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33届复赛模拟


1.设法使边长为 L 的正方形环在任何 情况下均以匀速度 v 沿着它的 AB 边方向 运动,在其运动的空间区域内有一匀强电 场,场强 E 垂直于环的运动速度。运动期 间,环始终在同一平面上,电场 E 相对于 环平面的倾角为θ 。 设环上串有大量小球, 这些小球象珠子串在项链上那样被串在环
图 52-2
D

u

L

r />
E

A

u

u

?

u

B

C

a

?

上。小球的大小可忽略,各球都带有电量 q。今在相对于环不动的参照系中设法 让这些小球均以匀速 u 沿环边运动,各边上相邻两球的间距均为 a,且 L 远大于 a(参见图 52-2) ,环是用不导电的线制作的,在相对于环不动的参照系中它有均 匀的电荷线密度,正好把全部小球的电荷完全抵消掉。 考虑相对论效应, 在一个从其上看环的运动速度为 v 的惯性参照系上计算以 下各量: 1、环路各边上相邻两个小球之间的距离 aAB,aBC,aCD 和 aDA; 2、环路各边净电量(各边上线电荷与小球电荷之和)QAB,QBC,QCD 和 QDA; 3、使环与小球系统受到转动作用的电力矩模量 M; 4、环与小球系统和电场之间相互作用的电势能 W。 所有解答均需用题中给定的量来描述。 2. 如图 11-189 所示,一块均匀的细长木板
d

B

以倾角θ 静止地放在两根水平的固定平行细木棒 A 和 B 之间。若两棒相距为 d,两棒和木板间的 摩擦因数均为μ ,试求木板重心 G 与木棒 A 之间

?

A
水平线 图 11-189

的距离。 3. A、B 两点相距 s,将 s 平分为 n 等份。今让一物体(可视为质点)从 A 点由静止开始向 B 做加速运动,但每过一个等分点,加速度都增加 a/n。试求该 物体到达 B 点的速度。
4. 一个质点从静止开始,先以加速度 a1 作匀加速运动,后以大小为 a2 的加

速度作匀减速直线运动,直至静止,质点运动的总时间为 t,则运动的总位移是 多少? 5.如图 24-29 所示,截面均匀,下端 A 封闭的细 长试管 AB 竖直放置, 管下端 A 内封有长为 L0 的空气,

v v
O
?
?

t

t

管中间是长为 4L0 的水银柱,管上端 B 有长为 L0 的空气。 管中间有长为 L=4L0 的水银柱管上端 B 有长为 L0 的空气。 开始时,管上端 B 与大气连通,大气压强为 p0=2ρ gL,其 中ρ 为水银密度。 (1)如果先将 B 端封闭,再将试管缓慢转过 180°, 试问管中 A 端空气柱长度 LA 与 B 端空气柱长度 LB 各为多 少 ? (2)如果 B 端始终与大气连通,不封闭,先将试管缓慢倒转 180°,再缓
? ? 慢回转 180°复原。试问最后管中 A 端空气柱长度 L A 与 B 端空气柱长度 L B 各

B 气
水 银 柱 空 气



L0 L ? 4L0 L0

A

图 24-29

为多少 L0? 设倒转过程均在大气环境下进行,温度不变。
1m 70cm

6.某水银气压计的玻璃管顶端高出水银槽液面 1m。
图 24-33

如图 24-33 所示,因上部混入少量空气,使其读数不准。当气温为 27?C,标准 气压计读数仍为 76cmHg 时,该气压计读数为 70cmHg。 (1)在相同气温下,若用该气压计测量气压,测得读数为 68cmHg,则实 际气压应为多少厘米汞柱? (2)若在气温为-3?C 时,用该气压计测得气压读数仍为 70cmHg,则实际 气压应为多少厘米汞柱?
7.如图 24-61 所示,有一个直立的气缸,气缸底到气缸口的距离为 L0cm,

用一厚度和质量均可忽略不计的刚性活塞 A,把一定质量的空气封在气缸内,活 塞与气缸间的摩擦可忽略。 平衡时活塞上表面与气缸口的距离很小(计算时可忽 略不计) , 周围大气的压强为 H0cmHg。 现把盛有水银的一个瓶子放在活塞上 (瓶 子的质量可忽略) ,平衡时活塞到气缸底的距离为 Lcm。若不是把这瓶水银放在 活塞上, 而是把瓶内水银缓缓不断地倒在活塞上方, 这时活塞向下移, 压缩气体, 直到活塞不再下移, 求此时活塞在气缸内可能的位置以及与之相对应的条件(即 题中给出量之间应满足的关系) ,设气体的温度不变。 8.有一根玻璃管,它的内、外半径分别为 r 和 R,充满发光液,在 ? 射线的 影响下,发光液会发出绿光。对于绿光,玻璃和液体的折射率分别为 n1 和 n2。
r 如果有人从外表面观察,玻璃管的厚度似乎为零,请问比值 R 必须满足何

