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福建省莆田一中2014-2015学年高一上学期第一次段考数学试卷


福建省莆田一中 2014-2015 学年高一上学期第一次段考数学试卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.每小题只有一个正确答案) 1. (3 分)如图,可表示函数 y=f(x)的图象的只能是()

A.

B.

C.

D.

2. (3

分)函数 y= A.(0,e]

的定义域为() B.(﹣∞,e] C.(0,10] D.(﹣∞,10]

3. (3 分)已知函数 f( +1)=x+1,则函数 f(x)的解析式为() 2 2 A.f(x)=x B. f(x)=x +1(x≥1) 2 2 C. f(x)=x ﹣2x+2(x≥1) D.f(x)=x ﹣2x(x≥1) 4. (3 分)已知全集 U={1,2,3,4,5},集合 A={x|x ﹣3x+2=0},B={x|x=2a,a∈A},则集 合?U(A∪B)中元素的个数为() A.1 B. 2 C. 3 D.4 5. (3 分)设 a∈ 是() A.1,3
0.7 2

,则使函数 y=x 的定义域是 R,且为奇函数的所有 a 的值

a

B.﹣1,1
6

C.﹣1,3

D.﹣1,1,3

6. (3 分)三个数 6 ,0.7 ,log0.76 的大小顺序是() 6 0.7 6 0.7 A.0.7 <6 <log0.76 B. 0.7 <log0.76<6 0.7 6 6 0.7 C. log0.76<6 <0.7 D.log0.76<0.7 <6 7. (3 分)设 f(x)=3 +3x﹣8,用二分法求方程 3 +3x﹣8=0 在 x∈(1,2)内近似解的过程 中得 f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的根落在区间() A.(1,1.25) B.(1.25,1.5) C.(1.5,2) D.不能确定
x x

8. (3 分)函数 是() A.4

的图象和函数 g(x)=log2x 的图象的交点个数

B. 3
2

C. 2

D.1

9. (3 分)定义在上的偶函数 f(x)=ax +bx﹣2 在区间上是() A.增函数 B.减函数 C.先增后减函数

D.先减后增函数

10. (3 分) 设奇函数 ( f x) 在 (0, +∞) 上为增函数, 且( f 1) =0, 则不等式 的解集为() A.(﹣1,0)∪(1,+∞) 1)∪(1,+∞) D.

B.(﹣∞,﹣1)∪(0,1) (﹣1,0)∪(0,1)

C. (﹣∞, ﹣

二、填空题(本大题共 11 小题,每小题 5 分,共 15 分.把答案填在题中横线上) 11. (5 分)若 a>0,a≠1,则函数 y=a
x﹣1

+2 的图象一定过点.

12. (5 分)已知

,则

=.

13. (5 分)定义 f(x,y)=(y ,2y﹣x) ,若 f(m,n)=(1,2) ,则(m,n)=. 14. (5 分)二次函数 y=ax +bx+c 中,若 ac<0,则函数的零点个数是个. 15. (5 分)一个高中研究性学习小组对本地区 2002 年至 2004 年快餐公司发展情况进行了调 查,制成了该地区快餐公司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均数情况条形图, 根据图中提供的信息可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭万盒.
2

2

16. (8 分)计算: (1) + + ;

(2)log2(4 ×2 )+lg

7

5

+lo

?lo



17. (8 分)A={x|﹣2<x≤5},B={x|m+1≤x≤2m﹣1},若 B?A,则 m 的取值范围是. 18. (8 分)已知函数 f(x)=x +(lga+2)x+lgb,﹣1 是函数 F(x)=f(x)+2 的一个零点, 且对于任意 x∈R,恒有 f(x)≥2x 成立,求实数 a,b 的值. 19. (8 分)某工厂生厂了一种电子元件,每月生产的数据如表: 月份 1 2 3 产量(千件) 50 52 56.2
2

4 63.5
x

为估计一年内每月该电子元件的产量,以这 4 个月的产量为依据,拟选用 y=ax+b 或 y=a +b 为拟合函数,来模拟电子元件的产量 y 与月份 x 的关系.请问:哪个函数较好?并由此估计 5 月份的产量. 20. (11 分)已知函数 f(x)=a﹣ .

