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2015届高考苏教版数学(理)大一轮一模考前专项训练:多题一法专项训练4 构造法]


多题一法专项训练(四) 构 造 法 方法概述 构造法就是通过对式子或图形, 通过 转化、 构造为熟悉的数学模型后, 将抽象 问题更加具体化、 易解化, 其实质体现了 化归与转化思想, 在高考中, 构造法主要 应用于立体几何、函数与方程、导数、数 列等方面,多以解答题出现. 一、填空题 1.已知三个互不重合的平面 α,β,γ,α∩β=m,n?γ,且直线 m,n 不重合,由下列 三个

条件:①m∥γ,n?β;②m∥γ,n∥β;③m?γ,n∥β.能推得 m∥n 的条件是________(写 出所有正确的序号) 解析:构建长方体模型,如图,观察选项特点,可优先判断条件 ②:取平面 α 为平面 ADD′A′,平面 β 为平面 ABCD,则直线 m 为 直线 AD.因 m∥γ,故可取平面 γ 为平面 A′B′C′D′,因为 n?γ 且 n∥β,故可取直线 n 为直线 A′B′. 则直线 AD 与直线 A′B′为异面直线,故 m 与 n 不平行. 答案:①③ 2.方程|x|=cos x 在(-∞,+∞)内根的个数为________. 解析:求解方程|x|=cos x 在(-∞,+∞)内根的个数问题,可转化 为求解函数 f(x)=|x|和 g(x)=cos x 在(-∞, +∞)内的交点个数问题. 由 f(x)=|x|和 g(x)=cos x 的图像易知有两交点,即原方程有且仅有两个根. 答案:2 2an 3.已知数列{an}中,a1=1,an+1= ,则数列{an}的通项公式为________. an+2 2an 1 1 1 1 1 1 解析:∵an+1= ,a =1,∴an≠0,∴ = + ,即 - = , an+2 1 an+1 an 2 an+1 an 2 1 1 1 又 a1=1,则 =1,∴{ }是以 1 为首项, 为公差的等差数列. a1 an 2 1 1 1 n 1 2 ∴ = +(n-1)× = + ,∴an= (n∈N*). an a1 2 2 2 n+1 2 答案:an= (n∈N*) n+1 4.如图所示,已知三棱锥 PABC,PA=BC=2 34,PB=AC=10,PC=AB=2 41, 则三棱锥 PABC 的体积为________. 适用题型 常见的知识类型有以下几种: (1)函数与方程中零点的判断 (2)立体几何中线面位置关系的判断 (3)递推关系求通项问题 (4)利用导数构造函数证明不等式或 解决不等式恒成立问题.

解析:因为三棱锥 PABC 的三组对边两两相等, 则可将此三棱锥放在一个特定的长方体中 ( 如图所示 ) ,把三棱锥 PABC 补成一个长方体 AEBGFPDC, 易知三棱锥 PABC 的各边分别是此长方体的面对角线. 不妨令 PE=x,EB=y,EA=z,则由已知,可得 x +y =100, ? ?2 2 ?x +z =136, ? ?y2+z2=164,
2 2

x=6, ? ? ??y=8, ? ?z=10.

从 而 知 VPABC = VAEBGFPDC - VPAEB - VCABG - VBPDC - VAFPC = VAEBGFPDC - 4VPAEB = 1 6×8×10-4× ×6×8×10=160. 6 答案:160 5.已知 f(x)=x3-ax 在[1,+∞)上是单调增函数,则 a 的最大值是________. 解析:f′(x)=3x2-a≥0 在[1,+∞)上恒成立, 即:a≤3x2 在[1,+∞)上恒成立,而(3x2)min=3×12=3. ∴a≤3,故 amax=3. 答案:3 6.若 a>3,则方程 x3-ax2+1=0 在(0,2)上恰有________个实根. 解析:设 f(x)=x3-ax2+1, 则 f′(x)=3x2-2ax=x(3x-2a), 由于 a>3,则在(0,2)上 f′(x)<0,f(x)为减函数, 而 f(0)=1>0,f(2)=9-4a<0, 则方程 x3-ax2+1=0 在(0,2)上恰有 1 个实根. 答案:1 7.已知实数 x,y 满足|x|+|y|≤4,则 x2+(y-6)2 的最小值是________. x+y≤4, ? ?-x+y≤4, 解析: 由|x|+|y|≤4 可得到不等式组? x-y≤4, ? ?-x-y≤4,

其对应的区域

为边长为 4 2的正方形,即图中阴影部分(包括边界),x2+(y-6)2 表示 定点 M(0,6)与区域上的点(x,y)的距离的平方,易得 x2+(y-6)2 的最小值是 4.

答案:4 8.若不等式 4x2+9y2≥2kxy 对一切正数 x,y 恒成立,则整数 k 的最大值为________. 4x2+9y2 解析:由 4x2+9y2≥2kxy,且 x>0,y>0 得 2k≤ , xy 4x2+9y2 2 36x2y2 又 ≥ =12, xy xy 当且仅当 4x2=9y2“=”成立, ∴2k≤12.则 kmax=3. 答案:3 二、解答题 9.求数列{an}的通项公式: (1)已知数列{an}满足:a1=2,an+1=3an-2(n∈N*); an (2)已知数列{an}满足:a1=3,且 an+1= (n∈N*). 2an+1 解:(1)由已知,可得 an+1=3an-2, 所以 an+1-1=3(an-1). 故{an-1}是一个首项为 a1-1=1,公比为 3 的等比数列. 所以 an-1=1×3n 1,故 an=3n 1+1.
- -

