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河北满城中学2014-2015学年高二下学期期中考试数学(理)试题


满城中学高二第二学期期中考试 数学试题(理科)
(考试时间:120 分钟 分值:150 分)
一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一个是符合题目要求的)
1.设 x,y?R+,且满足 x+4y=40,则 lgx+lgy 的最大值为 A.40 A.1 B .10 B.2 C.4 C. ?2 D

.2 ) D. ?1 ) C.a+c>b+d D.a-c>b-d ( )

2. 实数 x , y 满足 (1 ? i) x ? (1 ? i) y ? 2 ,则 xy 的值是( 3.若 b<0<a,d<c<0,则下列不等式中必成立的是( A.ac>bd

B.错误!未找到引用源。>错误!未找到引用源。 )

4.已知 a≥0,b≥0,且 a+b=2,则 ( A.ab≤错误!未找到引用源。

B.ab≥错误!未找到引用源。 C.a +b ≥2 )

2

2

D.a +b ≤3

2

2

5.已知 z ? C , z ? 2 ? 1 ,则 z ? 2 ? 5i 的最大值和最小值分别是( A. 41 ? 1 和 41 ? 1 B.3 和 1 C. 5 2 和 34 D. 39 和 3

6.用反证法证明命题:若整系数一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有有理根,那么 a, b,c 中至少有 一个是偶数时,下列假设中正确的是( ) A.假设 a, b,c 都是偶数 B.假设 a, b,c 都不是偶数 C.假设 a, b,c 至多有一个是偶 数 D .假设 a, b,c 至多有两个是偶数 7. 用数学归纳法证明 (n ? 1)(n ? 2) 为( ) B. 2(2k ? 1) C.
2k ? 1 k ?1

(n ? n) ? 2n ·· 13 · · (2n ? 1) ,从 k 到 k ? 1 ,左边需要增乘的代数式
2k ? 3 k ?1

A. 2 k ? 1

D.

[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

8. 函数 y ? x ln x 的单调递减区间是 A、 ( e ,+∞)B、 (-∞, e )
2
?1 ?1




?1

C、 (0, e )

D、 (e,+∞)

9.已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 的导数为 f ?( x ) , f ?(0) ? 0 ,对于任意实数 x ,有 f ( x) ≥ 0 , 则

f (1) 的最小值为( f ?(0)
B.

)

A. 3

5 2

C. 2

D.
2? 0

3 2

10、给出以下命题:⑴若

?

b a

f ( x)dx ? 0 ,则 f(x)>0; ⑵ ?

sin xdx ? 4 ;⑶f(x)的原函数为 F(x),且

F(x)是以 T 为周期的函数,则 A. 1 A、 k ? B. 2
3

?

a 0

f ( x)dx ? ?
2

a ?T T

f ( x)dx ;其中正确命题的个数(

)

C. 3
2

D. 0 ) C、 0 ? k ?

11、设函数 f(x)=kx +3(k-1)x ? k +1 在区间(0,4)上是减函数,则 k 的取值范围 (

1 1 D、 k ? 3 3 ' 12、对于 R 上 可导的任意函数 f(x) ,且 f (1) ? 0 若满足(x-1) f ?(x) >0,则必有
B、 0 ? k ?

1 3

1 3

(

)

A、f(0)+f(2)?2f(1) C、f(0)+f(2)>2f(1)

B、f(0)+f(2)?2f(1) D、f(0)+f(2)?2f (1)

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把最简答案填在题后横线上)
13.由三角形的性质通过类比推理, 得到四面体的如下性质: 四面体的六个二面角的平分面交于一点, 且这个点是四面体内切球的球心,那么原来三角形的性质为 . 14.f(x)为一次函数,且 f ( x) ? x ? 2

?

1 0

f (t )dt ,则 f ( x) = _______.

15.x>0,y>0 且满足 x+y=6 ,则使不等式错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。≥m 恒成立的 实数 m 的取值范围为 16. 已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? c在x ? ?2 处取得极值,并且它的图象与直线 y ? ?3x ? 3 在 点(1,0)处相切,则函数 f ( x) 的表达式为

三.解答题(本大题共 6 小题,70 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步 骤)
17. 已知 z 是复数, z ? 2i 与 数 a 的取值范围. 18. 某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园 ABCD,公园由长方形休闲区 A1B1C1D1 和环 公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区 A1B1C1D1 的面积为 4000 平方米,人行道的宽分别为 4 米和 10 米(如图所示). (1)若设休闲区的长和宽的比错误! 未找到引用源。 =x,求公园 ABCD 所占面积 S 关于 x 的函数解析式. (2)要使公园所占面积最小,休闲区 A1B1C1D1 的长和宽应如何设计?
z 均为实数,且复数 ( z ? ai)2 在复平面上对应的点在第一象限,求实 2?i

19.如图,在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,点 O、E 分别是 A1C1、AA1 的中点,AO⊥平面 A1B1C1.已知 ∠BCA=90° ,AA1=AC=BC=2.

