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选修2-1课件3.2.3 立体几何中的向量方法三)


空间“角度”问题

一、复习引入
用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。

(1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向
量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何 问题转化为向量问题; (化为向量问题) (2)通过向量运算,研究点、直线、平面之间的 位置关系以及它们之间距离和夹角等问题; (进行向量运算) (3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。 (回到图形)

向量的有关知识:
两向量数量积的定义:a· b=|a|· cos〈a,b〉 |b|·

a ?b 两向量夹角公式:cos 〈a,b〉 = a?b
直线的方向向量:与直线平行的非零向量 平面的法向量:与平面垂直的向量

(课本第107页练习2)如图,60°的二面角的棱上有A、B两点,直 线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直AB,已知 AB=4,AC=6,BD=8,求CD的长. ??? ? ??? ? ??? ? 解: CA ? 6 , AB ? 4 , BD ? 8 ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ??? ??? ? ? ? 且 CA ? AB, BD ? AB , CA, BD ? 120
? C
B A

?

D

??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ∵ CD ? CA ? AB ? BD ??? 2 ??? 2 ??? 2 ??? 2 ??? ??? ? ? ? ? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ∴ CD ? CA ? AB ? BD ? 2CA ? AB ? 2 AB ? BD ? 2CA ? BD

∴ CD ? 2 17

1 ? 6 ? 4 ? 8 ? 0 ? 0 ? 2 ? 6 ? 8 ? = 68 2 ??? ?
2 2 2

答: CD 的长为 2 17 .

注:利用本题中的向量关系我们还可以倒过来求二 面角的大小.

二面角的平面角
①方向向量法 将二面角转化为二面角的两个面的 方向向量(在二面角的面内且垂直于二面角的棱) 的夹角。如图(2),设二面角? ? l ? ? 的大小为? 其中AB? l , AB ? ? , CD ? l , CD ? ?

cos? ? cos AB, CD ?
B

AB ? CD AB ? CD

A
C D

L

?

?

例1:如图3,甲站在水库底面上的点A处,乙站在水坝斜面上的点B 处。从A,B到直线 l(库底与水坝的交线)的距离AC和BD分别为 a 和 b ,CD的长为 c, AB的长为 d。求库底与水坝所成二面角的余弦值。
BD CD AB 解:如图, AC ? a , ? b, ? c , ? d . 化为向量问题 根据向量的加法法则 AB ? AC ? CD ? DB
?
C D B

进行向量运算

?
2

A 图3

d ? AB ? ( AC ? CD ? DB )
2

2

? AB ? CD ? BD ? 2( AC ? CD ? AC ? DB ? CD ? DB )
? a 2 ? c 2 ? b 2 ? 2 AC ? DB ? a 2 ? c 2 ? b 2 ? 2CA ? DB 于是,得 2CA ? DB ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2

2

2

2

? 设向量 CA 与 DB 的夹角为 ? , 就是库底与水坝所成的二面角。
因此
2ab cos ? ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 .

所以

a 2 ? b2 ? c 2 ? d 2 cos ? ? . 2ab

回到图形问题
a 2 ? b2 ? c 2 ? d 2 库底与水坝所成二面角的余弦值为 . 2ab

例1:如图3,甲站在水库底面上的点A处,乙站在水坝斜面上的点B 处。从A,B到直线 l(库底与水坝的交线)的距离AC和BD分别为 a 和 b ,CD的长为 c, AB的长为 d。求库底与水坝所成二面角的余弦值。 思考: (1)本题中如果夹角 ? 可以测出,而AB未知,
?
C D A 图3 B

其他条件不变,可以计算出AB的长吗?
分析:由 AB ? ( AC ? CD ? DB ) 2
2

?

? AB ? CD ? BD ? 2( AC ? CD ? AC ? DB ? CD ? DB )

2

2

2

? a 2 ? c 2 ? b2 ? 2ab cos?

∴ 可算出 AB 的长。

(2)如果已知一个四棱柱的各棱长和一条

D1
A1 B1 D A B C

C1

对角线的长,并且以同一顶点为端点的各棱间的
夹角都相等,那么可以确定各棱之间夹角的余弦 值吗? 分析:如图,设以顶点 A 为端点的对角线

长为 d ,三条棱长分别为 a , ,, b c 各棱间夹角为 ? 。
则 d ? A1C ? ( AB ? AC ? CC1 ) 2
2 2

? a 2 ? c 2 ? b 2 ? 2(ab ? bc ? ac) cos ?

