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广东省韶关市2013届高三第一次调研考试数学理试题


韶关市 2013 届高三调研考试 数学理试题
一、选择题(40 分) 1、如果集合 A={x|x2+ax+1=0}中只有一个元素,则 a 的值是( A、0 B、0 或 2 C、2 D、-2 或 2 2、已知 i 为虚数单位,则 A、-i B、-1
(1 + i ) 1? i
2



? 1 =(



C、i

D、1
0.3

3、设 a ? lo g 0.3 2, b ? lo g 0.3 3, c ? 2 A、a<b<c<d 4、 若方程
x
2

, d ? 0 .3 ,则这四个数的大小关系是(
2



B、b<a<d<c
? y
2

C、b<a<c<d

D、d<c<a<b )

1? k

1? k

? 1 表示双曲线, 则实数 k 的取值范围是 (

A、-1<k<1 B、k>0 C、k≤0 D、k>1 或 k<-1 5、某几何体的三视图如图所示,根据图中标出的数据,可得这个几 何体的表面积为( ) A、4+4 3 B、4+4 5 C、
8 3

D、12

6、△ABC 中,角 A,B,C 所对边 a,b,c,若 a=3,C=120°,△ABC 的面积 S=
15 3 4

,则 c=(



A、5

B、6

C、 3 9

D、7

7、在实验员进行一项实验中,先后要实施 5 个程序,其中程度 A 只能出现在第一步或最后一步, 程序 C 或 D 实施时必须相邻,请问实验顺序的编排方法共有( ) A、15 种 B、18 种 C、24 种 D、44 种 8、设 f ( x ) 在区间 I 上有定义,若对 ? x1 , x 2 ? I , 都有 f ( 区间 I 的向上凸函数;若对 ? x1 , x 2 ? I , 都有 f (
x1 ? x 2 2 x1 ? x 2 2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 2 )? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 2

,则称 f ( x ) 是

)?

,则称 f ( x ) 是区间 I 的

向下凸函数,有下列四个判断: ①若 f(x)是区间 I 的向上凸函数,则-f(x)在区间 I 的向下凸函数; ②若 f(x)和 g(x)都是区间 I 的向上凸函数,则 f(x)+g(x)是区间 I 的向上凸函数;③ 若 f(x)在区间 I 的向下凸函数,且 f(x)≠0,则
1 f (x)

是区间 I 的向上凸函数;

④若 f(x)是区间 I 的向上凸函数, 其中正确的结论个数是( A、1 B、2 C、3 ) D、4

二、填空题(30 分) (一)必做题 9、若向量 a ? (1,1), b ? ( 2, 5), c ? (3, x ) 满足条件 (8 a ? b ) ?c =30,则 x=___ 10、下图是霜算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是____
? ? ?

?

?

?

11、已知实数 x,y 满足 ?

? | x ? y |? 1 ? | x ? y |? 1

,则 z=x-4y-2 的最大值为____

12、设曲线 y ? e 有点(0,1)处的切线与直线 x+2y+1=0 垂直,则 a=___
ax

13、平面上有 n 条直线,这 n 条直线任意两条不平行,任意三条不共点,记这 n 条直线将平面分 成 f(n)部分,则 f(3)=____,n≥4 时,f(n)=____(用 n 表示) 。

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题)如图,AB,CD 是圆的两条弦,AB 与 交于 E,AE>EB,AB 是线段 CD 的中垂线,若 AB=6,CD=2 5 ,则线 AC 的长度为____ 15. (几何证明选讲选做题)在直角坐标系 xoy 中,圆 C1 的参数方程为
? x ? co s ? ( ? 为参数)在极坐标系(与直角坐标系 xoy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极 ? ? y ? 1 ? sin ?