(1)求证:不论 a 为何实数 f(x)总是为增函数; (2)确定 a 的值,使(x)为奇函数; (3)当 f(x)为奇函数时,求 f(x 的值域. 21. (12 分)已知:函数 f(x)对一切实数 x,y 都有 f(x+y)﹣f(y)=x(x+2y+1)成立, 且 f(1)=0. (1)求 f(0)的值. (2)求 f(x)的解析式. (3)已知 a∈R,设 P:当 0<x< 时,不等式 f(x)+3<2x+a 恒成立;Q:当 x∈时,g(x) =f(x)﹣ax 是单调函数.如果满足 P 成立的 a 的集合记为 A,满足 Q 成立的 a 的集合记为 B, 求 A∩?RB(R 为全集) .

福建省莆田一中 2014-2015 学年高一上学期第一次段考数 学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.每小题只有一个正确答案) 1. (3 分)如图,可表示函数 y=f(x)的图象的只能是()

A.

B.

C.

D. 考点: 抽象函数及其应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 本题利用函数的定义,对于定义域内的任意的自变量 x,有唯一的函数值与之对应, 判断出那个图形符合函数的对应法则,得到本题结论. 解答: 解:根据函数的定义,对于定义域内的任意的一个自变量 x,有唯一的函数值与之对 应, 故任作一条垂直于 x 轴的直线,与函数的图象最多有一个交点. 故应选 D. 点评: 本题考查了函数的定义,本题难度不大,属于基础题. 2. (3 分)函数 y= A.(0,e] 的定义域为() B.(﹣∞,e] C.(0,10] D.(﹣∞,10]

考点: 函数的定义域及其求法. 分析: 根据函数的解析式,列出使解析式有意义的不等式,求出解集即可. 解答: 解:∵函数 y= ,

∴1﹣lnx≥0, 即 lnx≤1; 解得 0<x≤e, ∴函数 y 的定义域为(0,e]. 故选:A. 点评: 本题考查了求函数定义域的问题,解题时应根据函数的解析式,求出使解析式有意 义的不等式的解集,是基础题. 3. (3 分)已知函数 f( +1)=x+1,则函数 f(x)的解析式为() 2 2 A.f(x)=x B. f(x)=x +1(x≥1) 2 2 C. f(x)=x ﹣2x+2(x≥1) D.f(x)=x ﹣2x(x≥1) 考点: 函数解析式的求解及常用方法. 专题: 计算题.

分析: 通过换元:令 将 t 换为 x 即可.

,将已知条件中的 x 都换为 t,得到关于 t 的函数解析式,再
2

解答: 解:令 则 x=(t﹣1) (t≥1) 2 2 ∴f(t)=(t﹣1) +1=t ﹣2t+2 2 ∴f(x)=x ﹣2x+2(x≥1) 故选 C 点评: 已知 f(ax+b)的解析式来求 f(x)的解析式,一般通过换元的方法或配凑的方法. 4. (3 分)已知全集 U={1,2,3,4,5},集合 A={x|x ﹣3x+2=0},B={x|x=2a,a∈A},则集 合?U(A∪B)中元素的个数为() A.1 B. 2 C. 3 D.4 考点: 交、并、补集的混合运算. 分析: 用列举法表示出 A、B,求解即可. 解答: 解:A={1,2},B={2,4},A∪B={1,2,4}, ∴CU(A∪B)={3,5}, 故选 B 点评: 本题考查集合的混合运算,较简单,注意集合两种表达方法的互化. 5. (3 分)设 a∈ 是() A.1,3
a 2

