当前位置:首页 >> 数学 >>

专题八 三角恒等变换及辅助角公式


锐乐思教育 Really Simple

专题八 三角恒等变换及辅助角公式
一、基本内容串讲 1. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式如下:
sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ; cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ;

tan(? ?

? ) ?

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?

对其变形:tanα +tanβ =tan(α +β )(1- tanα tanβ ),有时应用该公式比较方便。 2. 二倍角的正弦、余弦、正切公式如下:
sin 2? ? sin ? cos ? .

cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2sin 2 ? .

2 tan ? . 1 ? tan 2 ? 要熟悉余弦“倍角”与“二次”的关系(升角—降次,降角—升次) .特别注意公式的三 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? , sin 2 ? ? 角表达形式, 且要善于变形, cos 2 ? ? 这两个形式常用。 2 2 3.辅助角公式: tan 2? ?
对于一般形式 a sin ? ? b cos ? ( a 、 b 不全为零) ,如何将表达式化简为只含有正弦的三角比形式?
a sin ? ? b cos ? ? a 2 ? b 2 ( a a ?b
2 2

sin ? ?

b a ? b2
2

cos ? )

? a 2 ? b 2 sin(? ? ? )

a ? ?cos ? ? 2 a ? b2 ? 其中辅助角 ? 由 ? 确定,即辅助角 ? (通常 0 ? ? ? 2? )的终边经过点 (a, b) b ? sin ? ? ? a 2 ? b2 ?

------------------我们称上述公式为辅助角公式,其中角 ? 为辅助角。

4.简单的三角恒等变换 (1)变换对象:角、名称和形式,三角变换只变其形,不变其质。 (2)变换目标:利用公式简化三角函数式,达到化简、计算或证明的目的。 (3)变换依据:两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式。 (4)变换思路:明确变换目标,选择变换公式,设计变换途径。 5.常见题目类型及解题技巧(最后师生共同总结) 二、考点阐述 考点 1 两角和与差的正弦、余弦、正切公式。 1、 sin 20? cos 40? ? cos 20? sin 40? 的值等于( )

1

锐乐思教育 Really Simple

4 ,则 tan(? ? ? ) 等于( 3 考点 2 二倍角的正弦、余弦、正切公式

2、若 tan ? ? 3 , tan ? ?
?
5



3、cos

cos

2? 的值等于( 5


3 ,那么 sin 2 A 等于( 5

4、 已知 0 ? A ?

?

2

,且 cos A ?



考点 3 运用相关公式进行简单的三角恒等变换 3 2 ? 1 ? 5、已知 tan(? ? ? ) ? , tan( ? ? ) ? , 则 tan(? ? ) 的值等于( ) 22 5 4 4 4 59 1 1 6、已知 sin ? ? sin ? ? , cos ? ? cos ? ? , 则 cos(? ? ? ) 值等于( ? ) 72 2 3 ? ? 7、函数 f ( x) ? cos 2 ( x ? ) ? sin 2 ( x ? ) ? 1 是( C ) 12 12 (A)周期为 2? 的奇函数 (B)周期为 2? 的偶函数 (C)周期为 ? 的奇函数 (D)周期为 ? 的偶函数 三、解题方法分析 1.熟悉三角函数公式,从公式的内在联系上寻找切入点
【方法点拨】三角函数中出现的公式较多,要从角名称、结构上弄清它们之间的内在联系,做到真正 的理解、记熟、用活。解决问题时究竟使用哪个公式,要抓住问题的实质,善于联想,灵活运用。

1 3 2 tan13? sin 50? 例 1 设 a ? cos 6? ? sin 6? , b ? , c ? , 则有( a ? c ? b ) 2 2 1 ? tan 2 13? 2cos 25?

【点评】:本题属于“理解”层次,要能善于正用、逆用、变用公式。例如: sin ? cos ? =
1 sin2? 2tan ? sin 2? , cos ? = ? tan 2? , , cos2 ? ? sin 2 ? ? cos 2? , 2 2sin ? 1 - tan 2?

1 ? 2 sin ? cos? ? (sin? ? cos? ) 2
cos 2 ? ? 1 ? cos 2? , 2 sin 2 ? ?

, 1 ? cos2? ? 2 cos2 ?

, 1 ? cos2? ? 2 sin 2 ?



1 ? cos 2? , tan α + tanβ =tan(α + β )(1- tanα tanβ ) 2 b )是常用转化手段。 a

等。另外,三角函数式 asinx+bcosx 是基本三角函数式之一,引进辅助角,将它化为
a 2 ? b 2 sin(x ? ?) 即 asinx+bcosx= a 2 ? b 2 sin(x ? ?) (其中 tan ? ?