(1)证明:OE∥平面 AB1C1; (2) 求 A1C1 与平面 AA1B1 所成角的正弦值. 20. 已知 f ( x) ? x 3 ? 3ax 2 ? bx ? a 2 (a ? 1) 在 x ? ?1时有极值 0。 (1)求常数 a , b 的值; (2)方程 f ( x) ? c 在区间[-4,0]上有三个不同的实根时,求实数 c 的范围。 21.在几何体 ABC-A1B1C1 中,点 A1、B1、C1 在平面 ABC 内的正投影分别为 A、B、C,且 AB⊥BC, AA1=BB1=4,AB=BC=CC1=2,E 为 AB1 的中点.

(1) 求二面角 B1-AC1-C 的大小; (2)设点 M 为△ABC 所在平面内的动点,EM⊥平面 AB1C1,求线段 BM 的长. 22. f ( x) ? x ? 1 ? ln2 x ? 2a ln x( x ? 0) .
? ∞) 内的单调性并求极值; (Ⅰ)令 F ( x) ? xf ?( x) ,讨论 F ( x) 在 (0,

(Ⅱ)求证:当 x ? 1 时,恒有 x ? ln 2 x ? 2a ln x ? 1 .

理科答案 DACCA BBCCB DC

13. 三角形内角平分线交于一点,且这个点是三角形内切圆的圆心 15.

14.

x-1

错误!未找到引用源。

16. f ( x) ? x 3 ? x 2 ? 8x ? 6

17. 解:设 z ? x ? yi ( x,y ? R ) , z ? 2i ? x ? ( y ? 2)i 为实数,∴ y ? ?2 .
z x ? 2i 1 1 ? ? (2x ? 2) ? ( x ? 4)i 为实数, 2?i 2?i 5 5
∴ x ? 4 ,则 z ? 4 ? 2i .

∵( z ? ai)2 ? (12 ? 4a ? a2 ) ? 8(a ? 2)i 在第一象限,
?12 ? 4a ? a 2 ? 0, 解得 2 ? a ? 6 . ∴? ?8(a ? 2) ? 0,

18.

(1)设休闲区的宽为 a 米,则其长为 ax 米,由 a2x=4000,得 a=错误!未找

到引用源。. 则 S=(a+8)(ax+20)=a2x+(8x+20)a+160
[来源:学_科_网 Z_X_X_K]

=4000+(8x+20)·错误!未找到引用源。+160 =80 错误!未找到引用源。+4160(x>1). (2)S ≥ 80 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 × 2 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 +4160=1600+4160=5760.当且仅当 2 错误!未找到引用源。=错误!未找到 引用源。,即 x=2.5 时取等号,此时 a=40,ax=100.所以要使公园所占面积最 小,休闲区 A1B1C1D1 应设计为长 100 米,宽 40 米.
19.[解析] (1)证明:∵点 O、E 分别是 A1C1、AA1 的中点, ∴OE∥AC1, 又∵EO?平面 AB1C1,AC1?平面 AB1C1, ∴OE∥平面 AB1C1. (2)∵O 是 A1C1 的中点,AO⊥A1C1,∴AC=AA1=2,又 A1C1=AC=2,∴△AA1C1 为正三角形, ∴AO= 3,又∠BCA=90° ,∴A1B1=AB=2 2, 1 3 如图建立空间直角坐标系 O-xyz,则 A(0,0, 3),A1(0,-1,0),E(0,- , ),C1(0,1,0), 2 2 B1(2,1,0),C(0,2, 3).