,则使函数 y=x 的定义域是 R,且为奇函数的所有 a 的值

B.﹣1,1

C.﹣1,3

D.﹣1,1,3

考点: 指数函数的定义、解析式、定义域和值域;函数奇偶性的判断. 专题: 计算题. 分析: 分别验证 a=﹣1,1, ,3 知当 a=1 或 a=3 时,函数 y=x 的定义域是 R 且为奇函数. 解答: 解:当 a=﹣1 时,y=x 的定义域是 x|x≠0,且为奇函数; 当 a=1 时,函数 y=x 的定义域是 R 且为奇函数; 当 a= 时,函数 y= 的定义域是 x|x≥0 且为非奇非偶函数.
﹣1

a

当 a=3 时,函数 y=x 的定义域是 R 且为奇函数. 故选 A. 点评: 本题考查幂函数的性质和应用,解题时要熟练掌握幂函数的概念和性质. 6. (3 分)三个数 6 ,0.7 ,log0.76 的大小顺序是() 6 0.7 6 0.7 A.0.7 <6 <log0.76 B. 0.7 <log0.76<6 0.7 6 6 0.7 C. log0.76<6 <0.7 D.log0.76<0.7 <6 考点: 不等关系与不等式. 专题: 函数的性质及应用.
0.7 6

分析: 由指数函数和对数函数的图象可以判断 6 ,0.7 ,log0.76 和 0 和 1 的大小,从而可 0.7 6 以判断 6 ,0.7 ,log0.76 的大小. 解答: 解:由指数函数和对数函数的图象可知: 0.7 6 6 >1,0<0.7 <1,log0.76<0, 6 0.7 ∴log0.76<0.7 <6 故选:D. 点评: 本题考查利用插值法比较大小、考查指数函数、对数函数的图象和性质,属基础知 识、基本题型的考查. 7. (3 分)设 f(x)=3 +3x﹣8,用二分法求方程 3 +3x﹣8=0 在 x∈(1,2)内近似解的过程 中得 f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的根落在区间() A.(1,1.25) B.(1.25,1.5) C.(1.5,2) D.不能确定 考点: 二分法求方程的近似解. 专题: 计算题. x 分析: 由已知“方程 3 +3x﹣8=0 在 x∈(1,2)内近似解”,且具体的函数值的符号也已确定, 由 f(1.5)>0,f(1.25)<0,它们异号. 解答: 解析:∵f(1.5)?f(1.25)<0, 由零点存在定理,得, ∴方程的根落在区间(1.25,1.5) . 故选 B. 点评: 二分法是求方程根的一种算法,其理论依据是零点存在定理: 一般地,若函数 y=f(x)在区间上的图象是一条不间断的曲线, 且 f(a)f(b)<0,则函数 y=f(x)在区间(a,b)上有零点.
x x

0.7

6

8. (3 分)函数 是() A.4

的图象和函数 g(x)=log2x 的图象的交点个数

B. 3

C. 2

D.1

考点: 函数的图象与图象变化. 专题: 计算题;压轴题;数形结合. 分析: 根据分段函数图象分段画的原则,结合一次函数、二次函数、对数函数图象的画出, 我们在同一坐标系中画出函数 象,数形结合即可得到答案. 解答: 解:在同一坐标系中画出函数 =log2x 的图象 如下图所示: 的图象和函数 g(x) 的图象和函数 g(x)=log2x 的图

由函数图象得,两个函数图象共有 3 个交点 故选 B 点评: 本题考查的知识函数的图象与图象的变化,其中在同一坐标系中画出两个函数的图 象是解答的关键. 9. (3 分)定义在上的偶函数 f(x)=ax +bx﹣2 在区间上是() A.增函数 B.减函数 C.先增后减函数
2

D.先减后增函数

考点: 函数奇偶性的性质;二次函数在闭区间上的最值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据偶函数的性质先求出 a,b,然后利用二次函数的性质确定函数的单调性. 解答: 解:∵f(x)是定义在上的偶函数, ∴区间关于原点对称,即 1+a+2=0, 解得 a=﹣3, 且 f(﹣x)=f(x) , 2 2 ∴ax ﹣bx﹣2=ax +bx﹣2, 即﹣bx=bx,解得 b=0, 2 2 ∴f(x)=ax +bx﹣2=﹣3x ﹣2, ∴f(x)在区间上是减函数. 故选:B. 点评: 本题主要考查函数奇偶性的应用,利用函数奇偶性的定义和性质是解决本题的关键.

