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仙游现代中学2011级高中会考数学(理科)试卷


仙游现代中学 2011 级高中会考数学(理科)试卷
(完卷时间:120 分钟,满分:150 分) 第 I 卷(选择题 共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1、.已知全集 U=R,集合错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。等于( ) A. { x ∣ 0 错 误 !

未 找 到 引 用 源 。 x 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 2} B { x ∣0<x<2} C. { x ∣x<0 或 x>2} 错误!未找到引用源。2} 2、函数错误!未找到引用源。最小值是( A.-1 B. ) C. 错误!未找到引用源。 ). D.y=2
-|x|

D { x ∣x 错误!未找到引用源。0 或 x

错误!未找到引用源。

D.1 3、下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的函数是( A.y=x
3

B.y=|x|+1

C.错误!未找到引用源。 ) C.e+1

4、错误!未找到引用源。等于( A.1 B.e-1

D.e

5、.若 tan 错误!未找到引用源。=3,则错误!未找到引用源。的值等于 A.2 B.3 C.4 D.6 6.在△AB C 中,∠C=90°,错误!未找到引用源。 =(k,1), 错误!未找到引用源。=(2,3), 则 k 的值是( ) D.- 错误!未找到引用 A.5 B.-5 C. 错误!未找到引用源。 源。 2 7、命题“?x>0,x +x>0”的否定是( ). A.错误!未找到引用源。 C.?x>0,x +x≤0
2

B. 错误!未找到引用源。 D. ?x≤0,x +x>0
2

8、设集合错误!未找到引用源。,那么“m 错误!未找到引用源。A”是“m 错误!未找到引 用源。B”的( ) A.充要条件 B.必要而不充分条件 C.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件 9、函数错误!未找到引用源。,若错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。的值为 ( ) A.3 B.0 C.-1 D.-2 10、已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) 满足 f ( x) ? f (a) 对 x ? R 恒成立,则函数 ( A. f ( x ? a) 一定为奇函数
1



B. f ( x ? a) 一定为偶函数

C. f ( x ? a) 一定为奇函数

D. f ( x ? a) 一定为偶函数

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分。把答案填在答题卡的相应位置。 11 已知幂函数错误! 未找到引用源。 的图象过点错误! 未找到引用源。 , 则 k+α =_______. 12、曲线 y=e 在点 A(0,1)处的切线斜率为________. 13、已知单位向量 e1,e2 的夹角为 60°,则错误!未找到引用源。=________. 14、数列{an}的通项公式 an= ,若{an}的前 n 项和为 24,则 n=________. n+ n+1 1
x

15.在直角坐标系中, 如果两点 A(a, b), B(-a, -b)在函数 y ? f ( x) 的图象上, 那么称 [A, B]为函数 f (x)的一组关于原点的中心对称点 ([A , B]与[B, A]看作一组). 函数

? ? ?cos x, x ? 0, 关于原点的中心对称点的组数为 g ( x) ? ? 2 ? ?log4 ( x ? 1), x ? 0



三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 13 分) 如图,在 ?ABC 中, BC 边上的中线 AD 长为 3, 且 cos B ? A

1 10 , cos ?ADC ? ? . 4 8
B D
第 16 题

(Ⅰ)求 sin ?BAD 的值; (Ⅱ)求 AC 边的长.

C

17.(本题满分 13 分)

设向量错误!未找到引用源。满足错误!未找到引用源。及错误!未找到引用源。 (1)求错误!未找到引用源。夹角的大小; (2)求错误!未找到引用源。的值.

2

18. (本小题满分 13 分)

已知命题 p: ?x ? R, 使x 2 ? (a ? 1) x ? a ? 4 ? 0 ; 命题 q:对 ?x ? R? , 都有2 2 x ? 2 x?1 ? a ? 0 。若命题“ ( ? p) ? q ”为真命题,求 实数 a 的取值范围。

19. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ? x ? ? sin 2 x ? a cos x ? a ? R, a为常数 ?,且
2

?
4

是函数y ? f ? x ?的零点

①求 a 的值,并求函数 f ? x ? 的最小正周期; ②求 f ? x ? 的单调区间; ③当 x ? ?0.

? ?? 时,求函数 f ? x ? 的值域,并写出 f ? x ? 取得最大值时的 x 值. ? 2? ?

20.(本小题满分 14 分)

已知函数 f ( x) ? 4x3 ? 3tx2 ? 6t 2 x ? t ?1, x ? R ,其中 t ? R 。 (1)当 t ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (2)当 t ? 0 时,求 f ( x) 的单调区间。
3

21.(本小题满分 14 分) 某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数。
2 0 2 0 0 0 (1) sin 13 ? cos 17 ? sin 13 cos17 ;

(2) sin 2 150 ? cos2 150 ? sin 150 cos150 ;
2 0 2 0 0 0 (3) sin 18 ? cos 12 ? sin 18 cos12 ;

(4) sin 2 (?130 ) ? cos2 480 ? sin(?18)0 cos480 ; (5 ) sin 2 (?250 ) ? cos2 550 ? sin(?25) 0 cos550 。 (I)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数; (II)根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等 式,并证明你的结论。

仙游现代中学 2011 级高中会考数学(理科)答案
第 I 卷(选择题 共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 有 一项是符合题目要求的。

D
4

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 11、 0 12、 。 1 ,13、错误!未找到引用源。,14、 624 15、 错误!未找到

引用源。

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 16.(本小题满分 13 分)解:(Ⅰ)因为 cos B ?

