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003专题三 解决利用导数研究函数问题(1)


江苏省包场高级中学 2015 届高三数学二轮复习资料

主备人:柏松盛

003

专题三
【真题感悟】

解决利用导数研究函数问题(1)

b (a,b 为常数)过点 P (2,?5) , x 且该曲线在点 P 处的切线与直线 7 x ? 2 y ? 3 ? 0 平行,

则 a ? b 的值是 .
1. (2014 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,若曲线 y ? ax 2 ? 2. (2014 新课标)已知函数 f ( x ) = ax ? 3x ? 1 ,若 f ( x ) 存在唯一的零点 x0 ,且 x0 >0,
3 2

则实数 a 的取值范围为

.

3. (2013 江苏) 设函数 f ( x) ? ln x ? ax ,g ( x) ? e x ? ax , 其中 a 为实数.若 f ( x) 在 (1,??) 上是单调减函数,且 g ( x) 在 (1,??) 上有最小值,则实数 a 的取值范围为 .

4. (2013 安徽)若函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c 有极值点 x1 , x2 ,且 f ( x1 ) ? x1 ,则关于 x 的 方程 3( f ( x))2 ? 2af ( x) ? b ? 0 的不同实根个数是 【考点展示】 1.函数 f ( x) ? x3 ? 15x 2 ? 33x ? 6 的单调减区间为 . 2.若方程 ln x ? 2 x ? a ? 0 有两个不等的实数根,则实数 a 的取值范围是
3 2

.

.

3.已知函数 f ( x) ? mx ? nx 的图像在点 ?? 1,2 ? 处的切线恰好与直线 3x ? y ? 0 平行,若在区 间 ?t , t ? 1? 上单调递减,则实数 t 的取值范围是 . 4 . 设 a ? 0 , 函 数 f ( x) ? x ?

a2 , g ( x) ? x ? ln x , 若 对 任 意 的 x1 , x2 ?[1, e] , 都 有 x . f ( x1 ) ≥ g ( x2 ) 成立,则实数 a 的取值范围为

5 .设函数 f ( x) ? ( x ? 1)2 ( x ? a)e x ,若 f ( x) 在 x ? ?1 处取得极大值,则实数 a 的取值范围 是 . 6.设函数 f ( x) ? ax ? sin x ? cos x .若函数 f ( x) 的图像上存在不同的两点 A , B ,使得曲线 y ? f ( x) 在点 A , B 处的切线互相垂直,则实数 a 的取值范围为 .

【典例导引】 例 1 (2013 山东)已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? ln x(a, b ? R) . (1)设 a ? 0 ,求 f ( x) 的单调区间 (2)设 a ? 0 ,且对任意 x ? 0 , f ( x) ? f (1) .试比较 ln a 与 ? 2 b 的大小.
2 1 例 2 已知函数 f ( x) ? 2 x ? , g ( x) ? ln x ? b . 2

(1)当 b=0 时,求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的极值. (2)若 b 是正整数,且 g ( x) ? ax ? f ( x) 对任意 x ? (0,??) 恒成立,试求 b 的值及 a 的 取值范围.

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例 3 设函数 f ? x ? ?

ex 2 ? k ( ? ln x) ( k 为常数, e ? 2.71828? 是自然对数的底数) 2 x x

(I)当 k ? 0 时,求函数 f ? x ? 的单调区间; (II)若函数 f ? x ? 在 ? 0, 2 ? 内存在两个极值点,求 k 的取值范围.

e x ? x 2 ? 2 xex 2 1 解:( 1)f ( x) ? ? k (? 2 ? ) 4 x x x x ( x ? 2)(e ? kx) ? ( x ? 0) x3 当k ? 0时,kx ? 0,? e x ? kx ? 0
'

令f ' ( x) ? 0, 则x ? 2 ?当x ? (0,2)时,f ( x)单调递减; 当x ? (2,??)时,f ( x)单调递增。 (2)令g ? x ? ? e x ? kx 则g ' ( x ) ? e x ? k ? e x ? k , x ? ln k ? g ' (0) ? 1 ? k ? 0, g (0) ? 1 ? 0 e2 g (2) ? e ? k ? 0, g ?2 ? ? e ? 2k ? 0 ? k ? 2 ln k g ?ln k ? ? e ? k ln k ? 0 ? ln k ? 1? k ? e
' 2 2

综上 : e的取值范围为( e,

e2 )。 2

例 4 已知函数 f ( x) ? e x , g ( x) ? ax2 ? bx ? 1(a, b ? R) . (1)若 a ? 0 ,则 a , b 满足什么条件时,曲线 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 在 x ? 0 处总有相同的 切线? (2)当 a ? 1 时,求函数 h( x) ?

g ( x) 的单调减区间; f ( x)

