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2017优化方案高考总复习·数学理(新课标)专题讲座四知能训练轻松闯关


1.如图,ABCD?A1B1C1D1 是正方体,E、F 分别是 AD、DD1 的中点,则平面 EFC1B 和平面 BCC1 所成二面角的正切值等于( ) A.2 2 B. 3 C. 5 D. 7 解析:选 A.设正方体的棱长为 2,建立以 D 为坐标原点,DA、DC、DD1 所在直线为 x → → 轴、y 轴、z 轴的空间直角坐标系,则 E(1,0,0),F(0,0,1),EB=(1,2,0),EF=(-1, → 0,1).易知平面 BCC1 的一个法向量为CD=(0,-2,0),设平面 EFC1B 的法向量为 m=(x, → → y,z),则 m· EB=x+2y=0,m· EF=-x+z=0,令 y=-1,则 m=(2,-1,2),故 cos〈m, → m· CD 2 1 → → CD〉= = = ,tan〈m,CD〉=2 2.故所求二面角的正切值为 2 2. → 3×2 3 |m||CD| 2.(2016· 唐山统考)已知点 A、B、C、D 均在球 O 上,AB=BC= 3,AC=3,若三棱 3 3 锥 DABC 体积的最大值为 ,则球 O 的表面积为( ) 4 A.36π B.16π 16 C.12π D. π 3 2π 解析:选 B.由题意可得,∠ABC= ,△ABC 的外接圆半径 r= 3,当三棱锥的体积 3 1 3 3 1 3 3 取最大值时,VD?ABC= S△ABC·h(h 为点 D 到底面 ABC 的距离)? = × ×h?h=3, 3 4 3 4 2 2 2 设 R 为球 O 的半径,则(3-R) =R -r ?R=2, 所以球 O 的表面积为 4π·22=16π. 3.已知多面体 ABCA1B1C1 的直观图和三视图如图所示,则平面 C1A1C 与平面 A1CA 夹 角的余弦值是________. 解析: 由题意知 AA1,AB,AC 两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(0,0,0), → → A1(0,0,2),B(-2,0,0),C(0,-2,0),C1(-1,-1,2),则CC1=(-1,1,2),A1C1 → =(-1,-1,0),A1C=(0,-2,-2).设平面 C1A1C 的法向量为 m=(x,y,z), → ? A1C1=0, ? ?m· ?-x-y=0, 则由? 得? ?-2y-2z=0, → ? A1C=0, ? ?m· 取 x=1,则 y=-1,z=1.故 m=(1,-1,1),而平面 A1CA 的一个法向量为 n=(1,0, m· n 1 3 3 0),则 cos〈m,n〉= = = ,故平面 C1A1C 与平面 A1CA 夹角的余弦值为 . |m||n| 3 3 3 答案: 4. 3 3 如图,梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90°,AD∶BC∶AB=2∶3∶4,E,F 分别 是 AB,CD 的中点,将四边形 ADFE 沿直线 EF 进行翻折,给出下列四个结论:①DF⊥BC; ②BD⊥FC;③平面 BDF⊥平面 BCF;④平面 DCF⊥平面 BCF,则上述结论可能正确的是 ________. 解析: 对于①, 因为 BC∥AD, AD 与 DF 相交但不垂直, 所以 BC 与 DF 不垂直, 则①不成立; 对于②, 设点 D 在平面 BCF 上的射影为点 P, 当 BP⊥CF 时就有 BD⊥FC, 而 AD∶BC∶AB =2∶3∶4 可使条件满足,所以②正确;对于③,当点 D 在平面 BCF 上的射影 P 落在 BF 上时,DP?平面 BDF,从而平面 BDF⊥平

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