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江苏省怀仁中学高三数学作业(7)


江苏省怀仁中学高三数学作业(7)
一、填空题: 1.函数 y ? sin 2 x ? 1 的最小正周期为 . .

2.若命题“ ?x ? R ,有 x 2 ? mx ? m ? 0 ”是假命题,则实数 m 的取值范围是 3.已知 ? , ? 的终边在第一象限,则“ ? ? ? ”是“ sin ? ? sin ? ”的 条件.

4 .已知 ΔABC 的三个内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c ,向量 m ? ?a ? c, b ? a? ,

n ? (a ? c, b) ,若 m ? n ,则∠ C 等于

. . . .

5.若正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 1,则三棱锥 B ? B1C1 D 的体积为

6.在等比数列 ?an ? 中, a1 ? an ? 34, a2 · an ?1 ? 64, 且前 n 项和 S n ? 62 ,则项数 n ?
? 2 ? 7. 已知 f ( x) ?? x 3 ? ?( x ? 1) x ? 2, 若方程 f(x)=k 有两个不同的实根, 则实数 k 的取值范围是 x?2

?a ? b ? 2 ? 0 a ? 2b ? 8.若实数 a , b 满足 ? b ? a ? 1 ? 0 ,则 的最大值为_________. 2a ? b ? a ?1 ?
9 .在 ?ABC 中, AC ? 7 , B ? 60? , BC 边上的高 h ? 3 3 ,则 2

BC ?



y A

10. 如右图所示为函数 f ? x ? ? 2sin ?? x ? ? ? ( ? ? 0, 图象,其中 A, B 两点之间的距离为 5 ,那么 f ? ?1? ?

?
2

? ? ? ? )的部分
O .

2 1
x B

?2
第 11 题图

???? ? ???? 11.在 ?ABC 中,?C ? 90? ,CA ? 3 ,CB ? 4 ,若点 M 满足 AM ? ? MB , ???? ? ??? ? 且 CM ? CA ? 18 ,则 cos ?MCA =

.

1

?x ? 1, (0 ? x ? 1) 12.已知函数 f (x ) ? ? ,设 a ? b ? 0 时,有 f (a ) ? f (b ) ,则 b ? f (a) 的取值 ? x 1 2 ? , ( x ? 1 ) ? 2 ?
范围是 二、解答题: 15.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (其中 A,? ,? 为常数,且 A>0,? > .

? ? 0, ? <?< )的部分图象如图所示. 2 2
(1)求函数 f(x)的解析式;
? ? 3

y 2 O ?2 (第 15 题)
?? 3

3 ? (2)若 f (? ) ? ,求 sin(2? ? ) 的值. 6 2

x

16.(本小题满分 14 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧面 PAD ? 底 面 ABCD ,且 PA ?PD , E 、 F 分别为 PC 、 BD 的中点. (1)求证:直线 EF ∥平面 PAD ; (2)求证:直线 EF ? 平面 PDC . D F A
第 16 题

P E C

B

2

17. (本小题满分 16 分)如图,经过村庄 A 有两条夹角为 60° 的公路 AB,AC,根据规划拟在两 条公路之间的区域内建一工厂 P,分别在两条公路边上建两个仓库 M、N (异于村庄 A),要求 PM=PN=MN=2(单位:千米).设∠AMN=θ,则 ? 为何值时,可使得工厂产生的噪声对居民 的影响最小(即工厂与村庄的距离最远).
C P N

A 图)

M ( 第 18 题

B

ax+b x 18.(本小题满分 16 分) 已知函数 f(x)= e ,a,b∈R,且 a>0. x (1)若 a=2,b=1,求函数 f(x)的极值; (2)设 g(x)=a(x-1)ex-f(x). ① 当 a=1 时,对任意 x∈(0,+∞),都有 g(x)≥1 成立,求 b 的最大值; b ② 设 g′(x)为 g(x)的导函数.若存在 x>1,使 g(x)+g′(x)=0 成立,求 的取值范围. a

3

2015—2016 学年度第一学期月度学情调研
高三数学答案
2. {?1, 0}
8. (0,1) 9.