条件?
D

9.薄壁透明圆柱形玻璃容器浮于水面, 容器的内底面
h

与容器外水面的高度差为 h,容器的内直径为 D。在容器 底正中放有一个小物体 A(图 33-109) 。实验证明,在水

A

面上方容器外侧存在一个看不见 A 的 “盲区” 。 已知水的折射率为 n=4/3, sin48°

36ˊ=0.75,假定水面与玻璃表面垂直,试确定此盲区的范围。 10.如图 33-119 所示,一个附着有小珠的屏,当入射光聚焦在小珠的后表面 时会把入射光反射回光源。 对在水中(n=4/3)穿紧身衣潜水者来说,理想情况下小 珠要用折射率多大的材料? 11. 一条窄的激光束在折射率为 n1 的媒质中传 播, 射向半径为 R 的透明球。 球心到光束的距离为 L, 光束宽度比球的半径小得多,球是由折射率为 n2 的 光疏媒质制作的。试求光束与原方向的偏角。
潜 水 者

n? i 2 O

i1

P

i3
n ? 4/3

? ? ? 12.两个相距很远的铜球,已知其半径和电势分别是: l n ? R n2 1
O

r1=6cm,U1=300V;r2=4 cm,U2=150V。将这两个铜球用细 铜丝连接达到静电平衡后,问此时电能损耗了多少?

13.真空中,有五个电量均为 q 的均匀带电薄球壳,它们的半径分别为 R 、

R/2、R/4、R/8、R/16,彼此内切于 P 点。球心分别为 O1、O2、O3、O4、O5。求 O5 与 O1 间的电势差。 14.有一带正电的孤立导体 A。另外,从无穷远处将不带电的导体 B 移至 A 的附近,试证明: (1)σ A≥0 (2)UA?UB?0 其中 ? A 为导体 A 的电荷面密度,UA 和 UB 为导体 A 和 B 的电势。

1.设法使边长为 L 的正方形环在任何 情况下均以匀速度 v 沿着它的 AB 边方向 运动,在其运动的空间区域内有一匀强电 场,场强 E 垂直于环的运动速度。运动期 间,环始终在同一平面上,电场 E 相对于 环平面的倾角为θ 。 设环上串有大量小球, 这些小球象珠子串在项链上那样被串在环
图 52-2
D

u

L

E

A

u

u

?

u

B

C

a

?

上。小球的大小可忽略,各球都带有电量 q。今在相对于环不动的参照系中设法 让这些小球均以匀速 u 沿环边运动,各边上相邻两球的间距均为 a,且 L 远大于 a(参见图 52-2) ,环是用不导电的线制作的,在相对于环不动的参照系中它有均 匀的电荷线密度,正好把全部小球的电荷完全抵消掉。 考虑相对论效应, 在一个从其上看环的运动速度为 v 的惯性参照系上计算以 下各量: 1、环路各边上相邻两个小球之间的距离 aAB,aBC,aCD 和 aDA; 2、环路各边净电量(各边上线电荷与小球电荷之和)QAB,QBC,QCD 和 QDA; 3、使环与小球系统受到转动作用的电力矩模量 M; 4、环与小球系统和电场之间相互作用的电势能 W。 所有解答均需用题中给定的量来描述。 注意:物体的电荷量与测量参照系的选择无关。 图 52-2 只画出了各矢量之间的相对方向。 略去电磁辐射。 有关的相对论公式如下:

(1)设惯性参照系 S ? 以匀速度 v 相对另一参照系 S 运动。两参照系对应的 坐标轴彼此平行,t=0 时坐标原点重合,速度 v 沿 x 轴正方向。 若在 S ? 系测得一个质点以速度 u ? 沿 x ? 轴运动,那么在 S 系测得该质点的速 度应为
u? u? ? v u ?v 1? 2 c

其方向沿 x 轴正方向(相对论速度求和公式) 。 (2)如果一个物体的静止长度为 L0 ,当它以速度 v 沿其长度方向相对某观 察者运动时,那么该观察者测得此物体长度 L 为

L ? 1?

v2 L0 c2

解:1、令 S 为观察到环路以速度 v 运动的实验室参照系, S ? 为环路参照系 ( S ? 系的 x 轴与 v 同向, y ? 沿着 DA 边的方向, z ? 轴则垂直于环路所在平面) 。 S 系各轴平行于 S ? 系各对应轴,S 与 S ? 系的坐标原点在 t=0 时重合。 (1)AB 边 建立与 AB 边上的小球一起运动的参照系 S ?? ,它的各坐标轴与 S, S ? 系的 坐标轴平行。 S ?? 相对 S ? 具有速度 u。 据洛仑兹收缩, S ?? 测得的 AB 边上相邻两个小球之间的距离 ar 为

ar ?

