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2013年全国高中数学联赛冲刺卷(3)附详细解答


2013 年全国高中数学联赛冲刺卷(3)
(考试时间:80 分钟 姓名:_____________ 满分:120 分) 得分:____________

一、填空题(本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分) 1. 设 f ( x) 是一个偶函数,使得对所有整数 x 和 y ,都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ?

6 xy ? 1 , 则 f (2011) ? f (2010) ? ____________
2. y ? (3x ? 1)( 9 x ? 6 x ? 5 ? 1) ? (2 x ? 3)( 4 x ? 12 x ? 13 ? 1) 的图象与 x 轴交点坐标是
2 2

3. 将二顶式 ( x ?

1 2 x
4

)n 的展开式按 x 的降幂排,若前三项系数成等差数列,则该展开式中 x 的幂指数
个.

是整数的项共有

4. 已知数列{an}是正整数组成的递增数列, an ? 2 ? an ?1 ? 2an n ? N

?

?

?, 若a

5

? 52 ,则 a7 ? _________

5. 在三棱椎 P?ABC 中, BC=3, CA=4, AB=5, 若三侧面与底面所成二面角均为 45° 则 VP?ABC=________ , 1 6. 数列 a0, a1,…, an 满足 a0= 3, an+1=[an]+ , ([x],{x}分别表示 x 的整数部分和小数部分), {an} 则 a2011 =__________ 7. 由直线 y ? n (n∈N*)与抛物线 y ? x 所围成的封闭区域内(包括边界)的整点个数为_____________ 1 1 1 8. 有一道数学竞赛题, 甲, 乙, 丙单独解出的概率分别为 , , ( a, b, c ∈N*且 1≤ a, b, c ≤10), 现甲, a b c 7 乙, 丙同时独立解答此题, 若他们中恰有一人解出此题的概率为 , 那么, 他们三人都未解出此题的 15 概率为__________
2 2

二、解答题(本大题共 3 小题,第 9 题 16 分,第 10、11 题 20 分,共 56 分) 1 10. 设数列{an}的前 n 项和 Sn 与 an 的关系为 Sn=-ban- +1,其中 b 是与 n 无关的常数, (1 ? b) n
且 b≠-1.(1)求 an 与 an?1 的关系式; (2)写出用 n 与 b 表示 an 的表达式.

9. 已知定义在 ? ??, 4 ? 上的减函数 f (x), 使得 f ? m ? sin x ? ? f
成立,求实数 m 的范围.

? 1? 2m ? 7 ? cos x? 4
2

对一切实数 x 均

11. 椭圆 C1:a2+b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,右顶点为 A , P 为椭圆 C1 上任意一点, ???? ???? ? 2 2 2 2 且 PF1 ? PF2 最大值的取值范围是 ? c , 3c ? , ⑴ ? ? 其中 c ? a ? b . 求椭圆 C1 的离心率 e 的取值范围;
⑵ 设双曲线 C2 以椭圆 C1 的焦点为顶点,顶点为焦点, B 是双曲线 C2 在第一象限上任意一点, 若不存在,请说明理由. 当 e 取得最小值时, 试问是否存在常数 ? ? ? ? 0 ? , 使得 ?BAF1 ? ??BF1 A 恒成立?若存在求出 ? 的值;

x2

y2

2013 冲刺卷(3)

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2013 年全国高中数学联赛冲刺卷(3)
1、令 x ? y ? 0 , 得 f (0) ? ?1 ,令 y ? ?x , 得 f ( x) ? 3x ? 1 , 所以 f (2011) ? f (2010) ? 12063
2
2 2 2、解: y ? (3 x ? 1)( (3 x ? 1) ? 4 ? 1) ? (2 x ? 3)( (2 x ? 3) ? 4 ? 1) , 令 f (t ) ? t ( t ? 4 ? 1) ,可知 f (t ) 是奇

2

函数, 且严格单调, 所以 y ? f (3x ? 1) ? f (2 x ? 3) , y ? 0 时,f (3x ? 1) ? ? f (2 x ? 3) ? f (3 ? 2 x) , 当