3. (-4 , 0)

4.既 不 必 要 也 不 充 分 条 件 .

π 5. 3

6.

1 6

7. 5

7 3 13 3 10. 1 或 2 11.2 12. 13. [ , 2) 13 5 4 15. 解: (1)由图可知,A=2,……………………………………………………………

2分 T= 2? ,故 ? ? 1 ,所以,f(x) = 2sin( x ? ? ) .…………………………………… 分 又
f( 2? 2? ) ? 2sin( ? ? ) ? 2 3 3
? 6

4

, 且 ? <?<

? 2

? 2

, 故 ? ??

? 6

. 于 是 ,

f(x)= 2sin( x ? ) .…………7 分 (2)由 f (? ) ? ,得 sin(? ? ) ? .………………………………………… 分
? ? ?? ? ? ? ? 所以, sin(2? ? ) ? sin ? 2(? ? ) ? ? ? cos ?2(? ? ) ? ………………………… 12 分 6 ? 6 2? ? 6 ?

3 2

? 6

3 4

9

= 1 ? 2sin 2 (? ? ) ? ? .…………………………………… 14 分 16. 证明: (1)作 EQ//CD,FG//CD 分别交 PD,AD 于 Q,G,连 GQ,Z 则可以证明 GQ//EF …4 分 而 GQ ? 平面 PAD , EF ? 平面 PAD ,∴直线 EF ∥平面 PAD …………7 分 ( 2 ) 因 为 面 PAD ? 面 ABCD , 面 PAD ? 面 ABCD ? AD , CD ? 面 ABCD , 且
CD ? AD ,

? 6

1 8

所以 CD ? 平面 PAD ,?CD ? PA ………………………9 分
4

又 PA ? PD , CD ? PD ? D ,且 CD 、 PD ? 面 PDC ,所以 PA ? 面 PDC …12 分 而 EF ∥ PA ,所以直线 EF ? 平面 PDC ……………14 分

17.(本小题满分 14 分)已知某公司生产品牌服装的年固定 成本为 10 万元,每生产 1 千件,须 另投入 2.7 万元,设该公司年内共生产品牌服装 x 千件并全部销售完,每 1 千件的销售收入为

R?x ?

1 ? 10.8 ? x 2 , 0 ? x ? 10 ? ? 30 万元,且 R ? x ? ? ? . 108 1000 ? ? 2 , x ? 10 ? 3x ? x

(1)写出年利润 W (万元)关于年产量 x (千件)的函数解析式; (2)当年产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获 年利润最大?

?? 1 2? ??10.8 ? 30 x ? x ? 2.7 x ? 10, 0 ? x ? 10 ?? ? 17. (1)由题意得 W ? ? 108 1000 , ? ?? ? 2 ? x ? 2.7 x ? 10, x ? 10 ? ? 3x ? ?? x

1 ? 8.1x ? x 3 ? 10, 0 ? x ? 10 ? 30 ? 即W ? ? ……6 分 ?98 ? ? 1000 ? 2.7 x ? , x ? 10 ? ? ? ? 3x ? ?

(2)① 当 0 ? x ? 10 时, W ? 8.1x ?
W ? ? 8.1 ?

1 3 x ? 10 则 30

1 2 81 ? x 2 ? 9 ? x ?? 9 ? x ? x ? ? ∵ 0 ? x ? 10 10 10 10
193 ? 38.6 万 5

∴当 0 ? x ? 9 时, W ? ? 0 , 则 W 递增;当 9 ? x ? 10 时, W ? ? 0 ,则 W 递减; ∴当 x ? 9 时, W 取最大值 元.

……………………10 分
5

②当 x ? 10 时, W ? 98 ? ? ? 即x?

1000 1000 1000 ? ? 2.7 x ? 38 .当且仅当 ? 2.7 x ? ? 98 ? 2 ? 2.7 x , 3 x 3 x 3x ? ?