10 3 6 ,所以 sin B ? …………2 分 8 8

又 cos ?ADC ? ?

1 15 ,所以 sin ?ADC ? …………………………………… 4 分 4 4

所以 sin ?BAD ? sin( ?ADC ? ?B) ? sin ?ADC cos B ? cos ?ADC sin B

?

15 10 1 3 6 6 ……………………………………………7 分 ? ? (? ) ? ? 4 8 4 8 4
AD BD 3 BD ? ,即 ,解得 ? sin B sin ?BAD 3 6 6 8 4

( Ⅱ ) 在 ?ABD 中 , 由 正 弦 定 理 , 得

BD ? 2 ……………10 分
故 DC ? 2 ,从而在 ?ADC 中,由余弦定理,得

AC 2 ? AD2 ? DC 2 ? 2 AD ? DC cos ?ADC

= 32 ? 2 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ( ? ) ? 16 , 所 以

1 4

AC ? 4 ………………………………………………………13 分
17.(本小题满分 13 分)



(1)设 a 与 b 夹角为 θ,(3a-2b)2=7,9|a|2+4|b|2-12a· b=7,而|a|=|b|=1,

1 1 1 ∴a· b=2,∴|a||b|cos θ=2,即 cos θ=2 π 又 θ∈[0,π],∴a,b 所成的角为3. (2)(3a+b)2=9|a|2+6a· b+|b|2=9+3+1=13,
∴|3a+b|= 13. 18. (本小题满分 13 分)
5

解:命题 ? p 为: ?x ? R, 都有x 2 ? (a ? 1) x ? a ? 4 ? 0

1分
5分

若 ? p 为真,则 ? ? (a ? 1) 2 ? 4(a ? 4) ? 0 ,解得: ? 3 ? a ? 5

若 q 为真,则 a ? (2 x ? 1) 2 ? 1(x>0),当 x ? 0 时, 2 x ? 1,即(2 x ? 1) 2 ? 1 ? 2 2 ? 1 ? 3 由此可得: a ? 3 。 因为 ( ? p) ? q 为真,所以 ? p 与 q 都为真。 所以可得 ? 9分 10 分

?? 3 ? a ? 5 ?a ? 3

12 分 13 分

所求实数 a 的取值范围是: ? 3 ? a ? 3 。

19、解:①由已知 f ( ) ? 0 可得: sin

?

?
2

4

? a cos 2

?
4

? 0 解得 a ? ?2

2分 2分

? f ( x) ? sin 2 x ? 2 cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? 2 sin( 2 x ?

?
4

) ?1

? 周期 T ?
②由 2k? ?

?
2

2? ?? 2

1分

2 2 4 ? 3? f ( x) 的单增区间为 [k? ? , k? ? ] , 8 8 3? 7? , k? ? ] , 以上 (k ? Z ) 单减区间为 [ k? ? 8 8 ? ? ? 3? ? ? ?? 由x ? ?0, ? , 得2 x ? ? ? ? , ? 4 ? 4 4 ? ? 2?

? 2x ?

?

4

? 2k? ?

?

和 2k? ?

?

? 2x ?

?

? 2k? ?

3? 可得 2

4分

③ 则 sin ? 2 x ?

? ?

?? ?

2 ? ,1? ? ? ?? 4? ? 2 ?

3分

?? ?? ? ? 则-1 ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 2, ?2 ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 1 ? 2 ? 1 4? 4? ? ? 3? ? ? 当 f ( x) ? 2 ? 1 时, 2 x ? ? 解得 x ? 8 4 2
6

1分

20.(本小题满分 14 分) 解:(1))当 t ? 1 时, f ( x) ? 4x3 ? 3x2 ? 6x, f (0) ? 0, f ?( x) ? 12 x2 ? 6 x ? 6 2分 5分 6分

f ?(0) ? ?6. 所以曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y ? ?6 x. t (2)解: f ?( x) ? 12x2 ? 6tx ? 6t 2 ,令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? ?t或x ? . 2 因为 t ? 0 ,以下分两种情况讨论: t (1)若 t ? 0, 则 ? ?t , 当x 变化时, f ?( x), f ( x) 的变化情况如下表: 2

x

t? ? ? ??, ? 2? ?
+

?t ? ? , ?t ? ?2 ?
-

? ?t, ???
+

f ?( x) f ( x)

所以, f ( x ) 的单调递增区间是 ? ??, ? , ? ?t , ?? ? ; f ( x) 的单调递减区间是 ? , ?t ? 。 10 分 (2)若 t ? 0, 则 ? t ?

? ?

t? 2?

?t ?2

? ?

t ,当 x 变化时, f ?( x), f ( x) 的变化情况如下表: 2

x

? ??, t ?
+

t? ? ? ?t , ? 2? ?
-

?t ? ? , ?? ? ?2 ?
+

f ?( x) f ( x)

所以, f ( x ) 的单调递增区间是 ? ??, ?t ? , ? , ?? ? ; f ( x) 的单调递减区间是 ? ?t , ? .

?t ?2

? ?

? ?

t? 2?

14 分

7

8


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