a 1? u2 c2 ,
(1)

(只要 ar 是在相对小球静止的参照系中测得的相邻两球间距,上式对任何

一条边均成立。 ) 据相对论速度求和公式,S 系中的观察者认为 AB 边上诸球具有的速度为
u AB ? u?v , uv 1? 2 c

(2)

再据洛仑兹收缩,此观察者将测得 AB 边上相邻两球的间距为
2 u AB

a AB ? 1 ?

c2

ar



(3)

将(1) , (2)式代入到(3)式,可得:

a AB

v2 c2 ? a uv 1? 2 c 。 1?

(4)

(2)CD 边 对 S 系中的观察者而言,CD 边上小球的速度为
u CD ? v?u uv 1? 2 c ,

(5)

再据洛仑兹收缩有
2 uCD

aCD ? 1 ?

c2

ar



(6)

将(1) , (5)式代入到(6)式,便得

aCD

v2 c2 ? a uv 1? 2 c 1?

(7)

(3)DA 边

? 时刻位于 x1 ? ? y1 ? ? z1 ? ? 0 处。在同一 在 S ? 系中,令 DA 边上的某一小球在 t 0

? ? 0 , y2 ? ? a , z2 ? ? 0 处。 时刻邻近的一个小球应位于 x2
各球相对于 S 系的空—时坐标可由洛仑兹变换式给出

x?

1 v2 1? 2 c

( x ? ? vt ?)
, (8)

y ? y? , z ? z ? ,

t?

1 v2 1? 2 c

(t ? ?

x ?v ) c2


据此,第一个小球在 S 系中有

x1 ?

1 1? v c2
2

? vt 0
, (9)

y1 ? 0 , z1 ? 0 ,
t1 ? 1 1?
第二个小球则为

v c2

2

? t0


x2 ?

1 1? v c2
2

? vt 0
, (10)

y2 ? a , z2 ? 0 ,
t2 ? 1 1? v c2
2

? t0


由于 t1 ?t 2 ,S 系中这两个小球之间的距离便为
aDA ? [(x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ? ( z 2 ? z1 ) 2 ]1/ 2 ,

(11)

即得

a DA ? a 。
(4)BC 边 重复上述相似的讨论,可得

(12)

a BC ? a

(13)

(其实,由于 DA,BC 边与 v 垂直,无洛仑兹收缩,故 a DA ? a BC ? a 。 ) 2、在环路参照系 S ? 中,每一条边线上的电荷量为
QW ? ? L q a

(14)

在此已考虑到 L/a 为各边上的小球数。由于电荷是运动不变量,在实验室参照 系 S 中测得的各边线电荷量也为此值。 (1)AB 边 在实验室参照系中,AB 边上各球电荷量之和为

1? Q AB .b ?

v2 L c2

a AB

q
(15)

此式系由 AB 边上小球数乘以每一小球电荷量(运动不变量)来获得。 (15) 式右边第一项中的分子为 S 系中观察者测得的运动收缩边长, 分母则为相邻小球 的间距。 将(4)式代入到(15)式中,可得:

Q AB .b ?

L ? uv ? ?1 ? ?q a ? c2 ?

(16)

将(14)式和(16)式相加,便得 AB 边上总电荷量

Q AB ?
(2)CD 边 用相同的方法可得

L uv q a c2 。

(17)

1? QCD.b ?

v2 L c 2 q ? L ?1 ? uv ?q ? ? aCD a ? c2 ?

(18)

将(14)和(18)式相加,可得

QCD ? ?
(3)BC 边和 DA 边

L uv q a c2

(19)

S 系中观察者测得这两条边的边长均为 L,相邻两球的间距也均为 a,因此
QBC .b ? QDA.b ? L q a ,

(20)

将(14)和(20)式相加,可得

QBC ? 0 ,
E

(21.1) (21.2)

QDA ? 0 。
FAB

3、作
C

? ?
FCD

?
L sin ?

B

用在 AB 边上的电场力为
FAB ? Q AB E ? L ? uv ? ? ?qE a ? c2 ? ,

(22)

作用在

图 52-3 图 图 图 图 图 图

CD 边上的电场力为

FCD ? QCD E ? ?