100 ? 10 取最大值 38. 9

………………………13 分

综上,当年产量为 9 千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最 大.………14 分 18. 解:设∠AMN=θ,在△AMN 中,sin60° =
MN AM . sin(120° -θ)

4 3 因为 MN=2,所以 AM= sin(120° -θ) . ………………4 分 3 在△APM 中,cos∠AMP=cos(60° +θ). …………………8 分 AP2=AM2+MP2-2 AM·MP·cos∠AMP = = 16 2 4 3 sin (120° -θ)+4-2×2× sin(120° -θ) cos(60° +θ) 3 3 16 2 16 3 sin (θ+60° )- sin(θ+60° ) cos(θ+60° )+4 3 3 ………10 分

8 8 3 = [1-cos (2θ+120° )]- sin(2θ+120° )+4 3 3 8 20 =- [ 3sin(2θ+120° )+cos (2θ+120° )]+ 3 3 = 20 16 - sin(2θ+150° ),θ∈(0,120° ). 3 3 ………14 分

当且仅当 2θ+150° =270° ,即 θ=60° 时,AP2 取得最大值 12,即 AP 取得最大值 2 3. 答 : 设 计 ∠ AMN 为 60? 时 , 工 厂 产 生 的 噪 声 对 居 民 的 影 响 最

小.……………………………………16 分

19. (本小题满分 16 分)设数列 ?an ? 的首项 a 1 为常数,且 an?1 ? 3n ? 2an (n ? N ? ) . (1)若 a1 ? (2)若 a1 ? 明理由. (3)若 ?an ? 是递增数列,求 a 1 的取值范围.

? 3n ? 3 ,证明: ?a n ? ? 是等比数列; 5? 5 ?
3 , ?an ? 中是否存在连续三项成等差数列?若存在,写出这三项,若不存在说 2

6

19.

1 n ?1 ? 3? ? 3n ? 5 证明: (1)因为 ? ?2 ,所以数列 ?an ? ? 是等比数列;……4 分 1 n 5? ? an ? ? 3? 5 an ?1 ?

? 3n ? (2) ?an ? ? 是公比为-2,首项为 a1 ? 3 ? 9 的等比数列. 5? 5 10 ?

通项公式为 an ?

3n ? 3? 3n 9 n?1 ? ? a1 ? ? (?2) ? ? (?2)n?1 , 5 ? 5? 5 10

…………………6 分

若 ?an ? 中存在连续三项成等差数列,则必有 2an?1 ? an ? an? 2 , 即 2[
3 n ?1 9 3n 9 3n?2 9 ? (?2) n ] ? ? (?2) n ?1 ? ? (?2) n ?1 5 10 5 10 5 10

解得 n ? 4 ,即 a4 , a5 , a6 成等差数列. (3)如果 an?1 ? an 成立,即 成立.

………………………………………8 分

3n?1 ? 3? 3n ? 3? n ? ? a1 ? ? (?2) ? ? ? a1 ? ? (?2)n?1 对任意自然数均 5 ? 5? 5 ? 5?

4 n 3 ? 3 ? ?(a1 ? )( ?2) n ………………10 分 15 5 3 4 3 当 n 为偶数时 a1 ? ? ( ) n , 5 15 2 3 4 3 因为 p (n) ? ? ( ) n 是递减数列,所以 p(n) max ? p(2) ? 0 ,即 a1 ? 0 ;…12 分 5 15 2 3 4 3 3 4 3 当 n 为奇数时, a1 ? ? ( ) n ,因为 q(n) ? ? ( ) n 是递增数列, 5 15 2 5 15 2

化简得

所以 q(n) min ? q(1) ? 1,即 a1 ? 1;………………………………………14 分 故 a1 的取值范围为 (0,1) . …………………………………………………16 分
1

20. (1)当 a=2,b=1 时,f (x)=(2+x)ex,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).
所以 f ′(x)= (x+1)(2x-1) x e. x2 ………………………2 分

1 令 f ′(x)=0,得 x1=-1,x2= ,列表 2 x (-∞, -1) -1 (-1,0) 1 (0, ) 2 1 2 1 ( ,+∞) 2

7

f ′(x) f (x)

?


0
极大值

- ↘

- ↘

0
极小值

?


