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福建省厦门外国语学校2017届高三适应性考试 数学理


厦门外国语学校 2017 届高三适应性考试

理科数学试题
(时间:120 分钟;满分:150 分) 注意事项: 1.本科考试分试题卷和答题卷,考生须在答题卷指定位置上作答,答题前,请在答题卷的密封 线内填写学校、班级、考号、姓名. 2.本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.

第Ⅰ卷(选择题共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的.
2 1.已知集合 A ? {x 1 ? x ? 4} , B ? {x y ? lg( x ?1)} ,则 A ? B ? ( A )

A. {x 1 ? x ? 2} B. {x 1 ? x ? 2} C. {x ?1 ? x ? 2}D. {x ?1 ? x ? 2} 2.复数 z ?

2i ? i 5 的共轭复数为( A ) 1? i
B. 1 ? 2i C. i ? 1 D. 1 ? i

A. 1 ? 2i

3.已知数列 ?an ? 为等差数列,其前 n 项和为 Sn , 2a7 ? a8 ? 5 ,则 S11 为( B ) A. 110 B. 55 C. 50 D. 不能确定 )

4.已知函数 f ( x) ? 2sin x ? cos x 在 x0 处取得最大值,则 cos x0 ? ( A A. ?

5 5

B.

5 5

C. ?

2 5 5


D.

2 5 5

5. 阅读程序框图,该算法的功能是输出( D
n ?1 A.数列 2 的前 4 项的和
n B.数列 2 ? 1 的第 4 项

? ?

?

?

n C. 数列 2 的前 5 项的和 n D.数列 2 ? 1 的第 5 项

? ? ?

?

6. 《九章算术》中有如下问题:“今有勾八步,股一十五步,问勾中容圆,径几何? ”其大意:“已
·1·

知直角三角形两直角边长分别为 8 步和 15 步, 问其内切圆的直径为多少步?”现若向此三角形内随 机投一粒豆子,则豆子落在其内切圆外的概率是( D ) A.

3? 10

B.

3? 20

C. 1 ?

3? 10

D. 1 ?

3? 20


7.已知函数 y ? sin(2 x ? ? ) 在 x ? A.关于点 (

?
6

处取得最大值,则函数 y ? cos(2 x ? ? ) 的图象( A B.关于点 (

?
6

, 0) 对称

?
3

, 0) 对称

C.关于直线 x ?

?
6

对称

D.关于直线 x ?

?
3

对称

8.如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 为棱 BB1 的中点,用过点 A、E、C1 的平面截去该正方 体的下半部分,则剩余几何体的正视图(也称主视图)是( A )
D A B

C

E

A1 D1 C1

B1

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ???? 9.已知 AB ? BC ? 0 , AB ? 1 , BC ? 2 , AD ? DC ? 0 ,则 BD 的最大值为( C )
A.

2 5 5

B. 2

C.

5

D. 2 5

10. 实数 x , y 满足 | x ? 1|? y ? ? 为( B ) A.2 B.3 C.4

1 x ? 1 时,目标函数 z ? x ? my 的最大值等于 5,则实数 m 的值 2

D.5

11.已知 F 是双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点, P 是 y 轴正半轴上一点,以 OP 为直径的 a 2 b2

圆在第一象限与双曲线的渐近线交于点 M .若点 P , M , F 三点共线,且 ?MFO 的面积是 ?PMO 面 积的 5 倍,则双曲线 C 的离心率为( C ) A. 3 B. 5 C. 6 D. 7 )

12.若至少存在一个 x ,使得方程 ln x ? mx ? x( x2 ? 2ex) 成立。则实数 m 的取值范围为( B A. m ? e ?
2

1 1 1 1 2 B. m ? e ? C. m ? e ? D. m ? e ? e e e e
·2·

·3·

二、填空题 13.随着智能手机的普及,络购物越来越受到人们的青睐,某研究性学习小组对使 用智能手机的利与弊随机调查了 10 位同学,得到的满意度打分如茎叶图所示. 若这组数据的中位数、平均数分别为 a , b ,则 a , b 的大小关系是
3