特别是与特殊角有关的 sin±cosx,±sinx± 3 cosx,要熟练掌握其变形结论。

2

锐乐思教育 Really Simple

2.明确三角恒等变换的目的,从数学思想方法上寻找突破口 (1)运用转化与化归思想,实现三角恒等变换`
【方法点拨】教材中两角和与差的正、余弦公式以及二倍角公式的推导都体现了转化与化归的思想, 应用该思想能有效解决三角函数式化简、求值、证明中角、名称、形式的变换问题。

例 2. 已知 <β <α < 值. (-
56 65

π 2

3π 12 3 ,cos(α -β )= ,sin(α +β )=- ,求 sin2α 的 13 5 4

(本题属于“理解”层次,解答的关键在于分析角的特点, 2α =(α -β )+(α +β ) )

例 3.化简: [2sin50°+sin10°(1+ 3 tan10°) ]? sin 2 80? .

【点评】:本题属于“理解”层次, 解题的关键在于灵活运用“化切为弦”的方法,再利用两角和与差的三 角函数关系式整理化简.化简时要求使三角函数式成为最简:项数尽量少,名称尽量少,次数尽量 底,分母尽量不含三角函数,根号内尽量不含三角函数,能求值的尽量求出值来。

(2)运用函数方程思想,实现三角恒等变换
【方法点拨】三角函数也是函数中的一种,其变换的实质仍是函数的变换。因此,有时在三角恒等变 换中,可以把某个三角函数式看作未知数,利用条件或公式列出关于未知数的方程求解。

例 4:已知 sin(α +β )=

tan(? ? ? ) ? tan ? ? tan ? 2 3 ,sin(α -β )= ,求 的值。 3 4 tan 2 ? ? tan(? ? ? )

tan(? ? ? ) ? tan ? ? tan ? tan(? ? ? ) ? tan(? ? ? )(1 ? tan ? ? tan ? ) tan ? = = =-17 tan ? tan 2 ? ? tan(? ? ? ) tan 2 ? ? tan(? ? ? )
【点评】:本题属于“理解”层次,考查学生对所学过的内容能进行理性分析,善于利用题中的条件 运用方程思想达到求值的目的。
3

锐乐思教育 Really Simple

(3)运用换元思想,实现三角恒等变换
【方法点拨】换元的目的就是为了化繁为简,促使未知向已知转化,可以利用特定的关系,把某个 式子用新元表示,实行变量替换,从而顺利求解,解题时要特别注意新元的范围。

例 5:若 sin ? ? sin ? ?

2 , 求 cos? ? cos ? 的取值范围。 2

1 【解析】:令 cos ? ? cos ? ? t ,则 (sin ? ? sin ? ) 2 ? (cos ? ? cos ? ) 2 ? t 2 ? , 2 1 3 即 2 ? 2 cos(? ? ? ) ? t 2 ? ? 2 cos(? ? ? ) ? t 2 ? 2 2

∴ ?2 ? t 2 ?

14 14 3 1 7 14 14 ,即 ? ? cos ? ? cos ? ? ? 2, ? ? ? t 2 ? ,?? ?t ? 2 2 2 2 2 2 2

【点评】:本题属于“理解”层次,解题的关键是将要求的式子 cos? ? cos ? 看作一个整体,通过 代数、三角变换等手段求出取值范围。

3.关注三角函数在学科内的综合,从知识联系上寻找结合点
【方法点拨】三角函数在学科内的联系比较广泛,主要体现在与函数、平面向量、解析几何等知识的 联系与综合,特别是与平面向量的综合,要适当注意知识间的联系与整合。

? ? ? ? 例 6:已知:向量 a ? ( 3, ?1) , b ? (sin 2x, cos 2 x) ,函数 f ( x) ? a ? b
(1)若 f ( x) ? 0 且 0 ? x ? ? ,求 x 的值;
x?

?
12



7? 12

? ? (2)求函数 f ( x) 取得最大值时,向量 a 与 b 的夹角.

【点评】:本题属于“理解”中综合应用层次,主要考查应用平面向量、三角函数知识 的分析和计算能力. 四、课堂练习 1.sin165?= ( ) A.
1 2

B.

3 2

C.
3 2

6? 2 4
1 B. 2

D.
3 2

6? 2 4
? D. 1 2

2. sin14?cos16?+sin76?cos74? 的值是 (

) A.
4

C.

锐乐思教育 Really Simple

3. 已知 x ? (?

?
2

, 0) , cos x ?

4 a t , 则n 5

2x ? (

) A.

7 24

B. ? )

7 24

C.

