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1-2-1-2三角函数


第一章 三角函数

讲练 测 三维整合 · 数学 必修4(RJ· A)

第二课时 任意角的三角函数(二)
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第一章 三角函数

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1.了解三角函数线的意义.

2.会用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正
切.

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有向线段与三角函数线 (1)有向线段:带有 方向 的线段.
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(2)三角函数线,如图,已知角α的终边位置.

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则由三角函数的定义可知点P的坐标为(cosα,sinα). 点T的坐标为(1,tanα). 其中sinα= ,cosα= ,tanα= .
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MP OM AT 把有向线段MP、OM、AT叫做α的正弦线、余弦线和 正切线.

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特别地,当角α的终边落在x轴上时,M与P重合,A与 T 重合 ,这时正弦线和正切线都变成一个点;当角 重合 ,这时余弦线变
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α的终边落在y轴上时,M与O

成一个点,过点A的切线与角α的终边所在直线不会相交,

这时,正切线

不存在

.

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三角函数线的位置:正弦线在y轴上或与y轴平行,余 弦线在x轴上;正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切 线上. 三角函数线的方向:正弦线由垂足指向角的终边与单 位圆的交点;余弦线由原点指向垂足;正切线由切点指向 α终边与切线的交点.书写时,起点在前,终点在后.
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三角函数线的正负,即三条有向线段的正负:凡与x 轴或与y轴同向的为正值,反向的为负值. 三角函数线的主要作用:是解三角不等式及比较同角 异名三角函数值的大小,同时它也是以后学习三角函数的 图象与性质的基础.
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利用三角函数线比较大小 利用三角函数线比较下列各组数的大小.
2 4 (1)sin3π 与 sin5π; 2 4 (2)tan π 与 tan π. 3 5

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【思路探索】 先做出三角函数线,再比较.
2 【解】 (1)如图,以 x 轴正半轴为始边,P1 为 π 的终 3 4 边与单位圆的交点.P1M1⊥x 轴,P2 为5π 的终边与单位圆的 2 4 交点,P2M2 ⊥x 轴,则 sin 3 π=M1P1 ,sin 5 π=M2P2 ,∵ 2 4 M1P1>M2P2,∴sin π>sin π. 3 5
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(2)由(1)知,OP1,OP2 的反向延长线与过 A 点且垂直于 4 2 x 轴的直线分别相交于点 T1, 2, tan5π=AT2, 3π=AT1, T 则 tan 2 4 ∵AT1<AT2,∴tan π<tan π. 3 5
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【名师点拨】
利用三角函数线比较三角函数值的大小,首先要准确 地画出三角函数线,由于三角函数线是有向线段,故在比 较大小时,要考虑其方向,与坐标轴正方向一致的是正值, 相反的是负值.
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π 比较大小 sin1________sin (填“>”或“<”). 3

答案:<

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利用三角函数线解不等式
例 2 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终
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边的范围,并由此写出角α的集合. 3 1 (1)sinα≥ 2 ;(2)cosα≤-2.
【思路探索】 3 1 先作出满足 sinα= ,cosα=- 的角 2 2

的终边,然后根据已知条件确定角 α 的终边的范围.

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【解】

3 (1)作直线 y= 2 交单位圆于 A,B 两点,连接

OA,OB,则 OA 与 OB 围成的区域(如图(1)所示的阴影部分) 即为角 α 的终边的范围. 故满足要求的角 α 的集合为:
? ? ? π 2π ?α?2kπ+ ≤α≤2kπ+ ,k∈Z 3 3 ? ? ? ? ? ?. ? ?
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第一章 三角函数

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1 (2)作直线 x=-2交单位圆于 C,D 两点,连接 OC 与 OD.则 OC 与 OD 围成的区域(如图(2)所示的阴影部分)即为角 α 的终边的范围. 故满足条件的角 α 的集合为:
? ? ? 2π 4π ?α?2kπ+ ≤α≤2kπ+ ,k∈Z 3 3 ? ? ? ? ? ?. ? ?
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【名师点拨】 (1)正弦线在过α的终边与单位圆的交点与x轴垂直的

直线上;余弦线在x轴上;正切线在过单位圆与x轴正方向
的交点的切线上,三条有向线段中两条在单位圆内,一条 在单位圆外. (2)正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点,余弦 线由原点指向垂足;正切线由切点指向与α终边的交点.
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函数 y= 2sinx-1的定义域为________.

