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学而思高中物理竞赛讲义7


第 9 讲 曲线运动动力学解释
本讲提示: 1.本讲的理论推导尽量在听懂的基础上自己能独立完成,不然容易留下“心理阴影” 。 2.新课为了激发兴趣肯定尽量结合实际讲,但是学习完后应该对理论有完整体系的认识。 总得来说,做好受虐的心理准备,听不懂回家死磕,实在不行记得让老师下讲复习。

知识点睛 曲线运动中的加速度 我们研究曲线运动,运用的坐标系不同,

加速度分量式是不同。物理学研究的时候根据研究问题的 特点不同,采用的坐标系经常不一样,比如直角坐标系,自然坐标系,极坐标系,球坐标系,注坐标 系等,在高一暑假的讲义上,我们曾经铺垫过一些,本讲继续讨论。 在普通的直角坐标系中,分加速度容易理解,每个坐标方向相互独立。 记为:

?v x ? ? a x ? ?t ? ?v y ? ?a y ? ?t ? ?v z ? ? a z ? ?t ?
对应的动力学方程就是牛顿定律分量式, 具体的应用参考我们对于抛体以及恒力曲线运动的处理, 这个方法比较适合恒力作用下的曲线运动。由于浅显易懂,本讲不再重复。 1.自然坐标系以及加速度分量 除了直角坐标系以外,我们还经常会用自然坐标系研究加速度。有一类曲线运动是在已知轨道上 进行的,这时,可以在轨道上任取一参照点 o ,这样就可以在轨道上用到 o 的距离来表示运动方程。 这就是自然坐标,实际初中物理中的匀速率运动公式 s ? vt 就是这个坐标系中的方程。

我们把运动方向叫切向,垂直运动方向叫法向。对应的,每个方向的加速度叫切向加速度,与法 向加速度。下面用数学推导相应的加速度。当质点做曲线运动时,一般速度的大小和方向都在变化。 为计算 P 位置加速度,将速度增量 ?v 分解为与 v 2 平行的分量

?

?

? ? ? ?v // 和 v 2 垂直的分量 ?v1 ,如图:

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1

质点在 P 的加速度为 ? ? ? ?v ?v ? ?v ? ? a ? lim ? lim ? lim ?t ?t ?t ? a? ? a n
// ? ?t ? 0 ?t ? 0 ?t ? 0

其中

? ? a? , an 就是切向加速度和法向加速度。其中法向加速度又有规律:
v?? ? ?v , ?t

易从相似三角形得: an ?

其中 R 为 P 位置的“曲率半径” , 由于 ? ?

v v2 2 ,所以还有: a ? ?v ? ? R ? n R R

如果物体做圆周运动,这个加速度又叫向心加速度,向心加速度的规律最早由惠更斯在研究匀速 圆周运动时发现。惠更斯发现:做匀速圆周运动的物体,其受合外力总是正比于物体质量,正比于物 体速度平方,反比于其圆轨道半径。记为:
v2 这就是高中教材上的圆周运动向心力定理。 R 应该说这个结论还是很实用的,虽然只是我们推论中的一个特殊情况。 由于暂时我们的同学对于向量微分的运算还不了解,为了把上述推导在极坐标系里推广,必须把 自然坐标系的计算结果做一个形象的总结。 【总结】 ⑴改变一个速度的大小的加速度分量与速度共线,由速度大小变化率决定。 ⑵改变一个速度方向的加速度与该速度垂直指向旋转的内侧,大小正比于速度与角速度乘积。 利用以上推论我们引入极坐标里的加速度 2.极坐标系以及加速度分量 Fn ? m

极坐标以到参考点 o (又叫极点)的距离 ? 以及到参考射线(极轴)的夹角 ? 来描述平面内的点 ( ? , ? ),其数学优点是某些平面坐标系里的很复杂的曲线方程很简单(比如以极点为圆心的圆的方 程为 ? ? R )。极坐标在物理上的优势是描述一些既沿着径向运动,又绕着固定点的旋转的运动比较 直观。 比如椭圆轨道卫星的运动,我们关心卫星到地面高度以及方位角。又比如我们以前学习运动关联 时候用绳子或杆衔接的物体,既有径向速度,又有转速。都比较适合极坐标,如图:

水平向左运动的物体 B 的速度分解为沿着绳子的分量 v // 以及垂直绳子的转速 v? ,根据自然坐标
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系得到的加速度计算原理: 1.在绳子方向(径向)上一共是两个加速度,一个改变 v // 大小,与拉绳子的加速度大小一致,另一 个改变 v? 方向,大小 a ?