L ? uv ? ? ?qE a ? c2 ? ,

(23)

FAB 与 FCD 形成一力偶。据力偶的力矩表达式,可得(参见图 52-3)

M ? FAB L sin ?
最后可表达成

(24)

M?

uv L2 q Esin ? c2 a

(25)

4、 令 U AB 和 U CD 分别为 AB 边上各点和 CD 边上各点的静电势 (指场强为 E 的外电场的电势——注) ,那么有

W ? U AB QAB ? U CDQCD ,
将电势 平面与 是
C
E

(26)

? ?
B R

零位(U=0)选在与 E 垂直的一个平面上,此 AB 边的间距为某一任意量 R(见图 52-4) ,于

W ? ?ERQAB ? E( R ? L cos?)QCD

(27) 但

U ?0

图 52-4

QCD ? ?QAB ,故

W ? ELQAB c o ? s,
将(17)式代入到(28)式,便得

(28)

d

B

W?
(29)

uvL2 qE cos? c2a

?

A
水平线 图 11-189

2. 如图 11-189 所示,一块均匀的细长

木板以倾角θ 静止地放在两根水平的固定平行细木棒 A 和 B 之间。若两棒相距 为 d,两棒和木板间的摩擦因数均为μ ,试求木板重心 G 与木棒 A 之间的距离。 解: 注意解答的完整性

?d ? (tg? ? ? ) x ? ? 2? ? ?0

当tg? ? ? 当tg? ? ?

3. A、B 两点相距 s,将 s 平分为 n 等份。今让一物体(可视为质点)从 A 点由静止开始向 B 做加速运动,但每过一个等分点,加速度都增加 a/n。试求该 物体到达 B 点的速度。

s 2s 3s 4s , , , ,? s 解:设质点从静止出发,经过距离 n n n n 后的速度为 V1、V2、
V3、?Vn,则有

V12 ? 2a

s n

(1)

a? s ? V22 ? V12 ? 2? a ? ? n?n ?

(2)

a? s ? V32 ? V22 ? 2? a ? ? n?n ?
?

(3)

?

n ?1 ? s ? Vn2 ? Vn2?1 ? 2? a ? a? n ?n ?
将以上几个式相加可得

(n)

s a?s 2a ? s n ?1 ? s ? ? ? Vn2 ? 2a ? 2 ? a ? ? ? 2 ? a ? ? ? ? ? 2 ? a ? a? n n?n n ?n n ?n ? ? ?

?

2a s? 1 n ? ?

1? ? 2 ? ? ? n? 1 ?? ?? 1 ? ? ??1 ? ?? ? ? 1 ? ? ? ? n? ? n n? ? ? ? ?

?

2a s? 1? ? 1? n ? ?n ? 1? ? ? a s ?3 ? ? ? n ? 2? n? ?

1? ? Vn ? as? 3 ? ? n? ? ?
4. 一个质点从静止开始,先以加速度 a1 作匀

v v
O
?
?
图 12-32

加速运动, 后以大小为 a2 的加速度作匀减速直线运 动,直至静止,质点运动的总时间为 t,则运动的

t

t

总位移是多少?

分析:本题要扣住了质点分段运动中的转折点时的速度为解题的切入点。加 速过程中的末速度就是减速过程中的初速度,也是全程中的最大速度,而且全程 中的平均速度为最大速度的一半。本题有两种解法:一种是公式法,一种是图像 法。在图 12-32 中质点的速度-时间图像中质点运动过程的速度情况是十分直观 的。在图像法中,图像的斜率就是物体的加速度,图像所围的面积就是质点的位 移,再根据它们之间关系就可以达到求解的目的。 解法一:质点作匀加速直线运动的末速度为 vm ,由题意可知

vm ? a1t1 ? a2t 2
t1 ? t 2 ? t
由(1) 、 (2)两式解得

t1 : t 2 ? a2 : a1

(1) (2)

t?
质点的总位移为

a2 t a1 ? a2

vm ? a1t1 ?

a1 a2t a1 ? a2

(0 ? vm )t1 (vm ? 0)t 2 vm (t1 ? t 2 ) vm t a1 a 2 t 2 s? ? ? ? ? 2 2 2 2 2(a1 ? a 2 )
解法二:作出质点运动过程中的速度-时间图像如图 12-32 所示,由图像的 物理意义可知,

tg? ? a1 ?

vm t1

tg? ? a2 ?

vm t2

t1 ? t 2 ?

v m vm ? ?t a1 a2

vm ?

a1a2 t a1 ? a2

图像所围的面积就是质点的位移

s?

vm t a1 a 2 t 2 ? 2 2(a1 ? a 2 )

5.如图 24-29 所示,截面均匀,下端 A 封闭的细长试管 AB 竖直放置,管 下端 A 内封有长为 L0 的空气,管中间是长为 4L0 的水银柱,管上端 B 有长为 L0 的空气。管中间有长为 L=4L0 的水银柱管上端 B 有长为 L0 的空气。开始时,管 上端 B 与大气连通,大气压强为 p0=2ρ gL,其中ρ 为水银密度。 (1)如果先将 B 端封闭,再将试管缓慢转过 180°,试问管中 A 端空气柱长度 LA 与 B 端空气柱长度 LB 各为多少 ? (2)如果 B 端始终与大气连通,不封闭,先将试管缓慢倒转 180°, 再缓慢回转 180°复原。 试问最后管中 A 端空气柱长度 L A 与
? B 端空气柱长度 L B 各为多少 L0? ?