1 解析:由题意得 2sinx-1≥0,得 sinx≥2,如下图所示,
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π 5 由图可知 2kπ+6≤x≤2kπ+6π(k∈Z),
? π 5 ? ∴函数的定义域为?2kπ+6,2kπ+6π?(k∈Z). ? ? ? π 5 ? 答案:?2kπ+6,2kπ+6π?(k∈Z) ? ?
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三角函数线的综合应用
用三角函数线证明:若 α sinα<α<tanα.
? π? ∈ ?0,2? ? ?

,则
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【思路探索】

利用单位圆中角α的正弦线、正切线、

所对的弧长及有关图形的面积,列出不等式进行证明.

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【证明】

如图所示,在单位圆中, PM⊥OA 于 M,过 A 作⊙O 的

? π? 设∠POA=α?0<α<2?,作 ? ?

切线 AT,交 OP 于 T,则 MP=sinα,AT=tanα. 连接 AP,由图得 S△OAP<S 扇形 OAP<S△OAT, 1 1 2 1 即2OA· 2α|OA| <2OA· MP< AT, ∴sinα<α<tanα.
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【名师点拨】 (1)此结论仅适用于α为锐角. (2)角α的三角函数线是有向线段,故字母顺序不能改 变.
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设 α 为锐角,利用单位圆中的三角函数线 π 证明:1<sinα+cosα<2.

证明:设角 α 的终边与单位圆交于 P(x,y),过 P 作 PQ ⊥OA,PR⊥OB,Q、R 为垂足,如下图所示.
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∵|PQ|=y=sinα,|OQ|=x=cosα, 又∵在△OPQ 中,|QP|+|OQ|>|OP|, ∴sinα+cosα>1. 1 1 1 ∵S△OAP= |OA|· |QP|= y= sinα, 2 2 2 1 1 1 S△OBP= |OB|· |RP|= x= cosα, 2 2 2 1 2 π S 扇形 OAB= π·1 = , 4 4
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又∵S△OAP+S△OPB<S 扇形 OAB, 1 1 π ∴ sinα+ cosα< , 2 2 4 π 即 sinα+cosα< . 2 π 综上可知 1<sinα+cosα<2.
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1.已知角α的正弦线是单位长度的有向线段,那么角α

的终边在(
A.x轴上

)
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B.y轴上
C.直线y=x上 D.直线y=-x上 答案:B
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π 2.若 0<α<4,则下列说法错误的是( A.sinα>cosα C.sinα+cosα>1 B.sinα<cosα D.tanα>sinα

)

π 解析: 由三角函数线可知, 0<α<4时, 当 OM′>M′P′, 其中 P′为 α 的终边与单位圆的交点,故 cosα>sinα,故 A 不正确.

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答案:A
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3.已知角 α 的(0<α<2π)的正弦线与余弦线的长度相等, 其正负号相反,那么 α 的值为( π 3 A. 或 π 4 4 5 7 C.4π 或4π
答案:D

)

3 5 B. π 或 π 4 4 3π 7 D. 4 或4π
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π 5π π 4π 4.有三个命题:①6和 6 的正弦线相等;②3和 3 的正 π 5π 切线相等;③4与 4 的余弦线相等.其中真命题是________.
答案:①②
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2 5.求不等式 sinx≥ 2 的解集.
? ? ? π 3π ? ? ?x?2kπ+ ≤x≤2kπ+ ,k∈Z? 答案: 4 4 ? ? ? ? ?
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