CD 段

点,以 x 轴的正半轴为极轴)中,圆 C2 的极坐标方程为 ? ? 4 sin ? ,则 C1 与 C2 的位置关系是_ ____(在“相交,相离,内切,外切,内含”中选择一个你认为正确的填上)

三、解答题(80 分)

16、 (本小题满分 12 分)函数 f ( x ) ? A sin ( ? x ? (1)求函数 f(x)的解析式 (2)设 ? ? (
?
2 , ? ) ,且 f (

?
4

)( A ? 0 , ? ? 0 ) 的部分图象如右所示。

?
2

?

?
8

)?

6 5

,求 tan ? 的值。

17、 (本小题满分 12 分)某校为了解高二学生 A,B 两个学科学习成绩的合格情况是否有关,随 机抽取了该年级一次期末考试 A,B 两个学科的合格人数与不合格人数,得到以下 2X2 列联表:

(1)据此表格资料,你认为有多大把握认为“A 学科合格”与“B 学科合格”有关; (2)从“A 学科合格”的学生中任意抽取 2 人,记被抽取的 2 名学生中“B 学科合格”的人数为 X,求 X 的数学期望。

18.(本小题满分 14 分)如图,三棱锥 P-ABC 中,PB⊥底面 ABC 于 B,∠BCA=90°,PB=CA=2, 点 E 是 PC 的中点。

(1)求证:侧面 PAC⊥平面 PBC; (2)若异面直线 AE 与 PB 所成的角为θ ,且 ta n ? ? 面角 C-AB-E 的大小。
3 2 2



求二

19.(本小题满分 14 分)椭圆 C :

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0) 的离心率为

3 5

,两焦点分别为 F1 ? F2 ,

点 M ( x0 , y0 ) 是椭圆 C 上一点,且 ?F1 F2 M 的周长为 16 ,设线段 MO ( O 为坐标原点)与圆
O ? x ? y ? r 交于点 N ,且线段 MN 长度的最小值为
2 2 2

15 4

.

(1)求椭圆 C 以及圆 O 的方程; (2) 当点 M ( x0 , y0 ) 在椭圆 C 上运动时,判断直线 l : x0 x ? y0 y ? 1
y

与圆 O 的位置关系.

M

N O x

20、 (本题满分 14 分)已知定义在实数集上的函数 f n ( x) ? x n , n ? N ? ,其导函数记为 f n?( x) ,且 满足. (Ⅰ)设函数 g(x)= f 2 n ?1 ( x) ? f n (1 ? x) ,求 g(x)的极大值与极小值; (Ⅲ)试求关于 x 的方程
f n?(1 ? x) f n??1 (1 ? x) ? 2 ?1
n

2

n ?1

?1

在区间 (0,1) 上的实数根的个数.

21. (本题满分 14 分) 设等差数列 {a n } 的公差 d ? 0 ,数列 {bn } 为等比数列,若 a1 ? b1 ? a , a3 ? b3 , a 7 ? b5 (1)求数列 {bn } 的公比 q ; (2)将数列 {a n } ,{bn } 中的公共项按由小到大的顺序排列组成一个新的数列 {c n } ,是否存在正 整数 ? , ? , ? (其中 ? ? ? ? ? )使得 ? , ? , ? 和 c? ? ? , c? ? ? , c? ? ? 均成等差数列?若存在, 求出 ? , ? , ? 的值,若不存在,请说明理由。

参考答案
1、D 9、4 14、 3 0 2、C 3、B 4、A 11、2 5、B 12、2 6、D 7、C 8、C
?1

10、11

13、7 ;

n ( n ? 1) 2

15、内切

17、解: (1)K =

2

1 1 0 (1 2 0 0 ? 4 0 0 )

2

60 ? 50 ? 60 ? 50

≈7.822>6.635

所以,有 90%的把握认为“A 学科合格”与“B 学科合格”有关。 (2)X 可以取 0,1,2, P(X=0)=
80 177

C 20 C 60
2

2



19 177



P(X=1)=

C 40C 20 C 60
2

1

1



80 177



P(X=2)=

C 40 C 60
2

2



78 177

EX=

+2×

78 177



236 177

,所以,X 的数学期望为
2?