10. (3 分) 设奇函数 ( f x) 在 (0, +∞) 上为增函数, 且( f 1) =0, 则不等式 的解集为() A.(﹣1,0)∪(1,+∞) 1)∪(1,+∞) D. 考点: 奇函数. 专题: 压轴题. 分析: 首先利用奇函数定义与 然后由奇函数定义求出 f(﹣1)=﹣f(1)=0, 得出 x 与 f(x)异号,

B.(﹣∞,﹣1)∪(0,1) (﹣1,0)∪(0,1)

C. (﹣∞, ﹣

最后结合 f(x)的单调性解出答案. 解答: 解:由奇函数 f(x)可知 ,即 x 与 f(x)异号,

而 f(1)=0,则 f(﹣1)=﹣f(1)=0, 又 f(x)在(0,+∞)上为增函数,则奇函数 f(x)在(﹣∞,0)上也为增函数, 当 x>0 时,f(x)<0=f(1) ; 当 x<0 时,f(x)>0=f(﹣1) , 所以 0<x<1 或﹣1<x<0. 故选 D. 点评: 本题综合考查奇函数定义与它的单调性. 二、填空题(本大题共 11 小题,每小题 5 分,共 15 分.把答案填在题中横线上) 11. (5 分)若 a>0,a≠1,则函数 y=a
x﹣1

+2 的图象一定过点(1,3) ; .

考点: 指数函数的图像与性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用指数函数过定点的性质进行判断. 解答: 解:方法 1:平移法 x ∵y=a 过定点(0,1) , x x﹣1 ∴将函数 y=a 向右平移 1 个单位,再向上平移 2 个单位得到 y=a +2,此时函数过定点(1, 3) , 方法 2:解方程法 由 x﹣1=0,解得 x=1, 此时 y=1+2=3, 即函数 y=a +2 的图象一定过点(1,3) . 故答案为: (1,3) 点评: 本题主要考查指数函数过定点的性质,如果 x 的系数为 1,则可以使用平移法,但 x 的系数不为 1,则用解方程的方法比较简单.
x﹣1

12. (5 分)已知

,则

=4.

考点: 对数的运算性质. 分析: 根据 可先求出 a 的值,然后代入即可得到答案.

解答: 解:∵ ∴



故答案为:4. 点评: 本题主要考查指数与对数的运算.指数与对数的运算法则一定要熟练掌握.

13. (5 分)定义 f(x,y)=(y ,2y﹣x) ,若 f(m,n)=(1,2) ,则(m,n)=(0,1) 或(﹣4,﹣1) . 考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由已知得 y =1,从而 2y﹣x=2,由此能求出(m,n)=(﹣4,﹣1)或(0,1) . 2 解答: 解:∵定义 f(x,y)=(y ,2y﹣x) , ∴f(m,n)=(1,2) , 2 ∵y =1, ∴2y﹣x=2, 解得 y=﹣1 或 y=1, ∴x=﹣4 或 x=0, 故(m,n)=(﹣4,﹣1)或(0,1) . 故答案为: (﹣4,﹣1)或(0,1) . 点评: 本题考查函数值的求法,是基础题,注意函数性质的合理运用. 14. (5 分)二次函数 y=ax +bx+c 中,若 ac<0,则函数的零点个数是 2 个. 考点: 二次函数的性质. 专题: 计算题. 2 2 分析: 有 a?c<0, 可得对应方程 ax +bx+c=0 的△ =b ﹣4ac>0, 可得对应方程有两个不等实 根,可得结论. 2 解答: 解:∵ac<0,∴△=b ﹣4ac>0, 2 ∴对应方程 ax +bx+c=0 有两个不等实根,故所求二次函数与 x 轴有两个交点. 故答案为:2 点评: 本题把二次函数与二次方程有机的结合了起来,有方程的根与函数零点的关系可知, 求方程的根,就是确定函数的零点,也就是求函数的图象与 x 轴的交点的横坐标. 15. (5 分)一个高中研究性学习小组对本地区 2002 年至 2004 年快餐公司发展情况进行了调 查,制成了该地区快餐公司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均数情况条形图, 根据图中提供的信息可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭 85 万盒.
2 2

2

考点: 用样本的数字特征估计总体的数字特征.

