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§2.4.1


2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
编制人:李庆菊 审核人:周建华 使用时间:2011.5.23 签字: 一、学习目标: 1.了解平面向量数量积的物理背景,理解数量积的含义及其物理意义; 2. 体会平面向量的数量积与向量投影的关系,理解掌握数量积的性质和运算律, 并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算; 3.体会类比的数学思想和方法,进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。 二、重点难点: 重点: 1、平面向量数量积的含义与物理意义;2、性质与运算律及其应用。 难点:平面向量数量积的概念 三、课前预习: 1.平面向量数量积(内积)的定义_______________________________________ 2.两个向量的数量积与向量同实数积的区别_______________________________ 3. “投影”的概念:作图 4.向量的数量积的几何意义:__________________________________________ 5.两个向量的数量积的性质: 设 a 、 b 为两个非零向量, e 是与 b 同向的单位向量. 1?

e ? b = b ? e = _________ 2? a ? b ? a ? b =_______ 3? 当 a 与 b 同向时, a ? b =_______,当 a 与 b 反向时, a ? b =_________, 特别的 a ? a =_______或| a |=__________
4? cos? =____________________ 5? | a ? b | ≤____________ 6.数量积的运算律: 已知向量 a 、 b 、 c 和实数λ ,则: (1) a · b =______________ (2) (λ a ) · b =_____________=_______________ (3) (a + b ) · e =_________________ 四、典型例题:

1

已知平面向量 ? , ? , ? ? 1,

变式训练( 2010 浙江高考) ? ? ? ?

? ? 2, ? ? (? ? ? ),则 2 ? ? ? ?
2

?

?

?

?

?

__________

五、巩固练习: 1、下列命题是真命题的是____________

A. 若a ? 0,则对任一非零向量 b ,有a ? b ? 0; B. 若a ? 0,a ? b ? 0,则b ? 0;
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

?

?

?

?

?

C. 若a ? b ? 0,则a 、b 中至少有一个为 0; D. 若a 2 ? b 2 ? 0,则a ? b ? 0;
? ? ? ? ? ? ?

?

E. 非零向量a 与b ,若 | a ? b |? | a ? b |,则a ? b ? 0.
2、已知| p |=8,| q |=6, p 和 q 的夹角是 60°,则 p ? q =__________. 3、设| a |=12,| b |=9, a · b =- 54 2 ,则 a 和 b 的夹角=__________. 4、已知△ABC 中,AB= a ,AC= b , 当 a · b <0 时,△ABC 是___三角形; 当 a · b =0 时,△ABC 是___三角形. 5、已知| a |=6,e 为单位向量,当它们的夹角分别为 45°、90°、135°时, a 在 e 方向上的投影分别为_______,______,_______. 6、已知△ABC 中 BC=5,AC=8,∠C=60°,则 BC ? CA =________.

?

?

?

?

? ? 则 a 7. 已知 | a | ? 2 2, |b | ? 3,a ? b ? 6, 在b 上的投影为________

?

?

?

?

8.已知| a |=3, | b |=2, 当① a ∥ b , ②a ⊥b , ③ a 与 b 的夹角是 60°时, 分别求 a · b .

9. 已知| a |=7,| b |=4,| a + b |=9,求| a - b |.

3

10.已知| a |=1,| b |= 2 ,

(1)若 a ∥ b ,求 a · b ;

(2)若 a 、 b 的夹角为 60°,求| a + b |; (3)若 a - b 与 a 垂直,求 a 与 b 的夹角.

11..设 m 、n 是两个单位向量, 其夹角为 60°, 求向量 a = 2m ? n 与 b = 2n ? 3m 的 夹角.

4


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