2an+1 1 an 1 (2)由已知,可得当 n∈N*时,an+1= ,两边取倒数,得 = = +2, an an 2an+1 an+1 即 1 1 1 1 1 - =2,所以{ }是一个首项为 = ,公差为 2 的等差数列, an a1 3 an+1 an

1 1 5 其通项公式为 = +(n-1)×2=2n- . an 3 3 1 3 所以数列{an}的通项公式为 an= = . 5 6n-5 2n- 3 10.设函数 f(x)=x-(x+1)ln(x+1)(x>-1). (1)求 f(x)的单调区间; (2)证明:当 n>m>0 时,(1+n)m<(1+m)n. 解:(1)f′(x)=1-ln(x+1)- x+1 =-ln(x+1), x+1

当 f′(x)≥0,即-1<x≤0 时,f(x)单调递增, 当 f′(x)≤0,即 x≥0 时,f(x)单调递减. 综上得 f(x)的单调递增区间为(-1,0),单调递减区间为[0,+∞). ln?1+x? (2)证明:设 g(x)= (x>0), x

x -ln?1+x? 1+x x-?1+x?ln?1+x? 则 g′(x)= = 2 x x2?1+x? 由(1)知,f(x)=x-(1+x)ln(1+x)在(0,+∞)上单调递减, 所以 x-(1+x)ln(1+x)<f(0)=0,即 g(x)在(0,+∞)上单调递减, ln?1+n? ln?1+m? 而 n>m>0,所以 g(n)<g(m),即 < . n m 得 mln(1+n)<nln(1+m), 故(1+n)m<(1+m)n. 11.设 f(x)=ex-1. 2x2+x-1 (1)当 x>-1 时,证明:f(x)> ; x+1 (2)当 a>ln 2-1 且 x>0 时,证明:f(x)>x2-2ax. 证明: (1)当 x>-1 时, 要使 f(x)> 即 ex-2x>0. 令 g(x)=ex-2x,则 g′(x)=ex-2. 令 g′(x)=0,即 ex-2=0,解得 x=ln 2. 当 x∈(-1,ln 2)时,g′(x)=ex-2<0,故函数 g(x)在(-1,ln 2]上单调递减; 当 x∈[ln 2,+∞)时,g′(x)=ex-2>0,故函数 g(x)在[ln 2,+∞)上单调递增. 所以 g(x)在(-1,+∞)上的最小值为 g(ln 2)=eln 2-2ln 2=2(1-ln 2)>0, 所以在(-1,+∞)上有 g(x)≥g(ln 2)>0,即 ex>2x. 2x2+x-1 故当 x∈(-1,+∞)时,有 f(x)> . x+1 (2)欲证 f(x)>x2-2ax,即 ex-1>x2-2ax, 也就是 ex-x2+2ax-1>0, 可令 u(x)=ex-x2+2ax-1,则 u′(x)=ex-2x+2a. 令 h(x)=ex-2x+2a,则 h′(x)=ex-2. 当 x∈(-∞,ln 2)时,h′(x)<0,函数 h(x)在(-∞,ln 2)上单调递减;当 x∈(ln 2,+ ∞)时,h′(x)>0,函数 h(x)在(ln 2,+∞)上单调递增. 所以 h(x)的最小值为 h(ln 2)=eln 2-2ln 2+2a=2-2ln 2+2a>0. 所以 u′(x)=h(x)>0,即 u(x)在 R 上为增函数, 故 u(x)在(0,+∞)上为增函数,所以 u(x)>u(0). 2x2+x-1 2x2+x-1 , 即 ex-1> =2x-1, 当且仅当 ex>2x, x+1 x+1

而 u(0)=0,所以 u(x)=ex-x2+2ax-1>0. 即当 a>ln 2-1 且 x>0 时,f(x)>x2-2ax. 4 1 2 + 12.设数列{an}的前 n 项和 Sn= an- ×2n 1+ ,n∈N*. 3 3 3 (1)求首项 a1 与通项 an;
n 2n 3 (2)设 Tn= ,n∈N*,证明: ?Ti< . Sn 2 = i 1

4 1 2 + 解:(1)由 Sn= an- ×2n 1+ ,n∈N* 3 3 3 4 1 2 得 a1=S1= a1- ×4+ ,所以 a1=2. 3 3 3 4 1 2 再由①有 Sn-1= an-1- ×2n+ (n≥2). 3 3 3





4 1 + 将①和②相减得 an=Sn-Sn-1= (an-an-1)- ×(2n 1-2n),(n≥2). 3 3 整理得 an+2n=4(an-1+2n 1),(n≥2).


因而数列{an+2n}是首项为 a1+2=4,公比为 4 的等比数列,即 an+2n=4×4n 1=4n.


因而 an=4n-2n,n∈N*. (2)证明:将 an=4n-2n 代入①得 4 1 2 + Sn= ×(4n-2n)- ×2n 1+ 3 3 3 1 + + = ×(2n 1-1)(2n 1-2) 3 2 + = ×(2n 1-1)(2n-1), 3 2n 3 2n Tn= = × n+1 Sn 2 ?2 -1?×?2n-1? 1 1 3 = ×?2n-1-2n+1-1?, 2 ? ?
n 1 1 3n 所以 ?Ti= ? ?2i-1-2i+1-1? 2 ? ? i=1 i=1

1 1 3 3 = ×?2-1-2n+1-1?< . 2 ? ? 2


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