1 - 由表知 f (x)的极大值是 f (-1)=e 1,f (x)的极小值是 f ( )=4 e.…………………4 分 2 b (2)① 因为 g (x)=(ax-a)ex-f (x)=(ax- -2a)ex, x b 当 a=1 时,g (x)=(x- -2)ex. x 因为 g (x)≥1 在 x∈(0,+∞)上恒成立, x 所以 b≤x2-2x- x在 x∈(0,+∞)上恒成立. e (x-1)(2ex+1) x 记 h(x)=x2-2x- x(x>0) ,则 h′(x)= . e ex 当 0<x<1 时,h′(x)<0,h(x)在(0,1)上是减函数; 当 x>1 时,h′(x)>0,h(x)在(1,+∞)上是增函数. 所以 h(x)min=h(1)=-1-e 1.


…………………8 分

所以 b 的最大值为-1-e 1.


……………10 分

b 解法二:因为 g (x)=(ax-a)ex-f (x)=(ax- -2a)ex, x b 当 a=1 时,g (x)=(x- -2)ex. x 因为 g (x)≥1 在 x∈(0,+∞)上恒成立, b 所以 g(2)=- e2>0,因此 b<0. 2 (x-1)(x -b)e b b g′(x)=(1+ 2)ex+(x- -2)ex= . x x x2 因为 b<0,所以:当 0<x<1 时,g′(x)<0,g(x)在(0,1)上是减函数; 当 x>1 时,g′(x)>0,g(x)在(1,+∞)上是增函数. 所以 g(x)min=g(1)=(-1-b)e
-1

………………………6 分
2 x

……………………8 分

因为 g (x)≥1 在 x∈(0,+∞)上恒成立, 所以(-1-b)e 1≥1,解得 b≤-1-e
- -1

因此 b 的最大值为-1-e 1.


………………………10 分

b b b ②解法一:因为 g (x)=(ax- -2a)ex,所以 g ′(x)=( 2+ax- -a)ex. x x x
8

b b b 由 g (x)+g ′(x)=0,得(ax- -2a)ex+( 2+ax- -a)ex=0, x x x 整理得 2ax3-3ax2-2bx+b=0. 存在 x>1,使 g (x)+g ′(x)=0 成立, 等价于存在 x>1,2ax3-3ax2-2bx+b=0 成立.
3 2 b 2x -3x 因为 a>0,所以 = . a 2x-1

……………12 分

2x3-3x2 设 u(x)= (x>1) ,则 u′(x)= 2x-1

3 3 8x[(x- )2+ ] 4 16 . (2x-1)2

因为 x>1,u′(x)>0 恒成立,所以 u(x)在(1,+∞)是增函数,所以 u(x)>u(1)=-1, b b 所以 >-1,即 的取值范围为(-1,+∞) . a a ……………………16 分

b b b 解法二:因为 g (x)=(ax- -2a)ex,所以 g ′(x)=( 2+ax- -a)ex. x x x b b b 由 g (x)+g ′(x)=0,得(ax- -2a)ex+( 2+ax- -a)ex=0, x x x 整理得 2ax3-3ax2-2bx+b=0. 存在 x>1,使 g (x)+g ′(x)=0 成立, 等价于存在 x>1,2ax3-3ax2-2bx+b=0 成立. 设 u(x)=2ax3-3ax2-2bx+b(x≥1) u′(x)=6ax2-6ax-2b=6ax(x-1)-2b≥-2b 当 b≤0 时,u′(x) ≥0 此时 u(x)在[1,+∞)上单调递增,因此 u(x)≥u(1)=-a-b 因为存在 x>1,2ax3-3ax2-2bx+b=0 成立 b 所以只要-a-b<0 即可,此时-1< ≤0 a ……………………13 分 ………………………12 分

3a+ 9a2+16ab 3a+ 9a2 3 当 b>0 时,令 x0= > = >1,得 u(x0)=b>0, 4a 4a 2 又 u(1)=-a-b<0 于是 u(x)=0,在(1,x0)上必有零点 即 存 在 x > 1 , 2ax3 - 3ax2 - 2bx + b = 0 成 立 , 此 时 b > a

0 …………………………………………15 分 b 综上有 的取值范围为(-1,+∞) . a ……………………16 分

9

10


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