7 8 9

5 1 3

6 3 4

7 7 5

9

.a ? b

? a 3? 3 14.二项式 ? ax ? 的展开式的第二项的系数为 ? ,则 ? x 2 dx 的值为.3 a ? 0 ? ? ? ? ?2 6 ? 2 ? ?
15.一光源 P 在桌面 A 的正上方,半径为 2 的球与桌面相切,且 PA 与球相切,小球在光源 P 的中心 投影下在桌面产生的投影为一椭圆,如图所示,形成一个空间几何体,且正视 图是 Rt ?PAB ,其中 PA ? 6 ,则该椭圆的长轴长为___________

16.在公差不为 0 的等差数列中, a1 ? a5 ? a p ? aq ,记

1 9 ? 的最小值 p q

为 m;若数列

?b ? 满足 b
n

n

? 0 , b1 ?

2b b ? 1 2 m , bn ?1 是 1 与 n n?1 2 的 4 ? bn 11

等比中项,若 bn ?
三、解答题

s 对于任意 n ? N * 恒成立,则 S 的取值范围是_______ S ? 1 2

17.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c, (1)求角 C ;

a sin A ? b sin B ? c sin C 2 3 ? a . sin B sin C 3

(2)若 ?ABC 的中线 CD 的长为 1 ,求 ?ABC 的面积的最大值. 17.解:(1)?

a sin A ? b sin B ? c sin C 2 3 a 2 ? b2 ? c 2 3 ? a,? cos C ? ? sin C ,即 sin B sin C 3 2ab 3

tan C ? 3,? C ?

?
3

.

(2)由三角形中线长定理得:2 ? a2 ? b2 ? ? 22 ? c2 ? 4 ? c2 , 由三角形余弦定理得:c2 ? a 2 ? b2 ? ab , 消 去 c2 得 : 4 ? ab ? a ? b ? 2ab, ab ?
2 2

4 ( 当 且 仅 当 a?b 时 , 等 号 成 立 ) , 即 3

1 1 4 3 3 S?ABC ? ab sin C ? ? ? ? 2 2 3 2 3
·4·

18.为备战 2018 年瑞典乒乓球世界锦标赛,乒乓球队举行公开选拨赛,甲、乙、丙三名选手入围最终 单打比赛名单.现甲、乙、丙三人进行队内单打对抗比赛,每两人比赛一场,共赛三场,每场比赛胜 者得 3 分,负者得 0 分,在每一场比赛中,甲胜乙的概率为

3 3 ,丙胜甲的概率为 ,乙胜丙的概率 5 4
1 . 10

为 p ,且各场比赛结果互不影响.若甲获第一名且乙获第三名的概率为 (Ⅰ)求 p 的值;

(Ⅱ)设在该次对抗比赛中,丙得分为 X ,求 X 的分布列和数学期望. 【解析】(Ⅰ)由已知,甲获第一名且乙获第三名的概率为

1 . 10

即甲胜乙、甲胜丙且丙胜乙概率为 ∴ ?

1 ,…………2 分 10
…………6 分

3 1 1 1 ? (1 ? p) ? , ∴ p ? . 5 4 10 3

(Ⅱ)依题意丙得分 X 可以为 0, 3, 6 ,丙胜甲的概率为

3 2 ,丙胜乙的概率为 …………7 分 4 3

1 1 1 3 1 1 2 5 P( X ? 0) ? ? ? , P( X ? 3) ? ? ? ? ? , 4 3 12 4 3 4 3 12 P( X ? 6) ? 3 2 6 ? ? …………10 分 4 3 12
P

0
1 12

3
5 12

6
6 12

X


E( X ) ? 0 ?