24 7

D. ?

24 7

4.化简 2sin( A.sin2x 5.sin A.0

π π -x)?sin( +x) ,其结果是( 4 4

B.cos2x )

C.-cos2x

D.-sin2x

? ? — 3 cos 的值是 ( 12 12
B. — 2
)

C.

2

D.

2 sin

5? 12

1 ? tan2 75? 的值为 ( 6. tan75?

A. 2 3
?
3 5

B.

2 3 3
?
2 4 5

C. ? 2 3

D. ?

2 3 3

7.若 cos ? , sin ? ? ,则角 ? 的终边一定落在直线(
2

)上。

A. 7 x ? 24 y ? 0

B. 7 x ? 24 y ? 0

C. 24 x ? 7 y ? 0

D. 24 x ? 7 y ? 0

8. cos?? ? ? ?cos ? ? sin?? ? ? ?sin ? ? _________ . 9.
1 ? tan15? = 1 ? tan15?
?

10. tan 20? ? tan 40? ? 3 tan 20 tan 40? 的值是 11.求证:
1 ? sin 2? . ? ? 4 cot ? tan 2 2 cos 2 ?

.

1 12.已知 tan 2? ? ,求 tan ? 的值. 3

13.已知 0 ? x ?

?
4

, sin(

?
4

? x) ?

5 ,求 13

cos2 x cos( ? x) 4

?

的值。

14.若 A ? ?0,? ? ,且 sin A ? cos A ?

5 sin A ? 4 cos A 7 , 求 的值。 13 15 sin A ? 7 cos A

15.在△ABC 中,若 sinAsinB=cos2 2 ,则△ABC 是( )
5

C

锐乐思教育 Really Simple

A.等边三角形 C.不等边三角形 16.化简
1 ? sin 2? ? cos 2? . 1 ? sin 2? ? cos 2?

B.等腰三角形 D.直角三角形

17.求证:

1 ? 2 sin? ? cos? 1 ? tan? . ? cos2 ? ? sin2 a 1 ? tan?

6


相关文章:
三角恒等变换之辅助角公式
辅助角公式 8页 2下载券 三角恒等变换-倍角公式(... 3页 免费喜欢此文档的还喜欢 辅助角公式专题训练 2页 免费 辅助角公式 4页 免费 辅助公式在三角函数问题...
水平专题八三角恒等变换
水平专题八三角恒等变换_IT认证_资格考试/认证_教育专区。专题八:三角函数恒等变换..., 求 cos C 5 13 二、辅助角公式(归一公式) : b a sin x ? b cos ...
专题八 三角恒等变换拓展题
专题八 三角恒等变换拓展题_数学_高中教育_教育专区。锐乐思教育 Really Simple 专题八 三角恒等变换拓展题 1. 若函数 f ( x) ? 熟 a 的值。 ? sin x ...
三角恒等变换公式大全
三角恒等变换公式大全_数学_高中教育_教育专区。三角恒等变换公式大全 ...辅助角公式) tan y=b/a 万能代换 半角的正弦、余弦和正切公式(降幂扩角公式...
专题八 三角恒等变换
三角恒等变换 【基础知识梳理】一.三角函数的求值 1.“给角求值” :一般所给出的角都是非特殊角,解题时,要利用非特殊角与 的关系, 结合三角公式转化为特殊角...
三角恒等变换
8页 免费 三角恒等变换(一) 40页 1下载券 三角恒等变换专题 6页 免费 三角...三角恒等变换 辅助角公式: 倍角公式 降幂公式 积化和差公式 (了解) 和差化...
所有三角恒等变换公式
所有三角恒等变换公式 平方关系: tanα ·cotα=1...角的一个三角函数的形式 (辅助角的三角函数的公式 ...专题推荐 2014教师资格材料分析辅... 2014小学教师...
三角恒等变换公式重点
三角恒等变换公式同角关系 平方关系:sin 2 α + cos 2 α = 1 两角和与差...辅助角公式 a sin x ? b cos x ? a 2 ? b 2 sin( x ? ? ) 二...
三角恒等变换专题复习(教师版)
cos2? 2c o 2 ? ? 1? c o s? ) s 2 (2)辅助角公式 a sin x ...高中数学专题训练(教师版... 8页 免费 三角恒等变换测试题 11页 1下载券©...
三角恒等变换公式
·tanβ) 三角恒等变形 二倍公式 编辑本段折叠 sin2α=2sinα·cosα cos2...·sin^4α 辅助角 Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)sin[α+arctan(B/A)] ...
更多相关标签:
三角恒等变换专题 | 三角恒等变换 | 三角恒等变换公式 | 三角函数恒等变换 | 简单的三角恒等变换 | 三角恒等变换测试题 | 三角恒等变换技巧 | 三角函数恒等变换公式 |