?

d 2 ? a 2 ? b2 ? c 2 cos ? ? 2(ab ? bc ? ac)

(3)如果已知一个四棱柱的各棱长都等于 a ,并且以某一顶
点为端点的各棱间的夹角都等于? ,那么可以确定这个四棱柱相邻 D1 两个夹角的余弦值吗? 分析: 二面角 ? 平面角 ?向量的夹角 ? 回归图形 解:如图,在平面 AB1 内过 A1 作 A A1E⊥AB 于点 E, 在平面 AC 内作 CF⊥AB 于 F。
则 A1 E ? CF ? a sin? , ? BF ? a cos ? AE
? cos ? ? cos ? EA1 , ?? cos ? A1 E , ? FC CF
? A1 E ? CF | A1 E || CF |
A1 B1 C B F C1

D E

?

( A1 A ? AE ) ? (CB ? BF ) a 2 sin2 ?

a 2 cos ? ? a 2 cos ? cos(? ? ? ) ? a 2 cos ? cos(? ? ? ) ? a 2 cos 2 ? ? a 2 sin2 ? cos ? ? 1 ? cos ? ∴可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值。

空间“夹角”问题
1.异面直线所成角

? ? 设直线 l , m 的方向向量分别为a , b
2

? ? (0 ≤ ? ≤ ) , 则 若两直线 l , m 所成的角为

? ? a?b cos ? ? ? ? a b

l

l

? a

?

m

? ? a b ?

m

例2 Rt? ABC中,?BCA ? 90 , 现将? ABC沿着
0

平面ABC的法向量平移到?A1B1C1位置,已知
求BD1与AF1所成的角的余弦值.
F1

取 BC ? CA ? CC1, A1B1、AC1的中点D1、F1, 1
C1
C

B1
D1

A1

A

B

解:以点C为坐标原点建立空间直角坐标系 C ? xyz 如图所示,设 CC1 ? 1 则: z

A(1,0,0), B(0,1,0),
1 1 1 F1 ( , 0, a), D1 ( , ,1) 2 2 2 ???? 1 所以: AF1 ? (? , 0,1), 2 ???? ?

F1

C1
C

B1
D1

A1

1 ? ?1 ???? ???? ? AF1 ?BD1 30 4 cos ? AF1 , BD1 ? ? ???? ???? ? ? ? . 10 5 3 | AF1 || BD1 | ? 4 2
30 所以 BD1与 AF1 所成角的余弦值为 10

1 1 BD1 ? ( , ? ,1) ???? ???? ? 2 2

A x

By

练习: 在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, = 5,AD ? 8, AB

AA1 ? 4, M 为B1C1上的一点,且B1M ? 2,点N 在线段A1D上,
A1 D ? AN . (1)求证:A1D ? AM .
A1 B1 M

z
N
C1

D1

???? ? ???? ? AM ? (5, 2, 4), A1 D ? (0,8, ?4), ???? ???? ? ? AM ?A1 D=0 ? A1D ? AM .

A(0,0,0), A1 (0,0, 4),D(0,8,0), M (5, 2, 4)

A

D
C

y

x

B

2、二面角
①方向向量法 将二面角转化为二面角的两个面的 方向向量(在二面角的面内且垂直于二面角的棱) 的夹角。如图(2),设二面角? ? l ? ? 的大小为? 其中AB? l , AB ? ? , CD ? l , CD ? ?

cos? ? cos AB, CD ?
B

AB ? CD AB ? CD

A
C D

L

?

?

2、二面角

②法向量法 将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角。 ? ? 如图,向量 n ? ?,m ? ? ,

? ? 则二面角? ? l ? ? 的大小 ? =〈m, n 〉 ? ? ? ? m, n

m

n

? ? u?v ) 若二面角? ? l ? ? 的大小为 ? (0 ? ? ? ? , 则 cos ? ? ? ? . u v

L

?

?

注意法向量的方向:同进 同出,二面角等于法向量 夹角的补角;一进一出, 二面角等于法向量夹角

?