236 177



16、解: (1)由图可知 T= ? = 所以 f ( x ) ? 2 s in ( 2 x ?
?
2 ?

?

,所以, ? =2,A=2

?
4

)

(2) f (

?
8

) ? 2 s in ( ? ? 3 4

?
4

?

?
4

)?

6 5

,即 s in ? ?

3 5

,又 ? ? (

?
2

, ? ) ,所以 c o s ? ? ?

4 5



所以 tan ? = ?

18、 (1)证明:∵PB⊥平面 ABC,∴PB⊥AC; ∵∠BCA=90°,∴AC⊥BC; 又∵AC⊥BC,AC⊥PB,在面 PBC 中 PB∩BC=B;∴AC⊥平面 PBC; 又∵AC∈平面 PAC,∴面 PAC⊥面 PBC (2)以 C 为原点,CA、CB 所在直线为 x,y 轴建立空间直角坐标系,设 BC=m, 则 C(0,0,0) ,A(2,0,0) ,E(0,
3 2 2 22 11

m 2

,1) ,B(0,m,0) ,P(0, m,2)
??? ??? ? ? ??? ? ??? ?

由 ta n ? ?

,得: c o s ? ?

,由 A E ?P B ? | A E |?| P B | co s ? ,解得:m= 2

平面 ABC 的一个法向量 m=(0,0,1) ,求得平面 ABE 的一个法向量 n=(1, 2 ,1) 由 mn=|m||n|cos ? ,得: ? ?
?
6

,所以,二面角 C-AB-E 的大小为 30°

19.解: (1) 设椭圆 C 的半焦距为 c ,则
c a ? 3 5

,即 c ?

3 5

a ①



??????1 分 ② , ?????2 分
2

又 | MF1 | ? | MF2 | ? | F1 F2 |? 2a ? 2c ? 16 联立①②,解得 a ? 5 , c ? 3 ,所以 b ?
2

a ?c ? 4 ,

????? 4 分

所以椭圆 C 的方程为

x

2

?

y

2

?1 ;

??????6 分

25

16

而椭圆 C 上点 M ( x0 , y0 ) 与椭圆中心 O 的距离为
MO ? x0 ? y0 ?
2 2

x0 ? 16 ?
2

16 25

x0 ?
2

9 25

x0 ? 16 ? 4 ,等号在 x0 ? 0 时成立,??7 分
2

而 MN ? MO ? r ,则 MN 的最小值为 4 ? r ,从而 r ? 则圆 O 的方程为 x 2 ? y 2 ?
1 16

1 4





????????8 分
x0
2

(2)因为点 M ( x0 , y0 ) 在椭圆 C 上运动,所以
2 即 y0 ? 16 ?

?

y0

2

?1,

25

16

16 25

x0

2



???????9 分
1 x0 ? y0
2 2

圆心 O 到直线 l ? x0 x ? y0 y ? 1 的距离 d ?
1 16 1 4

?
9 25

1 x0 ? 16
2



??10 分

当 x0 ? 0 , y0 ? ?4 , d ? 当 x0 ? 0 时, d ?
1 16 ? 1 4

?

? r ,则直线与圆 O 相切.

?? 12 分

? r ,则直线与圆 O 相交.

????14 分

20.(本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)令 y ? F ( x) ? f 2 n ?1 ( x) ? f n (1 ? x) ? (1 ? x) n ? x 2 n ?1 ,则
y ? ? ? n(1 ? x )
n ?1

?x

2 n ?1

? (2n ? 1) x

2n?2

? (1 ? x) ? x
n

2n?2

? (1 ? x )

n ?1

[(2n ? 1) ? (3n ? 1) x] ,?3 分

令 y ? ? 0 ,得 x1 ? 0, x 2 ?