专题: 图表型. 分析: 本题是求加权平均数,依据加权平均数的计算公式即可求解. 解答: 解: (30×1+45×2+90×1.5)=85 即这三年中该地区每年平均销售盒饭 85 万盒. 故答案为:85. 点评: 本题主要考查了加权平均数,正确理解以及公式是解决本题的关键. 16. (8 分)计算: (1)
7 5

+

+ +lo ?lo .



(2)log2(4 ×2 )+lg

考点: 根式与分数指数幂的互化及其化简运算;有理数指数幂的化简求值. 专题: 计算题. 分析: (1)运用指数幂的性质化简求值, (2)运用对数的运算性质,指数幂的运算性质化简求值. 解答: 解: (1)原式= 故答案为:π; (2)原式=log2(4 ×2 )+lg 故答案为:21 ; 点评: 本题考查了对数的运算性质,指数幂的运算性质化简求值,属于计算题,但是容易 出错. 17. (8 分)A={x|﹣2<x≤5},B={x|m+1≤x≤2m﹣1},若 B?A,则 m 的取值范围是(﹣∞,3]. 考点: 集合的包含关系判断及应用. 专题: 规律型. 分析: 讨论集合 B=?和 B≠?时,利用条件 B?A,确定不等式关系,即可求 m 的取值范围. 解答: 解:若 B=?,即 m+1>2m﹣1,解得 m<1,满足条件 B?A, 若 B≠?,即 m+1≤2m﹣1,解得 m≥1,要使 B?A, 则满足 ,即 ,解得﹣3<m≤3,此时 1≤m≤3.
7 5

+

+

=1+2+π﹣3=π,

+lo

?lo

=19

+2=21 ,

综上:m≤3. 故答案为: (﹣∞,3].

点评: 本题主要考查集合关系的应用,利用数轴确定集合端点之间的关系是解决此类问题 的基本方法,注意端点处等号的取舍. 18. (8 分)已知函数 f(x)=x +(lga+2)x+lgb,﹣1 是函数 F(x)=f(x)+2 的一个零点, 且对于任意 x∈R,恒有 f(x)≥2x 成立,求实数 a,b 的值. 考点: 函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据﹣1 是 F(x)的一个零点知 F(﹣1)=lgb﹣lga+1=0,而由对任意 x∈R,恒有 f 2 2 (x)≥2x 成立可得:x +xlga+lgb≥0 恒成立.所以△ =(lga) ﹣4lgb≤0,带入 lga=lgb+1 可得: 2 (lgb﹣1) ≤1,所以便得到 b=10,a=100. 解答: 解:由已知条件知,F(﹣1)=0; ∴lgb﹣lga+1=0; 又 f(x)≥2x 恒成立,有 x +xlga+lgb≥0 恒成立; 2 ∴△=(lga) ﹣4lgb≤0; 由将 lgb﹣lga+1=0 得,lga=lgb+1; ∴(lgb+1) ﹣4lgb≤0; 2 ∴(lgb﹣1) ≤0; 故 lgb=1,即 b=10,则 a=100. 点评: 考查函数零点的概念,以及一元二次不等式解的情况和判别式△ 的关系,以及对数 的运算. 19. (8 分)某工厂生厂了一种电子元件,每月生产的数据如表: 月份 1 2 3 4 产量(千件) 50 52 56.2 63.5 x 为估计一年内每月该电子元件的产量,以这 4 个月的产量为依据,拟选用 y=ax+b 或 y=a +b 为拟合函数,来模拟电子元件的产量 y 与月份 x 的关系.请问:哪个函数较好?并由此估计 5 月份的产量. 考点: 根据实际问题选择函数类型;线性回归方程. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由题意,以 y=a +b 为拟合函数,由 a+b=50,a +b=52 解得 a=2,b=48,可得结论. x 解答: 解:由题意,以 y=a +b 为拟合函数, 2 由 a+b=50,a +b=52 解得 a=2,b=48, x 所以 y=2 +48. 取 x=5,y=80,估计 5 月份的产量为 8 万件. 点评: 本题考查线性回归方程,考查学生的计算能力,比较基础. 20. (11 分)已知函数 f(x)=a﹣ .
x 2 2 2 2