设 A1 C1 与平面 AA1B1 所成角为 θ, → → → ∵A1C1=(0,2,0),A1B1=(2,2,0),A1A=(0,1, 3), 设平面 AA1B1 的一个法向量是 n=(x,y,z), → ? n=0, ?A1B1· ?2x+2y=0, 则? 即? → ?y+ 3z=0. ?A n=0, ? 1A· 不妨令 x=1,可得 n=(1,-1, → ∴sinθ=cos〈A1C1,n〉= 2 7 2· 3 3 ), 3 21 , 7
[来源:Zxxk.Com]



∴A1C1 与平面 AA1B1 所成角的正弦值为

21 . 7

20.解: (1) f '( x) ? 3x 2 ? 6ax ? b ,由题知: ?1? ? f '( ?1) ? 0 ?3 ? 6a ? b ? 0 ………………2 分 ?? ? 2 ?2? ? f ( ?1) ? 0 ??1 ? 3a ? b ? a ? 0 ?a ? 1 ?a ? 2 联立<1>、<2>有: ? (舍去)或 ? ………………4 分 ?b ? 3 ?b ? 9 当 a ? 2,b ? 9 时, f '( x) ? 3x 2 ? 12 x ? 9 ? 3? x ? 3?? x ? 1? 故方程 f '( x) ? 0 有根 x ? ?3或 x ? ?1 ……………………6 分 ?3 ?1 x ??3, ? 1? ??1, ? ?? ???, ? 3?
f ' ( x) f ( x)

+ ↑

0 极大值

- ↓

0 极小值
[来源:学§科§网 Z§X§X§K]

+ ↑ ……8 分

?a ? 2 由表可见,当 x ? ?1时, f ( x ) 有极小值 0,故 ? 符合题意 ?b ? 9
(2)由上表可知: f ( x ) 的减函数区间为 ??3, ? 1?
f ( x ) 的增函数区间为 ???, ? 3? , ??1, ? ??

………………10 分

因为 f (?4) ? 0, f (?3) ? 4, f (?1) ? ?1, f (0) ? 4 , 由数形结合可得 0 ? c ? 4 。
21.[解析] 因为点 B1 在平面 ABC 内的正投影为 B,所以 B1B⊥BA,B1B⊥B C,

又 AB⊥BC,如图建立空间直角坐标系 B-xyz, B(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),A1(2,0,4),B1(0,0,4),C1(0,2,2),E(1,0,2), (1 设平面 AB1C1 的法向量 n2=(x,y,z), → → B1A=(2,0,-4),B1C1=(0,2,-2), → ? B1A=0 ?n2· 由? → ? B1C1=0 ?n2·
?2x-4z=0 ? ,即? , ? ?2y-2z=0

取 y=1,得 n2=(2,1, 1), 同理,平面 ACC1 的法向量 n3=(1,1,0), n 2· n3 3 所以 cos〈n2,n3〉= = , |n2|· |n3| 2 由图知,二面角 B1-AC1-C 的平面角是钝角, 5 所以二面角 B1-AC1-C 的平面角是 π. 6 → → ?EM · B1A=0 ? → (2 设点 M 的坐标为(a,b,0),则EM=(a-1,b,-2),由 EM⊥平面 AB1C1,得? , → → ?EM · B1C1=0 ?
? ? ?2?a-1?+8=0 ?a=-3 → 即? 解得? ,所以 M(-3,-2,0),|BM|= 13. ?2b+4=0 ?b=-2 ? ?

[来源:学科网 ZXXK]

22.(Ⅰ)解:根据求导法则有 f ?( x) ? 1 ?

2 ln x 2a ? ,x ? 0 , x x

故 F ( x) ? xf ?( x) ? x ? 2ln x ? 2a,x ? 0 , 于是 F ?( x) ? 1 ? 列表如下:

2 x?2 ? ,x ? 0 , x x

x

(0, 2)

2

(2, ? ∞)

F ?( x)

?

0 极小值 F (2)

?

F ( x)

故 知 F ( x ) 在 (0, 2) 内 是 减 函 数 , 在 (2, ? ∞) 内 是 增 函 数 , 所 以 , 在 x ? 2 处 取 得 极 小 值

F (2) ? 2 ? 2ln 2 ? 2a .
(Ⅱ)证明:由 a ≥ 0 知, F ( x ) 的极小值 F (2) ? 2 ? 2ln 2 ? 2a ? 0 . 于是由上表知,对一切 x ? (0, ? ∞) ,恒有 F ( x) ? xf ?( x) ? 0 . 从而当 x ? 0 时,恒有 f ?( x) ? 0 ,故 f ( x ) 在 (0, ? ∞) 内单调增加. 所以当 x ? 1 时, f ( x) ? f (1) ? 0 ,即 x ? 1 ? ln 2 x ? 2a ln x ? 0 .
2 故当 x ? 1 时,恒有 x ? ln x ? 2a ln x ? 1 .


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