4 4 ,即图像和 x 轴交点坐标为 ( , 0) 5 5 1 1 1 1 3、易求前三项系数分别是 1, n , n(n ? 1) .由这三个数成等差数列,有 2 ? n ? 1+ n(n ? 1) , 2 8 2 8 3r 1 r (4? ) r 解得 n ? 8 和 n ? 1 (舍去). 当 n ? 8 时, Tr ?1 ? C8 ? ( ) ? x 4 , 由 4 3r , 得 r 只能是 0, 4, 8. 2 4、 a3 ? a2 ? 2a1 , a4 ? a3 ? 2a2 ? 3a2 ? 2a1 , a5 ? a4 ? 2a3 ? 5a2 ? 6a1
所以 3x ? 1 ? 3 ? 2 x ,故 x ? 方程 5a2 ? 6a1 ? 52 的正整数解为 a1 ? 2, a2 ? 8 或 a1 ? 7, a2 ? 2 ,又 a2 ? a1 ∴ a1 ? 2, a2 ? 8 ,故 a7 ? a6 ? 2a5 ? 21a2 ? 22a1 ? 212 5、作 PO ? 面ABC于O , OD ? BC于D ,OE⊥CA 于 E,OF⊥AB 于 F,设 OP=h,则

?PDO ? ?PEO ? ?PFO ? 45? ,于是 OD ? OE ? OF ? h ? cot 45? ? h ,在△ABC 中, 1 1 3OD ? 4OE ? 5OF ? 2S? ABC ? 12 ,即: 3h ? 4h ? 5h ? 12 ,所以 h ? 1 , V ? Sh ? ? 6 ?1 ? 2 3 3 1 3 ?1 3 ?1 ? 1? ? 2? 6、由已知得: a0 ? 1 ? 3 ? 1 , a1 ? 1 ? 2 2 3 ?1

?

?

a2 ? 2 ?
a4 ? 7 ?

2 ? 2? 3 ?1

?

3 ?1 ? 4 ?

?

?

3 ? 1 , a3 ? 4 ?

?

1 3 ?1 3 ?1 ? 4? ? 5? 2 2 3 ?1

3 ?1 3 ?1 , 所以 a2011 ? 3015 ? 2 2 2 2 2 2 7、直线 y ? n 与抛物线 y ? x 的交点 A ? n, n ? , B ? ?n, n ? ,设直线 x ? k 上位于区域内的线段为 CD,

?

3 ? 1 ,易得: a2 k ? 3k ? 1 ?

?

?

3 ? 1 , a2 k ?1 ? 3k ? 2 ?

?

? , D ? k , k ? ,则线段 CD 上的整点数为 n ? k 故区域内的整点数为: ? ? n ? k ? 1? ? ? 2n ? 1? ? n ? 1? ? 2? k
其端点坐标为 C k , n
2 2

?

2

2

? 1 ,k ? ??n, ??? ? 1, 0,1, 2, ???n? ,

n

n

2

2

2

2

?

k ?? n

k ?1

1 ? 2n ? 1? 2n2 ? n ? 3 3

?

?

8、依题意:

1 b ?1 c ?1 a ?1 1 c ?1 a ?1 b ?1 1 7 ? ? ? ? ? ? ? ? ? a b c a b c a b c 15 即: 15 ?? a ? 1?? b ? 1? ? ? b ? 1?? c ? 1? ? ? c ? 1?? a ? 1? ? ? 7 abc ? ?

所以:5| abc , 不妨设 5| c ,于是 c =5, 3 ?? a ? 1?? b ? 1? ? 4 ? b ? 1? ? 4 ? a ? 1? ? ? 7 ab ? ? 即: 3 ? 3a ? 3b ? 7 ? ? 4ab ,所以 3| ab ,不妨设 3| b ,于是 b ? 3,6,9 所以 a ? 2 , b ? 3 , c ? 5 ,于是三人都未解出的概率为 当 b ? 3 时, a ? 2 ; b ? 6 时, 3a ? 11 ? 8a ,无整数解。 b ? 9 时, 3a ? 20 ? 12a ,无整数解。

4 15
2

? ? ? ? 9、 由题意可得 ?m ? sin x ? 1 ? 2m ? 4 ? cos x, 即 ?m ? 1 ? 2m ? ? sin x ? sin x ? 4 , 对x ? R恒成立 , 7
2

3

?m ? sin x ? 4. ?

?m ? 4 ? sin x. ?