1 5 6 17 ? 3? ? 6 ? ? . 12 12 12 4

…………12 分

19. 如 图 , 梯 形 ABCD 中 , AB // CD , 矩 形 BFED 所 在 的 平 面 与 平 面 ABCD 垂 直 , 且
AD ? DC ? CB ? BF ? 1 AB . 2
E P F C D A
·5·

(Ⅰ)求证:平面 ADE ? 平面 BFED ; (Ⅱ)若 P 为线段 EF 上一点,平面 PAB 与平面 ADE 所 成的锐二面角为 ? ,求 ? 的最小值.

B

解:(Ⅰ)取 AB 中点 F ,连接 DF ,因为 AB//CD, AD ?

1 AB ? BF . 2

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 所以四边形 BCDF 为平行四边形, DF ? CB, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 依题意, ?ADF 为正三角形, AD ? BD. · 因为平面 BFED⊥平面 ABCD, 平面 BFED ? 平面 ABCD ? DB ,
AD ? DB, AD ? 平面 ABCD ,所以 AD ? 平面 BFED. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 又 AD ? 平面 ADE, ∴平面 ADE ? 平面 BFED ;· (Ⅱ)因为四边形 BFED 为矩形,所以 ED⊥DB, 如图建立空间直角坐标系 D-xyz. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 设 AD=1,则 A(1 , 0, 0), B(0,3, 0), P(0, t,1)(0 ? t ? 3), · ??? ? ??? ? ?? AP ? (?1, t ,1), AB ? (?1, 3,0) ,设 m ? ( x, y, z) 是平面 PAB 的 z 法向量,则
E P F C D x A F B y

? ?? x ? ty ? z ? 0, ?? · · · · · · · · · · · · 9分 取 m ? ( 3,1, ?t ? 3). · ? ? ? ? x ? 3 y ? 0. ? · · · · · · 10 分 又平面 ADE 的一个法向量为 n ? (0,1,0). ·
cos? ? 1

1 ? ? ? ,? ? [0, ),?min ? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 2 3 · 3 ? 1 ? (t ? 3)2 2

20.已知 A 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 上的一个动点,弦 AB, AC 分别过左右焦点 F1 , F2 ,且当线 a 2 b2
1 . 3

段 AF1 的中点在 y 轴上时, cos ?F1 AF2 ?

(1)求该椭圆的离心率;(2)设 AF ,试判断 ?1 ? ?2 是否为定值?若是定 1 ?? 1F 1B, AF 2 ? ?2 F 2C 值,求出该定值,并给出证明;若不是定值,请说明理由. 20.解:(1)当线段 AF1 的中点在 y 轴上时, AC 垂直于 x 轴, ?AF 1F 2 为直角三角形, 因为 cos ?F1 AF2 ?

????

???? ???? ?

???? ?

1 b2 ? 3 AF , 所以 AF , 易知 由椭圆的定义可得 AF AF2 ? , 1 2 1 ? AF 2 ? 2a , 3 a

则 4?

b2 c 2 2 2 2 2 ; ? 2a ,即 a ? 2b ? 2 ? a ? c ? ;即 a 2 ? 2c 2 ,即有 e ? ? a a 2
·6·

(2)由(1)得椭圆方程为 x2 ? 2 y 2 ? 2b2 ,焦点坐标为 F 1 ? ?b,0? , F 2 ? b,0? , ①当 AB, AC 的斜率都存在时,设 A? x0 , y0 ? , B ? x1, y1 ? , C ? x2 , y2 ? , 则直线 AC 的方程为 y ?

y0 ? x ? b ? ,代入椭圆方程得: x0 ? b

? 3b

2

2 ? 2bx0 ? y 2 ? 2by0 ? x0 ? b ? y ? b 2 y0 ? 0,

???? ? AF 2 b y y 3b ? 2 x0 3b ? 2 x0 ? ? 0 ? 可得 y0 y1 ? ? 2 ,又 ?2 ? ???? ,同理 ?1 ? ,可得 ?1 ? ?2 ? 6 ; b 3b ? 2bx0 b F2C ? y2
2 2 0

(2)若 AC ? x 轴,则 ?2 ? 1 , ?1 ?

