?2, ?1] , [ ? ,1] 上递减, 2 2 a a a2 在 [ ?1, ? ] , [1, 2] 上递增,且 h( ?2) = 3a + 3, h(2) = a + 3 , h( ? ) = + a +1, 2 2 4 经比较,知此时 h( x) 在 [ ?2, 2] 上的最大值为 3a + 3 . a a ③ 当 ?1 ≤ < 0, 即- 2 ≤ a < 0 时,结合图形可知 h( x) 在 [ ?2, ?1] , [ ? ,1] 上递减, 2 2 a a a2 在 [ ?1, ? ] , [1, 2] 上递增,且 h( ?2) = 3a + 3, h(2) = a + 3 , h( ? ) = + a +1, 2 2 4 经比较,知此时 h( x) 在 [ ?2, 2] 上的最大值为 a + 3 . 3 a a a ④ 当 ? ≤ < ?1, 即- 3 ≤ a < ?2 时,结合图形可知 h( x) 在 [ ?2, ] , [1, ? ] 上递减, 2 2 2 2 a a 在 [ ,1] , [ ? , 2] 上递增,且 h( ?2) = 3a + 3 < 0 , h(2) = a + 3 ≥ 0 , 2 2 经比较,知此时 h( x) 在 [ ?2, 2] 上的最大值为 a + 3 . a 3 当 < ? , 即a < ?3 时,结合图形可知 h( x) 在 [ ?2,1] 上递减,在 [1, 2] 上递增, 2 2

故此时 h( x) 在 [?2,2] 上的最大值为 h(1) = 0 . 综上所述,当 a ≥ 0 时, h( x) 在 [ ?2, 2] 上的最大值为 3a + 3 ; 当 ?3 ≤ a < 0 时, h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 a + 3 ; 当 a < ?3 时, h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 0.…………………………………………16 分

附加题答案
21. A. 【证明】因为 PA 与圆相切于 A , 所以 DA = DB ? DC ,
2

P D A B O·

因为 D 为 PA 中点,所以 DP = DA ,

PD DB 所以 DP =DB·DC,即 = . ……………5 分 DC PD
2

因为 ∠BDP = ∠PDC , 所以 ∠DPB = ∠DCP . B.解:矩阵 M 的特征多项式为

所以 ?BDP ∽ ?PDC , …………………… 10 分

C

f (λ ) =

λ ?1
?2

?2 = (λ ? 1)(λ ? x ) ? 4 ………………………1 分 λ?x

因为 λ1 = 3 方程 f (λ ) = 0 的一根,所以 x = 1 ………………………3 分 由 (λ ? 1)(λ ? 1) ? 4 = 0 得 λ 2 = ?1 ,…………………………………5 分 设 λ 2 = ?1 对应的一个特征向量为 α = ? ? ,

?x ? ? y?

则?

?? 2 x ? 2 y = 0 得 x = ? y …………………………………………8 分 ?? 2 x ? 2 y = 0

令 x = 1, 则y = ?1 , 所以矩阵 M 的另一个特征值为-1,对应的一个特征向量为 α = ?

?1 ? ? ………10 分 ?? 1?

C.消去参数 t ,得直线 l 的直角坐标方程为 y = 2 x + 1 ;…………… 2 分

4 两边同乘以 ρ 得 ρ 2 = 2( ρ sin θ + ρ cosθ ) ,

π ρ = 2 2(sin θ + ) 即 ρ = 2(sin θ + cos θ ) ,

得⊙ C 的直角坐标方程为: ( x ? 1)2 + ( x ? 1) 2 = 2 , …………………… 6 分 圆心 C 到直线 l 的距离 d = 所以直线 l 和⊙ C 相交.

| 2 ? 1 + 1| 2 +1
2 2

=

2 5 < 2, 5

…………………………………………………… 10 分

D. 因为 y 2 = ( 1 ? x + 2 ? 2 + x ) 2 ≤ [12 + ( 2) 2 ][1 ? x + 2 + x] = 3 × 3 ∴ y ≤ 3 …8 分, 当且仅当

………6 分

1 2 = 时取“ = ”号,即当 x = 0 时, ymax = 3 ………10 分 1? x 2+ x

22.(1)根据抛物线的定义,可得动圆圆心 P 的轨迹 C 的方程为 x 2 = y …………4 分
2 (2) 证明:设 A( x1 , x12 ), B ( x2 , x2 ) , ∵ y = x 2 , ∴ y′ = 2 x ,∴ AN , BN 的斜率

分别 为 2 x1 , 2 x2 ,故 AN 的方程为 y ? x1 = 2 x1 ( x ? x1 ) , BN 的方程
2

y

为 y ? x2 = 2 x2 ( x ? x2 ) …7 分
2

? y = 2 x1 x ? x12 x + x2 x + x2 ? 即? , 两式相减, xN = 1 得 , xM = 1 又 , 2 2 2 ? y = 2 x2 x ? x2 ?
∴ M , N 的横坐标相等,于是 MN ⊥ x ………………10 分

F· P ·

O

x

第 22 题

23.(1) P (ξ ) 是“ ξ 个人命中, 3 ? ξ 个人未命中”的概率.其中 ξ 的可能取值为0,1,2,3.
1? 1 0? P (ξ = 0) = C1 ?1 ? ? C0 (1 ? a ) 2 = (1 ? a ) 2 , 2 2 ? 2? 1 0 1 ? 1? 1 0 P (ξ = 1) = C1 ? C 2 (1 ? a ) 2 + C1 ? 1 ? ? C2 a (1 ? a) = (1 ? a 2 ) , 1 2 2 ? 2? 1 1? 2 1 0? P (ξ = 2) = C1 ? C1 a (1 ? a ) + C1 ? 1 ? ? C 2 a 2 = (2a ? a 2 ) , 1 2 2 2 ? 2? 2 1 2 2 a P (ξ = 3) = C1 ? C2 a = . 1 2 2 所以 ξ 的分布列为

ξ
P
1 2

0

1
1 2

2
1 2

3

(1 ? a ) 2

(1 ? a 2 )

(2a ? a 2 )

a2 2

ξ 的数学期望为
Eξ = 0 × (1 ? a )2 + 1 × (1 ? a 2 ) + 2 × (2a ? a 2 ) + 3 ×
2 2 2 1 1 1

a2
2

=

4a + 1 . 2

……………5分

(2) P (ξ = 1) ? P (ξ = 0) =

1 ?(1 ? a 2 ) ? (1 ? a ) 2 ? = a(1 ? a ) , ? 2? 1 1 ? 2a P (ξ = 1) ? P (ξ = 2) = ?(1 ? a 2 ) ? (2a ? a 2 ) ? = , ? ? 2 2 1 1 ? 2a 2 P (ξ = 1) ? P (ξ = 3) = ? (1 ? a 2 ) ? a 2 ? = . ? 2? 2

? ? a (1 ? a ) ≥ 0, ? 1 ? 1 ? 2a ? 1? ≥ 0, 和 0 < a < 1 ,得 0 < a ≤ ,即 a 的取值范围是 ? 0, ? . 由? 2 ? 2? ? 2 2 ? 1 ? 2a ≥0 ? ? 2

…… 10 分


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