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(3)当 a ? 0 时,若 f ( x) ? g ( x) 对任意的 x ? R 恒成立,求 b 的取值的集合. 例 4.解: (1)? f ?( x) ? e x ,? f ?(0) ? 1 ,又 f (0) ? 1 ,

? y ? f ( x) 在 x ? 0 处的切线方程为 y ? x ? 1 , 又? g ?( x) ? 2ax ? b ,? g ?(0) ? b ,
又 g (0) ? 1 ,? y ? g ( x) 在 x ? 0 处的切线方程为 y ? bx ? 1 , 所以当 a ? 0, a ? R 且 b ? 1 时,曲线 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 在 x ? 0 处总有相同的切线 (2)由 a ? 1 , h( x) ?

x 2 ? bx ? 1 ? x 2 ? (2 ? b) x ? b ? 1 ? h ( x ) ? , , ? ex ex
………7 分

? h?( x) ?

? x 2 ? (2 ? b) x ? b ? 1 ( x ? 1)( x ? (1 ? b)) ?? , x e ex

由 h?( x) ? 0 ,得 x1 ? 1 , x2 ? 1 ? b ,? 当 b ? 0 时,函数 y ? h( x) 的减区间为 (??,1 ? b) ,

(1, ??) ;当 b ? 0 时,函数 y ? h( x) 的减区间为 (??, ??) ;
当 b ? 0 时,函数 y ? h( x) 的减区间为 (??,1) , (1 ? b, ??) . ………10 分

(3)由 a ? 1 ,则 ? ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? e x ? bx ?1 ,? ? ?( x) ? e x ? b , ①当 b ? 0 时, ? ?( x) ? 0 ,函数 ? ( x) 在 R 单调递增, 又 ? (0) ? 0 ,? x ? (??, 0) 时, ? ( x) ? 0 ,与函数 f ( x) ? g ( x) 矛盾,………12 分 ②当 b ? 0 时,? ? ?( x) ? 0 , x ? ln b ;? ? ?( x) ? 0 , x ? ln b

? 函数 ? ( x) 在 (??,ln b) 单调递减; (ln b, ??) 单调递增,
0 ,? ? (ln b) ? 0 ,与函数 f ( x) ? g ( x) 矛盾, (Ⅰ)当 0 ? b ? 1 时,? ln b ? 0 ,又 ? (0) ?
(Ⅱ)当 b ? 1 时,同理 ? (ln b) ? 0 ,与函数 f ( x) ? g ( x) 矛盾, (Ⅲ)当 b ? 1 时, ln b ? 0 ,? 函数 ? ( x) 在 ( ??, 0) 单调递减; (0, ??) 单调递增,

? ? ( x) ? ? (0) ? 0 ,故 b ? 1 满足题意.综上所述, b 的取值的集合为 ?1? .

……16 分

【反思质疑】

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专题三
【课后巩固】

解决利用导数研究函数问题(1)
.

1.若函数 f ( x) ? e x ? 2 x ? a 在 R 上有两个零点,则实数 a 的取值范围为 2.已知函数 f ( x) ? ln x ? 3.设函数 f ( x) ?

m ( m ? R )在区间 [1, e] 上取得最小值 4,则 m ? ____. x
.

ln x 在区间 ?a, a ? 2? 上单调递增,则实数 a 的取值范围为 x


4.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 y ? x ? b 是曲线 y ? a ln x 的切线,则当 a >0 时,实数 b 的最小值是 5.若函数 f ( x) ? x ? 1 ? a ln x(a ? 0) 对任意 x1 , x2 ? ?0,1? ,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 1 ? 1 ,则 x1 x2 实数 a 的取值范围为 7.设函数 f ( x) ? 3 ? 3
x ?x

. . .

6.已知函数 f ( x) ? x(ln x ? ax) 有两个极值点,则实数 a 的取值范围为

? 2 x ,则满足 ( x ? 2) f (log1 x) ? 0 的 x 的取值范围为
2

?x ? R ,f ( x) ? f (? x) ? x 2 且 ?x ? ?0,?? ? ,f ?( x) ? x . 8. 设 f ?( x) 是函数 f ( x) 在 R 上的导函数, 若 f (2 ? a) ? f (a) ? 2 ? 2a ,则实数 a 的取值范围为 .