3b ? 2b ? 5 ,这时 ?1 ? ?2 ? 6 ; b

若 AB ? x 轴,则 ?1 ? 1, ?2 ? 5 ,这时也有 ?1 ? ?2 ? 6 ; 综上所述, ?1 ? ?2 是定值 6.

x 21.设函数 f ? x ? ? ae ? x ln x ,其中 a ? R , e 是自然对数的底数.

(Ⅰ)若 f ? x ? 是 ? 0, ??? 上的增函数,求 a 的取值范围; (Ⅱ)若 a ?

2 ,证明: f ? x ? ? 0 . e2

x 21.解:(Ⅰ) f ? ? x ? ? ae ? ?1 ? ln x ? , f ? x ? 是 ? 0, ??? 上的增函数等价于 f ? ? x ? ? 0 恒成立.

令 f ? ? x ? ? 0 ,得 a ?

1 ? ln x 1 ? ln x ,令 g ? x ? ? ( x ? 0 ).以下只需求 g ? x ? 的最大值. x e ex

求导得 g ? ? x ? ? e

?x

?1 ? ? ? 1 ? ln x ? , ?x ?

令 h ? x? ?

1 1 1 ? 1 ? ln x , h? ? x ? ? ? 2 ? ? 0 , h ? x ? 是 ? 0, ??? 上的减函数, x x x

又 h ?1? ? 0 ,故 1 是 h ? x ? 的唯一零点,

·7·

当 x ? ? 0,1? , h ? x ? ? 0 , g? ? x ? ? 0 , g ? x ? 递增;当 x ? ?1, ?? ? , h ? x ? ? 0 , g? ? x ? ? 0 , g ? x ? 递减; 故当 x ? 1 时, g ? x ? 取得极大值且为最大值 g ?1? ?

1 , e

所以 a ?

1 ?1 ? ,即 a 的取值范围是 ? , ?? ? . e ?e ?
ae x ? ln x ? 0 . x

(Ⅱ) f ? x ? ? 0 ?

令 F ? x? ?

2 ae x ? ln x ( x ? 0 ),以下证明当 a ? 2 时, F ? x ? 的最小值大于 0. e x

求导得 F ? ? x ? ?

a ? x ? 1? e x 1 1 a ? x ? 1? e x ? x ? ? ? 2? ? ?. 2 x x x

①当 0 ? x ? 1 时, F ? ? x ? ? 0 , F ? x ? ? F ?1? ? ae ? 0 ; ②当 x ? 1 时, F ? ? x ? ?
x 则 G? ? x ? ? e ?

x x ? a ? x ? 1? ? x G ? x ? ? ex ? e ? ,令 , ? ? a ? x ? 1? a ? x ? 1? ? x2 ?
2

2 ? 0 ,又 G ? 2 ? ? e 2 ? 2 ? ae ? 2 ? 0 , a ? x ? 1? a a

1

取 m ? ?1, 2? 且使

2 m m ? e2 ,即 1 ? m ? ae ,则 G ? m ? ? em ? ? e2 ? e2 ? 0 , 2 a ? m ? 1? a m ? 1 ? ? ae ? 1

因为 G ? m? G ? 2? ? 0 ,故 G ? x ? 存在唯一零点 x0 ? ?1, 2? ,

ae x0 ? ln x0 , 即 F ? x ? 有唯一的极值点且为极小值点 x0 ? ?1, 2? ,又 F ? x0 ? ? x0
0 且 G ? x0 ? ? e ?

x

x0 x0 1 ? 0 ,即 e x0 ? ? ln x0 , ,故 F ? x0 ? ? a ? x0 ? 1? a ? x0 ? 1? x0 ? 1

因为 F ? ? x0 ? ? ?