B 气 L0
水 银 柱 空 气



L ? 4L0 L0

A

图 24-29

设倒转过程均在大气环境下进行,温度不变。 解: (1)倒转前后,对于 A、B 气体有

p A LA ? ? p0 ? ?gL?L0 , pB LB ? p0 L0 ? ? p A ? ?gL?LB



LA ? LB ? 2L0 , p0 ? 2?gL, L ? 4L0 ,

所以求得

LA ? 1.37L0 , LB ? 0.63L0 .

(2)设倒转后水银不外泄,对于 A 端空气柱有

? p0 ? ?gL?L0 ? ? p0 ? ?gL?LA ,

求得

L A ? 3L0 ,

说明水银外泄一部分。设倒转后,剩下水银柱长度为 L ? ,A 端长度为 LA, 则有

? p0 ? ?gL?L0 ? ? p0 ? ?gL??LA ,

LA ? L? ? 2L0 ? L ? 6L0 ,

解得 回转过程中,有

LA ? 2.61L0 , L? ? 3.39L0 。

? p0 ? ?gL ?L0 ? ? p0 ? ?gL??L A ? ? p0 ? ?gL??L A? , LB ? ? L A ? L A? ,

求得

? ? L A ? 1.05 L0 , LB ? 1.55 L0 。

1m

70cm

6.某水银气压计的玻璃管顶端高出水银槽液面 1m。 如图 24-33 所示,因上部混入少量空气,使其读数不准。当
图 24-33

气温为 27?C,标准气压计读数仍为 76cmHg 时,该气压计读数为 70cmHg。 (1)在相同气温下,若用该气压计测量气压,测得读数为 68cmHg,则实 际气压应为多少厘米汞柱? (2)若在气温为-3?C 时,用该气压计测得气压读数仍为 70cmHg,则实际 气压应为多少厘米汞柱? 解: (1)以混入气压计内气体为研究对象,因温度不变,有

p0V0 ? P 1V1 , p0 ? 76 ? 70 ? 6(cmHg)

V0 ? (100 ? 70)S ? 30S , V1 ? (100 ? 68)S ? 32S



P 1 ?

30 ? 6 ? 5.6(cmHg) 32

实际气压

p ? p1 ? 68 ? 73.6(cmHg)

(2)因体积不变,有

p0 / T0 ? P2 / T2 , T0 ? 273 ? 27 ? 300( K )

T2 ? 273 ? 3 ? 270( K ) , p0 ? 6cmHg



P2 ? 6 ? 2 7 0 /3 0 0 ? 5.4(c m H)g

实际气压

P? ? P2 ? 70 ? 75.4(cmHg)

7.如图 24-61 所示,有一个直立的气缸,气缸底到气缸口的距离为 L0cm,

用一厚度和质量均可忽略不计的刚性活塞 A,把一定质量的空气封在气缸内,活 塞与气缸间的摩擦可忽略。 平衡时活塞上表面与气缸口的距离很小(计算时可忽 略不计) , 周围大气的压强为 H0cmHg。 现把盛有水银的一个瓶子放在活塞上 (瓶 子的质量可忽略) ,平衡时活塞到气缸底的距离为 Lcm。若不是把这瓶水银放在 活塞上, 而是把瓶内水银缓缓不断地倒在活塞上方, 这时活塞向下移, 压缩气体, 直到活塞不再下移, 求此时活塞在气缸内可能的位置以及与之相对应的条件(即 题中给出量之间应满足的关系) ,设气体的温度不变。 分析:设整瓶水银放在活塞上后,使气缸内气体增加的 压强为 h cmHg ;由玻意耳定律 H 0 L0 ? ( H 0 ? h) L ,得

H ( L ? L) h? 0 0 L , 这也是全部水银倒在活塞上而无溢柱的高
度。 当将水银缓缓倒向活塞直到活塞不再下移时, 对应着两 图 24-61

L0

种可能情况: (1)水银能全部倒在活塞上而无溢出; (2)只有部分水银倒在了活 塞上水银就开始溢出。 然后分别对这两种进行讨论,找出活塞可能的位置和对应 的条件。 解一:设整瓶水银放在活塞上后,使气缸内气体增加的压强为 hcmHg;由 玻意耳定律

H 0 L0 ? ( H 0 ? h) L



h?