例2 正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,D是AC的 中点,当 AB1 ? BC1时,求二面角 D ? BC1 ? C 的余弦值。

C1

A1

B1

C D A

B

解法一:如图,以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz。设 底面三角形的边长为a,侧棱长为b, 则 C(0,0,0) 3 1 3 1 a, a,0) A( a, a,0) B(0, a,0) C1 (0,0, b) B1 (0, a, b) D( 4 4 2 2 故 AB1 ? (? 3 a, 1 a, b) BC1 ? (0,?a, b) ? AB1 ? BC1 , 2 2 ???? ???? ? z 1 2 2 2 ? AB1 ? BC1 ? ? a ? b ? 0 ? b ? a C1 B1 2 2 A1 2

则可设 a =1,b ?

作 CE ? BC1于E, DF ? BC于F, 1 则〈 EC, FD 〉即为二面角 D ? BC1 ? C 的大小 C
C1 E CC1 b2 1 ? 2 ? 在 Rt?CC1 B 中, ? 2 EB BC a 2
1 即E分有向线段 C1 B的比为 2
2

2 3 1 C1 (0,0, ) D( , ,0) 4 4 2

2

,则B(0,1,0)

E F B D A

y

x

??? ? 1 2 1 2 ? EC ? (0, ? , ? ) ? E (0, , ) 3 3 3 3

由于 BD ? AC 且 CC1 ? 面ABC ,所以 BD ? C1 D
1 2 ) 在 Rt?C1 BD 中,同理可求 F (0, , 2 4
z A1 E F C x D A B B1

3 1 2 ∴ FD ? ( ,? ,? ) 4 4 4

C1

∴ cos〈 EC, FD 〉=
2 ? ? 2 3 6 EC ? FD ? 3 4 EC ? FD 1 4

y

即二面角D ? BC1 ? C 的余弦值为 2
2

解法二:同法一,以C为原点建立空间直角坐标系 C-xyz

? ?CC1B 在坐标平面yoz中

? ∴可取 n=(1,0,0)为面 CC B 的法向量
1

设面 C1 BD 的一个法向量为 m ? ( x, y, z ) 同法一,可求 B(0,1,0)
3 1 2 3 3 2 3 1 C1 D ? ( , ,? ) DB ? (? D( , ,0) C1 (0,0, ) ∴ , ,0) 4 4 2 2 4 4 4 4 z 由 C1 D ? m, DB ? m 得 C1 B1 A1 ???? ?? 3 1 ? 3 3 2 C1D ? m ? x ? y ? z ? 0, DB ? m ? ? x ? y ? 0 4 4 4 4 2 6 解得 x ? 3 y ? z 所以,可取 m ? (3, 3, 6 ) 2 ? ?

m n 方向朝面外, 方向朝 ∴二面角 D ? BC1 ? C 的大小等于〈 m, n〉 面内,属于“一进一出” C
m ? 的情况,二面角等于法向 n 3 2 ? ? ? ? x ∴ cos〈 m, n〉= 量夹角 2 3 2 m?n
即二面角 D ? BC1 ? C 的余弦值为
2 2

B D A

y

巩固练习
1. 已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的边长为2, DD O为AC和BD的交点,M为 1 的中点 B1O (1) 求证: 直线 ? 面MAC (2)求二面角B1 ? MA ? C 的余弦值
D1 A1 B1 C1

M

D O A B

C

2. 线面角
设n为平面 ? 的法向量,直线AB与平面? 所 成的角为 ? 1 ,向量 AB 与n所成的角为? 2 ,



?1 ?

?
2

?? 2

(0 ? ? 1 ?

?

? ?1 ? ? 2 ? 2
,0 ? ? 2 ? ? )
n B

而利用 cos? 2 ? 从而再求出

2 AB ? n

AB ? n

可求

?2,
?
A

?2

?1

?1

n

2. 线面角

? ? 设直线l的方向向量为 a,平面 ? 的法向量为 u 直线 l 与平面 ? 所成的角为 ? ( 0 ≤ ? ≤ ? ),则

,且

? ? a u
?

? ? a?u sin ? ? ? ? a u

2

? a
?

l

?

?

? u


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