2n ? 1 3n ? 1

, x3 ? 1 ,且 x1 ? x2 ? x3 ,

当 n 为正偶数时,随 x 的变化, y ? 与 y 的变化如下:
x

( ??, 0)
?

0

(0,

2n ? 1 3n ? 1
?

)

2n ? 1 3n ? 1

(

2n ? 1 3n ? 1

,1)
0

(1, ??)
?

y?

0

0 极大值

?

y

极小值

所以当 x ?

2n ? 1 3n ? 1

时, y 极大=

(2n ? 1)

2 n ?1

?n

n

(3n ? 1)

3 n ?1

;当 x ? 1 时, y 极小=0.

当 n 为正奇数时,随 x 的变化, y ? 与 y 的变化如下:
x

( ??, 0)
?

0

(0,

2n ? 1 3n ? 1
?

)

2n ? 1 3n ? 1

(

2n ? 1 3n ? 1

,1)
0

(1, ??)
?

y?

0

0

?

y

极大值
2n ? 1 3n ? 1
(2n ? 1)
2 n ?1

所以当 x ? (II)

时, y 极大=
n

?n

n

(3n ? 1)

3 n ?1

;无极小值.
n ?1 n

f n?(1 ? x) f n??1 (1 ? x) n ?

? 1

2 ?1 2
n ?1

?1
n

,即

n(1 ? x )

( n ? 1)(1 ? x)

?

2 ?1
n

2

n ?1

?1

( x ? ?1) ,

所以方程为
?x ?

( n ? 1) 1 ? x
n ?1

?

2 ?1 2
n ?1

?1
n

( x ? ?1) , 1 ? ( n ? 1)2
n n

n(2

? 1) ? ( n ? 1)(2 ? 1) ( n ? 1)(2 ? 1)
n

?

( n ? 1)(2 ? 1)

?0,

又 x ?1 ?
? x ? 1。

n?2?2
n

n ?1

( n ? 1)(2 ? 1)

,而对于 n ? N ? ,有 2n ?1 ? n ? 2 (利用二项式定理可证) ,

综上,对于任意给定的正整数 n ,方程只有唯一实根,且总在区间 (0,1) 内,所以原方程在区 间 (0,1) 上有唯一实根.

21、解: (1)设 {bn } 的公比为 q ,由题意
? 2 ?aq ? a ? 2d ? 4 ?aq ? a ? 6d ?

即?
2 4

? 2 ?aq ? a ? 2d ?aq ? a ? 6d ?
4

---------------------------------------------2 分

q ? 1 不合题意,故

q ?1 q ?1

?

1 3

,解得 q ? 2 ? q ? ? 2 ----------------4 分
2

(2)若 {a n } 与 {bn } 有公共项,不妨设 a n ?b m
m ?1

由(2)知: m为奇数,且n ? 2

2

?1
2 k ?1?1

* 令 m ? 2k ? 1(k ? N ) ,则 bm ? a ? ( 2 )

? a?2

k ?1

? cn ? 2

n ?1

a

---------------------------------------------------------------12 分

若存在正整数 ? , ? , ? (其中 ? ? ? ? ? )满足题意, 设 p ? ?, q ? ?, r ? ? 则
?2 q ? p ? r ? q ?1 p ?1 r ?1 ? q) ? (a ? 2 ? p) ? (a ? 2 ? r) ?2( a ? 2
p?r

?2 ? 2
q

p ?1

?2

r ?1

,又? 2
?2
r ?1

p ?1

?2
p?r 2

r ?1

?2 2

P ? r ?2

?2

2

(当且仅当p ? r时取" ?" )

又? p ? r ,? 2

p ?1

?2

----------------------14 分

又 y ? 2 在 R 上增,? q ?
x

p?r 2

。与题设 q ?

p?r 2

矛盾,

? 不存在 ? , ? , ? 满足题意。---------------------

---------------------16 分


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