H 0 ( L0 ? L) L

(1)

式中 L 为此时活塞所在位置与缸底距离,h 的大小反映了水银质量的大小。

当水银注入后,活塞不再下移时,设活塞上水银的深度为 ?Hcm ,活塞下移 的距离为 ?xcm ,则由玻意耳定律

H 0 L0 ? ( H 0 ? ?H )(L0 ? ?x)

?H ?
解得 可能发生两种情况:

H0 ? ?x L0 ? ?x

(2)

(1)水银比较少,瓶内水银全部注入后,尚未灌满或刚好灌满活塞上方的 气缸,这时有

?H ? h

(3)

而且有 由(1) (2) (3)式得

?H ? ?x

?x ? L0 ? L
活塞到气缸底的距离

L? ? L0 ? ?x ? L

?H ?

H0 ?x ? ?x l0 ? ?x

所以

L ? H0

若 L ? H 0 ,则有 L ? ? L

(2)瓶内水银比较多,当活塞上方的气缸灌满水银时,瓶内还剩有一定量 的水银,这时

?H ? ?x

(4)

?H ? h
由(2) (4)式得

(5)

?x ? L0 ? H 0
则活塞到气缸底的距离

L? ? L0 ? ?x ? H 0

由(1) (4) (5)式得

L ? H0

可见,若 L ? H 0 ,则 L? ? H 0 解二:设整瓶水银放在活塞上后,使气缸内气体增加的压强为 hcmHg,由 玻意耳定律得

H 0 L0 ? ( H 0 ? h) L

h?

H 0 ( L0 ? L) L

这也是全部水银倒在活塞上而无溢出时水银柱的高度。 当将水银缓缓倒向活塞直到活塞不再下移时, 对应着水银能全部倒在活塞上 而无溢出和只有部分水银倒在了活塞上水银就开始溢出两种可能情况。 下面对这两种情况分别讨论:

H 0 ( L0 ? L) ? L0 ? L L (1)当 h ? ( L0 ? L) ,即 时,得 L ? H 0 ,瓶中水银可
全部倒入而无溢出。 此种情况与将整瓶水银放在活塞上等效,故活塞到缸底的距 离 L ? =L。

H 0 ( L0 ? L) ? L0 ? L L (2)当 h ? ( L0 ? L) ,即 ,得 L ? H 0 ,瓶中水银只有
部分倒在活塞上就开始溢出。设此时活塞到缸底的距离为 L ? ,由玻意耳定律有

H 0 L0 ? ( H 0 ? L0 ? L?) L?
即此时水银高度只有 ( L0 ? L?) ,此时压强为

p0 ? ( L0 ? L?)
求得 L? ? H 0 由此可以得出:当 L ? H 0 时, L ? ? L ;当 L ? H 0 时, L? ? H 0 点评:本题是 1996 年全国高考试题,其命题具有新意。当年高考时本题得 分率最低,只有 0.05。其原因是大多数学生没有考虑具有两种可能性,特别是第 (2)种情况讨论更少。解法二创设新情景,把 h 包含的物理意义点出来,使隐 含条件明显地暴露出来, 这样做可使原问题的难点得到化解,使问题的解答以一 种清新简明的面貌展现出来。 8.有一根玻璃管,它的内、外半径分别为 r 和 R,充满发光液,在 ? 射线的 影响下,发光液会发出绿光。对于绿光,玻璃和液体的折射率分别为 n1 和 n2。

r 如果有人从外表面观察,玻璃管的厚度似乎为零,请问比值 R 必须满足何

条件? 分析:引起玻璃管壁厚度为零的感觉,是因为有部分来自液体的光线射出管 外时,沿着玻璃管外表面的切线方向到达眼睛。 由于系统呈圆柱体对称, 故只需考虑一条沿着管壁
B

n ?1

切线方向射出并与管轴垂直的光线就可以了(如图 33-97) 。图中,若光线由液体中射入玻璃中的折射角 ? 取值越大,则由玻璃射向空气的入射角 ? 取值越大。而

?

?
R

n1
A n2

r

O
图 33-97

? 越大,则越容易出现光线沿管壁切线方向射出的情况。可见,只需对 ? 和 ? 取
值最大时能使光线沿管壁切线方向射出的情况进行讨论就可以了。 解:如图,设 O 为圆心,某一条光线自管内壁之 A 点射向外壁之 B 点,则
?AOB 中,由正弦定理有

OA OB ? ?1 8 ? sin ? sin 0? ? ?
r sin ? ? R sin ?



(※)

(1)若 n2 ? n1 ,则 ? 的最大值可取 ? max ? 90? ,此时由(※)式则有
sin ?? r R

此时若要有光线能沿管壁切线方向射出,则 ? 应不 小于临界角 C,即应有
sin ? ?sin C r 1 ? R n1
i

A

r?