(1)求证:不论 a 为何实数 f(x)总是为增函数; (2)确定 a 的值,使(x)为奇函数; (3)当 f(x)为奇函数时,求 f(x 的值域. 考点: 函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断. 专题: 函数的性质及应用;导数的综合应用. 分析: (1)求 f′(x) ,判断 f′(x)的符号从而证出 f(x)总是增函数; (2)由 f(x)为奇函数知,f(﹣x)=﹣f(x) ,所以分别求出 f(﹣x) ,﹣f(x)带入并整理 可求得 a= ; (3)f(x)= ,由 2 +1>1 即可求出 f(x)的范围,即 f(x)的值域.
x

解答: 解: (1)证明:f′(x)= 所以不论 a 为何实数 f(x)总为增函数; (2)∵f(x)为奇函数,∴f(﹣x)=﹣f(x) ,即 ∴ (3)由(2)知 ∴ ∴ 所以 f(x)的值域为 ; ; . ;



,解得:



,∵2 +1>1,∴

x



点评: 考查根据函数导数符号判断函数单调性的方法,奇函数的定义,以及指数函数的值 域. 21. (12 分)已知:函数 f(x)对一切实数 x,y 都有 f(x+y)﹣f(y)=x(x+2y+1)成立, 且 f(1)=0. (1)求 f(0)的值. (2)求 f(x)的解析式. (3)已知 a∈R,设 P:当 0<x< 时,不等式 f(x)+3<2x+a 恒成立;Q:当 x∈时,g(x) =f(x)﹣ax 是单调函数.如果满足 P 成立的 a 的集合记为 A,满足 Q 成立的 a 的集合记为 B, 求 A∩?RB(R 为全集) . 考点: 抽象函数及其应用. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: (1)令 x=﹣1,y=1,由条件,结合 f(1)=0,即可得到 f(0) ; (2)令 y=0,结合 f(0) ,即可求出 f(x)的解析式;

(3)化简不等式 f(x)+3<2x+a,得到 x ﹣x+1<a,求出左边的范围,由恒成立得到 a 的范 围;由二次函数的单调性,即可得到集合 B,从而求出 A∩?RB. 解答: 解: (1)令 x=﹣1,y=1,则由已知 f(0)﹣f(1)=﹣1×(﹣1+2+1) ∵f(1)=0,∴f(0)=﹣2; (2)令 y=0,则 f(x)﹣f(0)=x(x+1) 2 又∵f(0)=﹣2,∴f(x)=x +x﹣2; 2 2 (3)不等式 f(x)+3<2x+a,即 x +x﹣2+3<2x+a 即 x ﹣x+1<a, 当 又
2

2

时,

, 恒成立,故 A={a|a≥1},
2

g(x)=x +x﹣2﹣ax=x +(1﹣a)x﹣2 又 g(x)在上是单调函数,故有 ,

∴B={a|a≤﹣3,或 a≥5}, ∴A∩CRB={a|1≤a<5}. 点评: 本题考查抽象函数及应用,考查解决抽象函数的常用方法:赋值法,同时考查不等 式的恒成立问题转化为求最值的问题,以及函数的单调性及运用,属于中档题.


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