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3 ? ?(sin x ? 1 )2 ? 1 ,所以 4 ? sin x ? 3 . 4 2 2 1 1 ? ? ? ? 1 3 所以 ?m ? 1 ? 2m ? ? 2 , 所以 ?m ? 2 ? 1 ? 2m , 所以 m ? ? ,或 ? m ? 3 . 2 2 ?m ? 3. ?m ? 3. ? ? 1 1 10、解(1) a1 ? S1 ? ?ba1 ? 1 ? 得a1 ? (1 ? b) (1 ? b) 2 1 1 b 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=-ban+1- , ? [?ban ?1 ? 1 ? ] ? ?ban ? ban ?1 ? n n ?1 (1 ? b) (1 ? b) (1 ? b) n b b 整理得 an ? an?1 ? (n ? 2) (*) 1? b (1 ? b)n ?1 1 1 1 1 - ⑵ 当 b=1 时,a1= , an ? an ?1 ? n ?1 , 两边同乘以 2n,得 2nan=2n 1an-1+ , 可知数列{2nan}是 4 2 2 2 1 1 n n 1 1 n 以 2a= 为首项,公差为 的等差数列. 所以 2 a n ? ? (n ? 1) ? ,即a n ? n?1 . 2 2 2 2 2 2 b - 当 b≠1,b≠-1 时,由(*)式得(1+b)nan=b(1+b)n 1an-1+ 1? b 1? b n 1 ? b n ?1 1 1? b n 1 有( ) an ? ( ) an ?1 ? . 令cn ? ( ) an , ? cn ? cn ?1 ? . n ?1 b b (1 ? b)b b (1 ? b)b n ?1
又 ? sin 2 x ? sin x ? 从而数列{cn-cn-1}就是一个等比数列,n 取 2,3,…,n 得

1 1 , c3 ? c 2 ? ,?, (1 ? b)b (1 ? b)b 2 1 c n ? c n ?1 ? , 上述n ? 1个式子相加得 (1 ? b)b n ?1 1 1 1 1 1? b 1 c n ? c1 ? ( ? 2 ? ? ? n ?1 ), 且c1 ? a1 ? , 1? b b b b 1? b b 1 1 1 1 1? bn 所以c n ? (1 ? ? 2 ? ? ? n ?1 ) ? n ?1 , 1? b b b b b (1 ? b)(1 ? b) c 2 ? c1 ? 从而a n ? bn bn 1? bn b(1 ? b n ) ? cn ? ? n ?1 ? , (1 ? b) n (1 ? b) n b (1 ? b)(1 ? b) (1 ? b)(1 ? b) n ?1
b ? 1, b ? ?1.

11、⑴ 设 P ? x, y ? ,又 F1 ? ?c, 0 ? , F2 ? c, 0 ? ,∴ PF1 ? ? ?c ? x, ? y ? , PF2 ? ? c ? x, ? y ? .
2 2 2 ???? ???? ? y2 PF1 ? PF2 ? x 2 ? y 2 ? c 2 .又 x 2 ? 2 ? 1,得 y 2 ? b2 ? b x , 0 ? x 2 ? a 2 . a b a2 ???? ???? ? b2 2 c2 2 2 2 2 2 ∴ PF1 ? PF2 ? ?1 ? 2 ? x ? b ? c ? 2 x ? b ? c . ? ? a ? a ? ???? ???? ? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∴当 x ? a 时 PF1 ? PF2 max ? b , c ? b ? 3c , c ? a ? c ? 3c .

?n ? n, 故数列{an}的通项公式为 a ? ? 2 ? n n ? b(1 ? b ) ? (1 ? b)(1 ? b) n ?1 ?

????

???? ?



1 ? c 2 ? 1 ,即 1 ? e2 ? 1 .∴ 1 ? e ? 2 . 4 a2 2 2 2 4 2
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2 1 时, a ? 2c, b ? 3c .∴ C : x 2 ? y ? 1 , A 2c, 0 . ? ? 2 2 c 2 3c 2 x2 y2 设 B ? x0 , y0 ? , ? x0 ? 0, y0 ? 0 ? ,则 02 ? 0 2 ? 1 . c 3c 3c ? 1 .故 ?BF A ? ? . 当 AB ? x 轴时, x0 ? 2c , y0 ? 3c ,则 tan ?BF1 A ? 1 3c 4

⑵当 e ?

故 ?BAF1 ?

? ? 2?BF A ,猜想 ? ? 2 ,使 ?BAF ? ??BF A 总成立. 1 1 1
2

? y0 ? y0 y ? , tan ?BF1 A ? 0 . x0 ? a x0 ? 2c x0 ? c 2 y0 2 ? x0 ? c 2 tan ?BF1 A 2 2? x 2 2 ? ∴ tan 2?BF1 A ? .又 y0 ? 3c ? 02 ? 1? ? 3 ? x0 ? c ? , 2 2 c 1 ? tan ?BF1 A ? y ? ? ? 1? ? 0 ? ? x0 ? c ?
当 x0 ? 2c 时, tan ?BAF1 ?

? y0 2 ? ? tan ?BAF1 . 2?B 1 与 ?BAF1 同在 0, ? ? ? , ? 内, FA ∴ tan 2?BF1 A ? 又 2 2 2 2 2 ? x0 ? c ? ? 3 ? x0 ? c ? x0 ? 2c
∴ 2?BF1 A = ?BAF1 ,故存在 ? ? 2 ,使 ?BAF1 ? ??BF1 A 恒成立.

2 y0 ? x0 ? c ?

? ?? ?

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