9.已知函数 f ( x) ? ( x 2 ? ax ? 2a ? 3)e x . (1)若 x ? 2 是函数 f ( x) 的一个极值点,求实数 a 的值; (2)设 a ? 0 ,当 x ? ?1,2? 时,函数 f ( x) 的图像恒不在直线 y ? e 2 的上方,求实数 a 的取值 范围.

a 2 ? 1 ,其中 a ? R . 10.已知函数 f ( x) ? 2ax ? x2 ? 1 (1)当 a ? ?1 时,求函数 f ( x) 的极值; (2)求函数 f ( x) 的单调区间;

(3)若 f ( x) 在 ?1,?? ? 上存在最大值和最小值,求实数 a 的取值范围. x>0, ? ?lnx, 1 11.设函数 g(x)=?1 2 ?2x +2x-2,x≤0 ? (1)指出函数 g ( x) 的单调区间; ( 2 ) 若 函 数 g ( x) 的 图 象 在 A( x1 , g ( x1 )) , B( x2 , g ( x2 )) 点 处 的 切 线 互 相 垂 直 , 且

x1 ? x2 , x1 ? x2 ? 0 ,证明: x2 ? x1 ≥2;
※(3)若 g ( x) 的图象上存在 k(k≥2,k∈N*)个不同的点,这 k 个点处的切线是同一 条直线 l,求这 k 个点的坐标和直线 l 的方程. 11.解(1)函数 g ( x) 的单调减区间为 (??,?2) ,单调增区间为 (?2, 0] , (0, ?? ) ; (2)点 A 处的切线斜率为 f ?( x1 ) ,点 B 处的切线斜率为 f ?( x 2 ) ,故当点 A, B 处的切线 互相垂直时,有 f ?( x1 ) ? f ?( x 2 ) ? ?1 , 当 x1 ? x2 ? 0 时, f ?( x) ? x ? 2
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由 ( x1 ? 2) ? ( x2 ? 2) ? ?1 ,所以 x1 ? 2 ? 0 , x2 ? 2 ? 0 , 而 x2 ? x1 ? [?( x1 ? 2) ? ( x2 ? 2)] ? 2 ? ( x1 ? 2) ? ( x2 ? 2) ? 2 , -----------6 分 (当且仅当 ? ( x1 ? 2) ? x2 ? 2 ,即 x1 ? ?3 且 x2 ? ?1 时等号成立) ,∴ x 2 ? x1 ≥2 当 x1 ? 0 ? x2 时, f ?( x1 ) ? x1 ? 2 , f ?( x 2 ) ?

1 , x2

由 ( x1 ? 2) ?

1 1 ? ?1 ,所以 ? 0 , x1 ? 2 ? 0 , 且 x2 ? ?( x1 ? 2) , x1 ? 1 ? ?1, x2 x2

因此 x2 ? x1 ? ?( x1 ? 2) ? x1 ? ?2( x1 ? 1) ? 2 ,-----------------------8 分 ∴ x 2 ? x1 >2;当 0 ? x1 ? x2 时, f ?( x ) ?

1 ? 0 ,不可能有 f ?( x1 ) ? f ?( x2 ) ? ?1 , x

综上,函数 f ( x ) 的图象在点 A, B 处的切线互相垂直时有 x 2 ? x1 ≥2;----10 分

? ?1, x>0, (3)由题设可知 g' (x)=?x ?x+2,x≤0, ?
①因为 g'(x)在 x∈(-∞,0]上单调递增,所以不存在任意两点处的切线的斜率相同, ②因为 g' (x)在 x∈(0,+∞)上单调递减,所以不存在任意两点处的切线的斜率相同, 1 1 ③设 a>0,b≤0,记点 A(a,lna),B(b, b2+2b- ), 2 2 1 1 则函数 g(x)的图象在点 A 处的切线方程为 y-lna= (x-a),即 y= x+lna-1--------① a a 1 1 1 1 函数 g(x)图象在点 B 处的切线为 y-( b2+2b- )=(b+2)(x-b),即 y=(b+2)x- b2- ----② 2 2 2 2 ③ ?a=b+2, 因为方程①、②表示同一条直线, 则有? 1 1 ?lna-1=-2b -2, ④
2

1

-----------14 分

把③代入④,得 ln

1 1 1 1 1 -1=- b2- ,即 b2-ln(b+2)- =0,b∈(-2,0]. 2 2 2 2 b+2

b2+2b-1 (b+1) 2-2 1 2 1 1 记 h(b)= b -ln(b+2)- ,b∈(-2,0],则 h'(b)=b- = = . 2 2 b+2 b+2 b+2 因为 b∈(-2,0],所以(b+1) 2-2∈[-2,-1].又因为 b+2>0,则 h'(b)<0 在 b∈(-2,0]上恒 成立,所以函数 h(b)在(-2,0]上单调递减.又∵h(-1)=0,∴b=-1,这时 a=1.即存在 2 个不同点 A(1,0),B(-1,-2),直线 l 的方程为 y=x-2 12.已知函数 f ( x) ? e x ? e ? x ,其中 e 是自然对数的底数. (1)证明: f ( x) 是 R 上的偶函数; (2)若关于 x 的不等式 mf ( x ) ≤ e ? x ? m ? 1 在 (0,??) 上恒成立,求实数 m 的取值范围;
3 ※(3)已知正数 a 满足: 存在 x0 ? [1,??) , 使得 f ( x0 ) ? a(? x0 ? 3x0 ) 成立.试比较 e a ?1 与 a e ?1 的 大小,并证明你的结论.

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