1

? x0 ?1?

2

?

1 ? 0 ,故 F ? x0 ? 是 ?1, 2 ? 上的减函数. x0

·8·

所以 F ? x0 ? ? F ? 2? ? 1 ? ln 2 ? 0 ,所以 F ? x ? ? 0 . 综上,当 a ?

2 时,总有 f ? x ? ? 0 . e2

请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.

22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? ? x ? 2 ? t cos ? , (t 为参数 ) ,在以原点 O 为极 ? ? y ? 3 ? t sin ? ,
? ?

点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 8cos ? ? ? (Ⅰ)求曲线 C2 的直角坐标方程,并指出其表示何种曲线; (Ⅱ)若曲线 C1 与曲线 C2 交于 A, B 两点,求 AB 的最大值和最小值.

??

?. 3?

(23)(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? x ?1 , g ? x ? ? 2 x ? a . (Ⅰ)当 a ? 0 ,解不等式 f ? x ? ? g ? x ? ; (Ⅱ)若存在 x ? R ,使得 f ? x ? ? g ? x ? 成立,求实数 a 的取值范围.

解:(Ⅰ) ? ? 8cos ? ? ?

? ?

??

? ?? ? ? =8 ? cos ? cos ? sin ? sin ? ? 4cos ? ? 4 3 sin ? ,(2 分) 3? ? 3 3?
(4 分) (5 分)

? 2 ? 4? cos? ? 4 3? sin ? ,即 x2 ? y2 ? 4x ? 4 3 y .
即 ? x ? 2? ? y ? 2 3
2

?

?

2

? 16 ①,故曲线 C2 是圆.
·9·

(Ⅱ)将曲线 C1 的参数方程代入①,化简得 t 2 ? 2 3t sin ? ?13 ? 0 . (7 分)

AB = t1 ? t2 ? 12sin 2 ? ? 52 ? 2 3sin 2 ? ? 13 ,(8 分)
当 sin 2 ? ? 1 时, AB 取得最大值 8 ;当 sin 2 ? ? 0 时, AB 取得最小值 2 13 . (10 分)

(23)(本小题满分 10 分) 解:(Ⅰ)由 f ? x ? ? g ? x ? ,得 x ? 1 ? 2 x ,(1 分) 两边平方,并整理得 ? 3x ? 1??1 ? x ? ? 0 ,(2 分) 所以不等式的解集为 ? x | ? (Ⅱ)法一: 由 f ? x ? ? g ? x ? ,得 x ?1 ? 2 x ? a ,即 x ?1 ? 2 x ? a . 令 F ? x ? ? x ? 1 ? 2 x ,依题意可得 F ? x ?max ? a . (6 分) (5 分)

? ?

1 ? ? x ? 1? . 3 ?

(4 分)

F ? x ? ? x ?1 ? x ? x ? x ?1? x ? x ? 1? x ? 1 ,(8 分)
当且仅当 x ? 0 时,上述不等式的等号同时成立,所以 F ? x ?max ? 1 .(9 分)

(? ?,1]. 所以 a 的取值范围是
法二: 由 f ? x ? ? g ? x ? ,得 x ?1 ? 2 x ? a ,即 x ?1 ? 2 x ? a . 令 F ? x ? ? x ? 1 ? 2 x ,依题意可得 F ? x ?max ? a . (6 分)

(10 分)

(5 分)

?1 ? x x ? 0 ? F ? x ? ? x ? 1 ? 2 x = ?3x ? 1 ? 1 ? x ? 0 ,(7 分) ? x ? 1 x ? ?1 ?
易得 F ? x ? 在 ? ??,0? 上单调递增,在 ? 0, ??? 上单调递减, 所以当 x ? 0 时, F ? x ? 取得最大值 1 . (9 分) (10 分) 欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org

(? ?,1]. 故 a 的取值范围是

·10·


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