v? 。 R AB

2

2.在垂直绳子方向(垂向,注意不是切向)也有两加速度,一个改变 v? 大小,另一个改变 v // 方向, 注意这个加速度不等于

v // R AB

2

,而等于 v// ? ?

v// v? 。 R AB

专业的力学教材还会对这些加速度中的某些项取一堆形象的名字方便记忆,比如著名的科里奥利 加速度,平面系 5 个加速度等。由于这个加速度过于依赖向量微分的理解,这里就不引入了。 期望着以上的讨论能引起同学们对于向量代数甚至向量微积分的兴趣,因为很复杂的物理情景理 解问题在向量微积分里可以简化为几个简单的算符。 学而思物理竞赛的教学一种灌输一种观点,那就是方程是最美最高效率的物理语言。开始喜欢上 物理的同学一般都是因为物理对现实的超理性理解。但多数喜欢物理的人进入大学后都容易对脱离实 际现象的数学运算产生排斥感和畏惧感,希望同学们尽量的克服。一旦我们弄懂一个方程运算可以处 理的实际情景之广泛,就会疯狂的喜欢上这种方程。方程会让我们对众多的问题有一个统一的观点, 方程会让我们需要记忆的量以及概念辨析的量减少为最少。 从现实的角度, 很多喜欢物理而且具备很高物理直觉天赋的同学最终在学习物理的过程中被郁闷, 基本都是因为不适应物理的数学描述方式。我们提倡数理结合一起理解物理的教学观点也是希望更早 的开始帮助我们同学克服上述困难。同学们要在科学道路上走的更高更远,与其被数学语言虐,不如 学会去享受它。 当然如果我们学习物理只是作为科学知识去了解物理一下,物理确实不需要过多的数学语言去表 达它。即便从概念以及逻辑思辨的角度去学习物理,物理也是很美丽很迷人的,因为他可以几乎可以 无限的满足人先天本能中那种无法抑制的探索欲与求知欲。 例题精讲 【例1】 如图一条不可伸长的轻绳长为 L,一端用手握住,另一端系一质量为 m 的小球,今使手握的 一端在水平桌面上做半径为 R,角速度为 ω 的匀速圆周运动,且使绳始终与半径为 R 的圆相切,小球 也将在同一水平面内做匀速圆周运动,若人手做功的功率为 P,求: ⑴小球做匀速圆周运动的线速度大小; ⑵小球在运动过程中受到的摩擦力的大小.

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【例2】 如图所示, 岸边的汽车用一根不可伸长的轻绳通过定滑轮牵引水中的小船, 设小船始终不离 开水面,且绳足够长,河岸离水面高 h,绳子与水平面成角度 θ。不计船受的阻力,船的质量为 m,计 算车匀速以速度 v1 拉动船拉力 F 与 θ 函数。

【例3】 如图,把一个质量为 m 的物体放于半径为 R 的光滑圆上,用向上的拉力 F 拉着物体把物体往 下放: ⑴如果以恒定的拉力 F 让物体往下滑,计算支持力与θ 函数。 ⑵如果物体以恒定的竖直分速度 v 沿着光滑面往下滑,计算拉力 F 与 θ 函数。

【例4】 一个半径为 R 的半圆柱沿水平方向做加速度为 a 的匀加速运动,在圆柱上搁置一竖直杆,此 杆只能沿竖直方向运动,如图,当半圆的速度向右以 v 运动时,且如图中角度 α 已知,求竖直杆的加 速度。

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【例 5】把两个质量均为 m 的小球用长度为 2r 的轻绳连接,放于光滑水平地面,分别对两球施加一对 瞬时冲量产生一对初速度 v 与-v,两位同学为计算绳子上张力出现了矛盾。 A 同学认为:以绳子中心为圆心,那么拉力为

mv 2 r

B 同学认为:一右端球为圆心,拉力为 哪位同学考虑不周?为什么?

m(2v) 2 2mv 2 ? 2r r

【例 6】如图所示,1 根长为 2L 的细绳,两端各系 1 个质量为 m 的小滑环,滑环套在固定的水平杆上, 细绳的中点挂 1 个质量为 M=2m 的重物。不计细绳质量和一切摩擦,从细线与滑杆平行位置由静止释 放到水平杆与绳夹角为 ? =30°的位置时,已知 m 速度为 v ⑴重物速度为多大? ⑵连接滑环与重物的细绳中的张力为多大?