M

N

综合以上两式知此时的条件为
r 1 ? R n1

(2)若 n2 ? n1 ,则由折射定律知 ? 的最大值应满足

sin ? m a x?

na n1

以此代入(※)式知此时的角 ? 将满足

sin ??

r n2 ? R n1

同上道理, ? 还应不小于临界角 C,即
sin ? ?sin C? 1 n1

综合以上两式知此时的条件为
r 1 ? R n1

9.薄壁透明圆柱形玻璃容器浮于水面,容器的内 底面与容器外水面的高度差为 h,容器的内直径为 D。 在容器底正中放有一个小物体 A(图 33-109) 。实验证 明, 在水面上方容器外侧存在一个看不见 A 的 “盲区” 。
A

D

h

图 33-109

已知水的折射率为 n=4/3,sin48°36ˊ=0.75,假定水面与玻璃表面垂直,试确 定此盲区的范围。 分析: 从 A 点发出的一细束光 AB,如图 33-110 所示。B 点在容器壁与水 面的交界处。 光束Ⅰ是直接从空气中射出的光,光束Ⅱ是经过水的折射后的折射 光。这两条光的中间区域看不到从物体 A 上发出的光,因此是看不见 A 的“盲

区” 。
sin i 1 3 ? ? 解: 根据光的折射公式 sin r n 4

sin i?

D 2 D ( )2 ? h2 2

D

r I II
i

?

D D ? 4h
2 2



A

所以
D?

4 4D sin r ? sin i? 3 3 D 2 ? 4h 2
6 7 h 7 时, sin r ? 1 , r ? 90? D?

图 33-110



所以当

6 7 h ?1 2 2 7 时,与容器壁的夹角为 sin ( D / D ? 4h ) 到

arcsin

4D 3 D 2 ? 4h 2 的区域为盲区。 D 6 7 arcsin h D 2 ? 4h 2 的区域为盲区。 7 时,当容器壁的夹角大于



D?

10.如图 33-119 所示,一个附着有小珠的屏,当入射光聚焦在小珠的后表面 时会把入射光反射回光源。 对在水中(n=4/3)穿紧身衣潜水者来说,理想情况下小 珠要用折射率多大的材料? 解:如图 33-120 所示,选择平行于 OP 轴 的近
潜 水 者

n? i 2 O

i1

轴光线,会聚于 P 处 则

P

i3
n ? 4/3

n? s i n i2 ? n s i n i1
sin i2 ? i2 sin i1 ? i1

又 ∵
图 33-120



i3 ? i1
n ? ? 2n ?

i3 ? 2i2
8 3

∴综合解得

? ? ? l n1 ? R n2
O

11. 一条窄的激光束在折射率为 n1 的媒质中传播,射 向半径为 R 的透明球。球心到光束的距离为 L,光束宽度 比球的半径小得多, 球是由折射率为 n2 的光疏媒质制作的

图 33-121

(图 33-121) 。试求光束与原方向的偏角。

分析:由原题图有,对于发生反射的临界值 I 有

I 临 ? R sin ? 临 ? R

n2 n1 。

n2 l ? ?1 由此可得,如果 n2 R ,发生全反射所求的偏角为

?
l n1

?
?C O

?

? ? ? ? 2 arcsin

? ? R n2

l R。

l n2 ? R n1 时, 当 光路图如图 33-122 所示, 有 ? ? 2?? ? ? ? 。
因为

图 33-122

? ? arcsin

l R,

? ? arcsin?

? sin ? ? ? ? n ?。

l n2 ? 所以当 R n1 时,所求的偏角为
1 ? ? 2? ? arcsin Rn ? arcsin R ? ?

? ?

Ln

l? ?。

2

n2 l l ? ?1 ? ? 2 arcsin n R R。 解:如果 1 ,偏角为

? Ln l? l n2 2? arcsin 1 ? arcsin ? ? ? Rn2 R? ?。 如果 R n1 ,偏角为 ?
12.两个相距很远的铜球,已知其半径和电势分别是:r1=6cm,U1=300V; r2=4 cm,U2=150V。将这两个铜球用细铜丝连接达到静电平衡后,问此时电能损 耗了多少? 解:因为 U ? kQ / r ,所以球形导体电容 C ? Q / U ? r / k 。两球以导线相连 后电势相等,可认为两电容并联,电荷总量守恒,即
C1U1 ? C2U 2 ? (C1 ? C2 )U 末 。



U末 ?