【例 7】长度为 L 的轻杆上端连接着一个质量为 m 的 体积可忽略的小重物 B。杆的下端被用铰链固 接与水平面上的 A 点。同时,置于同一水平面上的立方体 C 恰好与 B 接触,立方体 C 的质量为 M。 今作一个微小扰动, 使杆子向右倾倒, B 与 C、 与水平面间无摩擦, B 与 C 刚刚脱离接触的 瞬 设 C 而 间,杆与地面夹角恰好为???,计算此时 B 的速度以及杆上拉力。

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【例 8】一绳的一端连接于 A 点,绳上距 A 点为 a 处系有一重物 B,其质量为 m,绳的;另一端通过定 滑轮 C,现以恒定速率 v 收绳,当绳收至图示位置时,写出此时人的拉力符合的两个方程,(α,已知 β 已知)

【例 9】试证明在有心力作用下(时刻指向一个固定点的力),做曲线运动的物体角动量(物体质量 m 速 度 v 以及到固定点距离 r 以及 r 与 v 夹角正弦乘积 mvrsinθ)守恒。

【例 10】 计算以速度 v 平抛的物体抛出后轨迹曲率半径与时间的函数, 以此模型推导抛物线 x ? 2 py
2

曲率半径公式。

课后练习 1.如图所示,半径为 r 的圆筒,绕竖直中心轴 ? 转动,小物块 a 靠在圆筒的内壁上,它与圆筒的摩擦 因数为 ? ,现要使 a 不下滑,则圆筒转动的角速度 ? 至少为( ) A.

?g
r

B. ? g

C.

g r

D.

g ?r

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2.如图所示,在匀速转动的圆盘上,沿直径方向上放置以细线相连的 A、B 两个小物块。A 的质量为

m ?2 g,离轴心 r ?2 c ,B 的质量为 m ?1 g,离轴心 r ? 0 m k 0m k A 1 B 2 1 c ,A、B 与盘面间相互作用
的摩擦力最大值为其重力的 0.5 倍,试求

⑴当圆盘转动的角速度 ? 0 为多少时,细线上开始出现张力? ⑵欲使 A、B 与盘面间不发生相对滑动,则圆盘转动的最大角速度为多大?( g ? 10m / s )
2

3.水平桌面上放着三个圆柱体 A,B,C,它们的半径均为 r,质量 mB=mC=mA。先让它们保持如图所 示的位置,然后从静止开始释放,若不计接触面间的摩擦,求 A 触及桌面时的速度,已知分离时 AB 连线与水平夹角为 θ。

趣味物理故事 清朝全息相片之谜 清朝时候,有个姓汪的官员外出,乘马车走在一处河堤上.天空忽然阴云密布,随即雷鸣电闪,大 雨倾盆.汪某急忙让车子停在一棵大柳树下躲避. 雨过天晴,汪某下车方便,回头时猛地看见车窗内有几个人影,心中不禁一惊.揭开车帘看,车厢 里空无一人,仔细审视,原来人影是在车窗玻璃上.回家后,人影依然不散,家人都以为神异,就把 这块玻璃取下供奉起来.
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20 几年后,汪家的儿童用弓箭游戏,不小心打碎了玻璃.奇怪的是,每一块碎片上的影像仍然是 完整的. 汪某的外甥,翰林院侍读张亮基得到一块碎片,拿去给他的好友姚元之看.姚元之把自己看到的情 况记录下来,并收入他所写的《竹叶亭杂记》书中. 书中记载:放平了看,这是一块残缺的玻璃片,但斜向阳光看去,就有一个“仙人”坐在里面,仪 容端庄,面色微红,双目炯炯,胸前飘着长长的白须,头戴红色道冠,穿紫色衣服,右手执一柄羽毛 扇,身旁还侍立着一个童子. 姚元之在清代嘉庆、道光两朝,做官近 40 年,经历丰富,博学能文,著述严谨.囿于当时认识水 平,姚元之把这一奇异现象解释为在雷雨时刻,一位避劫的仙灵精气聚合不散,附着在玻璃上而成. 学习效果反馈:

代课教师: 通过今天学习,你觉得: 1. 本讲讲义内容设置: A. 太难太多,吃不透 B. 难度稍大,个别问题需要下去继续思考 C. 稍易,较轻松 D. 太容易,来点给力的 2. 本节课老师讲解你明白了: A .40%以下 B .40%到 80% C .80%以上但不全懂 D .自以为都懂了 3.有什么东西希望老师下节课再复习一下么?(可填题号,知识点,或者填无)

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