C1U1 ? C2U 2 r1U1 ? r2U 2 ? ? 240(V ) C1 ? C2 r1 ? r2

铜球连接有后总能量
E? 1 1 1 2 2 C1U12 ? C 2U 2 ? (r1U12 ? r2U 2 ) 2 2 2k ? 3.5 ? 10?7 ( J )

连接后总能量
E? ? 1 1 (C1 ? C 2 )U 末 2 ? (r1 ? r2 )U 末 2 ? 3.2 ? 10 ?7 ( J ) 2 2k

电流通过导线,发热损耗及由电磁波辐射损耗的能量
?E ? E ? E? ? 0.3 ?10?7 ( J )
13.真空中,有五个电量均为 q 的均匀带电薄球壳,它们的半径分别为 R 、

R/2、R/4、R/8、R/16,彼此内切于 P 点。球心分别为 O1、O2、O3、O4、O5。求

O5 与 O1 间的电势差。 分析:均匀带电球壳在球内外的电势是大家熟知的。利用电势叠加原理可先 分别求出球心 O5 与 O1 的电势,再算 O5 与 O1 的电势差。 解: O5 的电势为
q q q q ? ?q U (O5 ) ? k ? ? ? ? ? ? ? R R / 2 R / 4 R / 8 R / 16 ? q ? k (1 ? 2 ? 2 2 ? 2 3 ? 2 4 ) R
? 31k q R

(1)

O1 的电势为
? ? ?q q ? q q q U (O1 ) ? k ? ? ? ? ? ? ?R R R ? R R ? R ? R R ? R ? R ? R ? ? 2 2 4 2 4 8 2 4 8 16 ? ? ? 372 q ? k (3 ? ) 105 R
? 6.54 k q R

(2)

O5 与 O1 的电势差
U (O5 ) ? U (O1 ) ? 31k q q ? 6.54k R R q ? 24.46k R

14.有一带正电的孤立导体 A。另外,从无穷远处将不带电的导体 B 移至 A 的附近,试证明: (1)σ A≥0 (2)UA?UB?0

其中 ? A 为导体 A 的电荷面密度,UA 和 UB 为导体 A 和 B 的电势。 解: (1)用反证法,设导体 A 表面某处 ? A ? 0 ,则有电场线终止于该处。 因此,该电场线只能来自无穷远处或导体 B。 若来自无穷远处,则 ? A ? 0 处的电场线只能终止于 B 的负电荷处。由于 B 的总带电量为零。 故在 B 表面某处必有 6B>0, 其发出的电力线只能伸向无穷远。 根据电场线性质,有

U A ? U B ? 0 ? U A.
此式矛盾。 若来自 B,同理可推得

0 ? U B ? U A ? 0.
也产生矛盾,因此原假设 ? A ? 0 不成立,只能是 ? A ? 0 。 (2) 由于静电感应, 总带电量为零的导体 B 上,? B 有正有负, 根据上面的讨论, 正电荷发出的电场线只能伸向无穷远,因而负电荷吸收的电场线只能来自导体 A。考虑到电势沿电场线方向降低,所以有 U A ? U B ? 0. 14.在半径为 R 的导体球外,有一半径为 r 的细圆环,圆环的圆心与导体球 心的连线长为 a(a>R),且与环面垂直,如图 41-90 所示。已知环上均匀带电, 总电量为 q,问: ⑴当导体球接地时,球上感应电荷总电量是多少? ⑵当导体球不接地而所带总电量为零时,它的电势 如何? ⑶当导体球的电势为 U0 时,球上的总电荷是多少?

⑷情况(3)与情况(1)相比,圆环受导体球的作用力改变量的大小和方向 如何? ⑸情况(2)与情况(1)相比,圆环受导体球的作用力改变量的大小和方向 如何? 解: (1)导体球是一个等势体,导体球接地时有 U 球心 ? U 球 ? 0 导体球的电势等于环上电荷 q 和导体球表面上感应电荷 q感 产生电势的代数 和。

U 球心 ?

kq感 R

?

kq r ?a
2 2

?0

q感 ? ? Rq / r 2 ? a 2
⑵由于导体球不带电,故导体球的电势

U 球 ? U 球心 ? kq / r 2 ? a 2

⑶导体球的电势为 U 0 时

U 球 ? U 球心 ? U 0 ?

kq感 R

?

kq r ? a2
2

q'感 ?

RU0 Rq ? k r 2 ? a2

RU 0 ⑷比较 q'感 和 q感 ,导体球上多了 k 的电荷。由于(1)中 q感 和 q 使导体 RU 0 球的电势为零,所以电荷 k 只有均匀分布在球面上,才能使导体球等势。电 RU 0 荷 k 与圆环的作用力就是圆环受力的改变量。均匀分布于球面上的电荷对环

的作用力与球心处等量点电荷对环的作用力相等,力的改变量为

RU 0 ?q RU 0aq a F ? k 2k 2 ? 2 ? r ? a (r ? a 2 )1 / 2 (r 2 ? a 2 ) 3 / 2

当 U 0 ? 0 时,力的方向沿球心与环心的连线向右。 ⑸与情况(4)相比,情况(2)的 U 球 相当于情况(4)的 U 0 ,所以将(2) 中的 U 球 代替(4)中的 U 0 就求得圆环受力的改变量,其值为
F '? kR aq 2 (r 2 ? a 2 ) 2


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